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1 Ce cahier existe aussi en numérique avec les liens direct vers les cours nécessaires en fin de page lien : cahier numérique

2 Correction Première partie du cahier-de-vacances

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4 PREMIÈRE PARTIE Correction )a) A 9 Nombres décimaux relatifs Respecter les priorités. b) B c) C d) D e) E f) F 0 g) G h) H 0 Écriture fractionnaire ) a) b) + + c) non décimal ) A non décimal B décimal C ) A non décimal décimal x H B 0 9 donc 9 c) 9 ) a) b) > < donc d), donc, ) a) A + + b) A 9 0 Écriture fractionnaire Quotient 9 ) a) A x b) B x c) C x d) D x Puissances ) a) ; 9 ; ; b) 9 ; 9 c) 000 ; 0,0 ; ; d) ; ; ; ( ) ( ) ) ; 0, ; - 09 ; 9,9909 x 0 Puissances de 0 0 a, x 0 b, x 0 c, x0 d, x 0 Comparer )a) ; 9, ; 9,9 ; 9,9 ; 0 ; 0, b), ;, ;, ;,0 ;, ;,0 9 ) a) Faux b) Vraie c) Faux d) Vraie e) Vraie f) Vraie g) Faux h) Vraie 0 i) Faux j) Vraie k) Faux l) Vraie m) Faux ii) ) a) x y b) x y c) x y d) x + 0 y +0 Calcul littéral ) A x B + x C x² D 9x² ) E x F a + a + a + G a + + a 9a + H a² + a a a² + a - 9 ) lnverse d'un nombre différent de 0 a) Faux car le produit n'est pas égal à (- π²/), c'est l'opposé b) Vrai car : pour x 0, inv (x) /x c) Vrai car x d) Faux, attention et +. L'inverse d'une + somme n'est pas la somme des inverses. ( )

5 Reconnaître une solution d'une équation x+ x + 9 n'est pas solution de l'équation. a ) x + x + b) x x 0 x x c) (x + ) ( + ) a) a / n'est pas solution de l'équation. est solution de l'équation. Résoudre une équation du type axb ou ax+bcx+d la solution de l'équation est / b) c + c + c c / la solution de l'équation est c) + d d d ; 0 d d ; 0 + d + d ; d ; d/,, est solution de l'équation d) b x 0 0 / est solution de l'équation e) e x / est solution de l'équation - Résoudre un problème ) Comme il a canards de plus que de poules, et oies de plus que de poules, il faut enlever au total, et comme il y a types de volaille il faut diviser le résultat par. ( )/ canards : + 0 oies : + Il a poules, 0 canards et oies dans le poulailler de Marc. ) On pose p le nombre de poules, il y a donc p + canards et p + oies p + p + + p + p + p p ( )/ et on retrouve poules, 0 canards et oies Reconnaître une situation de proportionnalité l. a) l'augmentation du prix de l'objet à 9euros est de 0, euros et celle du deuxième est de 0, euros. 9 x /00 0, x /00 0, b) N 9 + 0, 9, N' + 0,, euros.. 9, / 9,0, /,0 on obtient le même coefficient mais il faut vérifier que c'est vrai pour n 'importe que prix. Soit x le prix avant l'augmentation, le prix après l'augmentation s'obtient en ajoutant l'augmentation au prix de départ : x x /00 0,0x x + 0,0x,0x On a ainsi une situation de proportionnalité puisque le coefficient qui permet de passer du prix avant l'augmentation au prix après l'augmentation est,0.. Le nouveau prix d'un objet coutant,0 euros est égal à environ,0euros, x,0,0 Fréquences l. a) Total Nombre de films Nombre de jeunes /, /, /, /, /, /,0 /, /,0 00 c) fréquences b) M (x + x + x + x + x + x + x + x)/,9 En moyenne les jeunes voient films par mois.. total nombre de films nombre de jeunes fréquences en %,,,,,,0, moyenne,0 00,00,99999

6 Construction Démonstration a) D'après les informations ABCD est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu, E est donc bien le milieu de [BD] b) Dans le triangle FGH d'après le codage I est le milieu de [GH] et d'après l'information les droites (IL) et (FG) sont parallèles, or si dans un triangle une droite passe par le milieu d'un segment et est parallèle à un côté alors elle coupe le troisième en son milieu, donc L est le milieu de [FH]. Calculer une longueur a) D'après le codage ABC est rectangle en B, donc d'après le théorème de Pythagore on a : AC² AB² + BC² 9² AB² + ² AB² + AB² AB cm b) D'après le codage DEF est rectangle en E et [GE] est la médiane issue de E, or dans un triangle rectangle la longueur de la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de la longueur de l'hypoténuse, donc : EG DF/ EG / EG cm c) D'après le codage dans le triangle HIJ, K est le milieu de [HI] et L celui de [IJ], or dans un triangle la longueur du segment joignant les milieux de côtés est égale à la moitié du troisième, donc : KL HJ/ HJ/ HJ x HJ cm d) D'après les indications MNOP est un parallélogramme donc ses côtés opposés sont de même longueur comme OP cm on a : NM cm e) Un quadrilatère qui a angles droits est un rectangle donc d'après le codage QRST est un rectangle, l'aire 'un rectangle est égal au produit de sa longueur par sa largeur, on a : x SR SR / SR cm f) Dans le triangle A'B'C', (D'E') est parallèle à (A'C') donc d'après le théorème de Thalès appliqué au triangle B' D ' D ' E' D ' E' x D ' E' D'E' cm B' C ' A ' C ' Cosinus

7 AB Dans le triangle ABC rectangle en B on a : cos BAC AC EF Dans le triangle DEF rectangle en E on a : cos DFE DF HI Dans le triangle GHI rectangle en I on a : cos G HI HG cos 0 AC EF 0 cos G HI cos AC 9, cos 0 EF0 x cos,0 GHI, AC 9,cm EF,cm GHI, Tracer des droites remarquables Réfléchir sur les quadrilatères particuliers Exercice a) Oui puisqu'un carré à angles droits (définition d'un rectangle) b) Non car un rectangle n'a pas quatre côtés de même longueur c) Oui, les carrés. Ce sont des rectangles et comme ils ont quatre côtés de même longueur ce sont aussi des losanges d) non, un quadrilatère croisé a ses côtés parallèles mais n'est pas un parallélogramme. Angles Droites - Triangle Exercice Dans un triangle la somme des mesures des angles est égale à 0, dans MNP on a : MNP+ NPM+ PMN0 MNP MNP0 0 Les angles NMy et MNP sont alternes-internes définis par les deux droites (xy) et (NP) parallèles et la sécante (MN) donc ils sont égaux. NMy et MNP Les angles ymz et NPM sont correspondants définis par les deux droites (xy) et (NP) parallèles et la sécante (MP) donc ils sont égaux ymz NPM Utiliser Pythagore et sa réciproque ) Dans le triangle ABC le plus grand côté est [AB] donc si le triangle est rectangle il le sera en C : d'une part : AB² ² d'autre part : AC² + BC² ² + ² On en conclut que AB² AC² + BC² or si le triangle était rectangle, d'après le théorème de Pythagore il y aurait égalité. Comme ce n'est pas le cas, le triangle ABC n'est pas rectangle. ) Dans le triangle MNO : d'une part : MN²,², d'autre part : MO² + NO²,² + ², On en conclut que MN² MO² + NO² d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle MNO est rectangle en O ) a) b) D'après le texte DEF est rectangle en E donc d'après le théorème de Pythagore on a : DF² DE² + EF² DF²,² + ²,0 DF,0 cm

8 ) a) b) D'après le texte GHI est rectangle en G donc d'après le théorème de Pythagore on a : IH² GH² + GI² ² GH² +,² GH² +,0 GH²,0 0,9 GH 0,9, GH, cm PREMIÈRE PARTIE

9 Correction )a) A 9 Nombres décimaux relatifs Respecter les priorités. b) B c) C d) D e) E f) F 0 g) G h) H 0 Écriture fractionnaire ) a) b) + c) + non décimal ) A non décimal B décimal C ) A non décimal décimal B x H 9 donc 9 c) ) a) b) 0 > < donc ,, d) donc ) a) A b) A lnverse d'un nombre différent de 0 a) Faux car le produit n'est pas égal à (- π²/), c'est l'opposé b) Vrai car : pour x 0, inv (x) /x c) Vrai car x d) Faux, attention et +. L'inverse d'une + somme n'est pas la somme des inverses. ) a) A x Écriture fractionnaire Quotient 9 x b) B c) C x d) D x Puissances )a) ; ; ; b) 9 ; 9 c) 000 ; 0,0 ; ; 00 d) ; ; ; ( ) ( ) ) - ; - 0,00 ; - 09 ; 9,9909 x 0 Puissances de 0 a, x 0 0 b, x 0 c, x0 )a) 0, ; -0 ; -9,9 ; - 9,9 ; - 9, ; - d, x 0 Comparer b),0 ;, ;,0 ;, ;, ;, ) a) Faux b) Vraie c) Faux d) Vraie e) Vraie i) Faux j) Vraie k) Faux l) Vraie ) a) x y b) x y ) A x B + x c) x y C x² ) E x F a + a + a + G a² + a a a² + a - f) Vraie g) Faux m) Faux h) Vraie d) x + 0 y +0 Calcul littéral D 9x² F a + + a 9a + ) Reconnaître une solution d'une équation Réalisé en collaboration : Mme KHAZAL Mme LEBON M CESCHIN

10 a ) x + x + b) x x 0 x+ x + 9 x x c) (x + ) ( + ) a) -a- / n'est pas solution de l'équation. n'est pas solution de l'équation. est solution de l'équation. Résoudre une équation du type axb ou ax+bcx+d la solution de l'équation est -/ b) c + c + c c / la solution de l'équation est c) + d d d ; 0 d d ; 0 + d + d ; d ; d/,, est la solution de l'équation d) b x 0-0/ est la solution de l'équation e) e x -/ est solution de l'équation Résoudre un problème ) Comme il a canards de plus que de poules, et oies de plus que de poules, il faut enlever au total, et comme il y a types de volaille il faut diviser le résultat par. ( )/ canards : + 0 oies : + Il a poules, 0 canards et oies dans le poulailler de Marc. ) On pose p le nombre de poules, il y a donc p + canards et p + oies p + p + + p + p + p p ( )/ et on retrouve poules, 0 canards et oies Reconnaître une situation de proportionnalité l. a) l'augmentation du prix de l'objet à 9euros est de 0, euros et celle du deuxième est de 0, euros. 9 x /00 0, x /00 0, b) N 9 + 0, 9, N' + 0,, euros.. 9, / 9,0, /,0 on obtient le même coefficient mais il faut vérifier que c'est vrai pour n 'importe que prix. Soit x le prix avant l'augmentation, le prix après l'augmentation s'obtient en ajoutant l'augmentation au prix de départ : x x /00 0,0x x + 0,0x,0x On a ainsi une situation de proportionnalité puisque le coefficient qui permet de passer du prix avant l'augmentation au prix après l'augmentation est,0.. Le nouveau prix d'un objet coutant,0 euros est égal à environ,0euros, x,0,0 Fréquences l. a) Total Nombre de films Nombre de jeunes c) fréquences x00/ x00/ x00/ x00/ x00/ x00/ x00/ x00/,,,,,,0,,0 00 b) M (x + x + x + x + x + x + x + x)/,9 En moyenne les jeunes voient films par mois.. total nombre de films nombre de jeunes fréquences en %,,,,,,0, moyenne,0 00,00,99999 Construction

11 Démonstration a) D'après les informations ABCD est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu, E est donc bien le milieu de [AC] b) Dans le triangle FGH d'après le codage I est le milieu de [GH] et d'après l'information les droites (IL) et (FG) sont parallèles, or si dans un triangle une droite passe par le milieu d'un segment et est parallèle à un côté alors elle coupe le troisième en son milieu, donc L est le milieu de [FH]. Calculer une longueur a) D'après le codage ABC est rectangle en B, donc d'après le théorème de Pythagore on a : AC² AB² + BC² 9² AB² + ² AB² + AB² AB cm b) D'après le codage DEF est rectangle en E et [GE] est la médiane issue de E, or dans un triangle rectangle la longueur de la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de la longueur de l'hypoténuse, donc : EG DF/ EG / EG cm c) D'après le codage dans le triangle HIJ, K est le milieu de [HI] et L celui de [IJ], or dans un triangle la longueur du segment joignant les milieux de côtés est égale à la moitié du troisième, donc : KL HJ/ HJ/ HJ x HJ cm d) D'après les indications MNOP est un parallélogramme donc ses côtés opposés sont de même longueur comme OP cm on a : NP cm e) Un quadrilatère qui a angles droits est un rectangle donc d'après le codage QRST est un rectangle, l'aire 'un rectangle est égal au produit de sa longueur par sa largeur, on a : x SR SR / SR cm f) Dans le triangle A'B'C' d'après les indications E' et D' sont des points de A'B' et B'C' et les droites (D'E') et (A'C') sont B' D ' B ' E' D ' E ' parallèles donc d'après le théorème de Thalès dans le triangle on a : B ' C ' B' A ' A ' C ' D ' E' x D ' E' D'E' cm Cosinus

12 AB Dans le triangle ABC rectangle en B on a : cos BAC AC EF Dans le triangle DEF rectangle en E on a : cos DFE DF HI Dans le triangle GHI rectangle en I on a : cos G HI HG cos 0 AC EF 0 cos G HI cos AC 9, cos 0 EF0 x cos,0 GHI, AC 9,cm EF,cm GHI, Tracer des droites remarquables Réfléchir sur les quadrilatères particuliers a) Oui puisqu'un carré à angles droits (définition d'un rectangle) b) Non car un rectangle n'a pas quatre côtés de même longueur c) Oui, les carrés. Ce sont des rectangles et comme ils ont quatre côtés de même longueur ce sont aussi des losanges d) non, un quadrilatère croisé a ses côtés parallèles mais n'est pas un parallélogramme. Angles Droites - Triangle Dans un triangle la somme des mesures des angles est égale à 0, dans MNP on a : MNP+ NPM+ PMN0 MNP MNP0 0 Les angles NMy et MNP sont alternes-internes définis par les deux droites (xy) et (NP) parallèles et la sécante (MN) donc ils sont égaux. NMy et MNP Les angles ymz et NMP sont correspondants définis par les deux droites (xy) et (NP) parallèles et la sécante (MP) donc ils sont égaux ymz NMP Utiliser Pythagore et sa réciproque ) Dans le triangle ABC le plus grand côté est [AB] donc si le triangle est rectangle il le sera en C : d'une part : AB² ² d'autre part : AC² + BC² ² + ² On en conclut que AB² AC² + BC² or si le triangle était rectangle, d'après le théorème de Pythagore il y aurait égalité. Comme ce n'est pas le cas, le triangle ABC n'est pas rectangle. ) Dans le triangle MNO : d'une part : MN²,², d'autre part : MO² + NO²,² + ², On en conclut que MN² MO² + NO² d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle MNO est rectangle en O ) a) b) D'après le texte DEF est rectangle en F donc d'après le théorème de Pythagore on a : DF² DE² + EF² DF²,² + ²,0 DF,0 cm

13 ) a) b) D'après le texte GHI est rectangle en G donc d'après le théorème de Pythagore on a : IH² GH² + GI² ² GH² +,² GH² +,0 GH²,0 0,9 GH 0,9, GH, cm