Signal 6 Filtrage linéaire

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1 Signal 6 Filtrage linéaire Lycée Vauvenargues - Physique-Chimie - PTSI Contenu du programme officiel : Notions et contenus Capacités exigibles Signaux périodiques. - Savoir que l on peut décomposer un signal périodique en une somme de fonctions sinusoïdales. - Définir la valeur moyenne et la valeur efficace. Fonction de transfert harmonique. Diagramme de - Prévoir le comportement d un filtre à fréquence nulle ou infinie en remplaçant Bode. les bobines et les condensateurs par des interrupteurs fermés ou ouverts. - Utiliser une fonction de transfert donnée d ordre 1 ou 2 et ses représentations graphiques pour conduire l étude de la réponse d un système linéaire à une excitation sinusoïdale, à une somme finie d excitations sinusoïdales. - Mettre en œuvre un dispositif expérimental illustrant l utilité des fonctions de transfert pour un système linéaire à un ou plusieurs étages. - Utiliser les échelles logarithmiques et interpréter les zones rectilignes des diagrammes de Bode d après l expression de la fonction de transfert. Notion de gabarit. - Modèles simples de filtres passifs : passe-bas et passe-haut d ordre 1, passe-bas et passe-bande d ordre 2. Établir le gabarit d un filtre en fonction du cahier des charges. - Expliciter les conditions d utilisation d un filtre afin de l utiliser comme moyenneur, intégrateur, ou dérivateur. - Approche documentaire : expliquer la nature du filtrage introduit par un dispositif mécanique (sismomètre, amortisseur, accéléromètre...). En gras les points devant faire l objet d une approche expérimentale. Table des matières 1 Rappels sur les signaux périodiques Définitions Théorème de Fourier Le filtre passe-bas du premier ordre Position du problème et visualisation expérimentale Fonction de transfert, gain et gabarit Le filtre passe-bas du premier ordre Le filtrage linéaire 7 4 Le filtre passe-haut du premier ordre 8 5 Deux filtres du second ordre Le filtre passe-bas du second ordre Le filtre passe-bande du second ordre Associations de filtres 12 Dans le chapitre précédent, nous avons étudié la réponse d un système à une oscillation forcée. Nous avons vu que l amplitude de la réponse dépendait de la fonction de transfert. Ainsi, certaines fréquences d entrée ne donnent quasiment aucun signal de sortie, tandis que d autres fréquences sont amplifiées. Ce phénomène peut être utilisé avec un objectif de filtrage, c est-à-dire de couper certaines fréquences. Par exemple, lorsque l on écoute la radio, on ne veut garder qu une seule fréquence et couper les autres. De même, dans le cas mécanique d un amortisseur de voiture, on souhaite que les petites oscillations de la route soient «filtrées» par l amortisseur pour ne pas être ressenties par les passagers /13

2 1 Rappels sur les signaux périodiques 1.1 Définitions Définition. Un signal s(t) est périodique si et seulement si il existe une période T minimale telle que, pour tout instant t, on a s(t + T ) = s(t). Par exemple, le signal s(t) = a sin t est de période T = 2π. Définition. On définit la valeur moyenne du signal périodique s(t) par la relation < s(t) >= 1 T T s(t)dt. Par exemple, le signal s(t) = a sin t est de valeur moyenne nulle. Définition. On définit la valeur efficace d un signal périodique s(t) par la relation s eff = < s 2 1 T (t) > = s T 2 (t)dt. On peut montrer pour un signal sinusoïdal s(t) = a sin t que s eff = a/ 2. La valeur efficace est importante physiquement. En effet, la grandeur physique pertinente n est pas l amplitude des signaux, mais leur énergie et la valeur moyenne de l énergie. Or l énergie dépend des signaux mis au carré. Ainsi, un signal de valeur moyenne nulle transporte une énergie proportionnelle à s 2 eff. 1.2 Théorème de Fourier Théorème. Tout signal périodique se décompose comme une somme de fonctions sinusoïdales. Ainsi, un signal s(t) de fréquence f s écrit s(t) = c + + i=1 c i sin(2πift + ϕ i ) avec c la valeur moyenne du signal (ou composante continue), c i et ϕ i des coefficients dépendant du signal. Les différents coefficients c i représentent le spectre du signal. Par exemple, les trois premières composantes sur signal créneau sont représentées figure 2. Sur la figure 1, la représentation temporelle de la somme de ces harmoniques. On pourra manipuler l animation [1] pour construire des signaux périodiques quelconques. s 1 (t) s 2 (t) s 3 (t) a a a t t t Fig. 1 Décomposition de Fourier d un créneau avec les premières harmoniques 2/13

3 Amplitude des harmoniques c 1 c 3 c 5 Premières harmoniques f 3f 5f Fondamentale Fig. 2 Premières harmoniques d un signal créneau Fréquence 2 Le filtre passe-bas du premier ordre 2.1 Position du problème et visualisation expérimentale On étudie à nouveau le circuit RC détaillé figure 3. Expérience 1 : Filtre RC avec signal créneau en entrée. R i(t) e(t) C s(t) Fig. 3 Le filtre RC. Expérimentalement, on observe pour un signal de «basse fréquence», le signal de sortie semblent être identique au signal d entrée ; «haute fréquence», le signal de sortie est d amplitude faible et est un signal créneau. Les termes «basse» et «haute» fréquence seront définis par rapport aux caractéristiques du filtre que nous verrons par la suite. Cette même observation peut se traduire sur le spectre du signal, observable directement sur l oscilloscope numérique. Ainsi, pour un signal de «basse fréquence», le spectre de sortie est très similaire au spectre d entrée «haute fréquence», les composantes du spectre d entrée sont toujours présentes dans le spectre de sortie, mais leur amplitude est beaucoup plus faible. Remarque : Nous avions déjà fait cette expérience lorsque nous avons étudié la charge et la décharge du condensateur, sauf que nous l avions interprété différemment. Nous avions vu le signal créneau comme une succession de tensions constantes, alors que nous regardons maintenant le signal créneau comme une fonction périodique, et donc nous regardons le circuit RC comme un oscillateur forcé par toutes les composantes périodiques du signal créneau. 2.2 Fonction de transfert, gain et gabarit Définition. La fonction de transfert d un filtre est la grandeur complexe H() = s(t) e(t) avec s(t) le signal de sortie complexe et e(t) le signal d entrée complexe du filtre. 3/13

4 Nous avons vu au chapitre précédent qu un signal excitateur d amplitude A et de pulsation sortait d un système forcé sous la forme d un signal de sortie toujours de pulsation mais d amplitude A H(). Ainsi, chaque composante sinusoïdale d un signal périodique quelconque va subir cette dilatation d amplitude. La fonction de transfert permet donc de connaître l effet d un filtre sur un signal périodique. Toutefois, le module de la fonction de transfert connaît de grandes variations d amplitudes. Pour pouvoir les observer, on étudie la fonction de transfert sous une échelle logarithmique. Remarque : Le logarithme décimal correspond à l opération log 1 x = x, il correspond à la mesure de la puissance de 1 d un nombre. Ainsi, un variation de 1 pour un logarithme décimal correspond à une multiplication ou une division par 1. Définition. Le gain d un filtre est la grandeur sans dimension H() = H(). Le gain en décibel d un filtre est la grandeur sans dimension G() = 2 log H() avec log le logarithme décimal. Le gain s exprime en décibels (db). On choisit un facteur multiplication de 2 car le gain est multiplié par 1 pour manipuler des chiffres usuels ; on multiplie ensuite par 2 car 2 log H() = 1 log H() 2, or les grandeurs énergétiques sont liées au carré du module de la fonction de transfert, et ce sont ces grandeurs énergétiques qui nous intéressent. Propriété. Lorsque le gain diminue de 2 décibels, l amplitude du signal de sortie est divisée par 1. Le gabarit Définition. Le gabarit d un filtre est un outil technique pour préciser l effet souhaité d un filtre sur une certaine gamme de fréquence. Il représente le gain en fonction du logarithme décimal de la pulsation. Il s agit d une reformulation graphique du cahier des charges du filtre. Propriété. Le gabarit d un filtre passe-bas a les propriétés suivantes laisser passer les basses fréquences ; couper les basses fréquences. G db 1 2 G 1 G 2 Fig. 4 Gabarit d un filtre passe-bas : le gain du filtre devra être une fonction passant dans les zones non grisées. Ainsi, cela impose un gain supérieur à une certaine limite pour les basses fréquences, et un gain inférieur à une certaine limite pour les hautes fréquences, qui seront ainsi fortement atténuées. Utilisation du gabarit pour prévoir le spectre du signal de sortie Ainsi, qualitativement, si on suppose que le signal d entrée du filtre passe-bas est un signal créneau, la figure 5 permet de comprendre l utilisation du gabarit pour prévoir les amplitudes des harmoniques du signal de sortie. 4/13

5 Amplitude G db Amplitude G (a) Premières harmoniques d un signal créneau avant filtrage G 2 (b) Superposition du gabarit du filtre avec le spectre du signal d entrée (c) Premières harmoniques d un signal créneau après filtrage. Fig. 5 Utilisation d un gabarit pour prévoir le signal de sortie. Les amplitudes des harmoniques des pulsations inférieures à 1 ne sont pas modifiées. Les amplitudes des harmoniques des pulsations supérieures à 2 sont fortement atténuées. Les pulsation intermédiaire sont faiblement atténuées. Application 1 : Prévoir qualitativement ce qui se passe si > 2 et si 7 < Le filtre passe-bas du premier ordre Prévision du caractère passe-bas Nous étudions le circuit de la figure 3 en régime sinusoïdal forcé. à «basses fréquences», le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert, la tension de sortie est égale à la tension d entrée ; à «hautes fréquences», le condensateur est équivalent à unfil, la tension de sortie donc nulle. Ainsi, en basse fréquences le signal n est pas modifiée alors qu en haute fréquence le signal de sortie est nul. Il s agit bien d un filtre passe-bas. Calcul de la fonction de transfert La fonction de transfert du système se trouve en faisant directement un pont diviseur de tension en utilisant les grandeurs complexes. Ainsi, à partir de la figure 3, il vient s(t) = Z C Z R + Z C e(t) = 1/(jC) R + 1/(jC) e(t). Propriété. La fonction de transfert d un filtre passe-bas du premier ordre est H() = s(t) e(t) = K 1 + j avec la pulsation de coupure du filtre et K une constante.. On reconnaît pour le filtre RC la pulsation de coupure = 1 RC. Ici K = 1. Le filtre est dit du premier ordre car les polynômes en j du numérateur et du dénominateur de la fonction de transfert sont d ordres 1 au maximum. Le diagramme de Bode Définition. Le diagramme de Bode d un filtre est le double tracé de le gain en décibels du filtre ; la phase de la fonction de transfert. Ces deux tracés sont réalisés en fonction du logarithme de la pulsation. On trace la pulsation sous échelle logarithmique car celle permet de décrire rapidement une grande gamme de valeur possible, tout en donnant une importance égale à chaque décade de pulsation. 5/13

6 Le diagramme de Bode du filtre passe-bas d ordre 1 est donné figure 6. GdB (db) 3 1 ϕ (rad).5 π π x = x = Fig. 6 Diagramme de Bode du filtre passe-bas d ordre 1. Le diagramme en gain est bien compatible avec le gabarit proposé du filtre passe-bas de la figure 4. Exploitation du diagramme de Bode La bande passante : On rappelle qu une pulsation est dans la bande passante d un oscillateur forcé si la relation ci-dessous est vérifiée : H() > H max 2 G() = 2 log H() > 2 log H max 2 = 2 log H max 1 log 2. Numériquement, on a 1 log 2 3. Définition. La bande passante d un filtre à 3 décibels est l ensemble des pulsations tels que le gain soit compris entre le gain maximal G max et G max 3 db. On rappelle que la bande passante correspond à un transfert d au moins 5% de l énergie entre le signal d entrée et le signal de sortie. Ainsi, pour une pulsation comprise dans la bande passante, on supposera qu elle traversera effectivement le filtre. Pour le filtre RC, la bande passante est donnée pour <. En effet, on constate figure 6 que le gain est une fonction décroissante et que G max =. De plus, pour =, on a H( ) = j = 1. 2 Zones rectilignes du diagramme de gain : Pour < 1, on constate que le diagramme de Bode est à peu près constant. En effet, on a dans cette zone H() 1, soit un gain constant et nul. Pour > 1, on constate que le diagramme de Bode est une droite décroissante. On constante la pente vaut - 2 db par décade. En effet, on a dans cette zone H() 1/(j/ ), soit G 2 log(/ ). On retrouve bien la valeur numérique de - 2 décibels par décades. Utilisation du diagramme de Bode On veut connaître précisément la réponse du filtre à un signal d entrée e 1 (t) = e 1 sin( 1 t) avec 1 = /1. Graphiquement, on lit pour log 1 = 1, un gain de et une phase ϕ 1.1 rad. Ainsi, le signal de sortie vaut s(t) = e 1 1 /2 sin( 1 t + ϕ) = e 1 sin( 1 t + ϕ). 6/13

7 Application 2 : Quelle est la réponse du filtre pour e 2 (t) = e 2 sin( 2 t) avec 2 = 1? Et pour e 1 (t) + e 2 (t)? Effet moyenneur Prenons un signal périodique de moyenne non nulle. D un point de vue analyse de Fourier, la moyenne du signal correspond à la composante continue, soit la contribution au spectre pour =. Notons 1 la pulsation fondamentale du signal considéré. Si le signal passe dans un filtre passe-bas de pulsation de coupure inférieure à 1, il ne restera que la composante continue du signal, toutes les composantes harmoniques auront été coupées. Propriété. Un signal périodique de pulsation fondamentale 1 filtré par un filtre passe-bas de pulsation de coupure telle que 1 est moyenné. La sortie du filtre sera la valeur moyenne du signal d entrée. Effet intégrateur Considérons un filtre passe-bas d ordre 1 de pulsation de coupure. Cette fois un signal périodique de pulsation 1 est filtré. 1 Dans ce cas, on a H() = 1 + j j. Ainsi, on a s = e. En revenant en notation temporelle, j on a ds(t) dt = e(t). Propriété. Un signal périodique de pulsation fondamentale 1 filtré par un filtre passe-bas d ordre 1 de pulsation de coupure telle que 1 est intégré. La sortie du filtre sera l intégrale du signal d entrée multipliée par la constante. Remarque : Ce n est pas contradictoire avec le fait que le signal soit filtré. En effet, l amplitude du signal de sortie est très faible par rapport à celle d entrée, ce qui est bien le cas lorsque l on intègre la fonction cos t. L amplitude de l intégrale dépend bien de 1/ qui est faible si est grand. 3 Le filtrage linéaire Les observations sur le filtre RC permettent de comprendre les principes généraux d un filtre, que l on peut voir comme un oscillateur forcé. Ainsi, on peut intellectuellement voir le filtre comme 1. un signal périodique quelconque est une somme de signaux sinusoïdaux, 2. chaque signal sinusoïdal est étudié comme une excitation d un oscillateur forcé ; 3. au vu des résultats du chapitre précédent, la réponse à un signal sinusoïdal est d amplitude différente et déphasé par rapport au signal excitateur ; 4. le signal de sortie du filtre est la somme de toutes les réponses à chaque signal sinusoïdal. Excitation e(t) e(t) = e + k= e k e j kt Décomposition en série de Fourier S Action du système linéaire sur chaque composante spectrale s(t) = e + k= e k H( k ) e j( kt+φ( k )) Réponse s(t) = R(s(t)) 7/13

8 Cela n est possible que grâce à la propriété de linéarité du filtre. En effet, les différentes harmoniques restent séparées les unes des autres et ne se «mélangent» pas. Ce phénomène arrive dans les systèmes non linéaires comme les multiplieurs de signaux par exemple. Les utilités du filtrage sont multiples, on peut par exemple citer : la sélection de fréquence (radio) ; l annulation de la composante continue (augmentation du contraste) ; augmenter ou baisser certaines composantes fréquentielles («augmenter les basses» en audio)... Le filtrage est une des bases de l électronique de commande moderne. 4 Le filtre passe-haut du premier ordre Définition. Un filtre passe-haut coupe les basses fréquences et n agit pas sur les hautes fréquences. Son gabarit est donné figure 7. G 1 G 2 G db 1 2 Fig. 7 Gabarit d un filtre passe-haut. Application 3 : Qualitativement, quels peuvent être les effets du filtre passe-haut sur un signal créneau? Réalisation électronique Les façon de réaliser un filtre passe-haut sont nombreuses. Par exemple, le circuit de la figure 8 permet cette opération. En effet, on remarque que aux «basses fréquences», le condensateur est un interrupteur ouvert, la tension de sortie est nulle ; aux «hautes fréquences», le condensateur est un fil, la tension de sortie est égale à celle d entrée. C i(t) e(t) R s(t) Fig. 8 Exemple de filtre passe-haut d ordre 1. À l aide d un pont diviseur de tension, on a H() = Z R Z C + Z R = R 1/(jC) + R. Propriété. La fonction de transfert d un filtre passe-haut du premier ordre est H() = s(t) j e(t) = K 1 + j avec la pulsation de coupure du filtre et K une constante. 8/13

9 À nouveau, on a ici = 1 RC Diagramme de Bode. Ici, K = 1. Le diagramme de Bode correspondant est tracé figure π 2 GdB (db) 1 2 ϕ (rad) 1 π x = x = Fig. 9 Diagramme de Bode du filtre passe-haut d ordre 1 Application 4 : À l aide de la fonction de transfert, justifier la valeur de la bande passante, le plateau aux hautes fréquences et la valeur de la pente aux basses fréquences. Effet dérivateur Considérons un filtre passe-haut d ordre 1 de pulsation de coupure. Cette fois un signal périodique de pulsation 1 est filtré. Dans ce cas, on a H() = on a s(t) = de(t). dt j 1 + j j. Ainsi, on a s = j e. En revenant en notation temporelle, Propriété. Un signal périodique de pulsation fondamentale 1 filtré par un filtre passe-haut d ordre 1 de pulsation de coupure telle que 1 est dérivé. La sortie du filtre sera la dérivée du signal d entrée divisée par la constante. Remarque : Ce n est pas contradictoire avec le fait que le signal soit filtré. En effet, l amplitude du signal de sortie est très faible par rapport à celle d entrée, ce qui est bien le cas lorsque l on dérive la fonction cos t. L amplitude de l intégrale dépend bien de qui est faible si est faible. 5 Deux filtres du second ordre Étudions maintenant le circuit RLC de la figure 1. Selon la tension de sortie que nous étudierons, le filtre sera soit passe-bas, soit passe-bande. 9/13

10 L i(t) s PBas (t) e(t) C R s PBande (t) Fig. 1 Filtres d ordre 2. La tension aux bornes de la résistance donne le filtre passe-bande tandis que celle aux bornes du condensateur donne le filtre passe-bas. 5.1 Le filtre passe-bas du second ordre Comportement asymptotique du filtre Sur le montage de la figure 1, on choisit de prendre comme tension de sortie la tension aux bornes du condensateur. Application 5 : Vérifier que ce choix conduit bien à un filtre passe-bas. Fonction de transfert Propriété. La fonction de transfert d un filtre passe-bas du second ordre est H() = s(t) e(t) = K + j 1 Q avec la pulsation de coupure du filtre et Q le facteur de qualité du filtre et K une constante. Il s agit d un filtre du second ordre car le dénominateur est un polynôme d ordre 2 en j. Ici, K = 1. Application 6 : Vérifier que la fonction de transfert du filtre de la figure 1 a bien cette forme. Le diagramme de Bode Le diagramme de Bode de ce filtre est tracé figure 11. On constate que selon la valeur du facteur de qualité, on observe ou non un pic dans la fonction de transfert. C est la marque de la présence, ou non, d une résonance étudiée dans le chapitre précédent. Plus le facteur de qualité sera élevé, plus la résonance sera présente. Si le facteur de qualité est trop élevé, la bande passante devient très faible et resserrée autour du filtre. On se rapproche alors d un filtre passe-bande du paragraphe suivant. On constate que l asymptote du gain aux hautes fréquences est de - 4 décibels par décade. C est une marque des filtres passe-bas (ou passe-haut) du second ordre. Cela se justifie car, en hautes fréquences, j 1 2 Q 2 soit bien G 4 log. Cette pente plus forte permet de couper de façon plus efficace les hautes fréquences, le filtre d ordre 2 est donc plus sélectif qu un filtre d ordre 1. Application 7 : Pour le cas Q = 5, quelle est la réponse du filtre pour e(t) = e sin( t) + e 1 sin( 1 t) + e 2 sin( 2 t) avec 1 = /1 et 2 = 1? Le représenter qualitativement sur un spectre. Que se passe-t-il pour Q =.5? Existe-t-il des effets moyenneurs, dérivateurs ou intégrateurs avec ce filtre? 1/13

11 GdB (db) Q =, 5 Q = 5 ϕ (rad) 1 π π x = x = Fig. 11 Diagramme de Bode du filtre passe-bas d ordre Le filtre passe-bande du second ordre Définition. Un filtre passe-bande coupe les basses fréquences et les hautes fréquences mais n agit pas sur une bande de fréquences intermédiaires. Il s agit de la bande passante du filtre. Son gabarit est donné figure 12. G db G 1 G 2 Comportement asymptotique du filtre Fig. 12 Gabarit d un filtre passe-bande Sur le montage de la figure 1, on choisit de prendre comme tension de sortie la tension aux bornes de la résistance. Application 8 : Vérifier que ce choix conduit bien à un filtre passe-bande. Fonction de transfert Propriété. La fonction de transfert d un filtre passe-bande du second ordre est H() = s(t) e(t) = K ( 1 + jq ) avec la pulsation de coupure du filtre et Q le facteur de qualité du filtre et K une constante. Il s agit d un filtre du second ordre car le dénominateur est un polynôme d ordre 2 en j. Ici, K = 1. Remarque : Les filtres passe-bandes sont toujours au moins d ordre 2. 11/13

12 Application 9 : Vérifier que la fonction de transfert du filtre de la figure 1 a bien cette forme. Le diagramme de Bode Le diagramme de Bode de ce filtre est tracé figure 13. On constate que selon la valeur du facteur de qualité, la bande passante est plus ou moins fine. Ce résultat est à relier à l acuité de la résonance selon la valeur du facteur de qualité. On rappelle que dans ce cas, la largeur de la bande passante est donnée par = /Q. Ainsi, plus le facteur de qualité est élevé, plus la bande passante est fine, donc plus le filtre est sélectif. D un certain point de vue, plus Q est grand, plus le filtre est de bonne qualité, d où la dénomination de Q. Application 1 : À l aide de la figure, déterminer la bande passante et vérifier les valeurs du facteur de qualité annoncées. Application 11 : À l aide de la fonction de transfert, justifier la valeur de pentes du gain en hautes et basse fréquences. Existe-t-il des effets moyenneurs, dérivateurs ou intégrateurs avec ce filtre? Q =, 5 Q = 5 1 π 2 GdB (db) 1 2 ϕ (rad) 3 1 π x = x = Fig. 13 Diagramme de Bode du filtre passe-bande d ordre 2 6 Associations de filtres On souhaite réaliser un filtre complexe en associant plusieurs filtres les uns derrière les autres. Pour que l association des filtres soit réalisable, il est nécessaire que le comportement de chaque filtre ne doit pas être influencé par les filtres voisins. Chaque filtre est modélisé par une impédance d entrée Z e, une impédance de sortie Z s et un générateur de tension en sortie délivrant la tension s(t) = H e(t). En première approximation, l impédance d entrée correspond à l impédance entre le signal d entrée et la masse tandis que l impédance de sortie correspond à l impédance mesurée entre la sortie du filtre et la masse. Considérons les blocs de la figure 14. Z e et Z s sont respectivement les impédances d entrée et de sortie des blocs. En utilisant un pont diviseur de tension, on remarque que la tension d entrée du second bloc vaut Z e,2 V e,2 = V s,1. Z e,2 + Z s,1 Autrement dit, la tension reçue par le second bloc est influencée par la résistance de sortie du premier bloc. Pour s affranchir de ce problème, on a besoin d avoir Z e,2 Z s,1. Cette condition est indispensable pour traiter l électronique par blocs. Par exemple, la résistance de sortie d un Générateur Basse Fréquence (GBF) vaut 5 Ω alors que la résistance d entrée d un multimètre vaut environ 1 MΩ et celle d un oscilloscope 1 MΩ. De plus, bien 12/13

13 Z s,1 Z s,2 Z e,1 Z e,2 V s,1 V s,2 V e,1 V e,2 Fig. 14 Impédances d entrée et de sortie de quadripôles électroniques. Le fil inférieur représente le fil de masse du système. souvent des capacités sont aussi à prendre en compte dans les impédances d entrée, celle de l oscilloscope valant typiquement quelques picofarads. Dans ce cas, et uniquement dans ce cas, si V s,1 = H 1 V e,1 et V s,2 = H 2 V e,2, alors V s,2 = H 1 H 2 V e,1. Pour réaliser en pratique cette condition, on utilise bien souvent un montage suiveur, donc la fonction de transfert est égale à 1 mais qui a l intérêt d avoir une très faible impédance de sortie et une très grande impédance d entrée. Le montage suiveur est alors intercalé entre les deux filtres. Références [1] 13/13