PROGRAMME DE COLLES DE PHYSIQUE Semaine 13 du 7 au 11 Janvier 2019

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1 POGAMM D COLLS D PHYSIQU Semaine 13 du 7 au 11 Janvier 2019 Cours S9 : tude des Circuits linéaires du 2ème ordre (XCICS en élec ou méca) Cours S10 : éponse d'un oscillateur amorti à une excitation sinusoïdale : phénomène de résonance (COUS ou xercices simples) I. éponse d'un circuit LC série amorti à une excitation sinusoïdale : approche expérimentale Observations expérimentales : schéma du montage, importance des conditions initiales Après un régime transitoire complexe et de courte durée, on observe un régime établi pour lequel la sortie est de la même forme que l'entrée : il s'agit du égime sinusoïdal forcé (SF). Caractérisation expérimentale du SF : amplitude, fréquence et déphasage de u c (t) par rapport à la tension d'entrée. Influence de la fréquence d'entrée : L'amplitude du signal de sortie passe par un maximum pour une certaine fréquence : il s'agit du phénomène de résonance. n fonction de la valeur du facteur de qualité, ce phénomène de résonance peut être plus ou moins aigu. Mise en équation Par une loi des mailles, on établit l'dl 2 qui régit l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur : d 2 u C (t ) + ω du 0 C (t) +ω 2 dt 2 Q dt 0 u C (t)=ω 2 0 cos(ωt ) On rappelle les formes de la solution de l'ssm en fonction de la valeur de Q. Le but du chapitre est d'étudier la solution particulière sinusoïdale qui oscille à la même pulsation que l'excitation et qui contient l'amplitude U m de la réponse et son déphasage par rapport à l'entrée. II. Circuits électriques linéaires en SF : notion d'impédance complexe appels et notations Complexes : module et argument principal eprésentation complexe d'un signal sinusoïdal : notion d'amplitude complexe, module et argument de l'amplitude complexe. Intérêt de la représentation complexe. Notion d'impédance complexe : on généralise la loi d'ohm en SF à tout dipôle linéaire passif : u(t )=Z i(t ) On définit également l'admittance complexe, le module et l'argument de l'impédance complexe. Impédance complexe d'un résistor, d'une bobine et d'un condensateur : expressions, module, argument et comportement fréquentiel de chaque dipôle Loi d'associations d'impédances complexes et Pont diviseurs de tension et de courant en SF

2 III. éponse en tension aux bornes du condensateur : phénomène de résonance en tension Position du problème : notations, montage expérimental, observations expérimentales et numériques sous PYTHON. Détermination de l'amplitude complexe de la tension aux bornes du condensateur : 1ère méthode : on détermine l'amplitude complexe de la tension aux bornes du condensateur après avoir écrit l'dl 2 en notations complexes : U ( x)= 1 x 2 + j x en posant x= ω ω 0 la pulsation réduite Q 2ème méthode : utilisation du PDT en représentation complexe. Étude du module de l'amplitude complexe : on en déduit l'amplitude réelle de la réponse en tension aux bornes du condensateur : U m ( x)= (1 x2 ) 2 +( x Q )2 On étudie ensuite la fonction U m (x) : étude du comportement asymptotique, tracé de la fonction sous PYTHON et influence du facteur de qualité Q. On met en évidence le phénomène de résonance en tension qui ne se produit que pour des systèmes faiblement amortis c est-à-dire si Q> 1 et ce pour une pulsation de résonance 2 =ω Q 2 inférieure à la pulsation propre ω 0. On calcule également l'amplitude de la tension à la pulsation de résonance et on montre qu'il y a risque de destruction de l'oscillateur si Q >> 1 : U m ( x) Q Cas particuliers : lorsque ω=ω 0, U m ( x=1)=q lorsque ω ω 0, U m ( x 1) Étude de l'argument de l'amplitude complexe : le déphasage φ de U c (t) par rapport à e(t) est donné par l'argument de l'amplitude complexe. On montre que : ϕ( x)= π 2 +arctan( Q x xq) On étudie ensuite la fonction φ(x) : étude du comportement asymptotique, tracé de la fonction sous PYTHON et influence du facteur de qualité Q Bilan : on réecrit explicitement la solution u c (t) compte tenu des expressions de U m (ω) et ϕ(ω)

3 IV. éponse en tension aux bornes de la résistance : phénomène de résonance en intensité Position du problème : notations, montage expérimental, observations expérimentales et numériques sous PYTHON. Détermination de l'amplitude complexe du courant : 1ère méthode : on détermine l'amplitude complexe du courant après avoir écrit l'dl 2 en notations complexes : I (x)= 1 1+ jq( x 1 x ) en posant x= ω ω 0 la pulsation réduite 2ème méthode : utilisation du PDT en représentation complexe. 3ème méthode : on connaît la réponse en tension aux bornes du condensateur. Étude du module de l'amplitude complexe : on en déduit l'amplitude réelle de la réponse en courant : I m ( x)= 1 1+Q 2 ( x 1 x )2 On étudie ensuite la fonction I m (x) : étude du comportement asymptotique, tracé de la fonction sous PYTHON et influence du facteur de qualité Q. On met en évidence le phénomène de résonance en intensité : si l'on soumet un circuit LC série (ou un oscillateur mécanique) à une excitation sinusoïdale alors il existe toujours une résonance en intensité et ce, pour une pulsation de résonance égale à la pulsation propre =ω 0. Influence du facteur de qualité On montre que la largeur du pic de résonance (bande passante) est liée au facteur de qualité : plus Q est important, plus la BP est étroite (filtre sélectif) et plus la résonance est aiguë. On établit la relation : Δ ω= ω 0 Q Étude de l'argument de l'amplitude complexe : le déphasage Φ de U (t) (et donc de i(t)) par rapport à e(t) est donné par l'argument de l'amplitude complexe. On montre que : φ( x)=arctan (Q( 1 x x)) On étudie ensuite la fonction Φ(x) : étude du comportement asymptotique, tracé de la fonction sous PYTHON et influence du facteur de qualité Q Bilan : on réecrit explicitement la solution i(t) compte tenu des expressions de I m (ω) et φ(ω) V. Analyse et portrait de phase d'un oscillateur MCANIQU amorti en SF On repère et justifie les I et F, on détermine l'équation cartésienne de l'ellipse (avec les valeurs des demi grand/petit axe).

4 FICH D'ÉVALUATION KHÔLL PCSI Semaine 13 NOM : NOT : PÉNOM : Question de cours : xercice(s) : Compétences transversales A B C D Commentaires S'approprier et analyser le problème Savoir réinvestir les résultats de cours dans de nouvelles situations Savoir faire preuve d'initiatives et de réactivité face aux indications fournies par l'examinateur Savoir présenter son travail : tableau organisé et soigné, communication claire et convaincante Savoir mener un calcul sans erreurs Compétences disciplinaires A B C D Commentaires Étudier un oscillateur électrique ou mécanique amorti : mise en équation, résolution de l'dl 2 portrait de phase, bilan de puissance... S9 : Circuits linéaires du 2ème ordre S10 : éponse d'un oscillateur amorti à une excitation sinusoïdale Décrire expérimentalement la réponse d'un oscillateur amorti à une excitation sinusoïdale Savoir mettre en équation le problème : DL 2 à second membre sinusoïdal Connaître l'impédance complexe d'un résistor, d'une bobine, d'un condensateur Savoir associer des impédances complexes éponse en tension aux bornes du Condensateur Déterminer l'amplitude complexe par l'une des méthodes étudiées ou imposées U m ( x)= 1 x 2 + j x Q Déterminer l'amplitude réelle U m ( x) de la tension aux bornes du condensateur

5 Savoir étudier et tracer la fonction U m ( x) et montrer l'influence du facteur de qualité Q A partir de l'amplitude réelle déterminer la pulsation de résonance =ω Q 2 Savoir étudier et commenter les cas particuliers : ω=ω 0, ω ω 0, Q 1 xprimer le déphasage et étudier sa dépendance en fonction de la pulsation de forçage ϕ( x)= π 2 +arctan( Q x xq) Déterminer l'amplitude complexe par l'une des méthodes étudiées ou imposées I m ( x)= 1 1+ jq( x 1 x ) éponse en tension aux bornes de la résistance Déterminer l'amplitude réelle de la réponse en courant : I m ( x)= 1 1+Q 2 (x 1 2 x ) Savoir étudier et tracer la fonction I m ( x) et montrer l'influence du facteur de qualité Q A partir de l'amplitude réelle, déterminer la pulsation de résonance =ω 0 Savoir établir la relation entre bande passante et facteur de qualité Q= ω 0 Δ ω xprimer le déphasage et étudier sa dépendance en fonction de la pulsation de forçage φ( x)=arctan (Q( 1 x x)) Savoir étudier et commenter le portrait de phase d'un oscillateur mécanique/électrique amorti en SF A : acquis / B : en cours d'acquisition / C : insuffisant / D : non acquis / N : non évalué