DÉRIVATION 1 ) LIMITE FINIE D UNE FONCTION EN ZERO A ) ÉTUDE D UN EXEMPLE B ) CAS GÉNÉRAL. C ) QUELQUES RÉSULTATS A CONNAÎTRE ( admis )

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1 ) LIMITE FINIE D UNE FONCTION EN ZERO DÉRIVATION A ) ÉTUDE D UN EXEMPLE 4 4 x 2 Soi, D f =R * x f 0 n exise pas, mais f x es calculable pour oues les valeurs de x rès voisines de 0. Que deviennen les nombres f x lorsque x prend des valeurs voisines de zéro, par exemple celles de ] 0,9 ; 0 [ ]0 ; 0,9 [? Le ableau de valeurs ci-dessous, nous perme de consaer que les nombres f x s accumulen auour de 8, lorsque x es voisin de 0 x -0,9-0,5-0, -0,0-0,00 0,00 0,0 0, 0,5 0,9 f x Le résula n es, en fai, pas surprenan. En effe: Pour ou x R *, on a : f x = Ainsi, lorsque x prend des valeurs de plus en plus voisines de zéro, les nombres 8 4 x s accumulen auour de 8. Plus précisémen, ils finissen par se rouver dans ou inervalle I = ]8 ; 8 [, aussi pei que soi, 0. Par exemple, si on coisi =0,00, ous les nombres 8 4x son dans I, lorsque. On di alors que 8 es la limie de f en 0 e on noe : B ) CAS GÉNÉRAL Soi f une foncion elle que zéro soi dans son ensemble de définiion Df ou soi une borne de Df. Inuiivemen, dire que f a pour limie L en zéro, signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus proces de zéro, «les nombres f x correspondans viennen s accumuler auour de L». C es à dire que pour ou, 0, aussi pei qu il soi, les nombres f x finissen par se siuer dans l inervalle ]L ; L [. On noe : C ) QUELQUES RÉSULTATS A CONNAÎTRE ( admis ) Remarque imporane: On adme que si une foncion f es définie en 0 e si f adme une limie finie en 0 (on di que f es coninue en 0), alors: lim f x = f 0. C es le cas, en ou poin de l ensemble de définiion, des foncions polynômes, raionnelles e rigonomériques, de la foncion racine carrée e des composées de ces foncions. lim x = 0, lim x 2 =0, lim x n = 0 ( n N * ) Soi P une foncion polynôme e Q es une foncion raionnelle définie en 0, alors: lim P x =P 0 e lim Q x =Q 0 Si, de plus, P e Q son définies e posiives au voisinage de 0, alors : lim P x = P 0 e lim Q x = Q 0 Soi f e g deux foncions elles que lim f x =L e lim g x =L ', alors: f g x = L L ' lim f g x = L L ' e lim Exemples : lim 3 x 2 2 x 8 = 8 ; lim 4 x 2 x 2 =2 ; lim 4 x 2 x 2 = 2 ; lim 3 x2 2 x 8 4 x 2 x 2 =8 2 Dérivaion - aueur : Pierre Lux - cours élève- page /5

2 2 ) FONCTION D ÉRIVABLE NOMBRE D ÉRIVÉ Soi f une foncion définie sur un inervalle ou sur une réunion d inervalles deux à deux disjoins e a D f. Dire que la foncion f es dérivable en a e que le nombre dérivé de f en a es le réel L, revien à dire que le aux de variaion de f en a,, adme pour limie finie L quand end vers 0. Le nombre dérivé es noé f ' a, e on a: f ' a =lim 0 f a f a Soi la foncion x 2 définie sur R e a un réel quelconque. 3) QUELQUES APPLICATIONS A ) TANGENTE EN UN POINT Un peu d inuiion Soi M le poin de C f d abscisse a. Le coefficien direceur de la droie AM es : Géomériquemen, la angene à C f au poin A se conçoi comme la droie «posiion limie» des sécanes AM lorsque M end vers A en resan sur la courbe. Si f es dérivable en a, la «posiion limie» de ces sécanes a pour coefficien direceur f ' a, e passe par A. f a f a A M a a Propriéé : Si f es dérivable en a, la courbe C f adme au poin A a ; f a une angene T de coefficien direceur f ' a. Une équaion de la angene en ce poin es: y = f a x a f a. Preuve : Cas pariculiers imporans: Si f ' a = 0, C f adme au poin d'abscisse a une angene parallèle à l'axe des abscisses (orizonale) d'équaion f a f a Si lim = ou, f n'es pas dérivable en a, mais C f adme une angene vericale d'équaion 0 Propriéé : B ) APPROXIMATION AFFINE LOCALE ( admis ) On di que f a f a es la meilleure approximaion affine de f a au voisinage de 0. Remarques : La disance MM mesure la valeur absolue de l erreur commise. Une aure droie passan par A fournirai une aure approximaion affine de f a, mais celle donnée par la angene es la meilleure. ( admis mais inuiif ) Le nombre dérivé de la foncion x 2 en un réel a es f ' a = 2 a Au voisinage de 0, on a donc a 2 a 2 2 a f a f a f ' a f a a A M M ' a Par exemple, 3,0² Dans ce cas il es possible de déerminer l erreur commise : elle es de Quelques exemples : Au voisinage de 0 : 2 2 ; 3 3 ; ; 2 Dérivaion - aueur : Pierre Lux - cours élève- page 2/5

3 C ) UN PEU DE PHYSIQUE : INTERPRÉTATION CINÉMATIQUE DU NOMBRE DERIV É Un mobile poncuel se déplace sur un axe. On noe d, la disance qu il a parcourue à l insan. (loi oraire) Comme vous l avez peu-êre vu en pysique, la viesse insananée du mobile à l insan o es la limie des viesses moyennes lorsque end vers 0. Il s agi du nombre dérivée en o de la foncion d. Aures domaines... : Le aux de variaion moyen de producion ). mesure en général la variaion moyenne d une grandeur sur un cerain inervalle ( débi moyen, coû Le nombre dérivé, lui, es une mesure insananée ( débi insanané, coû marginal ). 4 ) FONCTIONS DÉRIVÉES A ) DÉFINITION On di qu une foncion f es dérivable sur un inervalle I ( I D f ) si pour ou x apparenan à I, le nombre dérivé de f en x exise. La foncion dérivée de f sur I es la foncion, noée f ', qui, à ou x de I, associe le réel f x. Par abus de langage, on di que f ' es «la dérivée de f» Cee définiion s éend à une réunion d inervalles disjoins. Remarques : On appelle ensemble de dérivabilié de la foncion f, l ensemble sur lequel la foncion dérivée f ' es définie. Ce ensemble ( noé D f ) es oujours inclus dans D f. B ) DÉRIVÉES DE QUELQUES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE Foncion f Foncion dérivée f Ensemble de dérivabilié ) k k R f ' : x 0 R 2 ) x f ' : x R 3 ) x f ' : x 2 x Preuves : On coisi oujours, au voisinage de a e de elle sore que f a soi définie. ) Soi a R. f a f a Pour 0, on a = = k k Donc, pour ou réel a, f ' a = 0. 2 ) Soi a R. f a f a Pour 0, on a = Donc, pour ou réel a, f ' a =. 3 ) Si a 0. =0, donc lim =0. = a a = 0 =, donc lim = 0. ]0 ; [ Cee foncion n'es pas dérivable en 0 Si a= 0. Dérivaion - aueur : Pierre Lux - cours élève- page 3/5

4 5 ) OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES A ) SOMME, PRODUIT D représene un inervalle ou une réunion d inervalles disjoins. Propriéés : Soi u e v deux foncions dérivables sur D e k un réel, alors: Les foncions k u, u v e u v son dérivables sur D e: k u = k u (), u v = u v (2) e u v = u v u v (3). Si pour ou réel a de D, v a 0, les foncions v e u v Preuves : v ' = v ' v 2 (4), u u ' v v ' u v ' = (5). v 2 son dérivables sur D e: ) Soi a D. k u a k u a k u a k u a u a u a Pour 0, = = = k Donc lim = k u ' a 0, donc k u ' a = k u ' a pour ou a D. 2 ) Soi a D. u v a u v a u a u a v a v a Pour 0, = =. Donc lim =u ' a v ' a 0, donc u v ' a = u ' a v ' a pour ou a D. 3 ) 4 ) 5 ) Puisque u v =u, il suffi de se rapprocer des preuves 3) e 4)... v B) CONSÉQUENCES : de nouvelles formules à reenir Foncion f Foncion dérivée f Ensemble de dérivabilié x 2 f ' : x 2 x R x 3 f ' : x 3 x 2 R x n n N * f ' : x n x n R f ' : x R * x x 2 x 2 f ' : x 2 R * x 3 n x n N * f ' : x n R * x n Remarque : Pour x 0, on a x = x n = x m n, alors x ' = n xm ' =mx m = nx n = n x n Ainsi la formule de la dérivée de x n es vraie pour ou enier relaif n, en n oublian pas la condiion x 0 si n 0. Dérivaion - aueur : Pierre Lux - cours élève- page 4/5

5 C ) POLYNÔMES ET FONCTIONS RATIONNELLES Propriéés : Toue foncion polynôme es une somme de foncions dérivables sur R, donc es dérivable sur R. Toue foncion raionnelle es dérivable sur son ensemble de définiion. Soi P le polynôme défini sur R par P : x 3 x 3 5 x 2 x 3 P es une somme de foncions dérivables sur R, donc P es dérivable e pour ou réel x: Remarque : Si P es un polynôme de degré n 0, alors P ' es un polynôme de degré Soi f la foncion raionnelle défini par 2 x 2 x On peu écrire f = u v où u x = 2 x2 e v x = x On a v x =0 pour x =, donc D f =R\{}. u e v son dérivables sur R donc sur R \{}, donc f es dérivable sur R \{} e pour ou x, on a: f '= u ' v v ' u v 2, donc f ' u ' x v x v ' x u x x = v x 2 avec u ' x = 2 2 x = 4 x e v ' x = Donc f ' x = Dérivaion - aueur : Pierre Lux - cours élève- page 5/5