Chapitre VI TRIGONOMÉTRIE. Formules de symétries

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1 Chapitre VI TRIGONOMÉTRIE Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O; ı, j, U désigne le cercle trigonométrique et A est le point de coordonnées (;0. VI. Formules de symétries Soit x un nombre réel. M, M, M, M, M désignent respectivement les images de x, x, x, + x, x. Les formules suivantes se déduisent de façon immédiate de la figure?? Pr tt réel x, on a : cos( x = cos x cos( x = cos x cos( + x = cos x ( sin( x = sin x sin( x = sin x sin( + x = sin x ( cos x sin = sin x cos + x x = cos x sin = sin x ( + x = cos x ( Si de plus x n est pas multiple, on a : tan( x = tan x tan( x = tan x tan( + x = tan x (5 tan x = tan x tan + x = tan x (6

2 Première 9 / Lycée Pontus de Tyard M x cos x j M ( x sinx M(x cos x O sinx ı cos x M ( + x sinx M ( x FIGURE VI. Formules de symétries. VI. Valeurs remarquables La figure VI. se déduit de VI. et des valeurs remarquables établies en activités. Le tableau ci-desss s en déduit par lecture directe. x cos x 0 sin x x 6 cos x sin x

3 axe des tangentes axe des sinus axe des cosinus FIGURE VI. Valeurs remarquables. VI. VI.. Équations trigonométriques cos x = cosα THÉORÈME VI.. Soit α un nombre réel. cos x = cosα x = α + k x = α + k (k Z Remarque On peut aussi écrire : Première 9 / Lycée Pontus de Tyard

4 j M(α O cosα ı M( α FIGURE VI. Équation cos x = cos α cos x = cosα x α(mod x α(mod Exercice VI... Résdre dans R les équations suivantes et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique (unité graphique : cm. a. cos x =. ( b. cos x = cos x. Solution a. Résolvons l équation : On a : (E cos x = cos x = (E cos x = cos x = + k (k Z x = + k (k Z Les images des solutions sur le cercle trigonométrique sont représentées sur la figure VI.. { } { S = + k k Z } + k k Z. Première 9 / Lycée Pontus de Tyard

5 M j O ı ( M FIGURE VI. Images des solutions de (E b. Résolvons l équation : ( cosx = cos x (E On a : x = x + k (k Z (E x = x + + k (k Z x = + k (k Z x = + k (k Z x = + k (k Z x = + k (k Z Les images des solutions sur le cercle trigonométrique sont représentées sur la figure VI.5. Première 9 5/ Lycée Pontus de Tyard

6 M ( j M O ı ( M 7 ( M FIGURE VI.5 Images des solutions de (E { S = + k } { k Z + k k Z }. VI.. sin x = sinα THÉORÈME VI.. Soit α un nombre réel. sin x = sinα x = α + k x = α + k (k Z Remarque On peut aussi écrire : sin x = sin a x α(mod x α(mod Exercice VI... Résdre dans R et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique (unité graphique : cm : sin x =. Première 9 6/ Lycée Pontus de Tyard

7 Première 9 7/ Lycée Pontus de Tyard M( α sinα j M(α O ı FIGURE VI.6 Équation sin x = sin α Solution Résolvons l équation : sin x = (E ( On a : (E sin x = 0 ( ( sin x sin x + = 0 sin x = sin x = sin x = sin ( sin x = sin x = + k (k Z x = + k (k Z x = + k (k Z x = + + k (k Z

8 (E (E x = + k (k Z x = + k (k Z x = 7 + k (k Z x = 5 + k (k Z x = + (k (k Z x = + (k + (k Z x = + (k + (k Z x = + (k + (k Z M ( j M O ı ( M ( M FIGURE VI.7 Images des solutions de (E Or (k, (k +, (k +, (k + sont des entiers et réciproquement tt entier n est de la forme : k + r avec r {0;;;} ; en effet, k et r sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de n par ; Première 9 8/ Lycée Pontus de Tyard

9 Première 9 9/ Lycée Pontus de Tyard donc : (E x = + n (n Z { S = + n n Z }. Les images des solutions sur le cercle trigonométrique sont représentées sur la figure VI.7. Exercice VI... Résdre dans R et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique (unité graphique : cm : sin x =. Solution On sait que pr tt réel, x : sin x. Donc : S =.

10 Première 9 0/ Lycée Pontus de Tyard

11 Chapitre VII Produit scalaire VII. Activité introductive EXERCICE I. A, B, C sont trois points et a, b, c désignent respectivement les distances : BC ; CA ; AB. Partie A Extension du théorème de Pythagore. Faire une figure et calculer, AB + AC BC, dans chacun des cas suivants. a. (a,b,c = (,, b. (a,b,c = (5,, c. (a,b,c = (6,,. Dans cette question, aucune justification n est attendue. ABC est un triangle. On cherche à étendre le théorème de PYTHAGORE. Que peut-on dire (en terme de signe de, AB + AC BC, dans chacun des cas suivants. a. Lorsque BAC est aigu. b. Lorsque BAC est droit. c. Lorsque BAC est obtus. Partie B Avec le projeté orthogonal

12 Au lycée, un scalaire est un nombre réel. Le produit scalaire de deux vecteurs est un procédé qui à deux vecteurs u et v associe un nombre noté, u v, défini par : u v = ( u + v v u. ( Dans le cas de vecteurs déterminés par deux points, il vient : AB AC =. u est un vecteur quelconque. a. Calculer : u u. ( AB + AC BC. b. Calculer : u 0.. Calculer AB AC dans les cas de la question B.... H désigne le projeté orthogonal de C sur (AB. Démontrer que : AB AC = AB AH. On prra faire une plusieurs figure et utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles HCA et HCB.. Que peut-on dire de, u v, lorsque : u v. 5. a. Démontrer que si AB et AC sont colinéaires et de même sens : AB AC = AB AC. b. Démontrer que si AB et AC sont colinéaires et de sens contraires : AB AC = AB AC. c. A, B, C sont trois points non alignés. Démontrer que : AB AC = AB AC cos BAC. On prra introduire H comme en B.. et distinguer les cas proposés en A... Partie C Expression dans une base orthonormée. Le plan est ( muni ( d un repère orthonormé direct (O; ı, j. x x On donne u et u y y. Exprimer u v en fonction de x, x, y, y.. a. Les nombres x, x, y, y dépendent-ils du repère (O; ı, j? b. Le nombre, xx + y y, dépend-il du repère (O; ı, j? Première 9 / Lycée Pontus de Tyard

13 Première 9 / Lycée Pontus de Tyard VII. Définitions et propriétés Dans le reste du chapitre, le plan est muni d un repère orthonormé direct (O; ı, j.