TRIGONOMÉTRIE (1/4) : CERCLE

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1 TRIGONOMÉTRIE (/) : CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE ET RADIAN Commentaire Dans un repère orthonormé d origine O, on considère le cercle de centre O et de rayon (appelé cercle trigonométrique) et la droite d d équation x = On enroule cette droite des réels sur le cercle À chaque point de la droite d d abscisse x correspond alors un point du cercle Exemple Le point H du cercle correspond entre autres au point de la droite d d abscisse Le point J du cercle correspond entre autres au point de la droite d d abscisse IOE = correspond entre autres au point de la droite d Le point E du cercle tel que ^ d abscisse Commentaire Puisque le périmètre du cercle est égal à, les points de la droite d d abscisses x, x +, x + et x, x, correspondent tous à un même point sur le cercle trigonométrique IOM l abscisse x du point N associé au point M Définition : On appelle mesure en radian de l angle ^ IOE = = rad Exemple ^ IOM correspond à la longueur de l arc IM Commentaire Lorsque x, la mesure en radian de l angle ^ Commentaire Une mesure en radian n est pas unique : x rad = x + rad = x + rad = = x rad = x rad = Pour le montrer clairement, on peut noter une mesure ainsi : x rad ( ) Commentaire Une mesure en radian peut être négative : les angles sont «orientés» Exemple Le tableau suivant est un tableau de proportionnalité Mesure en radian Mesure en degré Commentaire L unité peut être omise : ( ) = rad ( )

2 TRIGONOMÉTRIE (/) : CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE ET RADIAN Exercice Dans un repère orthonormé (O ; i, J), on considère le cercle de centre O et de rayon, appelé «cercle trigonométrique», ainsi que la droite des réels d On enroule la droite sur le cercle Les points marqués sur le cercle correspondent à des partages du cercle en / Quel est le périmètre du cercle? IOH en degré et expliquer Donner la mesure de l angle ^ pourquoi le point H du cercle correspond entre autres au point de la droite d d abscisse IOJ en degré et expliquer Donner la mesure de l angle ^ pourquoi le point J du cercle correspond entre autres au point de la droite d d abscisse IOE = Expliquer pourquoi le point E du cercle tel que ^ correspond entre autres au point de la droite d d abscisse IOD en degré et trouver 5 Donner la mesure de l angle ^ l abscisse d un point de la droite d correspondant au point D Même question avec les points F, G, M et N Exercice On considère un repère orthonormé (O, I, J) et le cercle trigonométrique de centre O Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondants aux nombres réels suivants : 5 7 Exercice Donner la mesure en radians des angles suivants, sous la forme d une fraction de : 75, 5,,, 5, et,5 Donner l arrondi au dixième de radians des angles suivants :, et 7 Donner la mesure en degré des angles suivants : ( ), ( ), ( ), ( ) et,75 ( ) Exercice Donner la mesure comprise entre et des angles suivants : 5 8, et

3 TRIGONOMÉTRIE (/) : ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS, MESURE PRINCIPALE Définitions : Soient un repère orthonormé direct (O; i, j ), u un vecteur non nul et M le point du cercle trigonométrique tel que le vecteur u OM est colinéaire et de même sens que Le couple ( i, u ) est appelé angle orienté de vecteurs Si M est associé au réel x, la mesure de l angle orienté ( i, u) est x Définitions : Soient un repère orthonormé direct (O; i, j ), u et v deux vecteurs non nuls, M et N les points du cercle trigonométrique tels que OM et ON sont colinéaires et de même sens que u et v Le couple ( u, v ) est appelé angle orienté de vecteurs Si M est associé eau réel x et si N est associé au réel y, la mesure de l angle orienté ( u, v ) est y x Définition : La mesure principale d un angle orienté est la mesure appartenant à ] ; ] Exemple Trouver la mesure principale d un angle orienté dont une mesure en radian est (arrondir à l unité) Donc cette mesure est proche de 7 tours de cercle = = = La mesure principale d un angle de mesure 5 est donc Théorème : Soient u, v et w trois vecteurs non nuls ( u, v ) + ( v, w ) = ( u, w ) (Cette égalité est appelée relation de Chasles pour les angles orientés) ( v, u) = ( u, v ) ( u, v ) = ( u, v ) + = ( u, v ) u et v sont colinéaires et de même sens si et seulement si ( u, v ) = u et v sont colinéaires et de sens contraire si et seulement si ( u, v ) = Commentaire Le sens direct (appelé aussi «sens trigonométrique») est le sens inverse des aiguilles d une montre Exemple ABC est un triangle équilatéral de sens direct Déterminer la mesure principale des angles orientés ( AC), ( AC) et ( BC, AB) ABC est un triangle équilatéral direct donc ( AC) = = ( AC) = ( AC) = = ( BC, AB) = ( BC, BA ) + ( AB) = + =

4 TRIGONOMÉTRIE (/) : ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS, MESURE PRINCIPALE Exercice 5 Donner la mesure principale des angles, et Exercice ABCD est un carré de sens direct et de centre I Déterminer la mesure principale des angles ( IA, IB), ( IB, CI) et ( CD, BI) Exercice 7 ABCD est un carré de sens indirect BIC et CDJ sont deux triangles équilatéraux de sens direct 5 Montrer que ( puis que ( DJ, DA) = AJ) = Montrer que ( BI) = et en déduire la mesure principale de ( AI, AB) puis celle de ( AI) Montrer que ( AI, AJ) = ( AJ) ( AI) et en déduire que A, I et J sont alignés Exercice 8 Sur la figure, les quadrilatères ABFG et CDEF sont des parallélogrammes de sens direct tels que ( AG) = et les triangles AGH et BCF sont équilatéraux et de sens direct Donner une mesure des angles ( AG, AH) et ( GF, CF) Prouver que (AB) et (AH) sont perpendiculaires Prouver que (AH) et (ED) sont parallèles

5 TRIGONOMÉTRIE (/) : SINUS ET COSINUS Définitions : Soient un repère orthonormé direct (O; i, j ), x un réel et M(xM ; ym) le point du cercle trigonométrique associé à x On appelle cosinus de x l abscisse de M : cos(x) = xm On appelle sinus de x l ordonnée de M : sin(x) = ym Commentaire Cette définition est cohérente avec la définition du sinus et du cosinus dans le triangle rectangle : elle la prolonge Commentaire Quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus doivent être connues x cos(x) sin(x) = = Théorème (angles associés) : Pour tout réel x, on a : cos(x) + sin(x) = cos(x) et sin(x) cos(x+ ) = cos(x) et sin(x+ ) = sin(x) (addition d un tour) cos( x) = cos(x) et sin( x) = sin(x) (angles opposés) cos(x+ ) = cos(x) et sin(x+ ) = sin(x) (addition d un demi tour) cos( x) = cos(x) et sin( x) = sin(x) cos x + = sin(x) et sin x + = cos(x) (angles supplémentaires) ( ) ( ) cos x = sin(x) et sin x = cos(x) ( ) ( ) (addition d un quart de tour) (angles complémentaires) Commentaire Ces résultats doivent pouvoir être retrouvés à l aide du cercle trigonométrique ( ) et sin ( ) cos ( ) = cos ( ) = cos = cos = ( ) ( ) donc : cos ( ) = Exemple Calculer cos sin = sin = ( ) ( ) donc : sin = ( ) Théorème (équations trigonométriques) : Pour tous réels a et x : cos(x) = cos(a) x = a + k ou x = a + k, k entier relatif sin(x) = sin(a) x = a + k ou x = a + k, k entier relatif Commentaire La mémorisation de ce théorème doit s appuyer sur le cercle trigonométrique Exemple Résoudre dans IR : cos(x) = cos(x) = cos(x) = cos ( ) Donc, les solutions de l équation sont les nombres de la forme { S= + k (k ℤ ) et les nombres de la forme + k (k ℤ ) + k ; + k } avec k ℤ

6 TRIGONOMÉTRIE (/) : SINUS ET COSINUS Exercice 9 Trouver les valeurs exactes du cosinus et du sinus des réels donnés 5,, et,, et,, et 5,, et Exercice Résoudre dans IR les équations trigonométriques suivantes : cos(x) = cos(x) = sin(x) = sin(x) = cos(x) = cos(x) = sin(x) = Exercice Résoudre dans IR les équations trigonométriques suivantes : cos(x) + = sin x + = ( ) Exercice Montrer que, pour tout réel x, on a : (cos x + sin x) + (cos x sin x) = Montrer que, pour tout réel x, on a : (cos x + sin x) (cos x sin x) = cos x sin x Exercice Résoudre dans IR : cos x cos x + = sin(x) =