Thème 10 : Fonctions (2) Ordre et inéquations

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1 Thème 0 : Fonctions (2) Ordre et inéquations I- Qu est-ce qu une fonction affine? a) Des exemples : Différentes formules pour des tickets de bus : Situation : Benjamin paie 0,75 chaque ticket : Nombre de tickets Montant total des dépenses,5 3,75 7,5,25 5 a)complète le tableau b)y a-t-il proportionnalité entre la première et la deuxième ligne? Oui, le coefficient est 0,75 c) Si x désigne le nombre de tickets, exprime en fonction de x le montant total de la dépense :0,75 x d) Ce qu il faut retenir le procédé qui à x associe le montant total des dépenses est une fonction affine linéaire. Situation 2 : Chaque mois pour prendre le bus, Cyril achète une carte d abonnement de 0 et paie chaque ticket 0,5. Nombre de tickets Prix des tickets 2,5 5 7,5 0 Montant total des 2,5 5 7,5 20 dépenses a. complète le tableau b. Y a-t-il proportionnalité entre la première et la deuxième ligne? Oui, le coefficient est 0,5 c. Y a-t-il proportionnalité entre la première et la troisième ligne? Non car on a joute 0. d. Si x désigne le nombre de tickets, exprime en fonction de x le montant total de la dépense : 0,5 x + 0 e. Ce qu il faut retenir le procédé qui à x associe le montant total des dépenses est une fonction affine. Situation N 3 : Chloé a choisi de prendre une carte à 30 pour le mois et elle prend le bus autant qu elle veut : Nombre de tickets Montant total des dépenses a)complète le tableau b)y a-t-il proportionnalité entre la première et la deuxième ligne? Non, le prix ne change pas ; il est constant.

2 c) Si x désigne le nombre de tickets, exprime en fonction de x le montant total de la dépense : 0 x + 0 Le prix ne dépend pas de x. d) Ce qu il faut retenir le procédé qui à x associe le montant total des dépenses est appelée fonction affine constante. b) Définition : a et b étant deux nombres fixés x a x a x b x + b est une fonction affine x est une fonction affine linéaire (b=0) situation de proportionnalité est une fonction affine constante (a=0,le résultat ne dépend pas de x) c) Reconnaître une fonction affine par son expression algébrique Exemples : A un nombre x, j associe le périmètre d un carré de côté (x + 2) : x 4(x + 2)=4x + 8 est une fonction affine avec a= 4 et b= 8. A un nombre x, j associe l aire d un carré de côté x : x x ² n est pas une fonction affine A un nombre x, j associe le périmètre d un triangle équilatéral de côté x x 3 x est une fonction affine linéaire avec a= 3 A un nombre x, j associe le nombre 3. x 3 est une fonction affine constante b= 3

3 II- Calculer une image, un antécédent : Exemples : Différentes présentations : Calcul ou tableau INFO. La fonction f telle que : x 2x 3 f(5)= 2x5 3 =7 L image de 5 est 7. f(-2)=2x(-2) -3=(-7) L image de (-2) est (-7) est une fonction affine avec a = 2 et b = - 3 L antécédent de 0 est le nombre x tel que 2x 3 = 0 donc x =,5 2. Soit g la fonction telle que : x a 3x + 2 est une fonction affine a= (-3) et b = 2 x * antécédents g ( x ) Images * on cherche x tel que 3x+ 2 = - 3- Soit l(y) = 5y c est une fonction affine linéaire a= 5 et b= 0 y ,5 0 antécédents 5y ,5 50 Images Tableau de proportionnalité 4- Soit c(y)= 5 est une fonction affine constante a= 0 et b = 5 y ,5 0 antécédents Images III- Représentation graphique d une fonction affine : Propriétés admise : N : Toute fonction affine est représentée par une droite. - Toute fonction affine linéaire est représentée par une droite qui passe par l origine - Toute fonction affine constante est représentée par une droite parallèle à l axe des abscisses.

4 Exemple : Représenter graphiquement la fonction affine f : x α 2x 3 Il faut un tableau de valeurs x 0 2 INFO 2 x - 3 2x0-3 = -3 2 x2 3 = On place le point A ( 0 ; -3 ) et le point B ( 2 ; ) Ordonnée à l origine = (-3) Coefficient Directeur (+2)

5 Exemple 2 : La représentation graphique de la fonction linéaire f : x 3x est la droite passant par O(0 ;0 ) et par le point A( 2 ; - 6 ) Il faut un tableau de valeurs INFO x 0 2 f(x) 0-6 On dit que :. (-3 )est le coefficient directeur de la droite est l ordonnée à l origine Exemple 3 : La représentation graphique de la fonction constante c : x 3 est la droite passant par A(0 ;-3 ) et par le point B( 4 ; - 3 ) Il faut un tableau de valeurs INFO x 0 4 f(x) -3-3

6 IV- Allure de la droite : a) Lire sur le graphique le coefficient directeur de la droite : Cas ou le coefficient directeur est négatif : a 0 On considère la fonction f définie par : f : x 2x La droite (d) est la représentation graphique de la fonction f. (d) y+ 2 B Le coefficient directeur de la droite (d) est : 2 2 Soit A un point quelconque de la droite (d). y A Si on augmente de son abscisse et si on augmente de 2 son ordonnée, on obtient les coordonnées d un nouveau point B de la droite. 0 x x + Cas ou le coefficient directeur est négatif : a < 0 On considère la fonction f définie par : g : x α 2, 5x La droite (d ) est la représentation graphique de la fonction f. 0 (d') x x + Le coefficient directeur de la droite (d ) est : 2,5 Soit C un point quelconque de la droite (d ). y C - 2,5 Si on augmente de son abscisse et si on diminue de 2,5 son ordonnée, on obtient les coordonnées d un nouveau point D de la droite. y- 2,5 D

7 b) Imaginer l allure de la droite avant de la tracer (Après activité sur géogébra) Exercice n : Je te donne des fonctions affines, tu dois dessiner l'allure de la représentation graphique. Aide: est-ce une droite montante, descendante, horizontale, passant par, au-dessus, audessous de l'origine? x - x x - 3x - 5 x - 3x + 3 x 4 x 7x + 2 x 7x - 5 Exercice n 2 : On note x ax + b la fonction affine représentée par la droite d. Lire sur le graphique l ordonnée à l origine, déterminer le coefficient directeur puis la fonction affine. d d 0 0 Ordonnée à l origine est : 2 Ordonnée à l origine est : 0 Le coefficient directeur est : 0,5 Le coefficient directeur est : -,5 La fonction est : x a 0,5x + 2 La fonction est : x a,5 x Pour réviser le contrôle : Des problèmes de brevet : Deux exemples corrigés

8 Exemple : Un directeur de cinéma voulant attirer une clientèle plus importante réalise une affiche publicitaire avec le slogan suivant : «Clients fidèles, allez au cinéma à moitié prix!» Pour répondre à ce besoin, le cinéma propose : Un tarif normal à 7 Un tarif privilège à moitié prix à condition d acheter une carte de fidélité de 60 valable un an. Madame Lassalle décide de comparer ces deux propositions. Peux-tu l aider? Première partie :. Quelle sera la dépense en euros de Madame Lassalle pour assister à 0 séances au tarif normal, au tarif privilège? Madame Lassalle va dépenser avec le tarif normal 0 x 7=70 et ,5 x 0 = 95 pour le tarif privilège. 2. Quelle sera la dépense en euros de Madame Lassalle pour assister à 2 séances au tarif normal, au tarif privilège? Madame Lassalle va dépenser avec le tarif normal 2 x 7=84 et ,5 x 2 = 02 pour le tarif privilège. Peux-tu conclure? On ne peut pas conclure. Deuxième partie :. Complète le tableau suivant : Nombre de séances Prix tarif NORMAL Soit x le nombres de séances exprime en fonction de x le prix à payer avec le tarif normal x a 7x 3. A partir du tableau représente graphiquement sur papier millimétré cette fonction. En abscisse : le nombre de séances cm représente une séance En ordonnée : le prix : cm représente 0 Que remarques-tu? Les points sont alignés ; la droite passe par l origine.. Complète le tableau suivant : Nombre de séances Prix tarif PRIVILEGE 67, ,5 2. Soit x le nombres de séances exprime en fonction de x le prix à payer avec le tarif normal x a 3, 5x Dans le même repère représente graphiquement cette fonction 4. Ecris tes remarques Les points sont alignés ; la droite ne passe pas par l origine.

9 5. Réponse au problème : Pour résoudre il faut prolonger les droites : A partir de 8 séances, le tarif privilège est plus avantageux. Exemple 2 : Problème Type questions enchaînées Partie A : Soit ( C ) le cercle de diamètre [RM] avec RM = 0 cm et RT = 6 cm. Démontrer que RTM est un triangle rectangle 2. Démontrer que TM = 8 cm. Partie B : Soit S un point de [RT] et H un point de [RM] tel que (SH) et (TM) soient parallèles. On pose RS = x. Donner un encadrement de x Démontrer que RH = x et que SH = x Exprimer en fonction de x, le périmètre du triangle RSH.

10 4. Démontrer que le périmètre du trapèze STMH est égal à 4 24 x 3 Partie C : On considère les fonctions affines 4 f : x a 4 x et g : x a 24 x 3. Calculer f(0) ; f(6) ;g (0) ; g (6). 2. Sur une feuille de papier millimétré, représenter graphiquement f et g Origine du repère en bas à gauche cm représente unité sur les axes 3. Déterminer en résolvant une équation la valeur de x pour laquelle f(x) = g (x). 4. Retrouver graphiquement ce résultat (faire apparaître les pointillés sur le graphique ) 5. Que représente la solution de l équation f(x) = g (x) pour la partie B du problème? Corrigé : Partie A :. T est sur le cercle de diamètre [RM] donc RMT est un triangle rectangle en T. (Propriété : Un triangle inscrit dans u cercle et ayant pour côté un diamètre est un triangle rectangle. ) 2. Dans le triangle RTM rectangle en T, d après le théorème de Pythagore,on a : RT ² + TM ² = RM ² donc 36 + TM ² = 00 donc TM ² = 64 donc TM = 8 cm Partie B :. 0 x 6 2. Les droites (SH) et (TM) sont parallèles, les droites (TS) et (MH) sont sécantes en R donc d après le théorème de Thalès on a : RS RH SH = = On remplace RS par x... RT RM TM x RH SH = = donc RH = x = x et SH = x = x et Périmètre du triangle RST = x + x + x = x + x + x = x = 4x Périmètre du trapèze STMH= ST + TM + MH + SH 5 4 Périmètre du trapèze STMH= 6 x x + x Périmètre du trapèze STMH= 24 x x + x Périmètre du trapèze STMH= 24 x 3

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