Protéodies. Octobre 2012

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1 Protéodies Octobre 2012 (I) Modèle de Bohr (1) Modèle de l hydrogène (a) Postulat mécanique (b) Postulat optique (c) Emission et absorption (2) Cas des hydrogénoïdes (II) Introduction au modèle de Sternheimer (1) Un peu de physique des ondes... (2) Concepts quantiques (a) Aspect corpusculaire de la lumière (b) L hypothèse de De Broglie : la dualité onde-corpuscule (c) Fréquence propre d une particule (III) Synthèse des protéines (1) Phénomènes vibratoires lors de la traduction (a) Stabilisation d un acide aminé (b) Lien avec la fréquence propre (2) Adaptation acoustique des fréquences (a) Correspondance acoustique des acides aminés (b) Cohérence avec la formule de Planck-Einstein 1

2 (I) Modèle de Bohr (1) Modèle de l hydrogène (a) Postulat mécanique Le modèle de Bohr est un modèle dit planétaire de l atome d hydrogène puisqu il considère un électron ponctuel e se déplaçant sur une orbite circulaire autour du noyau, proton de charge +e. e +e Postulat : L électron d un atome d hydrogène n occupe que certaines orbites circulaires caractérisées par m e rv = n. On nomme ici : m e r v n constante de Planck réduite masse de l électron rayon de l orbite norme de la vitesse de l électron entier naturel non nul N.B. L entier n caractérise la quantification des orbites accessibles. On parle alors de l état n. Remarque : m e rv est identifiable au moment cinétique en mouvement circulaire dudit électron ; il caractérise sont mouvement de rotation autour du proton. On peut alors montrer que le rayon correspondant à l état n vérifie : r n = n 2 a 0. Ici, a 0 désigne le rayon de Bohr valant 0, 5 Å = 0, m. Plus précisément : a 0 = ε 0h 2 πm e e 2 Ordres de grandeur. constante de Planck h = 2π charge élémentaire e masse d un électron m e permittivité du vide ε 0 6, J.s (m 2.kg/s) 1, C 9, kg 8, F/m

3 (b) Postulat optique Postulat : L atome d hydrogène rayonne ou absorbe de l énergie électromagnétique seulement lors d un changement d état (i.e. un changement d orbite). On quantifie de même l énergie de l électron en fonction de son état n : E n = E 0 n 2 Où E 0 est l énergie de première ionisation de l hydrogène, c est-à-dire l énergie minimale à fournir à un atome d hydrogène dans son état fondamental pour diffuser son électron. Plus précisément, on a : E E 0 = e2 8πε 0 a 0 13, 6eeV états de diffusion 0 E 0 états liés L énergie E n correspond à l énergie minimale à fournir à un électron se trouvant sur l orbite n pour le diffuser à l infini. Une ionisation correspond au passage d un état lié à un état de diffusion. (c) Emission et absorption Dans notre modèle, une émission ou une absorption entre deux états stables implique un saut entre deux niveaux d énergie (i.e. entre deux orbites). Lors d une absorption, l électron passe d une énergie E 1 à une énergie E 2 supérieure. La variation d énergie E s écrit donc E 2 E 1 et est positive. Cette variation correspond à l énergie qui est transportée par une onde électromagnétique (dans le modèle ondulatoire) de fréquence ν, et telle que : E = hν. E 2 hν E 1 Lors d une émission il en est de même, E étant toujours donné positivement.

4 (2) Cas des hydrogénoïdes L objet de ce paragraphe est d étendre le modèle de Bohr au atomes (ions) qui ne comportent qu un seul électron, mais plusieurs protons. Si l on considère ainsi toujours un seul électron e, la charge du noyau n est plus de +e mais de +Ze, où Z est le numéro atomique de l élément hydrogénoïde. On est donc amené à remplacer dans les formules e 2 par Ze 2. D où, dans ce cas : r n = n2 Z a 0, E n = Z2 n 2 E 0

5 (II) Introduction au modèle de Sternheimer (1) Un peu de physique des ondes... Dans le cas des ondes planes progressives monochromatiques (OPPM), on peut modéliser une onde par une fonction f à la fois variable du temps t et de l espace x (ici, unidimentionnel) : f(x, t). 0 x f(x,t) x Or, on remarque que la déformation en x à la date t est celle qu il y a eu en x = 0 à la date t x/c, où c est la célérité de l onde. Et ce, pour tout t. On peut donc décrire une OPPM comme une fonction à un seul argument : f(x, t) = f(0, t x c ) = f(t x c ) Par définition de la longueur d onde λ = ct = c/ν et de la pulsation ω = 2πν, on a : t x c = t x νλ = t 2π ωλ x En multipliant par ω, on obtient f comme fonction de ωt (2π/λ)x. On définit le vecteur d onde k comme étant le vecteur de norme k = 2π/λ et dirigé par le vecteur directeur de la direction de propagation de l onde. Et finalement : f(x, t) = f(ωt kx) Le vecteur d onde contient donc l information de la direction et du sens de propagation spatiale de l onde, ainsi que l analogue de la pulsation temporelle ω qui serait une sorte de pulsation spatiale, caractérisant la longueur d onde λ.

6 (2) Concepts quantiques (a) Aspect corpusculaire de la lumière La lumière peut être décrite comme une onde électromagnétique de pulsation ω et de vecteur d onde k. Parallèlement, elle peut être décrite comme composée de particules appelées photons dont les caractéristiques sont les suivantes : sa masse est strictement nulle sa charge électrique est strictement nulle son énergie : E = hν = ω sa quantité de mouvement : p = k Cette dernière égalité montre la dualité onde-corpuscule. En effet, la quantité de mouvement p a une signification mécanique (analogue à m v en mécanique classique), alors que k a une signification ondulatoire. (b) L hypothèse de De Broglie : la dualité onde-corpuscule Si la lumière peut être décrite de manière ondulatoire et corpusculaire, c est-à-dire se voir définie comme une onde électromagnétique ou comme une particule photonique, il en serait de même pour toute particule matérielle. De Broglie fait alors cette affirmation que toute matière possède une onde associée. Comment trouver alors la longueur d onde d une bille qui se déplace?! Eh bien la relation entre sa quantité de mouvement et son vecteur d onde est la même que pour le cas du photon. Seule la définition de la quantité de mouvement diffère. On peut alors proposer une définition de la constante de Planck : h = λp, où p est la norme du vecteur quantité de mouvement. On en tire que : λ = h p Dans notre cas, la masse de la bille est très grande devant h. Ainsi, sa quantité de mouvement p = mv (m sa masse et v sa vitesse) est très grande devant h, se qui implique une longueur d onde infime. Cela justifie que nous ne puissions pas voir le comportement ondulatoire de la bille. En revanche, pour un électron il en est tout autrement! Par exemple, les microscopes électroniques utilisent la diffraction des électrons, phénomène entièrement ondulatoire. Lien avec le modèle de Bohr. De Broglie arrive alors à retrouver le modèle de Bohr sous une autre forme : l orbite d un électron dans un état n a pour circonférence l = nλ. En effet, ceci permet de retrouver le moment cinétique m e r n v de l électron :

7 l = nλ = 2πr n = nλ, d où r n = n k Or, p = k. Donc r n = n p, sans oublier que p = m ev Finalement, m e r n v = n. Ainsi, lorsque Bohr propose son modèle planétaire, en considérant donc l électron comme une particule au sens mécanique, il est loin de se douter que le calcul du moment cinétique qu il a été amené à faire renferme le fondement de toute la vision quantique de la matière, à savoir que le petit électron en question est aussi une onde... On comprend pourquoi, vers l infiniment petit, les lois de la mécanique classique sont totalement inappropriées. (c) Fréquence propre d une particule C est ainsi que Sternheimer empreinte la définition de ce qu il appelle la fréquence propre de vibration. Il utilise en effet un résultat de De Broglie : la relation de Planck- Einstein selon laquelle hν 0 = mc 2. Ici, ν 0 est appelée fréquence propre de la particule de masse m, et c correspond à la célérité de la lumière dans le vide. Remarque. Sternheimer précise qu en effet la fréquence propre est proportionnelle à la masse de la particule (au repos). De ce fait, Sternheimer identifie facilement la masse d une particule à sa fréquence propre, les deux termes devant pour lui de parfaits synonymes. Son idée consiste ensuite à ramener cette fréquence dans le domaine audible dans un soucis de modélisation acoustique des particules.

8 (III) Synthèse des protéines (1) Phénomènes vibratoires lors de la traduction (a) Stabilisation d un acide aminé Lors de la traduction, le ribosome ayant reçu l ARNm est amené à construire au fur et à mesure la chaîne peptidique correspondante via les ARNt. Ces derniers assurent l assemblage stable de la chaîne peptidique. Cela impose donc à chaque acide aminé, lors de son ajout (i.e. de sa fixation à la partie déjà assemblée), d être dans un état de grande stabilité. Bien entendu, c est l énergie de la molécule qui détermine sa stabilité. Et étant donné que l énergie garantissant une stabilité idéale correspond à celle que la molécule a quand elle est théoriquement isolée et au repos (nous la nommerons E), c est elle qu il faut approcher. Or, d après la théorie de la relativité restreinte d Einstein, E = mc 2, où m est la masse de l entité considérée. (b) Lien avec la fréquence propre Or, comme nous l avons vu, la loi de Planck-Einstein nous donne : ν 0 = c2 h m Interprétation : Nous avons vu que toute matière possédait un comportement ondulatoire, avec une onde associée caractérisée par une fréquence propre ν, qui dépend donc de son énergie (i.e. de son excitation). Ainsi, un acide aminé qui est assemblé voit sa fréquence propre tendre vers ν 0, fréquence propre théorique lorsque l acide aminé est dans son état le plus stable. On peut alors envisager que l acide aminé en question entre dans une phase ondulatoire de fréquence très proche de ν 0. En d autres termes, l acide aminé devient la source d une onde mécanique de fréquence ν 0. C est ce que Sternheimer a observé puis mesuré. Il a ainsi relevé les fréquences correspondantes à la mise en place de chaque acide aminé (cf. paragraphes suivants). Mais par ailleurs, l équation fonctionne dans les deux sens. En imposant au milieu cellulaire la fréquence ν 0 propre à un acide aminé, on favorise sa stabilité et donc son

9 assemblage au peptide en cours de synthèse. On peut donc envisager une synthèse bien plus efficace. Au contraire, si la fréquence imposée correspond à un état peu stable, excitant trop l acide aminé en question, son assemblage sera beaucoup plus compliqué (voire impossible) et la production du peptide inhibée. (2) Adaptation acoustique des fréquences (a) Correspondance acoustique des acides aminés Si on calculait la valeur des fréquences propres ν 0, on s apercevrait qu elles ne correspondent pas au domaine audible. Néanmoins, compte-tenu qu une note est définie modulo un nombre d octaves, on peut se ramener à des fréquences audibles. C est ce qu a fait Sternheimer. Il a ensuite testé ces fréquences transposées dans le domaine audible et a observé qu elles stimulaient (ou inhibaient) de la même manière. Ceci nous permet alors d associer à chaque acide aminé une note de musique. Etant donné qu une chaîne peptidique est une succession d acides aminés, on comprend que l on peut associer à une telle chaîne une vraie partition qui retrace la mise en place successive des acides aminés. Tout ceci donne alors naissance à des mélodies qui agissent sur la synthèse des protéines, ainsi appelées protéodies. Sternheimer a établi les correspondances suivantes : Gly Ala Ser Pro Leu Gln His Sec Arg Trp Val Ile Lys Phe Tyr Thr Asn Glu Cys Asp Met (b) Cohérence avec la formule de Planck-Einstein S il s agit bien de notes issues par transposition dans le domaine audible à partir des fréquences propres, la fréquence de ces notes doit être d autant plus grande que la masse de l acide aminé est importante. On a donc rassemblé dans un tableau les données relatives aux acides aminés qui nous intéressent.

10 Acide aminé Masse molaire (g/mol) Correspondance acoustique (Hz) Note Gly La Ala ,6 Do Ser ,6 Mi Pro 115 Val ,2 Fa Thr 119 Cys 121 Leu 131 Ile Sol Asn 132 Asp 133 Gln 146 Lys La Glu 147 Met 149 His ,7 Si bémol Phe ,9 Si bécarre Sec 168 Arg ,3 Do Tyr 181 Trp ,3 Re On remarque alors que les fréquences des notes associées sont d autant plus importantes que les masses molaires sont élevées. Et plus précisément, on peut vérifier que le rapport ν 0 /m mol est approximativement constant : en effet, pour tous les acides aminés étudiés, 2, 87 v 0 m mol 3, 14 Les résultats sont confortants, compte-tenu de l incertitude des mesures et le fait que les acides aminés ne fassent qu approcher la valeur théorique ν 0.

11 En effectuant une régression linéaire, on obtient le rapport moyen ν 0 /m mol 2, avec un coefficient de corrélation de 0, Conclusion Dans cette étude de l influence de vibrations sonores sur la synthèse des protéines (chez les végétaux en particulier), les concepts les plus fondamentaux de physique des ondes et de mécanique quantique nous donnent des explications probantes, car corroborées par des mesures cohérentes.