SYSTEMES D EQUATIONS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "SYSTEMES D EQUATIONS"

Transcription

1 SYSTEMES D EQUATIONS I Définition: Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y est de la forme : a x + b y = c a' x + b' y = c' où a, b, c, et a', b', c' sont des nombres donnés. Exemple: 2x 3y = 5 x 2y = 1 Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, c'est trouver tous les couples ( x ; y ) pour lesquels les deux équations sont vérifiées simultanément, c'est à dire en même temps. Remarque: En classe de 3 ième, tous les systèmes étudiés ont un seul couple solution. II Résolution d'un système de deux équations à deux inconnues: 1) Vérifier qu'un couple est solution d'un système. Exemple: Les couples ( 7 ; 3 ) et ( 1 ; 1 ) sont-il solutions du système? 2x 3y = 5 x 2y = 1 le couple ( 7 ; 3 ) est-il solution? = 5 donc ( 7 ; 3 ) est solution de la 1 ère équation = 1 donc ( 7 ; 3 ) est solution de la 2 ième équation Ainsi le couple ( 7 ; 3 ) est solution du système. 74

2 Le couple ( 1 ; 1 ) est-il solution? ( 1 ) = 5 donc ( 1 ; 1 ) est solution de la 1 ère équation 1 2 ( 1 ) = 3 (différent de 1) donc ( 1 ; 1 ) n'est pas solution de la 2 ème équation Ainsi le couple ( 1 ; 1 ) n'est pas solution du système. Remarque: Dans un couple de nombres ( x ; y ), l'ordre des termes est important. Ex: ( 7 ; 3 ) est solution du système mais pas ( 3 ; 7 ). 2) Résolution d'un système de deux équations à deux inconnues a) Méthode d'élimination par substitution: Exemple: Résoudre le système: x + 3y = 10 (1) 3x + 5y = 18 (2) N 1: Pour résoudre un système par substitution, on exprime y en fonction de x ou x en fonction de y dans l'une des deux équations. Parmi ces quatre possibilités, on choisit celle qui rend les calculs les plus simples. Dans l'exemple, le coefficient de x dans la première équation est 1, on choisit donc d'exprimer x en fonction de y dans cette équation. N 2: On réécrit le système en remplaçant dans l'autre équation l'inconnue choisie par l'expression obtenue à l'étape n 1. On obtient ainsi un système dont l'une des deux équations est une équation du premier degré à une inconnue. x + 3y = 10 3x + 5y = 18 x + 3y 3y = 10 3y 3x + 5y = 18 x = 10 3y 3x + 5y = 18 3 ( 3y + 10 ) + 5y = 18 3 ( 3y) y = 18 9y y = 18 75

3 N 3: On résout l'équation à une inconnue pour trouver la valeur de cette inconnue. 9y y 30 = y + 5y = 12 4y = 12 4y 4 x =10 3y y = 3 = 12 4 N 4: On remplace cette inconnue par sa valeur trouvée au n 3 dans l'équation à deux inconnues et on calcule la valeur de l'autre inconnue. x = y = 3 x = 1 y = 3 N 5: On vérifie le résultat = 10 donc ( 1 ; 3 ) est solution de la 1 ère équation = 18 donc ( 1 ; 3 ) est solution de la 2 ième équation N 6: On conclut Donc le couple ( 1 ; 3 ) est solution du système. b) Méthode d'élimination par combinaison. Exemple : Résoudre le système 2x + 3y = 5 5x + 4y = 16 76

4 N 1: On choisit l'inconnue que l'on veut éliminer puis on multiplie les deux membres de chacune des deux équations par des nombres choisis de façon à obtenir des coefficients de cette inconnue opposés dans chacune des deux équations. Dans l'exemple, on choisit d'éliminer x. Pour cela, on multiplie les deux membres de la 1 ère équation par 5 et ceux de la seconde par (-2). 2x + 3y = 5 5 5x + 4y = 16 (-2) On obtient: 2x 5 + 3y 5 = 5 5 5x (-2) + 4y (-2) = 16 (-2) 10x + 15y = 25 10x 8y = 32 N 2: On additionne membre à membre les deux équations du système obtenu On ajoute membre à membre: 10x 10x + 15y 8y = On a: 7y = 7 N 3: On résout l'équation à une inconnue pour trouver la valeur de cette inconnue 7y 7 = 7 7 d ou y = 1 N 4: On remplace cette inconnue par sa valeur trouvée au n 3 dans l'une des deux équations et on calcule la valeur de l'autre inconnue. N 5: On vérifie N 6: On conclut Dans la 1 ère équation, on obtient: 2x + 3 ( 1 ) = 5 2x 3 + 3= x = 8 2x 2 x = 4 = ( 1) = 5 donc ( 4 ; 1) est solution de la 1 ère équation ( 1) = 16 donc ( 4 ; 1) est solution de la 2 ième équation. Donc le couple ( 4 ; 1) est solution du système. 77

5 III Interprétation graphique d'un système 1 ) Représentation graphique des solutions d'une équation à deux inconnues. A chaque couple solution de l'équation ax + by = c, on peut associer un point de coordonnées (x ; y). L'ensemble de ces points est une droite. On obtient une équation de cette droite en exprimant y en fonction de x. Exemple: Les solutions de l'équation 2x 3y = 5 sont les coordonnées des points de la droite ayant pour équation y = 2 3 x 5 3 fonction de x. 2 ) Résolution graphique d'un système que l'on obtient en exprimant y en La solution d'un système de deux équations à deux inconnues correspond aux coordonnées du point d'intersection des deux droites associées aux deux équations. (D 1 ) Exemple: 2x y = 1 2x y + y 1 = 1 + y 1 2x 1 = y x + 2y = 4 x + 2y + x = 4 + x 2y = x + 4 y = 2x 1 soit y = 2x-1 2y 2 = x 4 2 x 0 1 y = 2x Pour x = 0, y = = 1 donc A 0; 1 D1 Pour x = 1, y = = 1 donc B 1;1 D1 (D 2 ) x 0 4 y = 1 2 x +2 y = 1 2 x Pour x = 0, y = = 2 donc C 0 ;2 D2 Pour x = 4, y= =2 donc E 4;4 D2 78

6 Sur le graphique, les droites (D1) et (D2) sont sécantes au point P(2 ; 3), donc le couple (2 ; 3) est solution du système. ATTENTION!!! Lors d'une résolution graphique, le résultat obtenu est souvent approché. IV Résolution d'un problème à l'aide d'un système de deux équations à deux inconnues. Exemple: Un cinéma propose deux tarifs d'entrée: l'un à 7, l'autre à 4,50 La vente de 227 tickets a donné une recette de Combien de tickets de chaque sorte ont été vendus? Solution : Choix des inconnues Soit x le nombre de tickets vendus à 7. Soit y le nombre de tickets vendus à 4,50. Mise en équation x + y = 227 7x + 4,5y = 1459 Résolution du système (méthode au choix) On obtient x = 175 y = 52 Vérification = ,5 52 = 1459 Conclusion Il y a eu 175 tickets vendus à 7 et 52 tickets vendus à 4,50. 79

RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES

RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES Sommaire 1 Méthodes de résolution... 3 1.1. Méthode de Substitution... 3 1.2. Méthode des combinaisons linéaires... 6 La rubrique d'aide qui suit s'attardera aux

Plus en détail

SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1 er DEGRÉ À DEUX INCONNUES RÉSOLUTION GRAPHIQUE

SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1 er DEGRÉ À DEUX INCONNUES RÉSOLUTION GRAPHIQUE FICHE DE PRÉSENTATION FICHE DE PRÉSENTATION FICHE DE PRÉSENTATION OBJECTIF(S) Résoudre graphiquement un sstème d'équations du premier degré à deux inconnues. EXPLICITATION Être capable à l'issue des travaux

Plus en détail

FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2031 CAHIER 1 ET CORRIGÉ

FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2031 CAHIER 1 ET CORRIGÉ FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 203 ET CORRIGÉ MAT 203 TABLE DES MATIÈRES I.0 ÉQUATIONS. Résoudre des équations... Exercice... 4 2.0... 5 2. Définir une inégalité... 5 Exercice 2... 7 2.2 Représenter graphiquement

Plus en détail

Résolution des équations linéaires à deux variables. Octobre 2012

Résolution des équations linéaires à deux variables. Octobre 2012 Résolution des équations linéaires à deux variables Dédou Octobre 2012 Equations à deux inconnues? Une équations à deux inconnues réelles c est quoi? Equations à deux inconnues! Une équation à deux inconnues

Plus en détail

x x² = y x -3-2 -1-0,5 0 0,5 1 2 3 y CHAPITRE 12 I. INTRODUCTION

x x² = y x -3-2 -1-0,5 0 0,5 1 2 3 y CHAPITRE 12 I. INTRODUCTION CHAPITRE 2 FONCTIONS I. INTRODUCTION Une fonction est «une machine à transformer des nombres». Par eemple, la fonction «carré» désigne la «machine» qui transforme les nombres en leurs carrés. Ainsi elle

Plus en détail

Le second degré. Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d un problème :

Le second degré. Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d un problème : Chapitre 1 Ce que dit le programme Le second degré CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Second degré Forme canonique d une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant.

Plus en détail

Dérivées et applications. Equation

Dérivées et applications. Equation Dérivées et applications. Equation I) Dérivée d une fonction strictement monotone 1) Exemples graphiques Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout I, (x) est le coefficient directeur de

Plus en détail

Équations - Inéquations - Systèmes

Équations - Inéquations - Systèmes Équations - Inéquations - Systèmes I Premier degré Propriétés Soit f définie sur IR par f(x = ax + b avec a 0. f est une fonction affine, elle est représentée graphiquement par une droite. a est le coefficient

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ TRINÔME DU SECOND DEGRÉ Définition On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur IR qui, à x associe f(x) = ax 2 + bx + c, a, b et c étant trois réels avec a 0. Exemple Les

Plus en détail

Université Paris-Est Val-de-Marne Créteil. Fiche 2 Résolution d équations

Université Paris-Est Val-de-Marne Créteil. Fiche 2 Résolution d équations Université Paris-Est Val-de-Marne Créteil DAEU-B Fiche 2 Résolution d équations 1 Une équation est une question Une équation correspond à une formulation mathématique de certaines questions. Elle se présente

Plus en détail

CHAPITRE 3 Repères, points et droites

CHAPITRE 3 Repères, points et droites CHAPITRE 3 Repères, points et droites A) Repères et coordonnées des points 1) Repères Pour représenter le plan en géométrie analytique, on a besoin de définir deux axes, qu'on appelle axe des abscisses

Plus en détail

4. Géométrie analytique du plan

4. Géométrie analytique du plan GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DU PLAN 35 4. Géométrie analytique du plan 4.1. Un peu d'histoire René Descartes (La Haye en Touraine, 31/3/1596 - Stockholm, 11/2/1650) La géométrie analytique est une approche de

Plus en détail

Équations et inéquations du 1 er degré

Équations et inéquations du 1 er degré Équations et inéquations du 1 er degré I. Équation 1/ Vocabulaire (rappels) Un équation se présente sous la forme d'une égalité constituée de nombres, de lettres et de symboles mathématiques. Par exemple

Plus en détail

Terminale STG Chapitre 1 : Droites Régionnement du plan - Optimisation à deux variables

Terminale STG Chapitre 1 : Droites Régionnement du plan - Optimisation à deux variables 1. EQUATIONS DE DROITES Toute droite du plan a une équation, non unique, de la forme ax + by = c, où a et b sont deux réels non nuls en même temps. Si b = 0, l équation est x = c c'est-à-dire de la forme

Plus en détail

EQUATIONS, INEQUATIONS

EQUATIONS, INEQUATIONS 1 sur 13 EQUATIONS, INEQUATIONS I. Résolution d équations Activité conseillée p126 activité1 : Notion d équation et d inéquation Activité conseillée p60 activité1 : Notion d équation et d inéquation -p140

Plus en détail

LYCEE VICTOR HUGO 3.3 Exercice 1 : (6 points) Partie A : Partie B : Partie C :

LYCEE VICTOR HUGO 3.3 Exercice 1 : (6 points) Partie A : Partie B : Partie C : LYCEE VICTOR HUGO 3.3 L attention est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l appréciation des copies. Exercice

Plus en détail

Pourcentages. Propriétés : a Augmenter une quantité de a % revient à multiplier sa valeur initiale par : 1+.

Pourcentages. Propriétés : a Augmenter une quantité de a % revient à multiplier sa valeur initiale par : 1+. Pourcentages A) Part pourcentage Soit E un ensemble à n éléments et A une partie de E ayant p éléments p Le pourcentage de A dans E est le nombre t tel que : t = n Exercice n 1 : Dans un lycée de 25 élèves,

Plus en détail

PROBABILITÉS Variable aléatoire

PROBABILITÉS Variable aléatoire PROBABILITÉS Variable aléatoire I Langage des événements Lors d'un oral de mathématiques, quatre questions sont proposées : une question de probabilités (P) ; une question de statistiques (S) ; une question

Plus en détail

5 JOURS DE BRADERIES le tee-shirt : prix unique x francs le jean : prix unique y francs. 4x + y = 1060-600,donc 5x + 2y = 680

5 JOURS DE BRADERIES le tee-shirt : prix unique x francs le jean : prix unique y francs. 4x + y = 1060-600,donc 5x + 2y = 680 Académies et années Méthode la plus appropriée Problème concret Substitution Combinaison Système donné Simplification d une Oui Non équation Bordeaux 00 x x Espagne 00 x x x Grenoble 00 x x Nancy 00 x

Plus en détail

TRAVAUX NUMERIQUES ( T.N. )

TRAVAUX NUMERIQUES ( T.N. ) TRAVAUX NUMERIQUES ( T.N. ) Unité T.N.1 : LES NOMBRES RELATIFS VOCABULAIRE ET DEFINITION E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 T N 1 0 1 Trouver l'opposé d'un nombre relatif T N 1 0 2 Trouver l'inverse d'un nombre relatif

Plus en détail

( ) = ax. On dit que f est une fonction linéaire. ( ) = b. On dit que f est une fonction constante.

( ) = ax. On dit que f est une fonction linéaire. ( ) = b. On dit que f est une fonction constante. Chapitre : Fonctions de référence I Fonctions affines Définition d'une fonction affine f est une fonction affine si, et seulement si, il existe deux réels a et b tels que pour tout x, f x ( ) = ax + b

Plus en détail

Le second degré. Table des matières

Le second degré. Table des matières Le second degré Table des matières 1 La forme canonique du trinôme 1.1 Le trinôme du second degré......................... 1. Quelques exemples de formes canoniques................. 1.3 Forme canonique

Plus en détail

Fonctions linéaires et affines

Fonctions linéaires et affines Fonctions linéaires et affines I. Fonctions linéaires 1/ Activités Première étape Revoyons d'abord, sur un exemple, en quoi consiste la proportionnalité. On considère pour cela un triangle équilatéral

Plus en détail

CUEEP Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 1/27

CUEEP Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 1/27 Problèmes du premier degré à une ou deux inconnues Rappel Méthodologique Problèmes qui se ramènent à une équation à une inconnue Soit l énoncé suivant : Monsieur Duval a 4 fois l âge de son garçon et sa

Plus en détail

Série d'exercices n 1 Calcul des Probabilités

Série d'exercices n 1 Calcul des Probabilités 1 Université Mohammed Premier Échantillonnage et Estimation Faculté de Droit S., El Melhaoui & M., Faizi ECG/Grp : A & B Semestre 3, 2014/2015 Série d'exercices n 1 Calcul des Probabilités Exercice 1 Lors

Plus en détail

Fonctions affines. exercices corrigés. 8 janvier 2012. Fonctions affines

Fonctions affines. exercices corrigés. 8 janvier 2012. Fonctions affines eercices corrigés 8 janvier 2012 Eercice 1 Eercice 2 Eercice Eercice 4 Eercice 5 Eercice 6 Eercice 7 Eercice 1 Enoncé Soit la fonction f : + 1 Représenter graphiquement la fonction f. 2 Donner le sens

Plus en détail

LA PROPORTIONNALITE Cycle 3 CM1-CM2

LA PROPORTIONNALITE Cycle 3 CM1-CM2 LA PROPORTIONNALITE Cycle 3 CM1-CM2 - Instructions officielles : Organisation et gestion de données : Construire et interpréter un tableau ou un graphique. Placer un point dont on connaît les coordonnées.

Plus en détail

Fonctions. Fonctions linéaires, affines et constantes

Fonctions. Fonctions linéaires, affines et constantes linéaires, affines et constantes 1. linéaires Comme il existe une infinité de fonctions différentes, on les classe par catégories. La première catégorie est constituée par les fonctions linéaires. Une

Plus en détail

Fonctions de référence

Fonctions de référence CLASSE : 2nde Durée approximative : 1 H DS 2N3 Correction Fonctions de référence EXERCICE 1 : / 4 points Difficulté : L'alcoolémie est le taux d'alcool présent dans le sang. Elle se mesure généralement

Plus en détail

2 nde CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE

2 nde CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE 2 nde CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES Exercice 1 : (4 points) 1. Compléter le tableau à double entrée ci-dessous. Elèves vaccinés Elèves non vaccinés Total Elèves ayant eu la grippe 14 133 147

Plus en détail

OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES

OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES Sommaire 1. Optimisation entre des bornes... 1 2. Exercice... 4 3. Optimisation sous contrainte à variables multiples... 5 Suite à une planification de la production, supposons

Plus en détail

ÉQUATIONS. Quel système!!!! PROBLÈMES À DEUX INCONNUES : - MISE EN ÉQUATIONS - RÉSOLUTION. Dossier n 3 Juin 2005

ÉQUATIONS. Quel système!!!! PROBLÈMES À DEUX INCONNUES : - MISE EN ÉQUATIONS - RÉSOLUTION. Dossier n 3 Juin 2005 ÉQUATIONS PROBLÈMES À DEUX INCONNUES : - MISE EN ÉQUATIONS - RÉSOLUTION 3 x + 5 y = 12 6 x + 4 y = 0 Quel système!!!! Dossier n 3 Juin 2005 Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Conçu et réalisé par

Plus en détail

2. Si x désigne le prix d un article, exprimer en fonction de x le prix de cet article après une baisse de 20%.

2. Si x désigne le prix d un article, exprimer en fonction de x le prix de cet article après une baisse de 20%. 3 ème REVISIONS BREVET EXERCICE 1 : Soit P = (x 2) (2x + 1) (2x + 1)² 1. Développer et réduire P. 2. Factoriser P. 3. Résoudre l équation (2x + 1) (x + 3) = 0 4. Pour x = 3, écrire P sous forme fractionnaire.

Plus en détail

Proportion. Évolution

Proportion. Évolution 1 Proportion. Évolution PROPORTION On considère un ensemble E contenant n éléments et A une partie de E contenant y éléments. La proportion p A des éléments de A par rapport à E est égale à : résumés de

Plus en détail

4N1. Nombres relatifs EST-CE QUE TU TE SOUVIENS?

4N1. Nombres relatifs EST-CE QUE TU TE SOUVIENS? 4N1 Nombres relatifs EST-CE QUE TU TE SOUVIENS? Remarque : pour pouvoir vraiment retenir comment on calcule avec les nombres relatifs, il est déconseillé d'utiliser une calculatrice ici. 1) Classe les

Plus en détail

Terminologie. La théorie des probabilités fournit des modèles mathématiques permettant l'étude des expériences aléatoires.

Terminologie. La théorie des probabilités fournit des modèles mathématiques permettant l'étude des expériences aléatoires. Probabilités Terminologie Une expérience ou une épreuve est qualiée d'aléatoire si on ne peut pas prévoir son résultat et si, répétée dans des conditions identiques, elle peut donner des résultats diérents.

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES A UNE VARIABLE PARAMÈTRES DE POSITION ET DE DISPERSION

SÉRIES STATISTIQUES A UNE VARIABLE PARAMÈTRES DE POSITION ET DE DISPERSION SÉRIES STATISTIQUES A UNE VARIABLE PARAMÈTRES DE POSITION ET DE DISPERSION Eemple Le responsable d une maison de retraite a réalisé une enquête concernant les résidents de son établissement : - L activité

Plus en détail

COMMENT DOSER UN ACIDE OU UNE BASE?

COMMENT DOSER UN ACIDE OU UNE BASE? COMMENT DOSER UN ACIDE OU UNE BASE? Un dosage se définit d une part par la technique mise en jeu (mesure phmétrique, conductimétrique, spectrophotométrique, etc.), d autre part, par la méthode (par étalonnage,

Plus en détail

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015 Durée : 3h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,

Plus en détail

CH VI) Pourcentages et coefficients multiplicateurs :

CH VI) Pourcentages et coefficients multiplicateurs : CH VI) Pourcentages et coefficients multiplicateurs : Activité : Un commerçant fait une remise de 20,00 sur le prix d un article coûtant 250,00. Quel serait le montant de la remise si l article coûtait,00?

Plus en détail

ETUDE DE LA CARACTERISTIQUE DU DIPÔLE OHMIQUE : LOI D OHM UTILISATION D UN TABLEUR

ETUDE DE LA CARACTERISTIQUE DU DIPÔLE OHMIQUE : LOI D OHM UTILISATION D UN TABLEUR Nom : Prénom : Classe : Date : Fiche élève 1/ 6 Physique Chimie ETUDE DE LA CARACTERISTIQUE DU DIPÔLE OHMIQUE : LOI D OHM UTILISATION D UN TABLEUR Objectifs : - Établir la loi d Ohm à l aide d un tableur-grapheur

Plus en détail

Compétence 1. Compléter un tableau de nombres représentant une relation de proportionnalité

Compétence 1. Compléter un tableau de nombres représentant une relation de proportionnalité Compétence Compléter un tableau de nombres représentant une relation de proportionnalité! Tous les tableaux ci-dessous sont des tableaux représentant une situation de proportionnalité. Utiliser le principe

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

Espaces de probabilités.

Espaces de probabilités. Université Pierre et Marie Curie 2010-2011 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 2 Espaces de probabilités. 1. Donner un exemple d'une famille de parties d'un ensemble qui ne soit pas une tribu.

Plus en détail

Leçon N 1 : Taux d évolution et indices

Leçon N 1 : Taux d évolution et indices Leçon N : Taux d évolution et indices En premier un peu de calcul : Si nous cherchons t [0 ;+ [ tel que x 2 = 0,25, nous trouvons une solution unique x = 0, 25 = 0,5. Nous allons utiliser cette année une

Plus en détail

INÉQUATIONS. Notations Inéquations Représentations graphiques 1 ]a ; b[ a < x < b

INÉQUATIONS. Notations Inéquations Représentations graphiques 1 ]a ; b[ a < x < b 27 5. Inéquations 5.1. Définition Exemple : x < 4 + 2x La droite réelle Le symbole utilisé pour les intervalles infinis est une notation et ne représente pas un nombre réel. Une inéquation affirme que

Plus en détail

( x )= 2 3 ( x 1) f 3 ( x)=( x+1)2 ( x 1) ( x+1) f 4. ( x )=5 x 2 1. ( x)=3 2 x f 2. 212 nom: DS ( 1h) : Sujet A fonctions affines droites

( x )= 2 3 ( x 1) f 3 ( x)=( x+1)2 ( x 1) ( x+1) f 4. ( x )=5 x 2 1. ( x)=3 2 x f 2. 212 nom: DS ( 1h) : Sujet A fonctions affines droites 212 nom: DS ( 1h) : Sujet A fonctions affines droites Exercice 1: 1 ) Dans chacun des cas suivants,: Dire si la fonction est affine ou non. Préciser si elle est linéaire. Si la fonction est affine, donner

Plus en détail

Notion de fonction. Eric Bouissou ; 2011

Notion de fonction. Eric Bouissou ; 2011 Notion de fonction Eric Bouissou ; 2011 1 ère activité Un sportif effectue un test d'effort : pendant 25 minutes, il fournit un effort soutenu il cesse ensuite tout effort et se repose durant le reste

Plus en détail

Vecteurs.nb 1. Collège du Sud 1-ère année. Mathématiques. Vecteurs. Edition 2003/2004 - DELM

Vecteurs.nb 1. Collège du Sud 1-ère année. Mathématiques. Vecteurs. Edition 2003/2004 - DELM Vecteurs.nb 1 Collège du Sud 1-ère année Mathématiques Vecteurs Edition 00/004 - DELM Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hypertexte vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec/index.html

Plus en détail

Chapitre 5 Fonctions affines et équations du 1 er degré. Table des matières

Chapitre 5 Fonctions affines et équations du 1 er degré. Table des matières Chapitre 4 Fonctions affines et équations du 1 er degré. TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 5 Fonctions affines et équations du 1 er degré. Table des matières I Exercices I-1 1................................................

Plus en détail

Version default Titre : Opérateur GENE_VARI_ALEA Date : 15/04/2009 Page : 1/5 Responsable : Irmela ZENTNER Clé : U4.36.

Version default Titre : Opérateur GENE_VARI_ALEA Date : 15/04/2009 Page : 1/5 Responsable : Irmela ZENTNER Clé : U4.36. Titre : Opérateur GENE_VARI_ALEA Date : 15/04/2009 Page : 1/5 Opérateur GENE_VARI_ALEA 1 But Générer une réalisation d'une variable aléatoire réelle de loi de probabilité donnée (lois gamma ou exponentielle

Plus en détail

Première S Exercices valeur absolue 2010-2011

Première S Exercices valeur absolue 2010-2011 Première S Exercices valeur absolue 2010-2011 Exercice 1 : Résoudre dans Y, les inéquations suivantes : a) 2 < x + 1 < 3 b) 1 x 3 < 4 2 x 3 > 2 c) x + 4 3 Exercice 2 : On souhaite résoudre dans Y l équation

Plus en détail

n est pas solution de la deuxième équation : il n est donc pas solution du système.

n est pas solution de la deuxième équation : il n est donc pas solution du système. Exercice p, n 6 : On considère l équation à deux inconnues suivantes : x. Chacun des couples suivants est-il solution de cette équation? Justifier la réponse. ; ; a) ( 0; ) ; b) ( ; ) ; c) ( ) d) ( ; )

Plus en détail

INÉQUATION DU 1 er DEGRÉ

INÉQUATION DU 1 er DEGRÉ FICHE DE PRÉSENTATION FICHE DE PRÉSENTATION FICHE DE PRÉSENTATION OBJECTIF(S) Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue. EXPLICITATION Être capable à l'issue des travaux de calculer les valeurs

Plus en détail

DROITES, TABLEAUX, FORMULES. Voitures de location

DROITES, TABLEAUX, FORMULES. Voitures de location 1/15 Des essais de location de voitures ont été effectués dans trois sociétés de location différentes. Pour chaque essai, la voiture n'a été louée qu'une journée. Société Animatour J'ai payé un jour 22,5

Plus en détail

Systèmes oscillants Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties

Systèmes oscillants Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties Systèmes oscillants Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties L'objet de cette ressource est l'étude des systèmes physiques, de type mécanique, électrique ou microscopique, se comportant

Plus en détail

X. Attribution des places aux élèves par l établissement secondaire

X. Attribution des places aux élèves par l établissement secondaire X. Attribution des places aux élèves par l établissement secondaire 1. Classement des élèves Les élèves seront classés automatiquement grâce au logiciel en ligne dans l ordre décroissant de leur indice

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG. Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information.

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG. Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information. BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information. SESSION 2011 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Mercatique, comptabilité et finance

Plus en détail

Brevet Blanc de Mathématiques

Brevet Blanc de Mathématiques Brevet Blanc de Mathématiques 4 Points sont réservés à la propreté et à la qualité de rédaction de la copie. Exercice 1 (En précisant les différentes étapes du calcul): 1. Calculer le nombre A et donner

Plus en détail

B - COURANT ELECTRIQUE

B - COURANT ELECTRIQUE B - COURANT ELECTRIQUE B - I - DEFINITION DE L'INTENSITE D'UN COURANT ELECTRIQUE La propriété des conducteurs solides d'avoir des électrons libres correspond à l'échelle des atomes à un déplacement permanent

Plus en détail

I) Deux propriétés importantes Propriété 1 Si A est multiple de B et B est un multiple de n, alors A est un multiple de n.

I) Deux propriétés importantes Propriété 1 Si A est multiple de B et B est un multiple de n, alors A est un multiple de n. Extrait de cours de maths de 5e Chapitre 1 : Arithmétique Définition 1. Multiples et diviseurs Si, dans une division de D par d, le reste est nul, alors on dit que D est un multiple de d, que d est un

Plus en détail

Fonctions affines Exercices corrigés

Fonctions affines Exercices corrigés Fonctions affines Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : antécédent, image, résolution d équation, représentation graphique d une fonction affine (coefficient directeur et ordonnée

Plus en détail

Revenu disponible par unité de consommation de l ensemble des ménages en 1999 (hors revenu du patrimoine) en euros

Revenu disponible par unité de consommation de l ensemble des ménages en 1999 (hors revenu du patrimoine) en euros Nom Revenu disponible par unité de consommation de l ensemble des ménages en 1999 (hors revenu du patrimoine) en euros Décile «pointés» Valeur du décile Décile moyen Moyenne D1 7 194 1 er décile 5 625

Plus en détail

3 ème Révisions Fonctions linéaires et affines

3 ème Révisions Fonctions linéaires et affines Exercice 1 Mettre une croix où la réponse est oui. 3 ème Révisions Fonctions linéaires et affines La fonction est une fonction linéaire affine constante f(x) = 5x + 2 g(x) = 3x² h(x) = 5x i(x) = 7 + 2x

Plus en détail

Fonctions affines, droites, tableaux de signes

Fonctions affines, droites, tableaux de signes Fonctions affines, droites, tableaux de signes 2 nde Objectifs du chapitre : Vous devez... Droites [3 ème ] savoir tracer une droite dans un repère connaissant son équation. [3 ème ] savoir déterminer

Plus en détail

Devoir-maison, à rendre le lundi 4 novembre 2013

Devoir-maison, à rendre le lundi 4 novembre 2013 Devoir-maison, à rendre le lundi 4 novembre 2013 Ce devoir-maison donnera lieu à une note sur 20 qui sera intégrée dans la moyenne du premier trimestre. Soin et orthographe : 1 point. Exercice 1. Brevet

Plus en détail

La présentation et la sélection des candidatures et des offres.

La présentation et la sélection des candidatures et des offres. La présentation et la sélection des candidatures et des offres. Les points essentiels à retenir : - Le principe est l ouverture de la consultation à tout candidat, dans la mesure où il présente les garanties

Plus en détail

Les paraboles. x ax 2 + bx + c.

Les paraboles. x ax 2 + bx + c. 1ES Résumé du cours sur le second degré. Les paraboles. On appelle fonction du second degré une fonction de la forme x ax 2 + bx + c. Bien sûr a doit être différent de 0 sinon ce n est pas une fonction

Plus en détail

Exercice 1: (3 points) 1. On considère le système suivant :

Exercice 1: (3 points) 1. On considère le système suivant : Type BREVET Epreuve : MATHEMATIQUES Session : 8 Avril 0 Durée : h pages : ACADEMIE DE MARRAKECH La qualité, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l appréciation des copies.

Plus en détail

CONCOURS D'ADMISSION 1999 MATHÉMATIQUES. PREMIÈRE ÉPREUVE FILIÈRE PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'emploi de la calculette est interdit.

CONCOURS D'ADMISSION 1999 MATHÉMATIQUES. PREMIÈRE ÉPREUVE FILIÈRE PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'emploi de la calculette est interdit. 99 MATH. I - PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE

Plus en détail

FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES

FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES Chapitre 3 FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES Terminale BEP Objectifs (à la fin du chapitre, je dois être capable de ) : - Différencier fonction affine et linéaire. - Calculer une image. - Déterminer

Plus en détail

TD d exercices de calculs numériques.

TD d exercices de calculs numériques. TD d exercices de calculs numériques. Exercice 1. (Brevet 2008) On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre. a) Multiplier ce nombre par 3 b) Ajouter le carré du nombre choisi. c) Multiplier

Plus en détail

MINISTERE DE LA COMMUNAUTE FRANÇAISE ENSEIGNEMENT DE LA COMMUNAUTE FRANCAISE

MINISTERE DE LA COMMUNAUTE FRANÇAISE ENSEIGNEMENT DE LA COMMUNAUTE FRANCAISE MINISTERE DE LA COMMUNAUTE FRANÇAISE ENSEIGNEMENT DE LA COMMUNAUTE FRANCAISE ADMINISTRATION GENERALE DE L'ENSEIGNEMENT ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE Service général des Affaires pédagogiques, de la Recherche

Plus en détail

Exemples d activités sur le thème : Fonctions permettant une acquisition progressive des compétences de calcul :

Exemples d activités sur le thème : Fonctions permettant une acquisition progressive des compétences de calcul : Exemples d activités sur le thème : Fonctions permettant une acquisition progressive des compétences de calcul : Sous-thèmes Compétences de calcul travaillées Notion de Fonctions : Introduction du vocabulaire

Plus en détail

1S DS 4 Durée :?mn. 2. La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction g, définie sur I = [ 1; 3].

1S DS 4 Durée :?mn. 2. La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction g, définie sur I = [ 1; 3]. 1S DS 4 Durée :?mn Exercice 1 ( 5 points ) Les trois questions sont indépendantes. 1. Soit f la fonction définie par f(x) = 3 x. a) Donner son ensemble de définition. Il faut 3 x 0 3 x donc D f =] ; 3]

Plus en détail

3 Droite. Vecteur directeur, vecteur normal. Positions relatives de deux droites. GA2D-Cours.nb 2. Vecteur directeur

3 Droite. Vecteur directeur, vecteur normal. Positions relatives de deux droites. GA2D-Cours.nb 2. Vecteur directeur GAD-Cours.nb 1 Géométrie métrique -ème année niveau avancé Edition 007-008 3-ème année niveau standard DELM 3 et 4 Géométrie analytique D Liens hypertextes Exercices de géométrie analytique D: http://www.deleze.name/marcel/sec/cours/geomanalytiqued/gad-exercices.pdf

Plus en détail

Les différentes structures de coûts

Les différentes structures de coûts 1 I LES DIFFÉRENTS TYPES DE COÛTS :...3 En fonction du champ d'application :...3 En fonction du contenu :...3 En fonction du moment des calculs :...3 II LES ÉLÉMENTS CONS TITUTIFS DES COÛTS :...3 A) LES

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Mathématiques Contrôle commun de Seconde Mardi 01 mars 2011 Durée de l épreuve : 2 heures

Mathématiques Contrôle commun de Seconde Mardi 01 mars 2011 Durée de l épreuve : 2 heures Mathématiques Contrôle commun de Seconde Mardi 01 mars 011 Durée de l épreuve : heures L usage de la calculatrice est autorisé. Aucun prêt de matériel n est toléré. La qualité de la rédaction et le soin

Plus en détail

Couper en deux, encore et encore : la dichotomie

Couper en deux, encore et encore : la dichotomie Couper en deux, encore et encore : la dichotomie I : Jeu du nombre inconnu Un élève volontaire choisit un nombre entier compris entre 0 et 56. Un autre élève cherche à deviner ce nombre, en adoptant la

Plus en détail

Le prix d un ticket de bus (un aller ou un retour) à tarif réduit est 0,75. Nombres de tickets 10 20 30 40 Prix Points A B C D

Le prix d un ticket de bus (un aller ou un retour) à tarif réduit est 0,75. Nombres de tickets 10 20 30 40 Prix Points A B C D EXERCICES SUR LES FONCTIONS LINÉAIRES Exercice 1 Le prix d un ticket de bus (un aller ou un retour) à tarif réduit est 0,75. 1) Compléter le tableau ci-dessous : Nombres de tickets 10 20 30 40 Prix Points

Plus en détail

FONCTIONS (2) : FONCTIONS AFFINES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES

FONCTIONS (2) : FONCTIONS AFFINES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES SYNTHESE ( THEME 9 ) FONCTIONS (2) : FONCTIONS AFFINES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES A - FONCTION AFFINE A : DEFINITION ET NOTATION a et b étant deux nombres fixés, on appelle fonction affine tout processus

Plus en détail

TS Physique Histoire de noyaux Exercice résolu

TS Physique Histoire de noyaux Exercice résolu P a g e 1 TS Physique Exercice résolu Enoncé Remarque : les deux premières parties sont indépendantes. A. Première partie : temps de demi-vie Le thorium 23 Th est utilisé dans la datation des coraux et

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Série ES/L Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) ES : ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE L : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques

Plus en détail

Nombre de joueurs : 2 joueurs à + Nombre de dés : 5 Âge : De 8 à +

Nombre de joueurs : 2 joueurs à + Nombre de dés : 5 Âge : De 8 à + Le Yams Nombre de joueurs : 2 joueurs à + Nombre de dés : 5 Âge : De 8 à + Prévoir un crayon et imprimer autant de grille que de joueurs. But du jeu : Avoir le plus de point à la fin d une manche. La manche

Plus en détail

Baccalauréat STG Mercatique Polynésie 10 juin 2011

Baccalauréat STG Mercatique Polynésie 10 juin 2011 Baccalauréat STG Mercatique Polynésie 0 juin 0 La calculatrice (conforme à la circulaire N 99-86 du 6--99) est autorisée. EXERCICE Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). 4 points Pour

Plus en détail

Approche Par Compétence

Approche Par Compétence Approche Par Compétence Mathématiques 11 ème Sciences Économiques Sociales Production de Mathematikos Site de la Scientia, Sikasso Mali Nota Ce polycopié tient lieu de Notes de cours ne dispense en aucune

Plus en détail

Estimateur d'erreur de ZHU-ZIENKIEWICZ

Estimateur d'erreur de ZHU-ZIENKIEWICZ Titre : Estimateur d'erreur de ZHU-ZIENKIEWICZ Date : 24/04/2012 Page : 1/12 Estimateur d'erreur de ZHU-ZIENKIEWICZ Résumé : On expose dans ce document la méthode d'estimation de l'erreur de discrétisation

Plus en détail

Classe de 3ème. Effectif partiel n Effectif total N

Classe de 3ème. Effectif partiel n Effectif total N Classe de 3ème Chapitre 2 Statistiques. 1. Quelques rappels. Une série statistique est composée de valeurs. Le nombre de fois où une valeur est répétée s'appelle l'effectif partiel de cette valeur. La

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Fiches méthode SOMMAIRE

Fiches méthode SOMMAIRE Fiches méthode Tableur (LibreOffice) SOMMAIRE 1. Saisir une formule dans une cellule page 2 2. Recopier une formule sur plusieurs cellules page 2 3. Créer une liste de nombres page 5 4. Trier une liste

Plus en détail

Fonctions affines. Notation1 Notation 2

Fonctions affines. Notation1 Notation 2 I/ Fonctions affines 1 ) Définition Fonctions affines Une fonction est affine lorsque l image d un nombre où a et b sont deux nombres quelconques connus. peut s écrire sous la forme Les nombres a et b

Plus en détail

Chapitre 06 : PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES

Chapitre 06 : PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES Chapitre 06 : PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES 6 cm I) Synthèse sur la proportionnalité : 1) Définition : Grandeurs proportionnelles : Dire que deux grandeurs sont proportionnelles revient à dire

Plus en détail

Leçon 4. Bien qu'elle n'apporte pas d'évolution majeure nous utiliserons la méthode des antécédents car c'est la plus récente.

Leçon 4. Bien qu'elle n'apporte pas d'évolution majeure nous utiliserons la méthode des antécédents car c'est la plus récente. Leçon 4 Calcul des dates et calcul des marges Calculer les dates au plus tôt, au plus tard Calculer les marges libres, les marges totales Déterminer le chemin critique 1 introduction Il existe deux grandes

Plus en détail

1 x 1 <x 2 < <x p n. p p. 1; k?

1 x 1 <x 2 < <x p n. p p. 1; k? Chapitre 1 Ensemble, dénombrement Programme ociel Ce chapitre a pour but : - d'introduire les notions d'ensemble, de sous-ensemble ; - de dénir une application, ses images directe et réciproque, ses propriétés

Plus en détail

x et y sont proportionnels si, et seulement si, les poins de coordonnées (x ; y) sont alignés avec l origine du repère. y 4 n

x et y sont proportionnels si, et seulement si, les poins de coordonnées (x ; y) sont alignés avec l origine du repère. y 4 n CHAPITRE 11 PROPORTIONNALITE I. GENERALITES A. NOTION DE GRANDEURS PROPORTIONNELLES Deux grandeurs x et y sont proportionnelles si, lorsque l une varie, l autre varie dans les mêmes proportions : si x

Plus en détail

Les fonctions affines.

Les fonctions affines. Les fonctions affines. Dans cette leçon, nous considérerons comme acquis le chapître sur les fonctions linéaires. On se placera dans un repère. I.Les fonctions affines : 1.Activité d introduction : Considérons

Plus en détail

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe

Plus en détail

Calculer la moyenne, arrondie au dixième, des buts marqués par match par l'équipe lors de cette saison.

Calculer la moyenne, arrondie au dixième, des buts marqués par match par l'équipe lors de cette saison. Énoncés Exercice 1 Le tableau ci-contre indique des grandeurs physiques et démographiques des territoires constituant la Mélanésie. 1. Rédiger une phrase commençant par «Il y a» et contenant le nombre

Plus en détail

Sujet A. g :x 4x 2 (en vert)

Sujet A. g :x 4x 2 (en vert) Exercice I ( points) Sujet A Compléter les phrases suivantes : Une situation de proportionnalité est représentée en mathématiques par une fonction. Une fonction affine est une relation de la forme f(x)

Plus en détail