DM n 2 : Montages à base d ALI et oscillateur quasi-sinusoïdal

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1 hapitres E2 et E3 DM n 2 DM n 2 : Montages à base d ALI et oscillateur quasisinusoïdal A rendre pour le Jeudi 27 Septembre L énoncé comporte deux exercices indépendants : Exercice 1 : Etude de l oscillateur quasisinusoïdal (détecteur à boucle inductive), d après entrale PSI 2008 Exercice 2 : Phasemètre à bascule, d après entrale PSI PSI, lycée de l Essouriau, 2018/2019

2 alculatrices autorisées Permittivité électrique du vide Perméabilité magnétique du vide Données numériques Vitesse de la lumière dans le vide Masse d un électron harge d un électron Nombre d Avogadro Les détecteurs de véhicules dits à boucle inductive sont actuellement de loin les plus répandus, tant pour le contrôle des flux sur autoroutes que pour la détection automatique pour le déclenchement de feux tricolores ou de barrières de sécurité e sujet propose d étudier les concepts et phénomènes physiques associés à cet instrument de détection ainsi que d évaluer ses performances et sa sensibilité Le principe de fonctionnement d un détecteur à boucle inductive est le suivant : un enroulement de fil électrique placé dans une tranchée rectangulaire en travers de la chaussée (cf figure ε 0 = 885, F m 1 μ 0 = 4π 10 7 H m 1 c = 30, 10 8 m s 1 m = 91, kg e = 16, N a = 60, mol 1 borne de détection cicontre) est relié à une borne contenant un oscillateur quasisinusoïdal (Partie I) e dernier génère dans la boucle un courant sinusoïdal qui crée au dessus de celleci un champ électromagnétique luimême sinusoïdal Lorsqu un véhicule est à proximité immédiate de la boucle, ce champ induit des courants à la surface de celuici (Partie II) es derniers ont pour effet de modifier l inductance de l enroulement (Partie III) et donc la fréquence de l oscillateur Un fréquencemètre permet ainsi de détecter le véhicule passant au dessus de la boucle (Partie IV) Les quatre parties sont dans une large mesure indépendantes Dans tout le problème, les amplificateurs opérationnels, notés A Op, sont supposés parfaits (gain infini, impédances d entrée infinies, impédance de sortie nulle, vitesse de balayage infinie) Les tensions de saturation valent : V sat et V sat oncours entralesupélec /16 Partie I Étude de l oscillateur quasisinusoïdal La boucle rectangulaire enterrée dans la chaussée est constituée de plusieurs tours (généralement compris entre 3 et 5) Son schéma électrique équivalent est le suivant : L, b et b représentent respectivement l inductance, la résistance et la capacité de la boucle IA Phénomène de dissipation La résistance b modélise l ensemble des pertes engendrant une dissipation d énergie du fait du passage d un courant dans la boucle enterrée On peut distinguer dans b deux contributions : une provenant du câble luimême et une autre provenant de son environnement IA1) Quel phénomène est à l origine de la dissipation d énergie dans le câble? IA2) Pour une fréquence suffisamment élevée, la résistance du câble commence à dépendre de la fréquence Donner le nom du phénomène à l origine de cette dépendance Donner, en le justifiant, le sens de variation de la résistance du câble en fonction de la fréquence Quand on enterre la boucle, la résistance b augmente sensiblement d une quantité que l on appelle «résistance de terre», notée G («ground resistance» en anglais) ette résistance supplémentaire est due à l apparition de faibles courants de Foucault dans le macadam IA3) Préciser la dépendance de G par rapport à la fréquence : estelle indépendante de f, proportionnelle à f ou proportionnelle à f 2? Indication : on pourra appliquer la loi de Faraday à une boucle fermée ( B) de courants de Foucault située dans le macadam et traversée par le champ magnétique créé par la boucle inductive enterrée On introduira l inductance mutuelle des deux boucles, et la résistance de la boucle ( B) Il est suggéré de calculer la puissance moyenne dissipée oncours entralesupélec /16 L b b

3 IB Simulation d une résistance négative Pour compenser les pertes dues à la résistance b, l oscillateur doit comporter une source d énergie Pour cela, on utilise le dipôle de la figure 1 IB1) Dans le cas où l A Op fonctionne I en régime linéaire, déterminer les relations donnant V en fonction de I, et V en AOp s fonction de I IB2) Dans le cas où l A Op fonctionne 2 V en régime saturé avec V s = V sat, déterminer la relation donnant V en fonction de I 1 V s Faire de même si V s = V sat IB3) Tracer la caractéristique statique V en fonction de I du dipôle de la figure 1 Figure 1 Montrer que dans un intervalle donné de V : V [ V 0, V 0 ] ce circuit se comporte comme une résistance négative de valeur n (avec n > 0 ) Exprimer n et V 0 en fonction de 1, 2, et V sat I Étude de l oscillateur L oscillateur est constitué par la mise en parallèle de la boucle b inductive enterrée, d un condensateur de capacité s et du L dipôle étudié à la question précédente On suppose que ce dernier U t est en régime linéaire de sorte que l on peut l assimiler à une Boucle inductive enterrée résistance négative n On Figure 2 peut ainsi dessiner le schéma électrique équivalent de l oscillateur, représenté figure 2 b s () I1) Justifier que l on puisse remplacer les deux condensateurs par un seul de capacité éq dont on donnera l expression en fonction de b et s I2) Montrer que la tension U() t aux bornes de la boucle vérifie une équation différentielle de la forme : a d2 U dt 2 b du ( 1 c)u() t = 0 dt Donner l expression de a, b et c en fonction de L, éq, b et n I3) Quelle est la condition nécessaire sur b pour que les solutions de l équation différentielle soient sinusoïdales? oncours entralesupélec /16 n Dipôle modélisant la résistance négative En déduire la valeur à fixer à n en fonction de b et Q, avec : 1 L Q = b éq I4) Montrer que les solutions sont effectivement des sinusoïdes si Q> Q lim, inégalité que l on supposera vérifiée pour la suite Que vaut Q lim? I5) alculer la fréquence f des oscillations en fonction de L, éq et Q En pratique, la condition Q> Q lim n est pas suffisante pour assurer une bonne stabilité et une bonne fiabilité du montage La valeur de Q minimale recommandée est de l ordre de 8 I6) En déduire dans ce cas que l on peut écrire la relation approchée : 1 1 f = avec une erreur relative inférieure à 1% 2π L éq On désire que la fréquence d oscillation f soit de 50 khz avec une boucle enterrée ayant une inductance L = 150 μh, une capacité b = 10 nf et une résistance b = 07, Ω I7) alculer la valeur de la capacité s à intégrer dans le circuit oscillant La valeur de Q estelle satisfaisante? En pratique, la condition b = 0 ne permet pas d amorcer les oscillations I8) Quel est le signe de b permettant l amorçage de l oscillateur? n doitil ainsi être plus petit ou plus grand que Q 2 b? I9) Par quoi est limitée l amplitude des oscillations générées par le circuit? oncours entralesupélec /16

4 II Filière P IV Phasemètre à bascule Pour de nombreux débitmètres conçus dans les années 1980 le déphasage est en fait mesuré selon le principe développé dans cette partie Figure 15 ut () bloc A > > ua( t) 1 1 > ub bloc B 2 bloc E E 1 u bloc D D u'( t) > > bloc A u' ( t) A 1 1 > u' B ( t) bloc B 2 bloc E 1 E u' ( t) ud Le montage étudié, représenté figure 15, est décomposé en blocs notés «A», «B», et «D» Les blocs de type font intervenir une diode Zener «idéale» à propos de laquelle aucune connaissance préalable n est nécessaire On considère que le régime permanent est atteint Les amplificateurs opérationnels des blocs «A» fonctionnent en régime saturé et ceux des blocs «B» en régime linéaire Les signaux sinusoïdaux ut () et u de période T sont transformés en signaux u B et u B composés d impulsions déphasées Les blocs et «D» permettent de construire à partir de ces impulsions un signal dont on peut tirer le déphasage entre ut () et u Les impédances d entrée des entrées E et E du bloc «D» sont considérées infinies Les «impulsions» seront considérées ici comme des signaux rectangulaires de largeur temporelle Δt très faible devant T et de hauteur algébrique V (voir figure 16) Toutes les impulsions intervenant dans ce problème sont telles que V 5 V oncours entralesupélec /16

5 II Filière P IV1) Étude des blocs «A» a) eprésenter la caractéristique de transfert statique Figure 16 u d un amplificateur opérationnel idéal de gain infini u s ( ε) (cf figure 17) T b) Justifier que le montage de la figure 18 s appelle V «comparateur à zéro» On supposera pour la suite du problème que les résultats obtenus dans cette question en régime statique restent valables pour un signal sinusoïdal c) On considère le bloc «A» en entrée duquel on injecte le signal sinusoïdal u = Ucos( 2πft) Δt t On note Δt la durée du basculement de la sortie de l amplificateur opérationnel d un état de saturation à l autre Tracer sur deux périodes la courbe représentative du signal u On indiquera soigneusement sur l axe des temps les dates t,, ε A 1 t 2 t 8 entre lesquelles la sortie de l amplificateur opérationnel se trouve Figure 17 u s dans un état de saturation haut ou bas On fera également figurer sur ce graphe la période T et la durée Δt IV2) Étude des blocs «B» On supposera que les valeurs des composants sont choisies de telle sorte que les amplificateurs opérationnels de ces blocs soient toujours en u e u s ( t) régime linéaire a) Établir l équation différentielle qui relie u B à u A Figure 18 b) Tracer sur deux périodes la courbe représentative du signal u B On reportera soigneusement sur l axe des temps les dates t 1, t 2, t 8 définies en IV1c) et on fera figurer la période T et la durée Δt IV3) Étude des blocs Figure 19 Figure 20 La figure 19 représente la structure i d un bloc et la figure 20 la caractéristique 2 d une diode Zener i «idéale» a) Établir, en tenant compte des impédances d entrée infinies du bloc u B u 5 V u «D», la relation entre u B, u et i b) Par un raisonnement graphique utilisant la caractéristique de la diode Zener montrer qu un bloc permet de transformer les impulsions positives d amplitude supérieure à 5 V en impulsions d amplitude 5 V et de ramener à la valeur nulle une impulsion d amplitude négative c) Tracer sur deux périodes la courbe représentative du signal u On reportera soigneusement sur l axe des temps parmi les dates t 1, t 2, t 8 indiquées sur le graphe du IV1c) celles qui sont pertinentes pour ce graphe IV4) Étude du bloc «D» (bascule) oncours entralesupélec /16

6 II Filière P Les tensions appliquées en E et E sont nulles (état «0») sauf lors de brèves impulsions où elles valent 5 V (état «1») La tension u D au niveau de la sortie D vaut : soit 0 V (état «0») soit 5 V (état «1») Le fonctionnement de ce bloc «D», dépend de la valeur de la sortie D tel qu indiqué cidessous : si la sortie D est dans l état «1», alors le passage de E de «0» à «1» fait passer D à «0» mais aucun changement d état de E ne peut modifier D si la sortie D est dans l état «0», alors le passage de E de «0» à 1» fait passer D à «1» mais aucun changement d état de E ne peut modifier D a) La figure 21 représente les signaux ut () et u sur deux périodes Ils sont décalés de l intervalle de temps τ Exprimer ϕ en fonction de f et τ u ut () Figure 21 b) eporter sur votre copie la figure 21 Sur ce même graphe tracer les courbes représentatives des signaux u et t u On supposera Δt < τ < T et on fera apparaître ces trois intervalles de temps sur l axe des temps c) On considérera qu à l instant t = 0, la sortie D Figure 22 r est dans l état «0» En dessous du graphe précédent, 0 en respectant la même échelle des temps, reporter à nouveau u et et tracer la courbe représentative de u On fera apparaître les trois interval D 0 u 0 les de temps Δt, τ et T sur l axe des temps s(t IV5) On place à la sortie D le montage de la u () D t us figure 22 L amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire Montrer qu en choisissant judicieusement le produit r 0 0 on peut obtenir pour u s un signal proportionnel au déphasage ϕ FIN oncours entralesupélec /16