Exos corrigés darithmétique...classe : TS-Spé. Prof. MOWGLI Ahmed. Année scolaire

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1 Exos corrigés darithmétique...classe : TS-Spé Prof. MOWGLI Ahmed Année scolaire

2 Pour des cours particuliers par petits groupes de 3 ou 4 élèves en maths et/ou physique-chimie, veuillez me contacter. Vous trouverez mes coordonnées sur mon site perso coursmowgli.com Adresse : j habite environ à deux cents mètres du Collège Jacques Majorelle et à cent mètre d Acima... BON COURAGE! : Prof. Ahmed Mowgli Prof. MOWGLI Page 2/12 https ://www.coursmowgli.com

3 Vous trouverez très certainement des erreurs, ce n est pas grave, vous les corrigez, vous êtes grands maintenant! Jetez de temps en temps un coup d oeil sur mon site https ://www.coursmowgli.com, j augmenterai au fur et à mesure le nombre d exercices corrigés... EXERCICE 1 1. Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 4 divise n Pour k N, démontrer que si un entier naturel d divise 10k +3 et 6k +1 alors il divise 4 1. Soit n un entier relatif solution, alors n + 4 divise n + 4 et n + 17 donc divise toute combinaison linéaire de n+4 et de n+17 donc en particulier divise n + 4 n + 17, soit 13. Les diviseurs de 13 étant 13, 1,1 et 13, on en déduit n+4 = 13 ou n+4 = 1 ou n + 4 = 1 ou n + 4 = 13, soit n = 17 ou n = 5 ou n = 3 ou n = 9. Réciproquement, on vérifie sans peine que ces quatres entiers sont bien solutions, par conséquent les solutions sont les entiers : 17, 5, 3,9. 2. d divise 10k + 3 et 6k + 1 donc il divise toute combinaison linéaire de 10k + 3 et 6k + 1, en particulier il divise 3 10k k + 1 = 4, donc d divise 4. EXERCICE 2 Déterminer les entiers relatifs n tels que : 2n 2 n 8 n + 4 soit un entier relatif. Pour tout entier relatif n 4, on a : 2n 2 n 8 n + 4 2n = n + 4 n + 4 = 2n n + 4 or n donc 2n 9 par stabilité de l addition et de la multiplication dans l ensemble Z, par conséquent, on en déduit : 2n 2 n 8 n n + 4 n + 4 divise 28 n + 4 { 28; 14; 7; 2; 1;1;2;7;14;28 } n { 32; 18; 11; 6; 5; 3; 2;3;11;24 } L ensemble S des entiers n tels que 2n2 n 8 est donc : n + 4 { } S = 32; 18; 11; 6; 5; 3; 2;3;11;24 2. Si un entier naturel n est congru modulo 6 à r, alors r est le reste de la division euclidienne de n par n est un multiple de 14 si et seulement si n 0 [14] [9] et [13]. 5. De l égalité 751 = , on déduit [17] et [43]. 6. Pour tout entier naturel n, 18 divise 19 n Pour tout entier naturel n, 4 n + 2 n 0 [3] Dans la suite, a et b sont des entiers relatifs et n est un entier naturel non nul. 8. Si a 3 [7] et b 5 [7], alors 3a + 8b 0 [7]. 9. Si 2a 2b [n], alors a b [n]. 10. Si a b [6], alors a b [3]. 11. Si 2a 2b [2n], alors a b [n]. 1. FAUX il peut aussi être congru à 0 modulo FAUX 20 est congru à 14 modulo 6 mais 14 n est pas le reste de la division euclidienne de 20 par VRAI 4. FAUX en effet = 39, donc la deuxième congruence est vraie, par contre la première est fausse car = 247 et 247 n est pas un multiple de VRAI 6. VRAI en effet, 19 1 [18] donc 19 n [18], c est-à-dire 19 [18], par conséquent 19 n 1 est divisible par FAUX 4 1 [3] et 2 1 [3], d où 4 [3] et 2 n 1 n [3] et donc par somme on obtient 4 n n [3], or n 0 [3] si et seulement si n est impair. Dans la suite, a et b sont des entiers relatifs et n est un entier naturel non nul. 8. VRAI a 3 [7] et b 5 [7] impliquent 3a 9 [7] soit 3a 2 [7] et 8b 40 [7] soit 8b 5 [7], d où par somme 3a + 8b [7] soit 3a + 8b 0 [7]. 9. FAUX EXERCICE 3 Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes : 1. Tout entier relatif est congru modulo 6 à l un des nombres 1, 2, 3 ou 4. Le contre exemple suivant le montre : [4] mais 10 n est pas congru à 12 modulo 4. Prof. MOWGLI Page 3/12 https ://www.coursmowgli.com

4 10. VRAI a b [6] donc k, a b = 6k, soit a b = 3 2k et par conséquent on a bien a b [3]. 11. VRAI 2. Soit n un entier. Montrer que 3n+1 et 5n 2 n ont que 1 ou 1 comme diviseurs communs. Rq : on dit dans ce cas que 3n + 1 et 5n 2 sont premiers entre eux. 2a 2b [2n] alors k, 2a 2b = 2nk, d où après simplification par 2 non nul, on obtient a b = nk, soit a b [n].. EXERCICE 4 1. Montrer par récurrence que : n N, 5 2n + 3 est divisible par 4 2. Montrer le resultat précédent en utilisant les congruences. 1. 6n + 3 est un entier si et seulement si n + 5 divise 6n + 3 n + 5 n + 5 6n + 5 n + 5 6n n + 5 donc 6n + 3 n + 5 n n + 5 { 33; 11; 3; 1;1;3;11;33 } n { 38; 16; 8; 6; 4; 2;6;28 } est entier n { 38; 16; 8; 6; 4; 2;6;28 } 1. Considérons pour tout entier naturel n la propriété : P n : " 5 2n + 3 est divisible par 4 " 2. Soit d un diviseur commun de 3n + 1 et 5n 2 alors d divise toute combinaison linéaire de 3n + 1 et de 5n 2 donc divise en particulier 5 3n n + 1 donc d divise 1 et par conséquent d { 1;1 }. pour n = 0, on a = = 4 et 4 est bien divisible par 4 donc la propriété est vraie pour n = 0 et par conséquent P 0 est vraie. Supposons que la propriété P n est vraie pour un entier n et montrons que P n + 1 est vraie : On a par hypothèse de récurrence : k, 5 2n = 4k 3 puis : 5 2n = 5 2n = 5 2n = 5 2n = 25 4k 3 donc P n + 1 est vraie hyp. réc. +3 = 4 25k = 4 25k 72 = 4 25k 4 18 = 4 25k 18 = 4 k où k = 25k 18 attention {}}{ fixé par conséquent d après le principe de récurrence, on en déduit que n N 5 2n + 3 est divisible par 4 2. On a pour tout entier naturel n : donc 3n + 1 et 5n 2 n ont que 1 ou 1 comme diviseurs communs. EXERCICE 6 1. Déterminer les restes de la division par 13 des différentes puissances de 3 à exposants entiers naturels. 2. Déterminer les entiers naturels n tels que A n = 3 n + 3 2n + 3 3n soit divisible par Essayons de trouver une conjecture, puis démontrons la : Pour n = = [13] le reste est 1 Pour n = = [13] le reste est 3 Pour n = = [13] le reste est 9 Pour n = = [13] le reste est 1 Il semblerait que la suite des restes est périodiques de période 3, en effet : n N, 3 n+3 = 3 n 3 3, or [13] donc 3 n+3 3 n [13] donc 3 n+3 et 3 n ont le même reste dans la division par 13, la suite des restes est par conséquent bien périodique de période mod 4 = 5 2 2n mod 4 = 5 2 mod 4 = 5 2n mod 4 = 5 2n mod 4 car 4 0 mod 4 Les restes de la division d un entier par 3 étant 0, 1 ou 2, il vient : n 0 [3] = k,n = 3k = 3 n = 3 3 k = 3 k [13] = 3 [13] [3] = k,n = 3k + 1 = 3 n = 3 3 k 3 = 3 k 3 [13] = 3 n 3 [13] n 2 [3] = k,n = 3k + 2 = 3 n = 3 n 9 [13] 3 3 k 3 2 = 3 k 9 [13] = donc on a bien n N 5 2n + 3 est divisible par 4. EXERCICE 5 1. Déterminer tous les entiers n tels que la fraction 6n + 3 n + 5 soit un entier. Les restes de la division de 3 n par 13 sont donc : 1 si n 0 [3] 3 si [3] 9 si n 2 [3] 2. On peut écrire : 3 2n = 3 n 2 et 3 3n = 3 n 3, d où la discution suivante : Prof. MOWGLI Page 4/12 https ://www.coursmowgli.com

5 Si n 0 [3], on en déduit d après la question précédente 3 [13], [13] et [13] donc A n=3k 3 [13]. Le reste de la division de A n=3k par 13 est 3 donc A n n est pas divisible par 13. Si [3], alors on en déduit d après la question précédente 3 n 3 [13], 3 2n [13] et 3 3n [13] donc A n=3k [13]. Le reste de la division de A n=3k+1 par 13 est 0 donc A n=3k+1 est divisible par 13. Si n 2 [3], alors on en déduit d après la question précédente 3 n 9 [13], 3 2n [13] et 3 3n [13] donc A n=3k [13]. Le reste de la division de A n=3k+2 par 13 est 0 donc A n=3k+2 est divisible par 13. Finalement, A n est divisible par 13 si n n est pas multiple de Dressons le tableau suivant : x mod x 2 mod x 2 mod D apr`res le tableau, on constate que 3x 2 n est jamais congru à 1 modulo 5, donc la congruence 3x 2 1 [5] n a pas de solution et par conséquent, on peut affirmer que l équation 3x 2 + 5y 2 = 16 n admet aucune solution dans Z. EXERCICE 9 Quelques raisonnements par l absurde et par contraposée : EXERCICE 7 ROC : Démontrer le théorème suivant : Soit n un entier naturel non nul. Soient a et b deux entiers relatifs : a et b ont même reste dans la division euclidienne par n a b est un multiple de n. Remarque : On dit dans ce cas que a et b sont congrus modulo n. Si a et b ont même reste dans la division euclidienne par n, alors il existe q, q entiers relatifs et r entier naturel vérifiant 0 r < n tels que a = nq +r et b = nq +r, on a donc a b = nq q donc a b est un multiple de n. Si a b est un multiple de n, alors il existe un entier k tel que a b = kn. Soit r le reste de la division euclidienne de b par n, on peut alors écrire b = nq + r avec q et r entier vérifiant 0 r < n. Par conséquent a = b + kn = nq + r + kn = q + kn + r avec q + k et r entier vérifiant 0 r < n. D après l unicité de la division euclidienne, r est donc le reste de la division euclidienne de a par n. Par suite a et b ont le même reste par la division euclidienne par n. EXERCICE 8 On considère dans Z l équation : 3x 2 + 5y 2 = Montrer que si un couple d entiers relatifs x; y est solution de l équation E, alors 3x 2 1 [5]. 2. Déterminer les restes de la division de 3x 2 par 5 et conclure. 1. On a successivement : E 5 0 [5] = 5y 2 0 [5] = 3x 2 + 5y 2 3x 2 [5] Or si x; y est solution de 3x 2 + 5y 2 16 [5], alors 3x 2 16 [5], soit 3x 2 1 [5] car 16 = donc 16 1 [5]. 1. Montrer que si a et b sont des entiers tels que a 2 +b 2 est impair, alors a et b sont de parité différente. 2. Montrer qu un entier impair n qui est la somme de deux carrés est de la forme n = 4k + 1 où k. 3. En déduire qu un entier de la forme 4k 1 ne peut pas être la somme de deux carrés. 1. Rappelons d abord que la contraposée de et qu elles sont équivalentes. A = B est Non B = Non A Ainsi, il revient au même de démontrer la contraposée, beaucoup plus simple. On va donc montrer : Si a et b sont de même parité, alors a 2 + b 2 est pair On considére deux cas : a et b sont tous les deux pairs donc il s écrivent sous la forme a = 2q où q et b = 2q où q, il vient alors a 2 +b 2 = 2q 2 +2q 2 = 4q 2 +4q 2 = 2 2q 2 + 2q 2 = 2K où K = 2q 2 + 2q 2, par conséquent a 2 + b 2 est bien pair. a et b sont tous les deux impairs donc il s écrivent sous la forme a = 2q + 1 où q et b = 2q + 1 où q, il vient alors a 2 +b 2 = 2q q +1 2 = 4q 2 +4q +1+4q 2 +4q +1 = 2 2q 2 + 2q 2 + 2q + 2q + 1 = 2K où K = 2q 2 + 2q 2 + 2q + 2q + 1, par conséquent a 2 + b 2 est bien pair. On peut donc affirmer que si a et b sont des entiers tels que a 2 +b 2 est impair, alors a et b sont de parité différente. 2. Soit n un entier impair somme de deux carrés, on peut donc l écrire sous la forme n = a 2 + b 2 où a et b sont deux entiers. D après la question que l on vient de traiter, les deux entiers a et b sont de parité différente. On peut, sans perte de généralité supposer que a est pair et b impair, alors a va s écrire sous la forme a = 2q où q et b = 2q +1 où q, Prof. MOWGLI Page 5/12 https ://www.coursmowgli.com

6 il vient alors : n = a 2 + b 2 = 2q 2 + 2q = 4q 2 + 4q 2 + 4q + 1 = 4 q 2 + q 2 + q + 1 = 4K + 1 où K = q 2 + q 2 + q Par conséquent, on vient de montrer qu un entier impair n qui est la somme de deux carrés est de la forme n = 4k + 1 où k. 3. On va raisonner par l absurde : On va supposer que la négation de ce que l on veut prouver est vraie et ensuite aboutir à une contradiction : Supposons q un entier de la forme 4k 1 est la somme de deux carrés. Puisque n est impair car n = 4k 1 = 22k 1+1 = 2K +1 où K = 2k 1, alors d après la question traitée ci-dessus, n est de la forme n = 4k + 1 où k, ce qui est incompatible avec l écriture n = 4k 1 car si cétait le cas, on aurait : 4k 1 = 4k + 1 4k 4k = 2 k k = 1 2 ce qui est absurde puisque k k et que 1 2 Z. Notre supposition de départ est ainsi fausse, par conséquent on peut conclure qu un entier de la forme n = 4k 1 ne peut pas être la somme de deux carrés. EXERCICE 11 On note E l équation : 1. Montrer que : 1 x + 1 y = 1 où x et y sont des entiers non nuls 5 1 x + 1 y = 1 5 x 5 y 5 = En déduire tous les couples solution de l équation E. 1. On a successivement pour x et y entiers non nuls : 1 x + 1 y = 1 5 5y + 5x = x y 5x y 5x y 5y + 5x = x y x y 5x 5y = 0 de même, on a pour x et y entiers non nuls : x 5 y 5 = 25 x y 5x 5y + 25 = 25 x y 5x 5y = 0 donc on a bien 1 x + 1 y = 1 5 x 5 y 5 = 25 pour x et y entiers 0 EXERCICE 10 On désigne par n et a deux entiers naturels. 1. Démontrer que si a divise 42n + 37 et a divise 7n + 4 alors a divise Déterminer toutes les valeurs possibles de a et n. 1. Si a divise 42n + 37 et a divise 7n + 4, alors a divise toute combinaison linéaire à coefficients entiers des entiers 42n + 37 et 7n + 4 donc divise en particulier l entier 1 42n n +4 = 13 donc a divise 13 or les diviseurs entiers naturels de 13 sont 1 et 13 donc a { 1;13 }. 2. x 5 y 5 = 25 x 5 et y 5 sont des diviseurs de 25 d où les différents cas résumés ci-dessous : x-5 y soit x y impossible les couples solutions sont donc S = { 20;4,4; 20,6;30,10;10,30;6 } 2. Etude du cas où a = 1 : Si a = 1, alors tous les entiers naturels conviennent pour n. Etude du cas où a = 13 : Si a = 13, on sait que 13 divise 7n + 4, et il divise également 13n + 1, par conséquent il divise la combinaison linéaire 27n n + 1 = n 5, c est-à dire qu il divise n 5 il existe donc un entier k tel que n 5 = 13k n = k Réciproquement, si n = k avec k N, alors : 42n + 37 = k + 37 = 1342k + 19 donc 13 divise 42n + 37, de même : donc 13 divise 7n n + 4 = k + 4 = 137k + 3 On peut conclure que pour a = 13, tous les entiers n de la forme n = k avec k N conviennent. EXERCICE 12 Le reste de la division euclidienne de a par 11 est 8, celui de b par 11 est est 2. Quel est le reste de la division euclidienne des nombres a + b, ab et a 2 par 11? Le reste de la division euclidienne de a par 11 est 8, celui de b par 11 est est 2 donc il existe deux entiers q et k tels que a = 11q + 8 et b = 11k + 2 : On calcule a + b : a + b = 11q k + 2 = 11q + k + 10 avec 0 10 < 11 Le reste de la division euclidienne de a + b par 11 vaut donc 10. On calcule ab : ab = 11q +8 11k+2 = 11 qk+2q +8k +16 = 11 qk + 2q + 8k avec 0 5 < 11 Prof. MOWGLI Page 6/12 https ://www.coursmowgli.com

7 Le reste de la division euclidienne de ab par 11 vaut donc 5. On calcule a 2 : a 2 = 11q = 11 11q q + 64 = 11 11q q avec 0 9 < 11 Le reste de la division euclidienne de a 2 par 11 vaut donc 9. EXERCICE 13 Déterminer les entiers naturels n tels que n + 3 divise n 2 5n On obtient donc l encadrement < b 527, soit puisque b est entier b 25. donc soit b = 24 et r = b = 23, soit b = 25 et r = b = 2. EXERCICE 16 On considére le nombre A = nn + 1n + 2 : 1. Démontrer que A est divisible par Démontrer que A est divisible par Dire si la proposition suivantes est vraie ou fausse : Si A est divisible par 8, alors n est pair si n + 3 divise n 2 5n + 10 alors il divise toute combinaison linéaire de n +3 et n 2 5n +10 donc il divise en particulier n 2 5n +10 n +3n +8 soit n + 3 divise 34. or les diviseurs positifs de 34 sont 1,2,17 et 34, sachant que n on a donc nécessairement n + 3 { 17,34 }, soit n { 14,31 }. Réciproquement, pour n = 14, on a n 2 5n + 10 = 136 et 17 divise 136 donc 14 est solution. pour n = 31, on a n 2 5n + 10 = 816 et 34 divise 816 donc 31 est solution. l ensemble S des solutions est donc S = { 14;31 } 1. Les restes de la division d un entier par 2 sont 0 et 1, d où la discussion suivante : n 0 mod 2 = nn +1n +2 0 n +1n +2 mod 2 = nn +1n mod 2 mod 2 = n mod 2 0 mod 2 = nn + 1n + 2 n 0 n + 2 mod 2 0 mod 2 on a donc dans tout les cas A 0 mod 2 donc n N, A est divisible par Les restes de la division d un entier par 3 sont 0, 1 et 2, d où la discussion suivante : EXERCICE 14 x et y désignent des entiers naturels tels que : 3x 2 + 2y 2 = Démontrer que 0 x En examinant les différents cas, déterminer tous les couples x, y. 1. on a 3x 2 3x 2 + 2y 2 donc 3x 2 30 donc x 2 10, or les seuls carrés inférieurs à 10 sont les carrés de 0,1,2 et 3, donc 0 x On a la discution suivante : si x = 0, y 2 = 15 ne donne pas de solutions entières. si x = 1, 2y 2 = 27 ne donne pas de solutions entières. si x = 2, 2y 2 = 18 donc y = 3. si x = 3, 2y 2 = 3 ne donne pas de solutions entières. il y a donc une seule solution, à savoir le couple x, y = 2,3. EXERCICE 15 Dans la division euclidienne de 527 par l entier naturel non nul b, le quotient est 21. Donner toutes les valeurs possibles du diviseur et du reste. n 0 mod 3 = nn + 1n n + 1n + 2 mod 3 0 mod 3 mod 3 = n mod 3 0 mod 3 = nn + 1n + 2 nn mod 3 0 mod 3 n 2 mod 3 = n mod 3 0 = nn + 1n + 3 n 0 n + 2 mod 3 0 mod 3 on a donc dans tout les cas A 0 mod 3 donc n N, A est divisible par La contraposée de la proposition : est : Si A est divisible par 8, alors n est pair si n est impaire alors A n est pas divisible par 8 Cette proposition est manifestement fausse, il suffit de considérer le contre exemple suivant : pour n = 7, A = n = 7 est impaire et pourtant le nombre A = est divisible par 8. donc la proposition est fausse. On a 527 = 21b + r avec 0 r < b donc b < b b or b < b et b < b 21b 527 et 527 < 22b b et < b EXERCICE 17 Déterminer le reste de 2n 2 n + 2 par 2n en discutant suivant les valeurs de l entier naturel n. Prof. MOWGLI Page 7/12 https ://www.coursmowgli.com

8 On a : 2n 2 n + 2 = 2nn 1 + n + 2 or n + 2 < 2n n > 2, d où la discution suivante : si n > 2 alors n + 2 < 2n donc n + 2 est le reste de la division euclidienne de 2n 2 n + 2 par 2n. si n = 2 alors 2n 2 n + 2 = 8 = donc le reste est r = 0 car 0 < 4. si n = 1 alors 2n 2 n + 2 = 3 = donc le reste est r = 1 car 1 < 2. EXERCICE 18 Soit n N : 1. Déterminer le reste de la division de 2 n par 5 suivant les valeurs de n. 2. En déduire le reste de la division euclidienne de par 5? On a : d où : mod = 1, 2 1 = 2, 2 3 = 8, 2 4 = Les restes de la division d un entier par 4 étant 0; 1; 2 et 3, il vient : n 0 mod 4 = k,n = 4k = 2 n = 2 4 k = 2 k mod 5 = 2 mod 5 mod 4 = k,n = 4k + 1 = 2 n = mod 5 = 2 n 2 mod k 2 = 2 k 2 n 2 mod 4 = k,n = 4k + 2 = 2 n = 2 4 k 2 2 = 2 k 4 mod 5 = 2 n 4 mod 5 n 3 mod 4 = k,n = 4k + 3 = 2 n = 2 4 k 2 3 = 2 k 8 mod 5 = 2 n 3 mod 5 Les restes de la division de 2 n par 5 sont donc : 1 si n 0 mod 4 2 si mod 4 4 si n 2 mod 4 3 si n 3 mod 4 2. On remarque que mod 5 = mod 5 or 2013 = = mod 4 par conséquent le reste de la division de par 5 est 2. mod 3 = n mod 3 0 mod 3 = nn + 5n nn + 7 mod 3 0 mod 3 n 2 mod 3 = n mod 3 0 mod 3 = nn + 5n nn + 5 mod 3 0 mod 3 donc nn + 5n + 7 est toujours un multiple de 3. EXERCICE 20 Déterminer les entiers relatifs n tels que l entier p = n 2 3n + 6 soit un multiple de 5. On pourra calculer la différence p n 9 2. On a : On a par conséquent : p n 9 2 = n 2 3n + 6 n 9 2 = n 2 3n + 6 n n 81 = 15n 75 = 53n 15 p = 5n 15 + n 9 2 donc p sera multiple de 5 si et seulement si n 9 est un multiple de 5 soit si et seulement si il existe un entier k tel que n 9 = 5k d où : n = 9 + 5k, k. EXERCICE 21 n est un entier naturel. Déterminer suivant les valeurs de n le reste de la division euclidienne de 9n + 17 par 2n + 3. On peut écrire : 9n + 17 = 4 2n n + 5 La condition 0 n + 5 < 2n + 3 doit être vérifiée. or n + 5 < 2n + 3 n > 2 Donc si n > 2, le reste de la division euclidienne de de 9n+17 par 2n+3 est n+5. On doit distinguer à part les cas n = 0, n = 1 et n = 2 : Si n = 0 alors 17 = Si n = 1 alors 26 = Si n = 2 alors 35 = En conclusion, on a : si n > 2 alors le reste de le division euclidienne est n + 5 si n = 2 alors le reste de le division euclidienne est 0 si n = 1 alors le reste de le division euclidienne est 1 si n = 0 alors le reste de le division euclidienne est 2 EXERCICE 19 Montrer que : n N, nn + 5n + 7 est un multiple de 3 Les restes de la division d un entier par 3 étant 0;1 et 2, il vient : n 0 mod 3 = nn + 5n n + 5n + 7 mod 3 0 mod 3 EXERCICE 22 On considére l équation : E x 3 + x 2 + bx + c = 0 où a, b, c sont des entiers relatifs. 1. Montrer que si l entier a est une solution de E alors a divise c. 2. L équation x 3 + 3x + 3 = 0 a-t-elle des solutions entières? 3. De même, l équation x 3 15x 4 = 0 a-t-elle des solutions entières? Prof. MOWGLI Page 8/12 https ://www.coursmowgli.com

9 1. Si a est solution de E alors a 3 + a 2 + ab + c = 0 soit aa 2 + a + b = c a, b, c sont des entiers relatifs donc a 2 + a + b l est également par stabilité de l addition et de la multiplication dans Z donc les deux entiers relatifs a et a 2 +a +b sont des diviseurs associés de -c, par conséquent, on en déduit que a divise c donc divise c. 2. D aprés la question 1, si a est solution de l équation donnée, alors a divise 3 or les diviseurs de 3 sont 3, 1, 1et 3 donc a { 3; 1;1;3 } or aucune de ses valeurs ne vérifie l équation donc elle n admet aucune solution entière. 3. De la même façon, si a est une solution entière de l équation proposée alors a divise 4 sachant que les diviseurs de 4 sont 4, 3, 1, 1, 3 et 4 donc a { 4; 2; 1;1;2;4 } on vérifie réciproquement que seule la valeur 4 convient donc la seule solution entière dans ce cas est a = 4. EXERCICE 23 Montrer que : a N b N : 3/a 2 + b 2 = 3/a et 3/b En considérant la division euclidienne de a et b par 3, on peut toujours les écrire sous la forme : et On a : a = 3k + r avec 0 r < 3 b = 3k + r avec 0 r < 3 a 2 + b 2 = 3k + r 2 + 3k + r 2 = 9k 2 + 6kr + r 2 + 9k 2 + 6k r + r 2 = 3 3k 2 + 2kr + 3k 2 + 2k r + r 2 + r 2 =K Z = 3K + r 2 + r 2 Or par hypothèse, 3/a 2 + b 2 donc 3/r 2 + r 2 et sachant que r { 0;1;2 } et r { 0;1;2 }, on en déduit que r 2 + r 2 { 0;1;4;2;8;5 } faire au besoin un tableau à double entrée. Les deux conditions 3/r 2 +r 2 et r 2 +r 2 { 0;1;4;2;8;5 } imposent r 2 +r 2 = 0 soit r = r = 0 par conséquent, on en déduit que 3/a et 3/b. Déterminons les valeurs de l entier naturel n pour lesquelles n 2 + 2n + 2 N, on a successivement : n + 3 EXERCICE 25 n 2 + 2n + 2 N n + 3 n + 3/n 2 + 2n + 2 n + 3/n + 3n k N n + 3k = n + 3n k N n + 3k n + 3n 1 = 5 k N n + 3k n + 1 = 5 n + 3/5 n + 3 { 1;5 } n + 3 = 1 ou n + 3 = 5 n = 2 ou n = 2 n 2 + 2n + 2 N n = 2 n + 3 n = 2 car n N Ci-joint un Q.C.M. à priori très simple qui vous permettra de voir si vous avez bien assimilé le cours. On justifiera bien entendu chaque réponse : a, b et c sont des entiers : 1. Si a divise b et b divise a, alors a = b. 2. Si a divise b, alors b divise a. 3. Si a divise b, alors a divise bc. 4. Si a divise bc, alors a divise b ou c. 5. Si a divise b, alors a divise a + b. 6. Si a divise a + b, alors a divise b. 7. Si a divise b et c, alors a divise b + c. 8. Si a divise b + c, alors a divise b et c. 9. Si a et b divisent c, alors ab divise c. 10. Si a divise b, alors a 2 divise b 2. Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse : 1. Si a divise b et b divise a, alors a = b. Faux : contre exemple : 4 divise 4 et 4 divise 4 et pourtant Si a divise b, alors b divise a. Faux : contre exemple : 7 divise 21 mais 21 ne divise pas Si a divise b, alors a divise bc. EXERCICE 24 Montrer que : n N n 2 + 2n + 2 = n + 3n Déterminer les valeurs de l entier naturel n pour lesquelles : n 2 + 2n + 2 N n + 3 Il suffit de développer : n + 3n = n 2 n + 3n 3 = n 2 + 2n 3 Vrai : a divise b donc il existe un entier k tel que b = ak donc bc = a ck donc a divise bc. }{{} 4. Si a divise bc, alors a divise b ou c. Faux : contre exemple : 6 divise 3 4 mais 6 ne divise ni 3, ni Si a divise b, alors a divise a + b. Vrai : a divise b donc il existe k tel que b = ak donc a + b = a + ak = a1 + k donc a divise a + b. Prof. MOWGLI Page 9/12 https ://www.coursmowgli.com

10 6. Si a divise a + b, alors a divise b. Vrai : a divise a + b donc il existe k tel que a + b = ak b = ak a = ak 1 donc a divise b. 7. Si a divise b et c, alors a divise b + c. Vrai : a divise b donc il existe k tel que b = ak a divise c donc il existe k tel que c = ak donc b + c = ak + ak = ak + k donc a divise b + c. 8. Si a divise b + c, alors a divise b et c. Faux : contre exemple : 6 divise mais 6 ne divise ni5, ni 7. donc Hérédité : supposons P n vraie pour un entier naturel n N fixé, c est à dire que 27 divise u n et montrons que la propriété est vraie à l ordre suivant : 27 divise u n par hypothèse de récurrence donc 27 divise 2u n, d autre part 27 divise 27n 2 donc 27 divise 2u n + 27n 2 = u n+1 donc P n + 1 est vraie. Conclusion : Par le principe de récurrence, P n est vraie pour tout entier naturel n N. u n est donc divisible par 27 pour tout entier naturel n N EXERCICE Si a et b divisent c, alors ab divise c. Faux : contre exemple : 6 et 4 divisent 12 mais 6 4 = 24 ne divise pas Si a divise b, alors a 2 divise b 2. Vrai : a divise b donc il existe k tel que b = ak donc b 2 = a 2 k }{{} 2 donc a 2 divise b 2. EXERCICE 26 On considère la suite u n définie par : 1. Calculer u 0, u 1, u 2 et u 3. u n = 3n n 2. Montrer que u n+1 + 2u n est divisible par Que dire alors de u n? 1. On calcule facilement : u 0 = = 0 u 1 = = 0 u 2 = = 27 u 3 = = 54 attention 2 0 = 1 2. On a pour tout entier naturel n N : u n+1 + 2u n = 3n n n n = 3n n n 2 6n n = 9n n n n 2 6n n = 27n 2 u n+1 + 2u n = 27n 2, par consé- Donc pour tout entier naturel n N quent, on en déduit : pour tout entier naturel n N : u n+1 + 2u n est divisible par Montrons par récurrence que 27 divise u n pour tout entier naturel n N : Considérons la propriété P n : u n est divisible par 27 Initialisation : P 0 est vraie puisque u 0 = 0 et que 27 divise 0. Soit n un entier naturel. 1. Déterminer suivant les valeurs de n, les restes de la division de 5 n par En déduire que est divisible par Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou egal à 1, le nombre N = 31 4n n 1 est divisible par Dressons un tableau : n n... mod On constate que mod 13, or les restes de la divisions de n par 4 sont 0 ; 1 ;2 et 3, on peut donc écrire n sous la forme n = 4k + r où r {0;1;2;3}, on en déduit alors : n 0 mod 4 = k,n = 4k = 5 4k = 5 4 k = 5 k mod 13 = 5 mod 13 mod 4 = k,n = 4k + 1 = 5 4k+1 = 5 4 k 5 = 5 k 5 mod 13 = 5 n 5 mod 13 n 2 mod 4 = k,n = 4k + 2 = 5 4k+2 = 5 4 k 5 2 = 5 k 5 2 mod 13 = 5 2 mod 13 n 3 mod 4 = k,n = 4k + 3 = 5 4k+2 = 5 4 k 5 3 = 5 k 5 3 mod 13 = 5 n 8 mod 13 Les restes de la division de 5 n par 13 sont donc : 1 si n 0 mod 4 5 si mod 4 12 si n 2 mod 4 8 si n 3 mod 4 2. On a 1981 = donc mod 13 Ainsi mod 13, mais 1981 = donc mod 4 On en déduit d après la question précédente mod 13 et donc mod 13. Ce dernier résultat signifie que est divisible par On a 31 5 mod 13 et 18 5 mod 13 comme 4n+1 1 mod 4, on en déduit d après la première question que 31 4n+1 5 4n+1 5 mod 13. de même, comme 4n mod 4, on en déduit également d après la première question que 18 4n 1 5 4n 1 8 mod 13. ainsi N = 31 4n n mod 13. Tout ceci montre que le nombre N est divisible par 13. Prof. MOWGLI Page 10/12 https ://www.coursmowgli.com

11 EXERCICE 28 Soit n N, quel est le reste de la division par 4 de la somme : 1 n + 2 n + 3 n + 4 n Pour n = 1, on a 2 2 mod 4 Pour n 2, on peut écrire n = n 2 + 2, d où : 2 n = 2 n = 2 n 2.4 or 2 n mod 4 d où 2 n 0 mod 4 pour n 2 On constate que 3 2 = 9 donc mod 4 En considérant la division de l entier n par 2, on peut écrire n sous la forme n = 2k ou n = 2k + 1 où k N, d où : 3 2k = 3 2 k = 3 2k 1 k 1 mod 4 3 2k+1 = 3 2 k.3 = 3 2k+1 1 k.3 3 mod 4 On a en utilisant les résultats précédents : 1 n + 2 n + 3 n n + 3 n mod mod 4 si n = 1 2 mod 4 si n est pair n 0 mod 4 si n est impair On en déduit que le reste de la division par 4 de 1 n + 2 n + 3 n + 4 n est : EXERCICE 29 2 si n = 1 ou n pair 0 si n impair et n 1 0 si n = 0 si n 1 3. Déterminer toutes les valeurs de n pour lesquelles 1 n est pas le seul diviseur positif commun à a et b. 1. a On calcule rapidement 2b a = 2n + 3 2n + 1 = 2n + 6 2n 1 = 5 b Soit d un diviseur positif commun à a et b alors d divise toute combinaison linéaire de a et b de la forme αa+βb où α et β sont des entiers relatifs d divise donc en particulier la combinaison linéaire 1a + 2b = 2b a = 5 donc d diviser 5. Or les diviseurs positifs de 5 sont 1 et 5 par conséquent d { 1;5 }. 2. On suppose que a et b sont des multiples de 5 donc 5 divise b et par conséquent, il existe k, tel que b = 5k On en déduit que n+3 = 5k d où n = 5k 3 et n 2 = 5k 3 2 = 5k 5 = 5k 1 = 5k où k = k 1. Par conséquent n 2 est divisible par 5. Réciproquement, supposons que n 2 est divisible par 5, alors il existe q tel que n 2 = 5q d où n = 5q + 2. Or a = 2n + 1 donc a = 25q = 10q + 5 = 52q + 1 = 5q où q = 2q + 1. De plus b = n + 3 donc b = 5q = 5q + 5 = 5q + 1 = 5q où q = q + 1. Ainsi a et b sont divisibles par n est pas le seul diviseur positif commun à a et b ssi a et b sont divisibles par 5 ssi n 2 est divisibles par 5 ssi il existe q tel que n 2 = 5q ssi n = 5q + 2 avec q. Quels sont les entiers qui divisés par 11, donnent un quotient égal au reste. Considérons un entier relatif quelconque n et effectuons la division euclidienne de ce dernier par 11, on sait qu il existe un unique couple q,r d entiers tel que n = 11q + r avec 0 r < 11. L entier n, divisé par 11 donnera un quotient égal au reste EXERCICE 30 ssi q = r n désigne un entier relatif. On pose a = 2n + 1 et b = n + 3. ssi n = 12r avec 0 r < 11 ssi n = 12r avec r { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 } ssi n { 0;12;24;36;48;60;72;84;96;108;120 } 1. a Calculer 2b a. b Montrer que dans N, les seuls diviseurs communs à a et b sont 1 et Démontrer que a et b sont des multiples de 5, si et seulement si n 2 est divisible par 5. EXERCICE 31 ROC : 1. Montrer qu étant donné un entier relatif a et un entier relatif non nul b, si a divise b alors a b. 2. Montrer que si adivise b et b divise a, alors a = b ou a = b. 1. a divise b donc il existe un entier relatif k tel que b = ka d où b = ka = k a Or b étant un entier relatif non nul, de b = ka, on en déduit que k est un entier relatif non nul et donc que k 1 enfin de k 1, on en déduit que k a a soit a b puisque b = k a. 2. a divise b et b divise a donc il existe deux entiers relatifs k, k tels que b = ka et a = k b, ainsi il existe deux entiers relatifs k et k tels que b = kk b, on va alors distinguer deux cas suivant que b est nul ou non : Si b 0, de b = kk b, on en déduit que kk = 1 Or k et k étant deux entiers relatifs, légalité kk = 1 entraîne k = k = 1 ou k = k = 1 *, donc a = b ou a = b. Prof. MOWGLI Page 11/12 https ://www.coursmowgli.com

12 Si b = 0, alors a = b = 0 et donc on a encore dans ce cas a = b ou a = b. Remarque : l élève curieux pourra démontrer *. Pour une correction, il faut voir le fichier d exercices corrigés de logique et d ensembles Voir classe 1ère SM du programme marocain. d autre part y x y + x donc y x et y +x sont des diviseurs associés de 36 tels que y x y +x, on en déduit : { y + x = 18 y x = 2 { y + x = 6 ou y x = 6 x; y = 8;10 ou x; y = 0;6 { y + x = 36 ou y x = 1 EXERCICE 32 ROC : a et b N. On admet l existence d un couple q;r d entiers naturels tel que a = bq + r et 0 r < b. Démontrer l unicité de ce couple. Soient a et b N. Supposons que le couple q;r n est pas unique, c est-à dire qu il en existe un autre q ;r vérifiant : a = bq + r = bq + r et 0 r < b et 0 r < b, on a alors : bq q = r r et b < r r < b Sachant que le seul multiple de b compris strictement entre b et b est 0, on en déduit que r r = 0 soit r = r puis bq q = 0, ce qui implique puisque b 0, que q q = 0, cest-à dire que q = q Le couple q;r est donc unique.. EXERCICE 33 n est un entier naturel : 1. Montrer que les seuls diviseurs positifs de 5n +29 et 2n +11 sont 1 et Pour quels valeurs de l entier naturel n, 3 divise 5n + 29 et 2n Soit d un diviseur positif de 5n +29 et 2n +11 alors divise en particulier 25n n + 11 = 3 or les seuls divisurs positif de 3 sont 1 et 3 donc d = 1 ou d = 3. Ainsi les seuls diviseurs positif de 5n + 29 et 2n + 11 sont 1 et Cherchons quels sont les entiers naturels n pour lesquels 3 divise 5n+29 et 2n + 11 : Si 3 divise 5n + 29 et 2n + 11 alors 3 divise 5n n + 11 = n + 7 donc n + 7 = 3k, soit n = 7 + 3k que l on peut réécrire sous la forme n = k = 2 + 3k où k N et où on a posé k = 2 + k. Réciproquement, si n = 2 + 3k où k N, alors 3 divise k + 29 puisque k + 29 = k = k et 3 divise k + 11 N pusque k + 11 = k = k. N Ainsi, 3 divise 5n + 29 et 2n + 11 si et seulement si n = 2 + 3k où k N. En conclusion, si n = 2+3k où k N, alors 5n +29 et 2n +11 admettent 1 et 3 pour seuls diviseurs communs positifs, sinon ils admettent 1 comme seul diviseur commun. EXERCICE 34 Déterminer les entiers naturels x tel que 36 + x 2 soit un carré. 36+x 2 est le carré d un entier si et seulement si il existe un entier naturel y tel que 36 + x 2 = y 2. Cela revient à trouver les couples x; y d entiers naturels tel que y 2 x 2 = 36, soit y xy + x = 36. x et y étant des entiers naturels, y+x l est également par stabilité de l addition dans N, on en déduit que y x l est aussi puisque y xy + x = 36 N, on a il y a donc deux solutions 0 et 8. { y + x = 36 * Le système n admet pas de solutions entières puisque la y x = 1 somme et la différence de deux entiers sont de même parité. EXERCICE n est un entier naturel : a Montrer que si n est impair, alors n 2 1 [8]. b Montrer que si n est pair alors n 2 4 [8] ou n 2 0 [8]. 2. Soient a, b et c trois entiers naturels impairs : a Montrer que a 2 + b 2 + c 2 n est pas un carré parfait. b Montrer que 2ab + bc + ca 6 [8]. On pourra remarquer que a + b + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca c En déduire que 2ab + bc + ca n est pas un carré parfait. d Montrer que ab + bc + ca n est pas un carré parfait. 1. n est un entier naturel : a Supposons n impair, alors n s écrit sous la forme n = 2k+1 où k N. n 2 = 2k = 4k 2 + 4k + 1 = 4kk or kk +1 0 [2] le produit de deux entiers consécutifes est toujours pair, d où il existe un entier naturel q, tel que kk + 1 = 2q, par conséquent : n 2 = 4 2q + 1 = 8q + 1 = n 2 1 [8] b Supposons n pair, alors n = 2k où k N, d où : n 2 = 2k 2 = 4k 2 on va distinguer deux cas : k est impair alors k 2 1 [8] et donc 4k 2 4 [8] cest-à dire que n 2 4 [8]. k est pair alors k s écrit sous la forme k = 2q où q N, d où n 2 = 4 2q 2 = 16q 2 = 8 2q 2, par conséquent on en déduit n 2 0 [8]. }{{} N 2. a a, b et c sont trois entiers impairs, d où : a 1 [8] b 1 [8] = a2 + b 2 + c 2 3 [8] c 1 [8] si a 2 +b 2 +c 2 est un carré parfait alors a 2 +b 2 +c 2 1 [8] ce qui est en contradiction avec le résultat que l on vient d obtenir à savoir que a 2 + b 2 + c 2 3 [8]. Par conséuent, a 2 + b 2 + c 2 n est pas un carré paefait. b On sait que a+b+c 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca soit 2ab+bc+ac = a + b + c 2 a 2 + b 2 + c 2,on a : a 2 + b 2 + c 2 3 [8] a + b + c 2 1 [8] = a + b + c 2 a 2 + b 2 + c 2 2 [8] car a + b + c est impair = a + b + c 2 a 2 + b 2 + c 2 6 [8] = 2ab + bc + ac 6 [8] Prof. MOWGLI Page 12/12 https ://www.coursmowgli.com

13 on a bien 2ab + bc + ac 6 [8] pour a, b, c entiers impairs. c On vient de voir que 2ab + bc + ac 6 [8] donc 2ab + bc + ac n est pas un carré parfait car s il l était, on aurait d après une question précédente 2ab + bc + ac 1 [8]. d Sachant que 2ab +bc +ac 6 [8], on en déduit que ab +bc +ac 3 [8] et par conséquent ab + bc + ac ne peut être un carré parfait pour les mêmes raisons que l on vient d évoquer. Prof. MOWGLI Page 13/12 https ://www.coursmowgli.com

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