(c) (a) (b) p q. χ c (G) g 3 V (H).
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- Irène Dubois
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1 Ä ÓÖ ØÓ Ö ÓÖ Ð Ê Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÍÅÊ ¼¼ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø ÓÖ ÙÜ ½ ½ ÓÙÖ Ð Ä Ö Ø ÓÒ ¼ Ì Ð Ò Ü Ö Ò Ê Ö Ê ÔÓÖØ Êʹ½ ½¹¼ ÇÒ ÖÐ Ö Ô Û Ø ÖØ Ø Ð Ø Ú ÄÓÙ Ô Ö Ø Ò È Ð Ç Ñ Å Ý ¾¼¼
2
3 ÇÒ ÖÐ Ö Ô Û Ø ÖØ Ø Ð Ø Ú ÄÓÙ Ô Ö Ø Ò È Ð Ç Ñ Ä ÊÁ ÍÒ Ú Ö Ø ÓÖ ÙÜ ½ Ì Ð Ò Ö Ò Å Ý ¾¼¼ ØÖ Ø ÖÐ Ö Ô Û Ø ÖØ Ø Ð Ø Ú Ö ÒÓÛÒ ØÓ ¾¹ Ò Ö Ø Ú ½ µº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÔÖÓÚ Ø Ø ÖÐ Ö Ô Û Ø ÖØ Ø Ð Ø g 5 ÓÒØ Ò Ú ÖØ Ü Ó Ö Ø ÑÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ó g 4 Ú ÖØ Ó Ö ØÛÓ Û ÑÔÐ Ú³ Ö ÙÐØ Ò Ø g = 5º Ï Ø Ò Ù Ø ØÖÙØÙÖ Ð ÔÖÓÔ ÖØÝ ØÓ Ú Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ÖÙÐ Ö ÖÓÑ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÖÐ Ö Ô Û Ø ÖØ Ø Ð Ø g 5 Û ÐÐ ÔÖ Ø Ñ Ø Ó Ø Ö Ñ Ü ÑÙÑ Ú Ö Ö º ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ä Ø C ÒÓØ Ø ÙÒ Ø ÖÐ Ò Ð Ø Ù Ø Ø ÐÓ Û ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÔÓ Ø Ú ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Cº Ä Ø {x 0,...,x k 1 } C Û Ý Ø Ø (x 0,...,x k 1 ) Ö Ò ÝÐ ÓÖ Ö Ø Ñ Ò ÑÙÑ ØÛ Ò Ø ÙÑ Ó Ø Ð Ò Ø Ó Ø Ö x i x i+1 0 i k 1 Ò Ø ÙÑ Ó Ø Ð Ò Ø Ó Ø Ö x i+1 x i 0 i k 1 ÕÙ Ð ØÓ ÓÒ Û Ö i Ø Ò ÑÓ ÙÐÓ kº Ô Ö {x,y} Ó Ð Ñ ÒØ Ó C ÐÐ ÓÖ Ó C Û Ø Ò ÔÓ ÒØ x Ò yº ÌÛÓ ÓÖ {x 1,y 1 } Ò {x 2,y 2 } ÒØ Ö Ø (x 1 x 2 y 1 y 2 ) Ö Ò ÝÐ ÓÖ Ö ÓØ ÖÛ Ø Ý Ö ØÓ Ô Ö ÐРк ÐÐ Ö Ô ÓÒ Ö Ò Ø Ô Ô Ö Ö ÑÔÐ Ø Ý Ó ÒÓØ Ú ÒÝ ÐÓÓÔ ÒÓÖ Ô Ö ÐÐ Ð º Ì ÖØ Ó Ö Ô G Ø Þ Ó ÓÖØ Ø ÝÐ Ò Gº Ï ÐÐ k¹ú ÖØ Ü Ö Ôº k¹ú ÖØ Ü k¹ú ÖØ Üµ Ú ÖØ Ü Ó Ö k Ö Ôº Ø ÑÓ Ø k Ø Ð Ø kµº Ý Ò Ø ÓÒ Ú ÖÝ ÖÐ Ö Ô G Û Ø Ø Ó Ú ÖØ V (G) = {v 1,...,v n } Ñ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ C = {{x 1,y 1 },..., {x n,y n }} Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ i,j v i Ò v j Ö ÒØ Ò G Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÖ {x i,y i } Ò {x j,y j } ½
4 (a) (b) ÙÖ ½ µ Ì ÙÒ ÕÙ ÖÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó C 4 º ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó C 4 ÓÒ Ø Ö Ð Ü º µ Ì ØÛÓ ÒÓÒ¹ ÒØ Ö Ø Ò Cº Ï ÓÒÐÝ ÓÒ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Û Ò ÔÓ ÒØ Ò Ò¹ Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ó ÓÖ Ö ÐÐ Ø Òغ Ç ÖÚ Ø Ø Ò Ò Ö Ð ÖÐ Ö Ô Ó ÒÓØ Ú ÙÒ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒº Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ C Ó Ø Ò ÖÓÑ C ÓÒÐÝ Ý Ö ÑÓÚ Ò ÓÖ ÐÐ Ù ¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Cº Ç ÖÚ Ø Ø C Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó G Ù ¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó C ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ò Ò Ù Ù Ö Ô Ó Gº Ç ÖÚ Ø ÓÒ ½ Ä Ø G ÖÐ Ö Ô Û Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ C Ò Ð Ø v 1,...,v k Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø Ò Gº Ì ÓÖ Ó C ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ v 1,...,v k Ö Ô ÖÛ Ô Ö ÐРк ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø ÖÐ Ö Ô Û Ø ÖØ Ø Ð Ø Ú Ö ¾¹ Ò Ö Ø Ú ½ Ó ÒÓØ ÓÒ Ö Ø Ö ÖÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÙØ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ð Ü Ù Ù ÐÐÝ ÐÐ ÒØ ÖÚ Ð¹ÓÚ ÖÐ Ôº Ì Ñ ÓÖ Ö Ò Ø Ø ÓÑ Ö Ô ÓÖ Ü ÑÔÐ ÝÐ Ú ÙÒ ÕÙ ÖÐ Ö Ô¹ Ö ÒØ Ø ÓÒ Û Ö Ø Ý Ú Ú Ö Ð ÒÓÒ¹ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ð Ü ÙÖ ½µº À Ò Ú Ò ÓÒ Ö Ò Ö Ð Ü Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ú ÖÝ ÓÒÚ Ò ÒØ ØÓ Ò Ò ÓÖ Ö ÓÒ Ø Ò ÔÓ ÒØ Ó Ø ÓÖ Ø ØÙ Ý Ø Ò ÑÙ Ö Öº ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ú Ò Ò Ø ÖÐ Ö ÔÖ ÒØ ¹ Ø ÓÒ ÓÑ Ú ÖÝ ÑÔÐ Ö Ô Ù Ø ÙÒ ÓÒ Ó ØÛÓ Ó ÒØ Ô Ø Ó ÒÓØ Ú ÙÒ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÙÖ ¾µº Ç ÖÚ Ø Ø Ò ÙÖ ¾ µ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ô Ø Ù ¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÝÐ º ÁÒ Ø Û Ñ Ð Ø Ù Ó ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ý Ø Ø Ø ØÛÓ Ô Ø Ö Ò ÝÐ ÓÖ Öº ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¾ Û ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ú³ Ö ÙÐØ Ì ÓÖ Ñ ½ Ú ÖÝ ÖÐ Ö Ô Û Ø ÖØ g 5 ÓÒØ Ò 1¹Ú ÖØ Ü ÓÖ Ò Ó (g 4) ¾¹Ú ÖØ º ¾
5 (a) (b) (c) ÙÖ ¾ Ì Ö ÒÓÒ¹ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÖÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÓÒ Ó ØÛÓ Ô Ø Ó Ð Ò Ø ØÛÓº ÁÒ ½ Ú Ù ØÖÙØÙÖ Ð Ö ÙÐØ ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø ÖÐ Ö Ô Û Ø ÖØ Ø Ð Ø Ú Ú ÖÓÑ Ø ÒÙÑ Ö Ø ÑÓ Ø Ø Ö º Ï Ò Ù Ì ¹ ÓÖ Ñ ½ ØÓ Ó Ø Ò Ö Ò Ñ ÒØ Ó Ø Ö ÙÐØ ÓÖ ÖÐ Ö Ô Û Ø Ð Ö Ö ÖØ º ÁÒ Ø Ó ÓÒ Ö Ò Ø ÖÓÑ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ö Ô Û ÓÒ Ö Ø Ö ÖÙÐ Ö ÖÓÑ Ø ÒÙÑ Öº ÓÖ ØÛÓ ÒØ Ö 1 q p (p,q)¹óðóö Ò Ó Ö Ô G ÓÐÓÖ Ò c Ó Ø Ú ÖØ Ó G Û Ø ÓÐÓÖ {0,...,p 1} Ù Ø Ø ÓÖ ÒÝ Ô Ö Ó ÒØ Ú ÖØ x Ò y Û Ú q c(x) c(y) p qº Ì ÖÙÐ Ö ÖÓÑ Ø ÒÙÑ Ö Ó G ( ) p χ c (G) = Ò Ø Ö Ü Ø (p,q)¹óðóö Ò Ó G. q ÁØ ÒÓÛÒ Ø Ø χ(g) 1 < χ c (G) χ(g) Ò Ó χ(g) = χ c (G) º Ì ÖÓÑ Ø ÒÙÑ Ö Ò Ø Ù ÓÒ Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÖÙ¹ Ð Ö ÖÓÑ Ø ÒÙÑ Öº Í Ò Û Ðй ÒÓÛÒ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÓÒ ÖÙÐ Ö ÓÐÓÖ Ò º º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾º¾ Ò ¾ µ Ø Ü Ø Ò Ó Ò Ó (g 4) ¾¹Ú ÖØ ÑÔÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ Ú ÖÝ ÖÐ Ö Ô G Û Ø ÖØ g 5 ÖÙÐ Ö ÖÓÑ Ø ÒÙÑ Ö χ c (G) g 3 2 ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ØÙ Ý Ò ÒÚ Ö ÒØ Ú Ò Ú ÖÝ ÔÖ Ó Ø ÐÓ Ð ØÖÙØÙÖ Ó Ö Ô º Ì Ñ Ü ÑÙÑ Ú Ö Ö Ó Ö Ô G Ò Ñ (G) = Ñ Ü { (H),H G} Û Ö (H) = 2 E(H) V (H).
6 Ð ÈÐ Ò Ö ÇÙØ ÖÔÐ Ò Ö È ÖØ Ð ¾¹ÌÖ Ë ½¹ËØÖ Ò µ g g g g 4 Ì Ð ½ Î ÐÙ Ó µ g ÓÖ ÓÑ Ð Ó Ö Ô º ÓÖ ÔÐ Ò Ö Ö Ô Ø Ö ÑÔÐ Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ÖØ Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ú Ö Ö ÒÝ ÔÐ Ò Ö Ö Ô G Û Ø ÖØ g Ù Ø Ø Ñ (G) < 2g/()º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ø Ö Ü Ø Ñ ÐÝ (G n ) n 0 Ó ÔÐ Ò Ö Ö Ô Û Ø ÖØ g Ù Ø Ø Ñ (G n ) 2g/(g 2) Û Ò n º Ï ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ó Ø Ò Ø Ñ Ò Ó Ð Ò ØÛ Ò Ø ÖØ Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ú Ö Ö Ó ÖÐ Ö Ô º Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ì ÓÖ Ñ ½ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾ ÒÝ ÖÐ Ö Ô G Û Ø ÖØ g 5 Ù Ø Ø Ñ (G) < 2 + 2/(g 4). ÒÓØ Ø Ø ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾ ÓÑ ÑÔÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÖÙÐ Ö ÓÓ Ð ØÝ Ó ÖÐ Ö Ô º Í Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ µ Ò Ë Ø ÓÒ º Ó Û Ò ÔÖÓÚ ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ú ÖÝ ÖÐ Ö Ô G Û Ø ÖØ g 5 ÖÙÐ Ö Ó ÒÙѹ Ö (G) ÌÓ ÑÔÖÓÚ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾ Û ÓÒ Ö µ g (F) = sup {Ñ (G) G F Ò G ÖØ Ø Ð Ø g}. Ä Ø Ë ÒÓØ Ø Ð Ó Ö Ô Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ñ ÒØ Ò Ø ÔÐ Ò Ò ½¹ËØÖ Ò ÒÓØ Ø Ð Ó Ö Ô Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ÓÖ Ò ÙÖÚ Ò Ø ÔÐ Ò Ù Ø Ø ÒÝ ØÛÓ ÙÖÚ ÒØ Ö Ø Ø ÑÓ Ø ÓÒ º Ì Ð ½ Ú Ò Ó Ø ÙÒØ ÓÒ µ g ÓÖ ÓÑ Ð Ó Ö Ô º ÆÓØ Ø Ø ÓÖ Ë Ò ½¹ËØÖ Ò g ØÓ Ø Ð Ø Ú Ò ÓØ ÖÛ µ g ÒÓØ ÓÙÒ º Ï Ò Ö Ñ Ö Ø Ø ÓÖ ÐÐ Ø Ð µ g Ö Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Öº Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñ ÓÛ Ø Ø Ø ÒÓØ Ø ÓÖ Ø Ð Ó ÖÐ Ö Ô º ÁØ ÔÖÓÚ Ò Ë Ø ÓÒ º Ì ÓÖ Ñ ¾ ÓÖ Ú ÖÝ g 5 µ g ( ÖÐ ) = 2 g 4
7 ¾ ÈÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ä Ø G = (V,E) ÖÐ Ö Ô Û Ø ÖØ g 5 Ò Ñ Ò ÑÙÑ Ö ØÛÓ Ò Ð Ø C = {{x 1,x 1 },..., {x n,x n}} ÖÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Gº Ï Ö Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÖ Ó C ÒØÓ ØÛÓ Ø Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÖÙÐ ½µ ÓÖ Ú ÖÝ Ø Ó Ø ÒØ ÓÖ {x,x } {y,y } Ò {z,z } Ù Ø Ø {y,y } ÙÒÓÐÓÖ Ò (xyzz y x ) Ö Ò ÝÐ ÓÖ Ö ÓÐÓÙÖ Ø ÓÖ {y,y } Ò ÐÙ ¾µ ÓÐÓÙÖ ÐÐ Ø ÙÒÓÐÓÖ ÓÖ Ò Ö º Ý ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø Ö ÓÖ Ö Ü ØÐÝ Ø ÓÖ {x,y} Ù Ø Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ö xy Ò yx Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÓØ Ò ÔÓ ÒØ Ó ÓÖ Ø ÒØ ÖÓÑ {x,y}º Ä Ø C R Ö Ôº C B µ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ù Ý Ø Ö Ö Ôº ÐÙ µ ÓÖ Ò G R Ö Ôº G B µ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö Ô º Ï Ö Ø ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ º Ä ÑÑ ½ C R Ù ¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÝÐ º ÈÖÓÓ º ÙÑ Ø Ø G R ÓÒØ Ò 3¹Ú ÖØ Ü v ÒØ ØÓ x y Ò z Ò G R º Ë Ò g 5 Ø Ö Ô G Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÒÝ ØÖ Ò Ð Ò Ó {x,y,z} Ò Ò Ô Ò ÒØ Øº Í Ò Ç ÖÚ Ø ÓÒ ½ Ø ÑÔÐ Ø Ø Ø Ø Ö ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö ÓÖ Ö Ô Ö ÐÐ Ð Ò ÒÝ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Û ÓÒØÖ Ø ÊÙÐ ½µº À Ò G R Ñ Ü ÑÙÑ Ö ØÛÓº ËÙÔÔÓ ÒÓÛ Ø Ø G R ÓÒØ Ò ÝÐ º Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ú ÖØ Ü Û ÒÓØ Ò Ø ÝÐ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ¹ Ò ÓÖ Û ÐÐ Ø ÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ØÛÓ ÒÓÒ¹ ÒØ Ú ÖØ Ó Ø ÝÐ Ö Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÐÐ Ø Ø Ø ÝÐ Ð Ò Ø Ø Ð Ø Ú Ò g 5µº Ì ÓÒØÖ Ø ÊÙÐ ½µº ËÓ G R Ø Ö ÝÐ ÓÖ ÙÒ ÓÒ Ó Ó ÒØ Ô Ø º ËÙÔÔÓ ÒÓÛ Ø Ø C R ÒÓØ Ù ¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÝÐ º Ì Ò G R Ò Ö ÐÝ ÙÒ ÓÒ Ó Ó ÒØ Ô Ø Ò ØÛÓ Ó Ø Ñ Ö ÒÓØ Ò ÝÐ ÓÖ Ö Ò C R º Ì Ð Ó ÓÒØÖ Ø ÊÙÐ ½µ Ó C R Ù ¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÝÐ º Ç ÖÚ Ø Ø ÐÙ ÓÖ {x,y} Ò Ù ØÛÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÝ Ö xy Ò yx ÓÒ Ø ÖÐ º Ï ÒÓØ Ý A 1 Ø Ø Ó Ù Ö º Ë Ñ Ð ÖÐÝ ØÛÓ ÒØ Ö Ø Ò ÐÙ ÓÖ {u,v} Ò {x,y} Ò Ù ÓÙÖ ÓÒ ÙØ Ú Ö Û Ó Ð Ò Ø ÙÔ ØÓ ÓÒ Ý Û Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ ux xv vy Ò yuº Ï ÒÓØ Ý A 2 Ø Ø Ó ÐÐ Ù Ö º
8 ÓÖ ÒÝ Ö xy Ó Ø ÖÐ Û Ò ρ( xy) Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö ÓÖ Ú Ò ÓØ Ò ÔÓ ÒØ Ò xyº Ï ÓÒ Ö Ø ÒØ Ö t = Ñ Ò{ρ( xy), xy A 1 A 2,ρ( xy) > 0}º Á Ø Ö ÒÓ ÐÙ ÓÖ Ò ÓÙÖ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ø Ò G Ø Ö ÝÐ ÓÖ ÙÒ ÓÒ Ó Ô Ø Ò Ø Ù ÓÒØ Ò 1¹Ú ÖØ Ü ÓÖ g ÒØ ¾¹Ú ÖØ º ËÓ Û Ò ÙÑ ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Ø Ø G B ÒÓÒ ÑÔØݺ Ç ÖÚ Ø Ø ÓÖ ÒÝ ÐÙ ÓÖ {x,y} Û Ú ρ( xy) > 0 Ò ρ( yx) > 0 Ò ÓØ ÖÛ {x,y} ÛÓÙÐ Ö º À Ò Ø ÒØ Ö t Ü Ø º Ï ÒÓÛ ÓÒ Ö ØÛÓ Ô Ò Ò ÓÒ Û Ø Ö Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ö Ý ØÛÓ ÒØ Ö Ø Ò ÓÖ ÓÖ Ý Ò Ð ÓÖ º ½ Ì Ñ Ò ÑÙÑ t > 0 Ö Ý ØÛÓ ÒØ Ö Ø Ò ÐÙ ÓÖ Ý {x,x } Ò {y,y } Ò ÓÖ Ú ÖÝ ÐÙ ÓÖ {u,v} Û Ú ρ( uv) tº Ä Ø Ù ÙÑ Û Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Ø Ø t = ρ( xy)º ÓÖ Ò ØÓ Ø ÐÓ Û ÓÖ Ö Û ÒÓØ Ý {x 1,x 1 },... {x t,x t} Ø Ö ÓÖ Ú Ò ÓØ Ò ÔÓ ÒØ Ò xy ÙÖ µµº Ç ÖÚ Ø Ø Ú ÖÝ ÐÙ ÓÖ Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ò ÔÓ ÒØ Ò xy Ò ÓØ ÖÛ Û ÛÓÙÐ Ú ÐÙ ÓÖ {u,v} Û Ø 1 ρ( uv) t Û ÛÓÙÐ ÓÒØÖ Ø Ø ÝÔÓØ º Ï Ö Ø ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö Ô Ò Ù Ý Ø ÓÖ {x i,x i } 1 i tµ Ô Ø º Á Ø ÒÓØ Ø Ø Ò ÓÖ ÓÑ i Ø ÓÖ {x i,x i } Ò {x i+1,x i+1 } Ó ÒÓØ ÒØ Ö Øº Ì Ò Ø Ö ÓÒ Ó Ø Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ 1¹Ú ÖØ Ü ÓÖ Ó Ø Ñ ÒØ Ö Ø ÐÙ ÓÖ º ËÙ ÐÙ ÓÖ Ð Ó ÒØ Ö Ø {x,x } ÓÖ {y,y } Ò Ø ÓÒÐÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÒØ Ò xyº Ì ÓÒØÖ Ø Ø Ñ Ò Ñ Ð ØÝ Ó tº Ï ÒÓÛ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö x 2 x t 1 Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÒÝ Ò ÔÓ ÒØ Ó ÐÙ ÓÖ º Ç ÖÚ Ø Ø Ø Ö ÓÒØ Ò Ø Ò ÔÓ ÒØ u Ó ÐÙ ÓÖ Ø Ò Ø Ö Ü Ø 1 i t 2 Ù Ø Ø u x i x i+2 Ò ÓØ ÖÛ Ø ÛÓÙÐ Ö Ø ØÖ Ò Ð º Á Ù Ò Ò ÔÓ ÒØ u Ü Ø Ø Ö Ð Ø ÐÙ ÓÖ ÐÓÒ Û Ø {x,x } ÓÖ {y,y } ÓÒØÖ Ø Ø Ñ Ò Ñ Ð ØÝ Ó tº À Ò Ø Ú ÖØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ {x i,x i } 2 i t 1µ Ö Ò Ó (t 2) ¾¹Ú ÖØ Ò Gº Ë Ò G Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÒÝ ½¹Ú ÖØ Ü Ø ÓÖ {x 1,x 1 } ÒØ Ö Ø ÓÖ {u,u } Ø ÒØ ÖÓÑ {x 2,x 2 }º ËÙ ÓÖ Ñ Ý ÐÙ ÓÖ Ö ÙØ Ý Ø Ñ Ò Ñ Ð ØÝ Ó t Ø ÒÒÓØ ÒØ Ö Ø {y,y }º ËÓ Ø ÓÖ {u,u } ØÓ ÒØ Ö Ø {x,x } Ò Ò g 4 Ü ØÐÝ ÓÒ Ù {u,u } Ü Ø º Ë Ñ Ð ÖÐÝ {x t,x t } ÒØ Ö Ø Ü ØÐÝ ÓÒ ÓÖ Ø ÒØ ÖÓÑ {x t 1,x t 1 } Ý {v,v } Ò {v,v } Ð Ó ÒØ Ö Ø {y,y }º Ì Ù Ø Ú ÖØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ {x i,x i } 1 i tµ ÓÖÑ Ò Ó t ¾¹Ú ÖØ Ò Gº Ë Ò Ø ÓÖ {x,x }, {u,u }, {x 1,x 1 },..., {x t,x t }, {v,v }, {y,y } ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ
9 x u x 1 x 2 x 1 x t 1 v x t y x x 1 u x 2 x 1 x t 1 v x t y µ µ ÙÖ Ò Ó t g 4 Ú ÖØ Ó Ö ØÛÓ Ò Gº F F 2(g 3) half-chords 2(g 4) half-chords ÙÖ ÖÓÑ Q g,t ØÓ Q g,t+1 ÝÐ Ò G Û Ú t g 4º ¾ Ì Ñ Ò ÑÙÑ t > 0 Ö Ý ÐÙ ÓÖ {x,y}º Ì ÔÖÓÓ Ø Ñ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÒ Ü ÔØ Ø Ø Û Ó Ø Ò Ò Ó (g 3) ¾¹Ú ÖØ Ò Ø Ó (g 4) ¾¹Ú ÖØ ÙÖ µµº ÈÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾ Ä Ø Ù Ö Ø Ú ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ º ÓÖ Ú ÖÝ g 5 Û ÓÒ ØÖÙØ Ñ ÐÝ (Q g,t ) t 0 Ó ÖÐ Ö Ô Û Ø ÖØ g Ù Ø Ø Q g,0 = C g Ø ÝÐ ÓÒ n Ú ÖØ µ Ò Q g,t+1 Ó Ø Ò Ý Ò ÓÖ ØÓ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Q g,t º Ì Ò Û ÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ò ÓÖ Ò ÙÖ µ Ò Ù ÝÐ º Ú ÖÝ ÓÐ ÓÖ º º Ø Ø ÐÓÒ ØÓ Q g,t Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÖ Ò ÙÖ µ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Û ÓÖ Ø Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ º k¹ö ÓÒ Ö ÓÒ Ò Ø ÖÐ Û Ò ÒØ ØÓ Ø ÖÐ Ò ØÓ Ü ØÐÝ k ÓÖ º ÆÓØ Ø Ø Ò ÒÝ Q g,t Ú ÖÝ k¹ö ÓÒ Ø Ö ¾¹ ÓÖ ¹Ö ÓÒº ÒÝ ¾¹Ö ÓÒ Ò Q g,t ÔÖÓ Ù Ò Q g,t+1 F Ó Þ g (g 3) Ú ÖØ 2(g 3) Ð ¹ ÓÖ µ (g 2) (g 3) ¾¹Ö ÓÒ Ò (g 2) ¹Ö ÓÒ º ÒÝ ¹Ö ÓÒ Ò Q g,t ÔÖÓ Ù Ò Q g,t+1 F Ó Þ g (g 4) Ú ÖØ
10 Q 5,0 Q 5,1 ÙÖ Ü ÑÔÐ (g 3) (g 4) ¾¹Ö ÓÒ Ò (g 3) ¹Ö ÓÒ º Ï ÒÓÛ ÓÒ Ö Ø Ú ØÓÖ V g,t = t (n,m,r 2,R 3 ) Û Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÖØ ¾¹Ö ÓÒ Ò ¹Ö ÓÒ Ó Q g,t º Ý ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Û Ú Ø Ø V g,t+1 = M g V g,t Û Ö 1 0 g 3 g 4 M g = 0 1 g 2 g g 3 g g 2 g 3 Ì Ð Ñ Ø Ó Ø Ú Ö Ö (Q g,t ) Ó Q g,t Û Ò t Ò Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø ÙÒ ÕÙ ÒÚ ØÓÖ g 3 + (g 2)(g 4) V = g 2 + (g 3) (g 2)/(g 4) g 4 + (g 2)(g 4) g 2 + (g 2)(g 4) Ó Ø ØÓ Ø Ð Ö Ø ÒÚ ÐÙ g 3 + (g 2)(g 4) Ó M g º Ï Ø Ù Ó Ø Ò (g 2)/(g 4) g 2 + (g 3) µ g lim (Q g,t ) = 2 t g 3 + (g 2)(g 4) g 2 = 2 g 4 ÓÖ ÔÖÓÚ Ò Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Û Ñ ÓÑ Ö Ñ Ö ÓÒ ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ö Ô Q g,t º Ç ÖÚ Ø Ø Ø Ö Ô Q g,t Û Ø t 1 Ö ÖÐ Ö Ô Û Ø ÖØ g 5 Ø Ø ÓÒØ Ò Ò Ø Ö 1¹Ú ÖØ ÒÓÖ Ò Ó (g 3) ¾¹Ú ÖØ ÙÖ ÓÖ Ò Ü ÑÔÐ Û Ø g = 5µ Û ÔÖÓÚ Ø Ø Ì ¹ ÓÖ Ñ ½ ÓÔØ Ñ Ð Ò ÖØ Ò Û Ýº ÒÓØ Ö ÒØ Ö Ø Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø Ö Ô Ø Ø ÓÖ ÒÝ g 5 Q g,t ÓÒØ Ò K t+3 Ø ÓÑÔÐ Ø Ö Ô Û Ø t + 3 Ú ÖØ Ñ ÒÓÖ Ø Ø K t+3 Ò Ó Ø Ò ÖÓÑ Q g,t Ý ÓÒ¹ ØÖ Ø Ò Ò Ö ÑÓÚ Ò Ò Ú ÖØ µº ÌÓ Ø ÓÒØÖ Ø Q g,0
11 Ò ÓÖ Ö ØÓ Ó Ø Ò ØÖ Ò Ð Ò Ø Ø Ô ÓÒØÖ Ø Ø Ø Ó Ò Û Ú ÖØ ÒØÓ Ò Ð Ú ÖØ Ü Û ÙÒ Ú Ö Ð Ý ÓÒ ØÖÙØ ÓÒº Ì Þ Ó Ø Ð ÕÙ Û ÓÒ ØÖÙØ Û ÐÐ ÒÖ Ý ÓÒ Ø Ø Ô Ò Û Û ÐÐ Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ó Ø Ò K t+3 Ñ ÒÓÖ Ó Q g,t º Ì ÑÔÐ Ø Ø ÓÖ ÒÝ ÒØ Ö g 5 Ò ÒÝ Ö Ô H Ø Ö Ü Ø ÖÐ Ö Ô G Û Ø ÖØ g Ù Ø Ø G ÓÒØ Ò H Ñ ÒÓÖº Ï ÒÓÛ ÔÖÓÚ Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ë Ò ÖÐ Ö Ô Ó ÖØ Ø Ð Ø g Ö ÐÓ ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ù Ù Ö Ô Ø Ù ÒØ ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ú ÖÝ ÖÐ Ö Ô G Û Ø ÖØ Ø Ð Ø g 5 Ú Ö Ö g 4 º (G) < 2 Ä Ø G ÖÐ Ö Ô Ò C ÖÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Gº Ï ÒÓØ Ý R(C) Ø ÔÐ Ò Ö Ö Ô ÓÒ ØÖÙØ ÓÐÐÓÛ Ø Ú ÖØ Ü Ø Ó R(C) Ø Ø Ó ÖÓ Ò Ó ÓÖ Ò C ØÛÓ Ø ÒØ Ú ÖØ Ö ÒØ Ò R(C) Ò ÓÒÐÝ Ø Ý ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÓÒ ÙØ Ú ÖÓ Ò Ó Ñ ÓÖ Ò Cº Ç ÖÚ Ø Ø Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÓÚ Ð ÖÐÝ Ú Ò ØÙÖ Ð ÔÐ Ò Ö Ñ Ò Ó R(C)º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÓÒÐÝ ÓÒ Ö Ø ÔÖ ÔÐ Ò Ö Ñ Ò º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÓÙØ Ö Ó R(C) Û ÐÐ Û Ðй Ò º ÆÓØ Ø Ø R(C) Ñ Ü ÑÙÑ Ö ÓÙÖº Ä Ø Ù ÓÒ Ö Ü ÒØ Ö g 5 Ò ÖÐ Ö Ô G 1 Û Ø ÖØ Ø Ð Ø g Ù Ø Ø (G 1 ) > 2 g 4 Ò Ù Ø Ø G 1 Ñ Ò Ñ Ð Û Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØݺ Ì Ø ÓÖ ÒÝ ÖÐ Ö Ô H Û Ø ÖØ Ø Ð Ø g Ò Ù Ø Ø V (H) < V (G 1 ) Û Ú (H) < 2 g 4 º Ç ÖÚ Ø Ø Ý Ñ Ò Ñ Ð ØÝ G 1 Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÒÝ 1¹Ú ÖØ Ü Ò ÓØ ÖÛ Ý Ö ÑÓÚ Ò Ø Û ÛÓÙÐ Ó Ø Ò Ñ ÐÐ Ö Ö Ô Û Ø Ð Ö Ö Ú Ö Ö º Ä Ø C 1 Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó G 1 º Á Ø ÓÙØ Ö Ó Ø ÔÐ Ò Ö Ñ Ò Ó R(C 1 ) ÓÒØ Ò ¹Ú ÖØ Ü Û ÔÔÐÝ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ C 1 Û Ú Ò Û Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ C 2 Ò Ò Û ÖÐ Ö Ô G 2 Û Ø ÖØ gº Ä Ø u ÒÓØ ¹Ú ÖØ Ü ÓÒ Ø ÓÙØ Ö Ó R(C 1 )º ÁØ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ò ØÛ Ò ØÓ Ú ÖØ v 1 Ò v 2 Ó G 1 Ö ÔÖ ÒØ Ý ØÛÓ ÖÓ Ò ÓÖ c 1 Ò c 2 Ò C 1 º Ë Ò u ¹Ú ÖØ Ü Ò R(C 1 ) Ø ÓÖ c 1 Ò c 2 Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÖÓ ØÛÓ ÓÖ c 1 Ò c 2 Ô Ø Ò ÙÖ º Ä Ø v 1 Ò v 2 Ø Ú ÖØ Ó G 1 Ó Ø ØÓ c 1 Ò c 2 º Ë Ò u ÓÒ Ø ÓÙØ Ö Ó R(C 1) v 1 Ò v 2 Ö ÒÓØ ÒØ Ò G 1º À Ò Û Ò Ô Ø Ó g 4 ÓÖ ØÛ Ò c 1 Ò c 2 Ô Ø Ò ÙÖ º Ä Ø C 2 ÒÓØ Ø Ò Û Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò G 2 Ø Ó Ø ÖÐ Ö Ô º Ì g 4 Ú ÖØ
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P etit pat hw o rk de ombinatoire énumérative Mireille Bousquet-Mélou, CNRS, LaBRI, Bo rdeaux http://www.lab ri.fr/ b ousquet
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