SIMULATION HYBRIDE EN TEMPOREL D UNE CHAMBRE REVERBERANTE

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1 SIMULATION HYBRIDE EN TEMPOREL D UNE CHAMBRE REVERBERANTE Sébastien LALLECHERE - Pierre BONNET - Fatou DIOUF - Françoise PALADIAN LASMEA / UMR6602, 24 avenue des landais, Aubière Résumé. Cet article propose des modélisations hybrides de Chambres Réverbérantes à Brassage de Modes (CRBMs). Pour la simulation de structures fermées, telles que les chambres réverbérantes (CR), certains points se révèlent cruciaux, à savoir traiter les problèmes de dissipation numérique, prendre en compte des géométries complexes ainsi que les pertes réelles. La réalisation de tests numériques impliquant des modèles CR combinant techniques Différences Finies et Volumes Finis dans le Domaine Temporel (DFDT et VFDT) permet de compléter cette étude en présentant l'intérêt de méthodes de résolution hybrides. I. CONTEXTE Des travaux récents [1] ont démontré les avantages, à partir d un schéma DF classique, d une approche temporelle pour la simulation numérique des CRBMs. Afin de conduire à des simulations plus réalistes de ce moyen de mesures, une voie consiste à s orienter vers la mise en œuvre de méthodes temporelles intrinsèquement conformes. Les méthodes VFDT, de par leurs aptitudes à considérer de façon naturelle des maillages conformes, non structurés et fortement inhomogènes présentent ainsi un intérêt majeur. Leur caractère dissipatif peut cependant apparaître comme un handicap pour la simulation d un problème résonnant, comme par exemple une CRBM [2]. Compte tenu des critères normatifs proposés [3] pour les mesures en CR, l analyse du comportement en basses fréquences se révèle particulièrement intéressante. Ainsi, quelque soit la chambre réverbérante étudiée, l impact de la qualité du brassage est primordial pour les gammes de fréquences basses. S appuyant sur l étude fine de caractéristiques physiques réalistes de CR, la suite de cet article va permettre de mettre en avant l intérêt d un outil permettant d hybrider des schémas DFDT et VFDT. Cette technique permet de prendre en compte conjointement les géométries complexes de brasseurs et les pertes intrinsèques de chaque CRBM. II. PERTES REELLES ET NUMERIQUES Pour simuler au mieux une CRBM, il convient de considérer un modèle intégrant l ensemble des pertes réelles : puissance dissipée dans les parois, câbles, antennes, etc. La démarche retenue est détaillée dans [1]. Elle consiste, grâce à un filtre temporel numérique appliqué dans une phase de posttraitement, à introduire les pertes réelles de la CRBM à partir de son facteur de qualité Q mesuré (Fig.1). Dans une première étape, les simulations numériques temporelles de CRBM idéales (i.e. sans pertes), en tenant compte de la présence du brasseur, sont donc réalisées. L approche temporelle volumique choisie apporte différents avantages décisifs pour des études en CRBM. Elle permet à la fois de favoriser les études larges bandes et également d autoriser pour de faibles surcoûts (temps de simulation, capacité mémoire) le traitement de cas plus complexes (ajout d équipements, montée en fréquence) par rapport au formalisme fréquentiel. La démarche précédente a été validée en utilisant un schéma DFDT classique et a permis un recalage en puissance par rapport à des mesures expérimentales [4]. Le facteur Q utilisé, qui est la valeur moyenne sur l ensemble des points de mesures et sur les positions du brasseur, varie entre 81 et 198 sur la gamme de fréquence allant de 80 à 120MHz (f s 1,5*f s, avec f s correspondant à la fréquence de départ d utilisation de la CRBM du LASMEA suivant les critères proposés dans [3]). Comme rappelé précédemment, le domaine des basses fréquences nécessite un soin particulier quant à l étude de l efficacité du brassage en CR. Dans ce cadre, la conformité géométrique du brasseur modélisé se révèle prépondérante. L extension naturelle des travaux de [4] est d utiliser une méthode numérique temporelle conforme pour décrire de façon plus précise les géométries complexes des objets internes à une CRBM, en général le brasseur de modes et les équipements sous test. De ce point de vue les méthodes VFDT sont de très bonnes candidates. Toutefois, ces dernières présentent un inconvénient majeur puisqu elles sont dissipatives du point de vue numérique. Malgré la variété de schémas VF qui ont pu être développés, à notre connaissance, il n existe pas de schéma VFDT non dissipatif réellement applicables pour ces problématiques réverbérantes.

2 La Fig.1 illustre le principe de la prise en compte des pertes, et souligne l impossibilité d utiliser un schéma VFDT pur pour la simulation de CRBMs réelles quand bien même ce dernier est optimisé vis-à-vis de la dissipation [2]. On constate qu il est nécessaire de réaliser une double interpolation (DF/VF). Tout d abord, d un point de vue VF, dans les cellules B et C, les champs sont calculés aux centres de gravité par le biais du schéma VFDT. Les champs au centre de la cellule A n étant pas connus en VF, il est nécessaire d utiliser les grandeurs champs électriques Différences Finies sur les arêtes de la face S A : E p, p=1,2,3,4. On peut en estimer une valeur vectorielle E SA * au centre de S A : 4 * SA = λp p p= 1 E E (1) Fig.1 Principe de l intégration des pertes réelles dans les simulations de CRBMs. La Fig.1 permet de noter que les pertes numériques du schéma VF sont supérieures aux pertes réelles (i.e. introduites par le biais du filtre Q). Néanmoins, les travaux de [1] ont montré que si les pertes numériques restaient inférieures aux pertes de la CRBM, la méthodologie précédente, qui consiste à prendre en compte ces dernières dans une phase de posttraitement, reste valide. Une solution consiste alors à n utiliser les VF que pour les parties complexes, et à les hybrider avec les DF pour la description des volumes restants, afin de minimiser les pertes numériques dues aux VF. Le principe de cette technique est introduit dans la section suivante. III. STRATEGIE D HYBRIDATION L une des difficultés principales concernant la mise en œuvre de schémas hybrides, au-delà du principe théorique, repose sur le développement de logiciels de maillages tridimensionnels dédiés. III.1 Schéma hybride Reposant sur le principe illustré par la Fig.2, l hybridation DF/VF réalisée s appuie sur le caractère local des schémas DFDT et VFDT. Fig.2 Principe de l hybridation DFDT/VFDT. En effet, même si la localisation des inconnues est différente d un modèle à l autre, le calcul des grandeurs électromagnétiques dans une cellule élémentaire choisie nécessite uniquement les données issues des volumes voisins. A l aide de la valeur E SA * calculée dans (1), il reste à estimer l expression volumes finis des conditions de flux [2] sur la surface limite S A selon : n E = n E (2) * * S A * Y * B SA B ( ) n H = n n E E + n H (3) Avec : Y = ε / μ, l admittance du milieu de propagation. De la même manière, les grandeurs champs électriques du schéma DF sont estimées sur la zone tampon à partir de grandeurs VF. Par exemple, la composante E z DF est calculée en s appuyant sur les valeurs VF des cellules B, C, D et E (voir Fig.2) : E = α E (4) z j z, j j= B, C, D, E Les expressions (1) et (4) font apparaître des coefficients réels λ p et α j qui dépendent de la forme définie pour la zone tampon DF/VF. Ainsi, les efforts doivent être concentrés sur la génération d une grille hybride DF/VF (maillages structurés ou non) à l interface entre les domaines respectifs DF et VF, facilitant la double interpolation précédente. Dans cette étude, un intérêt particulier est réservé à la génération de la grille de calcul hybride nécessaire aux simulations. Dans la suite de cet article, la construction propre du recouvrement DF/VF suivant le principe de la Fig.2 est détaillée. III.2 Maillage Hybride Comme on l a souligné précédemment, l un des freins à l implémentation de ces méthodes réside sans conteste dans l obtention du maillage hybride et surtout dans la gestion des interfaces entre les différents domaines. Pour l étude de la dissipation du schéma VF, nous avons été amenés, dans un premier temps, à considérer des maillages hybrides en une dimension d espace (1D). La génération de la grille hybride DF/VF, suit alors les trois étapes suivantes (Fig.3) :

3 création du maillage non structuré à l aide du logiciel Hypermesh et mise au format du code VF, génération de la zone tampon (interface DF/VF), définition des zones heptaédrique puis hexaédriques, description implicite de la zone structurée réservée au schéma DF (maillage cartésien recouvrant la grille VF au niveau de la cellule B). La seconde étape est la plus délicate. Toutefois, en 1D le processus est simplifié par le caractère relativement structuré de l interface. On débute, côté VF, par une plaque discrétisée par des triangles rectangles sur laquelle sont créés des heptaèdres droits. Ces volumes finis tampons assurent la transition entre les tétraèdres NS et les cellules VF hexaédriques. On s appuie ainsi sur la très grande souplesse du schéma VF en ce qui concerne la géométrie des cellules de discrétisation. On pourrait se satisfaire de cette couche d heptaèdres pour la zone tampon ; cependant, pour éviter des interpolations des champs volumes finis à partir des tétraèdres, il est préférable de rajouter une couche de cellules hexaédriques. nécessité d une procédure efficace et automatique de maillage puisque, du fait des critères normatifs [3], il peut être nécessaire de décrire 51 positions du brasseur (i.e. de définir 51 maillages DF/VF hybrides distincts). L algorithme développé, basé sur des valeurs entières associées aux sommets des volumes manipulés, est relativement simple et général. Ainsi, plusieurs configurations sont possibles : hybridation faite à l intérieur de l objet, à l extérieur ou bien la partie de maillage NS peut se situer de part et d autre de la peau de l objet avec une zone extérieure et intérieure à l objet pour la partie de maillage structuré. L utilisation de cette procédure automatique de génération de maillage hybride permet de décrire au plus près la géométrie du brasseur (Fig.4) et d équipements complexes en CRBM (Fig.5). Fig.3 Vue éclatée hybride DF/VF 1D. En trois dimensions, le principe reste le même, seule la mise en œuvre informatique est moins immédiate. Pour ce faire, la démarche suivante a été adoptée : génération avec le logiciel Hypermesh du maillage de peau de la structure étudiée, interception de ce maillage Non Structuré (NS) avec la grille DF fournissant son équivalent Structuré (S), épaississement de cette dernière d une maille DF suivant toutes les directions afin de ménager un espace suffisant pour la création des mailles volumiques NS entre la peau de l objet et la surface S, division de chaque rectangle de S en deux triangles pour entamer le processus de croissance des heptaèdres et des hexaèdres. L exemple de la génération du maillage hybride du brasseur en CR est particulièrement révélateur de la Fig.4 Génération du maillage hybride du brasseur de la CRBM du LASMEA. Fig.5 Génération du maillage hybride d un équipement automobile générique. Outre l optimisation quant à la prise en compte de la géométrie complexe des équipements à l intérieur de

4 la CRBM, la génération de maillages hybrides laisse entrevoir la mise en place de méthodes automatiques et précises de qualification du brasseur. A titre d exemple, la génération précédente du maillage hybride autour du brasseur représente quelques milliers de cellules tétraédriques VF. Ceci, compte tenu des résultats à suivre, se révèle tout à fait compatible avec l utilisation d une méthode hybride DF/VF afin de limiter les effets dissipatifs VF. Conscient des multiples réflexions des ondes dans un environnement purement réverbérant, il est important de s assurer du bon comportement de l interface dans le sens DF/VF mais également dans le sens VF/DF. IV. SIMULATIONS HYBRIDES EN CRBM IV.1 Influence de la zone non structurée hybride Contrairement aux problèmes en espace libre pour lesquels un tel schéma hybride a déjà été employé [5], pour un problème fermé comme celui d une CRBM, les champs traversent plusieurs fois la frontière structuré/non structuré. La validité du modèle numérique hybride a été illustrée sur un cas canonique simple : propagation d une onde plane dans un dispositif tridimensionnel PEC/PMC [2] sur une grille hybride DF/VF. En considérant un point de sortie situé dans le domaine de recouvrement des zones DF et VF (Fig.2), un intérêt particulier peut être apporté au transfert des données DF/VF. On peut évaluer l erreur relative due à l hybridation dans le domaine fréquentiel selon : IV.2 Utilisation du filtre d insertion des pertes La configuration principale d étude dans les résultats à venir correspond à la CRBM du LASMEA de dimensions égales à 6.7m*8.4m*3.5m dont le comportement est simulé à l aide de techniques DF et hybrides DF/VF. Avant de présenter les résultats numériques pour ces schémas hybrides respectivement monodimensionnels (1D) et tridimensionnels (3D), il convient de revenir sur la viabilité de l utilisation du filtre électronique d intégration des pertes. En effet, comme on l a souligné dans la section II, le modèle de pertes employé dans cette communication [1] modélise les pertes physiques réelles en CR. On doit dans un premier temps, considérant les résultats d une simulation hybride DF/VF de la CRBM du LASMEA, s assurer que les pertes numériques liées à la partie VF restent bien inférieures à celles induites par le modèle électronique [1]. La Fig.7 traduit le respect du critère précédent préalable à toute utilisation du modèle hybride présenté dans cet article. Contrairement au cas de la Fig.1 qui laissait apparaître des pertes supérieures (pour un modèle VF seul) aux pertes du filtre, on constate que les niveaux de champs électriques DF/VF restent nettement au dessus de ceux issus du traitement de données obtenues avec la méthode DF associée au filtre tenant compte du facteur de qualité. E ( f) E ( f) Δ = (5) * ** */** cell 2 cell 2 cell 2 ( f ) * Ecell 2 ( f) Avec * et ** respectivement les grandeurs référence et simulée (*/**=DF/VF si sens de propagation DF/VF et estimation de l erreur commise lors de l hybridation). Fig.6 Erreur numérique lors de la transmission d une onde plane aux interfaces DF/VF et VF/DF. Les résultats présentés sur la Fig.6 montrent que les niveaux fréquentiels de l erreur commise entre les données VF (ou DF) incidentes sur l interface et celles transmises dans la zone DF (ou VF) restent faibles. Fig.7 Comparaison des niveaux temporels de champ entre modèles DF avec perte et DF/VF sans perte. Outre la non influence du caractère dissipatif du schéma VF sur la phase d introduction des pertes, l utilisation du filtre révèle un autre avantage. Ainsi, des modélisations temporelles par des méthodes non dissipatives existent, mettant en œuvre des pertes physiques sur les limites du domaine de calcul [6, 7]. Toutefois, ces dernières nécessitent une analyse fine des valeurs de pertes à introduire dans les simulations. En effet, de faibles variations autour de ces dernières peuvent entraîner des écarts importants en termes de niveaux de champs simulés et de temps de simulations [2]. Dans ce cadre, de manière similaire à ce qui doit être réalisé en expérimentation, le choix des paramètres physiques de pertes nécessite une phase de calibrage. Cette étape doit être répétée pour une configuration donnée de CRBM (vide, en présence d équipements, etc), mais également dans l optique où il serait envisagé de changer de méthode de résolution

5 (par exemple passer des DF à une méthode hybride ou TLM). L utilisation du modèle de pertes décrit dans [1] évite ces difficultés et à partir du moment où on s assure que la méthode de simulation employée entraîne des pertes numériques de niveaux inférieurs aux pertes réelles, la technique peut être utilisée sans difficulté. C est la raison pour laquelle, dans la suite, on s attache aux résultats bruts temporels de modélisations hybrides DF/VF de CRBMs, mais également que l on présente des données fréquentielles post-traitées à l aide du filtre de [1]. IV.3 Hybridation monodimensionnelle en CR Dans cette partie, différents modèles de CRBM hybride (hybridation 1D selon une direction de l espace) sont réalisés. On fait varier la part accordée à la zone non structurée VF afin de mettre en exergue l influence de cette dernière sur les résultats finaux. La réalisation des expériences numériques évoquées précédemment permet de dégager divers modèles de CRBM hybrides faisant intervenir chacun un volume de cellules non structurées VF différent (voir table I). La simulation de référence est réalisée en DF pour la CRBM du LASMEA vide, afin d éviter les artefacts dus aux discrétisations géométriques différentes suivant les schémas DF ou VF. Un pas spatial uniforme Δx=Δy=Δz=10cm correspondant à λ/20 pour la fréquence la plus élevée est utilisé. La source ponctuelle (excitation du champ électrique dans les trois directions de l espace) et le point d observation sont toujours situés dans la partie DF. Table I Récapitulatif des simulations hybrides 1D. Cas d étude DF/VF1(1D) DF/VF2(1D) % CRBM VF 39% 4% IV.3 Résultats numériques tridimensionnels Suivant le principe général d hybridation évoqué dans la section III et reprenant les tests numériques précédents (i.e. mettant en jeu différentes tailles de domaines volumes finis en CRBM et une hybridation tridimensionnelle), on réalise différentes simulations (voir table II) visant à démontrer la viabilité de la méthode hybride DF/VF en trois dimensions (3D). Comme dans le cas précédent, la simulation de référence est obtenue à partir du modèle DF de CRBM vide utilisant source ponctuelle et point de sortie à l intérieur du domaine DF. Table II Répartition du nombre de volumes finis dans les simulations hybrides 3D. Cas d étude DF/VF1(3D) DF/VF2(3D) Nb cellules VF Fig.9 Champ électrique temporel pour différentes simulations hybrides 3D en CRBM. Les résultats de la Fig.9 illustrent l influence de la part VF utilisée (voir table II) dans les simulations hybrides. La superposition des courbes DF (référence) et DF/VF2 témoigne du bon comportement du schéma hybride développé. Fig.8 Répartition fréquentielle du champ électrique pour différentes simulations hybrides en CRBM. La Fig.8 présente les premiers résultats obtenus illustrant l intérêt de l utilisation d une technique hybride. En effet, les données fréquentielles obtenues (intégration du facteur de qualité mesuré) pour les courbes DF (référence) et DF/VF2 sont en accord. Les niveaux pour le schéma hybride sur la gamme de fréquence considérée sont similaires aux valeurs de référence. Cette méthode semble donc viable (dans la mesure où il est possible de limiter la part VF dans le modèle hybride) et la section suivante s attache à son extension tridimensionnelle en CRBM. Fig.10 Comparaison fréquentielle DF (référence) et simulation hybride DF/VF2. L application du processus d intégration des pertes évoqué dans la section II est réalisée de manière similaire au cas DF seul et permet, de retrouver des niveaux comparables de champ électrique normalisé (Fig.10). Ainsi, l utilisation d une technique hybride DF/VF nous permet, en autorisant toujours la description optimale des géométries impliquées en environnement CRBM, de limiter les effets de la dissipation VF.

6 V. CONCLUSION Dans le cadre de cette communication, un modèle hybride DF/VF a été développé. Ce dernier comprend à la fois la génération automatique autour des objets d étude (brasseur, équipement sous test) du maillage VF ainsi que l hybridation des méthodes numériques DFDT et VFDT. Les résultats numériques obtenus permettent de valider le bon comportement du schéma implémenté. En outre, la limitation du domaine VF (autour des équipements sous test pour les problématiques CRBMs) assure un contrôle des effets dissipatifs du schéma VF et ainsi justifie le recours au modèle d intégration des pertes réelles mesurées en chambres réverbérantes. Cette approche ouvre une voie pour des simulations plus réalistes de CRBMs. REFERENCES [1] P. Bonnet, R. Vernet, S. Girard, F. Paladian, "Intégration des pertes dans les simulations temporelles des chambres réverbérantes", CEM06, St-Malo, pp , [2] S. Lalléchère, "Modélisations numériques temporelles des CRBM en CEM. Contribution aux schémas Volumes Finis", Thèse de doctorat de l université de Clermont-Ferrand II, décembre [3] "Reverberation chamber test method", IEC draft electromagnetic compatibility (EMC) Part 4: testing and measurement techniques, section 21, [4] R. Vernet, "Approche mixte théorie / expérimentation pour la modélisation numérique de chambres réverbérantes à brassage de modes", Thèse de doctorat de l université de Clermont-Ferrand II, juin [5] X. Ferrières, J.-P. Parmantier, S. Bertuol, A.R. Ruddle, "Application of a hybrid finite difference/finite volume method to solve an automotive EMC problem", IEEE Trans. Electr. Compat., Vol. 46, No. 4, pp , November [6] F. Moglie, "Convergence of the reverberation chambers to the equilibrium analyzed with the finite difference time domain algorithm", IEEE Trans. Electromagn. Compat., Vol. 46, No. 3, pp , August [7] A. Coates, H.G. Sasse, D.E. Coleby, A.P. Duffy, A. Orlandi, "Validation of a Three-Dimensional Transmission Line Matrix (TLM) Model Implementation of a Mode-Stirred Reverberation Chamber", IEEE Trans. Electromagn. Compat., Vol. 49, No. 4, pp , November 2007.

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