PROUHET-TARRY-ESCOTT. j {0,1,..., k}

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1 PROUHET-TARRY-ESCOTT LAURENCE BOCLE, REMI BLOCH, JULIEN TERRIER, MATHIEU ZOUBERT ERE S LYCEE MONTAIGNE BORDEAUX LE PROBLÈME DE PROUHET-TARRY-ESCOTT : Soet A = (a,,a s et B = (b,,b t eux famlles eters aturels, et sot k u eter aturel. O t que A et B sot k-équvalets et o ote A k B, s la coto s t {0,,..., k} a = b est vérfée. E partculer, lorsque = 0, cela etraîe que s = t. Par exemple, (0, 4, 5 (,, 6 car + + = + + = 3, = = 9 et 0² + 4² + 5² = ² + ² + 6² = 4, mas (0, 4, 5 est pas 3-équvalet à (,, 6 car = 89 5= O se fxe mateat ue valeur e k et o recherche es famlles A at B telles que A k B et A k+ B. O ote T(k le ombre mmal élémets e ces famlles ; o veut étuer la focto T(k. O suppose A k B, avec A = (a, a,, a et B = (b, b,, b. Motrer que pour tout eter, A k B, avec A = (a, a,, a, b +, b +,, b et B = (b, b,, b, a +, a +,, a. Par exemple, e partat e A = (0, 3 et B = (,, o pre = 3 et o obtet (0, 3, 4, 5 (,, 3, 6 c est-à-re (0, 4, 5, (,, 6. E recommeçat avec = 5, o trouve (0, 4, 5, 6, 7, 3 (,, 6, 5, 9, 0 c est-à-re (0, 4, 7, 3 (,, 9, 0. Teter obter es pettes solutos as. COMMENT TROUVER DEUX ENSEMBLES k+ EQUIVALENTS A PARTIR DE DEUX ENSEMBLES k EQUIVALENTS Soet : { a, a,, a } et B { b, b,, b } A= = * tels que k avec et A B N k N O se propose e émotrer que : A = avec Il faut oc prouver que : As que A k+ { a, a,, a, b+, b +,, b + } B = { } b, b,, b, a +, a +,, a + et N = ( = k+ k+ k+ ( ( k+ a ( + b + = b + a + B

2 = = k k k k ( a + ( b = ( b + ( a = = k k k k ( a + ( b = ( b + ( a = = ( a + ( b = ( b + ( a Formule utlsée : ( a+ b = ( αa b = Sot: S = ( e même : = = 0 a + ( b = a + a + + a + ( b + ( b + + ( b k+ k+ k+ k+ k+ k+ k+ k+ = S = ( = b + ( a = b + b + + b + ( a + ( a + + ( a k+ k+ k+ k+ k+ k+ k+ k+ Or pusque A B, o a : k k k k k k k k k k k k k = = E éveloppat S et S avec la formule quée pour es valeurs e allat e 0 à k+, o remarque que les k + termes k + a, b apparasset e la même maère as S et S et que les sommes précéetes apparasset auss avec les mêmes coeffcets, oc : e même, l est facle e émotrer que : S=S = = k k k k ( a + ( b = ( b + ( a = = k k k k ( a + ( b = ( b + ( a = = ( a + ( b = ( b + ( a Doc : S { a, a,, a } { b, b,, b } k

3 Alors { a, a,, a, b +, b +,, b + } { b, b,, b, a +, a +,, a + } k+ Calcul e T(0 : O a ( 0 (6 car 0 =6 0 =. Pusqu o a u exemple où T(0=, alors T(0. S T(0=0, alors A et B ot pas e ses, oc T(0>0. O a 0<T(0.Comme o cherche la plus pette valeur etère e T(0, o a T(0=. Calcul e T( : O veut émotrer que T( =. O motre abor que T(. + = + O a u exemple esembles -équvalets à élémets { 6; 4} { 3;7 } car = Doc T(. O motre esute que T( >. S T( =, alors o a A = (a et B = (b ce qu mplque a=b et A=B. Par éfto c est mpossble.doc T(>. < T(. T( la plus pette valeur etère. T( =. Calcul e T( : O coecture mateat que T(k = k +. Vérfos que T( = 3. O verra abor que T ( 3 pus que T ( > O sat que T ( 3 Car o u exemple e esembles -équvalets avec 3 élémets. { 0, 4,5} {,,6} E effet o a ++= = =+4+36 O va chercher à prouver par l absure que T ( oc que T ( > S T ( = alors l exste esembles A et B -équvalets avec élémets tels que: A= { a, b} avec a c, a et b c, b B= c, { } A B a + b = c + a + b = c + a + b = c +

4 a= c+ b a + b = c + a + b c = 0 O remplace a par c+ b b bc b + c = 0 ( 0 b bc b + c = ( b c( b = 0 b= c ou b= Comme a= c+ b, o a : a= ou a= c et b= c ou b=, ce qu est Impossble car A et B seraet les mêmes esembles. O e éut alors que T ( >. As o a < T( 3 T( = 3 car T( ot être u eter aturel. Calcul e T(3 : O se propose e prouver que T(3=4 ; Pour cela, ous verros as u premer temps que T(3 > 3 : Dre que T(3=3 mplque le système suvat : + + = + + a + b + c = + e + f a + b + c = + e + f a + b + c = + e + f (s E élevat L au carré et e lu soustrayat L, o obtet la euxème lge u système équvalet : ( ( O sat que a+ b+ c = a + b + c + ab+ bc+ ac ( a+ b+ c L Doc : = L De la même maère, s o élève au cube L et e combat avec L et L 3, o obtet : ( ( O a a+ b+ c = a + b + c + 3ab+ 3ac+ 3bc+ 3cb+ 3ba+ 3ca+ 6abc 3 ( a+ b+ c 3 L L + L3 Doù = L3 6 O obtet le système auxlare suvat : a+ b+ c= + e+ f (s ab + bc + ca = e + ef + f abc = ef

5 Ce système traut l égalté e eux polyômes : P x = x a x b x c et Q x = x x e x f ( ( ( ( ( ( ( ( car e les éveloppat, o obtet es coeffcets égaux. Or ces eux polyômes sot égaux s et seulemet s{ a, b, c} = {, e, f }; ce qu cotret os hypothèses, oc o sat que T(3 > 3. Étuos les eux esembles suvats : A = {,4,5,8} et B = {,,7,7} = = = = = = 70 Et l égalté est fausse avec les pussaces 4. (4978 et 4834 A et B sot oc 3-équvalets. O a oc T(3<5. Cocluso : 3 < T(3 < 5 et T(3 est u aturel, oc T(3 = 4. Lste exemples e T(k=k+ ( 6 0 ( 8 ( 3;7 ( 6;4 ( 0;4;5 ( ;;6 ( ;4;5;8 3 ( ;;7;7 ( 0 ; 8 ;3 ; 5 ; 6 4 ( ; 5 ;8 ; 0 ; 8 ( 0;9;5;57;6;86 ( ;;40;4;69;85 5 ( 0 ;8 ;9 ; 50 ; 56 ; 79 ; 8 ( ;; 30 ; 39 ; 68 ; 70 ; 84 6 Nous pesos que pour 4, 5, 6 la méthoe exposée pour et 3 s applque avec u peu plus e calculs