M AT H E M AT I Q U E S

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1 BACCALAUREAT BLANC GENERAL SESSION FEVRIER 2014 M AT H E M AT I Q U E S SERIE S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 (9 pour la spécialité) Ce sujet comporte pages numérotées de à L utilisation d une calculatrice est autorisée selon les termes de la circulaire nº du 16 novembre 1999 Le candidat doit traiter les quatre exercices Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. 1 / 8

2 Exercice 1 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la suite u n définie par u 0 = 1 2 et telle que pour tout entier naturel n, u = 3 u n n 1 1 2u n 1. a. Calculer u 1 et u 2. b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 < u n. 2. On admet que pour tout entier naturel n, u n < 1. a. Démontrer que la suite u n est croissante. b. Démontrer que la suite u n converge. 3. Soit v n la suite définie, pour tout entier naturel n, par v n = u n 1 u n a. Montrer que la suite v n est une suite géométrique. b. Exprimer pour tout entier naturel n, v n en fonction de n. c. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 3n 3 n 1 d. Déterminer la limite de la suite u n. 2 / 8

3 Exercice 2 (4 points) Commun à tous les candidats Les quatre questions sont indépendantes. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte,mais toute trace de recherche sera valorisée. 1. Dans l espace rapporté à un repère orthonormal (O, i, j, k ), on considère les droites D 1 et D 2 de représentations paramétriques respectives : { x=4 t y=6 2t z=4 t Affirmation : les droites D 1 et D 2 sont coplanaires., t R, et { x=8 5t y=2 2 t z=6 t, t R. 2. On considère l arbre de probabilités suivant : Affirmation : La probabilité de l événement A sachant que l événement B est de Dans l espace muni d un repère orthonormé, on considère les points A 12 ;0; 0, B 0; 0;20, Affirmation : Une représentation paramétrique de la droite (AB) est : { x=9 3t y=0, t R. z=5 5t 4. Soit A et B deux événements indépendants. Soit A désignant l'événement contraire de A. Affirmation : Les événements A et B sont indépendants. 3 / 8

4 Exercice 3 (6 points) Commun à tous les candidats Étant donné un nombre réel k, on considère la fonction f k définie sur R par f k x = 1 1 e kx Le plan est muni d un repère orthonormé (O, i, j ), unité graphique 2,5 cm. Partie A Dans cette partie, on choisit k = 1. On a donc, pour tout réel x, f 1 x = 1 1 e x La représentation graphique C 1 de la fonction f 1 dans le repère (O, i, j ) est donnée en ANNEXE, à rendre avec la copie. 1. Déterminer les limites de f 1 x en + et en et interpréter graphiquement les résultats obtenus. 2. Démontrer que, pour tout réel x, f 1 x = ex 1 e x. 3. On appelle f 1 la fonction dérivée de f 1 sur R. Calculer, pour tout réel x, f 1 x. En déduire les variations de la fonction f 1 sur R Calculer le nombre I = 0 Partie B f 1 x d x.. Donner une interprétation graphique de I. Dans cette partie, on choisit k = 1 et on souhaite tracer la courbe C 1 représentant la fonction f 1. Pour tout réel x, on appelle P le point de C 1 d abscisse x et M le point de C 1 d abscisse x. On note K le milieu du segment [MP]. 1. Montrer que, pour tout réel x, f 1 x f 1 x =1 2. En déduire que le point K appartient à la droite d équation y= Tracer la courbe C 1 sur l ANNEXE, à rendre avec la copie. 4. En déduire l aire, en unités d aire puis en cm 2, du domaine délimité par les courbes C 1, C 1 l axe des ordonnées et la droite d équation x = 1. Partie C Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre k. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. 1. Quelle que soit la valeur du nombre réel k, la représentation graphique de la fonction f k est strictement comprise entre les droites d équations y = 0 et y = Quelle que soit la valeur du réel k, la fonction f k est strictement croissante. 3. Pour tout réel k >10, f k 0,99. 4 / 8

5 Exercice 4 (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Les deux parties sont indépendantes Le robot Tomdoit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière : Soit il avance d un pas tout droit ; Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ; Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit). On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables. L objectif de cet exercice est d estimer la probabilité p de l évènement S «Tom traverse le pont» c est-àdire «Tom n est pas tombé dans l eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements». Partie A : modélisation et simulation On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d un repère orthonormé (O, I, J) comme l indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0 ; 0) au début de la traversée. On note (x ; y) les coordonnées de la position de Tom après x déplacements. On a écrit l algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de x déplacements : 1. On donne les couples suivants : ( 1 ; 1) ; (10 ; 0) ; (2 ; 4) ; (10 ; 2). Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme? Justifier la réponse. 2. Modifier cet algorithme pour qu à la place de «la position de Tom est (x ; y)», il affiche finalement «Tom a réussi la traversée» ou «Tom est tombé». 5 / 8

6 Partie B Pour tout n entier naturel compris entre 0 et 10, on note : A n l évènement «après n déplacements, Tom se trouve sur un point d ordonnée 1». B n l évènement «après n déplacements, Tomse trouve sur un point d ordonnée 0». C n l évènement «après n déplacements, Tomse trouve sur un point d ordonnée 1». On note a n,b n,c n les probabilités respectives des évènements A n, B n,c n. 1. Justifier que a 0 =0, b 0 =1 et c 0 =0 2. Montrer que pour tout entier naturel n compris entre 0 et 9, on a { a a n 1 = n b n 3 b n 1 = a n b n c n 3 On pourra s aider d un arbre pondéré. 3. Calculer les probabilités p A 1, p B 1 et p C Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements À l aide d un tableur, on a obtenu la feuille de calcul ci-contre qui donne des valeurs approchées de a n, b n,c n pour n compris entre 0 et 10. Donner une valeur approchée à 0,001 près de la probabilité que Tom traverse le pont (on pourra s aider du tableau ci-contre). 6 / 8

7 Exercice 4 (5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité 7 / 8

8 ANNEXE Exercice 3 (A rendre avec la copie) ANNEXE Exercice 4 spécialité 8 / 8