On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3.

Transcription

1 T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l ure : Si la boule est blache, o la remet das l ure et o ajoute boules blaches supplémetaires Si la boule est oire, o la remet das l ure et o ajoute boules oires supplémetaires O tire esuite au hasard ue secode boule das l ure. O ote : B l évéemet : «o obtiet ue boule blache au premier tirage» : B l évéemet : «o obtiet ue boule blache au secod tirage» ; A l évéemet : «les deux boules tirées sot de couleurs différetes».. as cette questio o pred = 0. a. Calculer p(b B ) et motrer que p(b ) = 4 O peut représeter la situatio par u arbre : 4 B O a doc p(b B )= p(b ) p (B ) 4 4 B N N B N B = 4 =. 4 p(b )= p(b B ) + p(n B ) = + = = b. Calculer p (B ) B p(b B ) 4 p (B )= = = B p(b ) c. Motrer que p(a) = 0 4 p(a) = p(b N ) + p(n B ) = + = + = O pred toujours = 0. Huit joueurs réaliset l épreuve décrite précédemmet de maière idetique et idépedate. O appelle X la variable aléatoire qui pred pour valeur le ombre de réalisatios de l évéemet A. a. étermier p(x = ). Cette expériece aléatoire est la répétitio de 8 expérieces de Beroulli idetiques et idépedates de paramètre. Cette loi est doc ue loi biomiale de paramètres 8 et 0 0.

2 T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars 7 après le cours p(x = ) = = 6 0, soit fialemet p(x=) 0 0 0, 484 b. étermier l espérace mathématique de la variable aléatoire X. L espérace mathématique de la variable aléatoire X est : E(X) = 8 0 =,4. as cette questio,. Existe-t-il ue valeur de pour laquelle p(a) = 4? as cette questio, o reviet doc à l arbre décrivat l expériece de début d exercice, mais avec + 0 p (B ) =, B p (N ) =, B p (N ) = et N p (B ) = N + 40 O a doc tout comme à la questio.c : p(a) = p(b N ) + p(n B ) Soit, p(a) = + = aisi p(a)= ( + 40) 4 60 = 60 = + 40 = 0 4( + 40) 4 Exercice : Ue etreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fourisseurs, et. as l etreprise, toutes les paires de chaussettes sot regroupées das u stock uique. La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fourisseur, le tiers par le fourisseur et le reste par le fourisseur. Ue étude statistique a motré que : % des paires de chaussettes fabriquées par le fourisseur ot u défaut ;,% des paires de chaussettes fabriquées par le fourisseur ot u défaut ; Sur l esemble du stock,,% des paires de chaussettes ot u défaut.. O prélève au hasard ue paire de chaussettes das le stock de l etreprise. O cosidère les évéemets suivats : : La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fourisseur. : La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fourisseur. : La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fourisseur. : La paire de chaussettes prélevée présete u défaut. a. Traduire e termes de probabilités les doées de l éocé e utilisat les évéemets précédets. p( )=, p()= et p( )= 6 o a aussi, p () = 0, 0, p () = 0, 0 et p() = 0,0.

3 T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars as la suite, o pourra utiliser u arbre podéré associé à cette expériece. 0,0 0,9 0,0 0,98 6 b. Calculer la probabilité qu ue paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fourisseur et présete u défaut. p( )=p( ) p () = 0, 0 = 40 c. Calculer la probabilité de l évéemet. p( )=p( ) p () = 0,0 = 00 d. E déduire la probabilité de l évéemet. après la formule des probabilités totales o a : p( )+p( )+p( )=p() p( )=p()-(p( )+p( )), 7 oc p( )= - - = = e. Sachat que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fourisseur, quelle est la probabilité qu elle présete u défaut. p () p( ) 00 p( ) 00 6 = = =. L etreprise coditioe les paires de chaussettes par lots de six paires. O cosidère que le stock est suffisammet grad pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages idépedats, successifs avec remise. a. Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactemet d u lot présetet u défaut ; o doera u résultat arrodi au millième. après l éocé, p()=0,0, l expériece aléatoire présetée est la successio de 6 expérieces de Beroulli idetique et idépedates de paramètre 0,0, la loi de probabilité de cette expériece aléatoire est la loi biomiale de paramètres 6 et 0,0. O a doc, e otat N le ombre de paires avec défaut, p(n = ) = 0, 0 ( 0, 0) 6 4 0,06.

4 T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars b. émotrer que la probabilité, arrodie au millième, qu au plus ue paire de chaussettes d u lot présete u défaut est égale à 0,98. Avec les mêmes otatios qu au a. le calcul de probabilité demadé est p(n ). 6 p(n )=p(n=0) + p(n=)= 0, , 0 ( 0, 0) 6 0, ,76 o a doc p(n ) 0,98. Exercice : Ue etreprise fabrique des lecteurs mp, dot 6% sot défectueux. Chaque lecteur mp est soumis à ue uité de cotrôle dot la fiabilité est pas parfaite. Cette uité rejette 98% des lecteurs mp défectueux et % des lecteurs mp foctioat correctemet. O ote : l évéemet : «le lecteur mp est défectueux» ; l évéemet : «l uité de cotrôle rejette le lecteur mp».. aire u arbre podéré sur lequel o idiquera les doées qui précèdet. 0,98 0,06 0,0 0,94 0,0 0,9. a. Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et e soit pas rejeté. p( ) = p() p ()=0,06 0,98 = 0,088. b. O dit qu il y a ue erreur de cotrôle lorsque le lecteur mp est rejeté alors qu il est pas défectueux, ou qu il est pas rejeté alors qu il est défectueux. Calculer la probabilité qu il y ait ue erreur de cotrôle. P = p( ) + p( ) = 0,06 0,0 + 0,94 0,0 = 0,048.. Motrer que la probabilité qu u lecteur mp e soit pas rejeté est égale à 0,894. après la formule des probabilités totales o obtiet, p( ) = p( ) + p( ) = 0,00 + 0,94 0,9 = 0, Quatre cotrôles successifs idépedats sot maiteat réalisés pour savoir si u lecteur mp peut être commercialisé.

5 T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars U lecteur mp est : Commercialisé avec le logo de l etreprise s il subit avec succès les quatre cotrôles successifs, étruit s il est rejeté au mois deux fois, Commercialisé sas le logo sio. Le coût de fabricatio d u lecteur mp s élève à 0. So prix de vete est de 0 pour u lecteur avec logo et 60 pour u lecteur sas logo. O désige par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur mp fabriqué, associe le gai algébrique e euros (évetuellemet égatif) réalisé par l etreprise. a. étermier la loi de probabilité de la variable aléatoire G. E cosidérat l expériece aléatoire : «o fait subir quatre cotrôles successifs à u lecteur mp et o compte le ombre N le ombre de succès aux cotrôles», celle-ci est la successio de 4 expérieces de Beroulli idetiques et idépedates de paramètre p( ) = 0,894. La loi de probabilité de celle-ci est ue loi biomiale de paramètres 4 et 0,894. Mais das cette questio o s itéresse à la loi de probabilité du gai G. G peut predre les valeurs : -0, 0 et 70. O a : p(-0 ) = p(n ), p(0 ) = p(n=) et p(70 ) = p(n=4). Aisi d après le cours sur la loi biomiale, p(70 ) = 0, ,69, p(0 ) = 4 0,894 (-0,894) 0,06. oc p(-0 ) = -(p(70 ) + p(0 )) 0,08. Ce qui peut être sythétisé par le tableau suivat : G p 0,08 0,06 0,69 b. Calculer à 0 - près l espérace mathématique de G. oer ue iterprétatio de ce résultat. E(G) = -0 0, , ,69 44,87 Ce qui sigifie que l etreprise peut espérer réaliser u gai de 44,87 par mp vedu. Exercice 4 : as ue kermesse, u orgaisateur de jeux dispose de roues de 0 cases chacue. La roue A comporte 8 cases oires et cases rouges. La roue B comporte 6 cases oires et 4 cases rouges. Lors du lacer d ue roue, toutes les cases ot la même probabilité d être obteues. La règle du jeu est la suivate : Le joueur mise et lace la roue A.

6 T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars S il obtiet ue case rouge, alors il relace la roue B, ote la couleur de la case obteue et la partie s arrête. S il obtiet ue case oire, alors il relace la roue A, ote la couleur de la case obteue et la partie s arrête.. Traduire l éocé à l aide d u arbre podéré. 0, 0, 0,8 N 0,9 N 0, 0,9 N. Soiet E et les évéemets : E : «à l issue de la partie, les cases obteues sot rouges» ; : «à l issue de la partie, ue seule des deux cases est rouge». Motrer que p(e) = 0,0 et p() = 0,7. p(e) = p() p () = 0, 0, = 0,0. p() = p( N) + p(n ) = p() p (N) + p(n) p N ()= 0, 0,8 + 0,9 0, = 0,7.. Si les deux cases obteues sot rouges, le joueur reçoit 0 ; si ue seule des cases est rouge, le joueur reçoit ; sio il e reçoit rie. X désige la variable aléatoire égale au gai algébrique e euros du joueur. a. étermier la loi de probabilité de X. X pred les valeurs : 9, ou -. O a p(x = 9 ) = p(e) = 0,0. O a aussi p(x = ) = p() = 0,7 et efi p(x = - ) = (p(e)+p()) = 0,8. La loi de probabilité de X est doée par le tableau suivat : X 9 - probabilité 0,0 0,7 0,8 b. Calculer l espérace mathématique de X et e doer ue iterprétatio. E(X) = 9 0,0 + 0,7 0,8 = -0,46. Ue joueur peut espérer, e jouat, perdre 46 cets. 4. Le joueur décide de jouer parties cosécutives et idépedates ( N et ). a. émotrer que la probabilité p qu il lace au mois ue fois la roue B est telle que p = (0,9). L expériece à laquelle o s itéresse est la suivate : «le joueur joue parties cosécutives idetiques et idépedates et o compte le ombre de fois où il lace la

7 T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars roue B». Celle-ci est la répétitio de expérieces de Beroulli idetiques et idépedates de paramètre 0, (probabilité de lacer la roue B), la loi de probabilité de celle-ci est doc ue loi biomiale de paramètres et 0, (otée B( ; 0,)). E otat N le ombre de fois où la roue B est lacée et d après le cours, 0 0 p = p(n ) = p(n=0) = (0,) (-0,) = (0,9) b. Justifier que la suite de terme gééral p est covergete et préciser sa limite. après le cours sur les suites, toute suite géométrique de raiso 0<q< coverge vers 0. oc (0,9) ted vers 0 quad ted vers +. oc (p ) coverge vers. c. Quelle est la plus petite valeur de l etier pour laquelle p > 0,9? l 0, p > 0,9 0,9 > 0,9 0,9 < 0, l 0,9 < l 0, > l 0,9 Soit pour >,9. La plus petite valeur de sera doc. Exercice : O dispose de deux ures U et U. L ure U cotiet billes vertes et 8 billes rouges toutes idiscerables au toucher. L ure U cotiet billes vertes et 7 billes rouges toutes idiscerables au toucher. Ue partie cosiste, pour u joueur, à tirer au hasard ue bille de l ure U, oter sa couleur et remettre la bille das U, puis de tirer au hasard ue bille das U, oter sa couleur et remettre la bille das l ure U. A la fi de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes, il gage u lecteur mp. S il a tiré ue bille verte, il gage u ours e peluche. Sio il e gage rie. O ote V l évéemet : «le joueur tire ue boule verte das U» ; V l évéemet : «le joueur tire ue boule verte das U». Les évéemets V et V sot idépedats.. Motrer, à l aide d u arbre podéré, que la probabilité de gager u lecteur mp est p = 0,06. L arbre de probabilité est aussi évidet que das les exercices précédets avec p(v ) = 0,, p( V ) = 0,8, p (V )= 0,, V p (V ) = 0,, V p (V ) = p ( V ) = 0,7. V V O peut doc écrire que p(«gager u lecteur mp») = p = p(v V ) = p(v ) =0, 0, = 0,06.. Quelle est la probabilité de gager u ours e peluche? p (V ) V p(«gager u ours e peluche») = p( V V ) + p( V V ) = 0,8 0, + 0, 0,7 = 0,8.. Vigt persoes jouet chacue ue partie. étermier la probabilité que deux d etre elles exactemet gaget u lecteur mp. O justifiera la répose et o doera ue valeur approchée du résultat à 0-4 près. E cosidérat l expériece aléatoire suivate : Vigt persoes jouet ue partie, elles gaget u lecteur mp avec ue probabilité de 0,06. Cette expériece est la répétitio de 0

8 T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars expérieces de Beroulli idetiques et idépedates de paramètre 0,06. La loi de probabilité de cette expériece est doc la loi biomiale de paramètres 0 et 0,06. Si o ote N le ombre de lecteurs mp gagés lors de ces 0 parties et d après le cours p(n = ) = 0,06 0, , O appelle le ombre de persoes participat à la loterie u jour doé et jouat ue seule fois. O ote p la probabilité que l ue au mois de ces persoes gage u lecteur mp. étermier la plus petite valeur de vérifiat p 0,99. p = p(n ) = p(n=0) = ,06 0,94 = 0,94 l 0,0 p 0,99 0,94 0,99 0,94 0,0 l 0,94 l 0,0 l 0,94 soit 74,4. oc la plus petite valeur de sera 7. Exercice 6 : Au début des travaux de costructio d ue autoroute, ue équipe d archéologie prévetive procède à des sodages successifs e des poits régulièremet espacés sur le terrai. Lorsque le -ième sodage doe lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif. L évéemet «le -ième sodage est positif» est oté V, o ote p la probabilité de l évéemet V. L expériece acquise au cours de ce type d ivestigatio permet de prevoir que : Si u sodage est positif, le suivat a ue probabilité égale à 0,6 d être aussi positif. ; Si u sodage est égatif, le suivat a ue probabilité égale à 0,9 d être aussi égatif. O suppose que le premier sodage est positif, c est-à-dire que p =. Calculer les probabilités des évéemets suivats : a. A «les e et e sodages sot positifs» ; p(a) = p(v V ) = 0,6 0,6 = 0,6. b. B «les e et e sodages sot égatifs» p(b) = p( V V ) = 0,4 0,9 = 0,6.. Calculer la probabilité p pour que le e sodage soit positif. après la formule des probabilités totales, p(v ) = p( V V ) + p( V V ) = 0,6 + 0,4 0, = 0,4.. désige u etier aturel supérieur ou égal à. ecopier et compléter l arbre ci-dessous : 0,6 V + p V 0,4 V + -p V 0, V + 0,9 V +

9 T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars 4. Pour tout etier o ul, établir que p + = 0,p + 0,. N, p + = p(v V +) + p( V V ) = 0,6p + ( p ) 0, = 0,p + 0, +. O ote u la suite défiie pour tout etier aturel o ul par : u = p 0,. a. émotrer que u est ue suite géométrique, e préciser le premier terme et la raiso. N, u = p 0, = 0,p + 0, 0, = 0,p 0, = 0,( p 0,) = 0,u. (u ) + + est géométrique de raiso 0, et de premier terme u = p 0, = 0,8. b. Exprimer p e foctio de. après a. u = 0,8 0, = 0,8 0, =,6 0,. Comme p = u + 0,, o a doc 0, N, p = 0, +,6 0,. c. Calculer la limite de la probabilité p. O a N, p = 0, +,6 0,. Comme 0<0,< doc lim 0, = 0. O obtiet doc que (p ) coverge vers 0,. +