1S corrigé DS 3 Durée :55mn

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1 1S corrigé DS 3 Durée :mn Exercice 1 ( 14 points ) Dans un repère orthonormé, on donne les points R(3; ) et T ( 1; ) 1. Placer ces trois points et tracer la droite d 1 d équation x y + = 0 en justifiant le tracé. Pour tracer d 1, il faut déterminer les coordonnées de deux points de d 1 ou bien de un point et un vecteur directeur. d 1 a pour équation x y + = 0 donc v (; 1) est un vecteur directeur de d 1 B(0; y B ) d 1 0 y B + = 0 y B = 1 donc B(0; 1) d 1 Voir graphique. Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par R et de vecteur directeur u ( 1; ) puis la tracer dans le repère. Soit M(x; y) un point de d x RM = x M x R = x 3 y RM = y M y R = y ( ) = y + donc RM(x 3; y + ) M d RM et u colinéaires x y RM u y x RM u = 0 (x 3) (y + ) ( 1) = 0 x 6 + y + = 0 x + y 4 = 0 Une équation cartésienne de d est x + y 4 = 0 3. Déterminer une équation de la droite d 3 parallèle à d 1 passant par T puis la tracer dans le repère. v (; 1) est une vecteur directeur de d1 donc de d 3 Soit M(x; y) un point de d 3 x = x T M M x T = x + 1 y T M = y M y T = y donc T M(x + 1; y ) M d 3 T M et v colinéaires x y T M v y x T M v = 0 (x + 1) 1 (y ) = 0 x + 1 y + 4 = 0 x y + = 0

2 Une e quation carte sienne de d3 est x y + = 0 Remarque : En utilisant le lien entre les coordonne es d un vecteur directeur et les coefficients a et b de l e quation ax + by + c = 0 v (; 1) est un vecteur directeur de d1 donc de d3 d3 admet une e quation carte sienne de la forme x y + c = 0 T d3 xt yt + c = c = 0 c = 4. Justifier que les droites d et d3 sont se cantes puis de terminer les coordonne es du point d intersection D de d et d3. * Solution: u ( 1; ) est un vecteur directeur de d et v (; 1) est un vecteur directeur de d 3 x u y v y u x v = 1 1 = 1 4 = 6= 0 donc u et v ne sont pas coline aires donc les droites d et d3 ne sont pas paralle les donc d et d3 sont se cantes Il ( faut re soudre le syste me forme avec les deux e quations de droites : x + y 4 = 0 x y + = 0 ( y = x + 4 x ( x + 4) + = 0 ( y = x + 4 x 3 = 0 y = = 14 3 x = donc D ; Calculer les coordonne es du milieu A de [RT ] * Solution: xa = xr + xt = 3 + ( 1) = 1 + y + yt ya = R = =0 A(1; 0) 6. C est le le cercle de centre A et de rayon AR

3 a) Vérifier que AR =. AR = (x R x A ) + (y R y A ) = (3 1) + ( 0) = 8 = AR = b) Soit M(x; y) un point C, montrer que les coordonnées de M vérifient l équation (x 1) + (y + ) = 8 M(x; y) C AM = AR (x 1) + (y 0) = (x 1) + (y) = 8 (on élève chaque membre au carré) M C si ses coordonnées vérifient (x 1) + y = 8 c) Soit d 4 la droite d équation réduite y = x +. Déterminer le nombre de points d intersection du cercle C et de la droite d 4. Tracer d 4 et le cercle C dans le repère. Un point de coordonnées (x; y) appartient à d 4 et au cercle C si ses coordonnées vérifient le système d équations : y = x + (x 1) + (y) = 8 y = x + (x 1) + (x + ) = 8 Nombre de solutions de (x 1) + (x + ) = 8 : (x 1) + (x + ) = 8 x x x + 4x + 4 = 8 x + x 3 = 0 = 4 4 ( 3) = 8 > 0 donc il y a deux solutions. d 4 et C ont deux points d intersection

4 Exercice ABC est un triangle. Le point D est défini par la relation BD = 4 AB AC et le point E est le symétrique de A par rapport à B Montrer que (BD) et (CE) sont parallèles. ( 6 points ) Figure Méthode vectorielle (sans repère) Il faut montrer que les vecteurs BD et CE sont colinéaires BD = 4 AB AC E est le symétrique de A par rapport à B donc B est le milieu de [AE] soit AB = 1 BE = AE CE = CA + AE = AC + AB d où CE = ( AC + AB) = AC + 4 AB) = BD donc CE et BD sont colinéaires donc (BD) \ \(CE) En utilisant un repère : méthode analytique On considère le repère (A; AB; AC) et A(0; 0), B(1; 0) et C(0; 1) dans ce repère Coordonnées de D BD = 4 AB AC x D x B = 4(x B x A ) (x C x A ) y D y B = 4(y B y A ) (y C y A )

5 x D 1 = 4 y D 0 = x D = y D = donc D(; ) Coordonnées de E E est le symétrique de A par rapport à B B est le milieu de [AE] AB = BE x B x A = x E x B y B y A = y E y B 1 = x E 1 0 = y E 0 = x E 0 = y E donc E(; 0) Colinéarité des vecteurs BD et CE x BD = x D x B = 1 = 4 y BD = y D y B = 0 = donc BD(4; ) x CE = x E x C = 0 = y CE = y E y C = 0 1 = 1 donc CE(; 1) x BD y CE y BD x CE = 4 ( 1) ( ) = = 0 donc BD et CE sont colinéaires donc (BD) et (CE) sont parallèles.