Thermo 1 : Thermodynamique des systèmes ouverts

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1 Thermo 1 : Thermodynamique des systèmes ouverts 1 Rappels sur les principes de la thermodynamique Un système thermodynamique Σ est défini par une surface abstraite S appelée surface de contrôle. Le système est dit fermé si il n y a aucun échange de matière à travers la surface de contrôle. Il est dit ouvert sinon. Energie d un système L énergie E d un système thermodynamique est donnée par E = U + E c,macro + E p,ext U l énergie interne, E c,macro l énergie cinétique macroscopique, c est-à-dire dû à un mouvement d ensemble du système E p,ext l énergie potentielle des forces extérieures s appliquant sur le système. En notant v la vitesse du système, l énergie cinétique massique est e c = 1 2 v2. Si l énergie potentielle se ramène à l énergie potentielle de pesanteur, alors l énergie potentielle massique est e p = gz. On rappelle qu en thermodynamique, la notation en minuscule correspond à la grandeur massique, et la notation avec m en indice correspond à la grandeur molaire. Premier principe Pour un système fermé subissant une transformation entre deux états d équilibre, il existe une fonction d état extensive E telle que : E = U + E c,macro + E p,ext = W + Q W le travail mécanique dues aux actions extérieures exercées sur le système Q le transfert thermique avec l extérieur du système. Ce sont des grandeurs algébriques, positives si l énergie est effectivement gagné par le système Σ, négatives si l énergie est donnée à l extérieur. Pour une transformation élémentaire, c est-à-dire entre deux instants voisins t et t + dt, pour un système fermé, le premier principe s écrit : du + de c,macro + de p,ext = δw + δq Si le travail correspond aux forces de pression : δw = P ext dv. Attention à ne pas confondre δ et d. δ correspond à une grandeur échangée. d correspond à la variation d une fonction d état. 1

2 Rq : On peut aussi exprimer le premier principe en terme de puissance : δw = Pdt où P est la puissance mécanique ; δq = φdt où φ est la puissance thermique ou flux thermique. On a alors : Second principe du dt + de c,macro + de p,ext dt dt = P + φ A tout système fermé on peut associer une fonction d état extensive nommée entropie S telle qu entre 2 états d équilibre : S e l entropie échangée avec l extérieur S c est l entropie créée. S = S e + S c Pour une température de surface T s, l entropie échangée est S e = Q T s. L entropie créée est S c 0 avec S c = 0 pour une transformation réversible et S c > 0 pour une transformation irréversible. Pour une transformation élémentaire, entre les instants voisins t et t + dt, le second principe s écrit : ds = δs e + δs c = δq T s + δs c Dans le cas d une transformation adiabatique, S e = 0 et S = S c > 0. Dans le cas d une transformation adiabatique et réversible, S = 0 : la transformation est isentropique. 2 Bilan d énergie pour un système ouvert en régime stationnaire 2.1 Système ouvert Lorsqu on a un système ouvert, le fluide entre par un accès (l entrée) et sort par un autre accès (la sortie). On définit la frontière du système ouvert par la surface le délimitant et on parle de section d entrée ou de section de sortie. Une section d entrée est orientée vers l intérieur du système, une section de sortie est orientée vers l extérieur du système. 2

3 Débit massique On appelle débit massique D m d un fluide en écoulement dans une canalisation la masse de fluide traversant la section de la canalisation par unité de temps : D m = δm dt Les particules de fluide qui traversent la section à la vitesse v pendant dt sont contenues dans le cylindre de longueur vdt. Si on note la masse volumique ρ, la masse dans le petit cylindre est δm = ρsvdt. Au final D m = ρ S v Si le régime est stationnaire, alors il y a autant de matière qui entre et qui sort par unité de temps : Dm,k = 0 Cas d un système à deux accès - Définition du système fermé : On considère l évolution sur [t, t + dt] d un système ouvert Σ ne comptant qu une entrée et une sortie. A l instant t, on considère comme système la réunion du fluide contenu dans Σ et du fluide qui va pénétrer dans Σ pendant dt, délimité par la surface fermée Σ e. La masse contenue dans Σ e est δm = A l instant t + dt, le système a évolué : le système contenu en amont de Σ dans Σ e a pénétré dans Σ et de la matière est sortie de Σ en aval. On note Σ s le système contenant la matière sortie de Σ pendant dt. Comme le régime est stationnaire, la masse de fluide dans Σ s est la même que dans Σ e : δm = Le système (Σ + Σ e ) à l instant t et (Σ + Σ s ) à l instant t + dt est un système fermé (c est la même matière mais déplacée) : on peut lui appliquer le premier et le second principe. On le nomme Σ. 3

4 2.2 Bilan d énergie : premier principe Position du problème et notations : On suppose l écoulement homogène sur les sections d entrée et de sortie. Le fluide n a a priori pas les mêmes propriétés au niveau de la section d entrée et de la section de sortie. Par exemple, sa pression, sa vitesse d écoulement et sa masse volumique sont a priori différentes.on les note p e, v e, ρ e en entrée et p s, v s et ρ s en sortie. La variation d une de ces grandeurs, par exemple la vitesse sera notée v = v s v e. De la même manière, les variations de l énergie interne massique, de l enthalpie massique et de l entropie massique seront notées u, h et s. Bilan des échanges énergétiques : On recense les échanges d énergie entre Σ et l extérieur, avec l énergie qui est positive si elle est effectivement reçue par le système et négative si elle est donnée à l extérieur : le travail des forces pressantes δw p exercées par le fluide en amont sur le système et par le fluide en aval sur le système. le travail dit travail utile δw u. C est le travail d origine mécanique et électrique reçu par le système en dehors du travail des forces pressantes. le transfert thermique δq reçu par le système depuis l extérieur à travers les parois. Travail de la force pressante exercée par le fluide en amont : La force pressante en amont est P e S e. Cette force s exerce sur une paroi se déplaçant de v e dt. Le travail est donc δw e = De même, le travail de la force pressante exercée par le fluide en aval est δw s = ( - car force de sens opposé au déplacement). Le travail total échangé par le système avec le milieu extérieur est δw = en utilisant que dm = ρ e S e v e dt = ρ s S s v s dt Le premier principe assure la conservation de l énergie totale : E = E Σ (t + dt) E Σ (t) = δw + δq Or en notant e l énergie massique : E Σ (t + dt) = E Σ (t + dt) + δm e s et E Σ (t) = E Σ (t) + δm e e. Et E Σ (t + dt) = E Σ (t) car le régime est Donc E = δm(e s e e ) 4

5 . Comme l énergie massique e est la somme de l énergie interne massique u, de l énergie cinétique macroscopique massique et de l énergie potentielle massique, e e = e s = On écrit l égalité des deux expressions de E : dm (u s v2 s + e p,s ) dm (u e v2 e + e p,e ) = δw u + P e ρ e dm P s ρ s dm + δq On regroupe les termes qui dépendent de l entrée e et ceux qui dépendent de la sortie s. Et comme l enthalpie massique est h = u + P V m = u + P ρ, alors dm (h s v2 s + e p,s ) dm (h e v2 e + e p,e ) = δw u + δq L équivalent du premier principe pour les écoulements stationnaires est ainsi : (h s v2 s + e p,s ) (h e v2 e + e p,e ) = w u + q où w u est le travail utile massique (ne comprenant pas les forces de pression exercées par le fluide en amont et en aval) et q le transfert thermique massique entrant dans le système ouvert. Avec on peut aussi l écrire : w u = P u D m ; q = φ e D m On l écrit également D m (h s v2 s + e p,s ) D m (h e v2 e + e p,e ) = P u + φ e (h + e c,macro + e p,ext ) = w u + q Généralement, on ne considère que la variation d énergie potentielle de pesanteur, ce qui donne : (h v2 + gz) = w u + q Rq : La variation n est pas temporelle mais spatiale, ce qui est cohérent avec le fait que le système est stationnaire. Dans le cas d un système fermé, le premier principe fait apparaître des variations temporelles. Il est donc très important dès le début d une étude thermodynamique de définir proprement le système. 2.3 Exemples d utilisation du premier principe en système ouvert Compresseur ou pompe : élément permettant d augmenter la pression d un fluide. Le fluide reçoit du travail utile de la part d éléments mécaniques mobiles : w u > 0. Le transfert thermique est généralement nul lors d une compression : q 0. Les variations d énergie cinétique et potentielle sont négligeables : e c 0 et e p 0. d enthalpie du fluide entre la sortie et l entrée du compresseur est : h w u > 0 5

6 Turbine : élément dans lequel le fluide met en mouvement une pièce mécanique mobile : w u < 0. Le transfert thermique et la variation d énergie potentielle sont en général négligeable : q 0 et e p 0. d enthalpie du fluide entre la sortie et l entrée de la turbine est : h + e c w u < 0 Détendeur : élément permettant d abaisser la pression d un fluide : soupape ajustable, bouchon poreux,... Il n y a pas de pièce mécanique mobile donc le fluide ne reçoit ni ne donne du travail w u 0. Il n y a généralement pas de transfert thermique q 0 et les variations d énergie cinétique et potentielle sont négligeables : e c 0 et e p 0. d enthalpie du fluide entre la sortie et l entrée du détendeur est : h 0 Tuyère : conduit de section variable permettant d accroître la vitesse du fluide. Il n y a pas de pièce mécanique mobile donc w u 0. La variation d énergie potentielle est négligeable e p 0 et il n y a pas de transfert thermique : q 0. d enthalpie du fluide entre la sortie et l entrée de la tuyère est : h + e c 0 Évaporateur ou condenseur : élément dans lequel a lieu le changement d état du fluide. Pas de pièce mécanique mobile, variations d énergie cinétique et potentielle négligeables : w u 0, e c 0, e p 0. Le transfert thermique est tel que l énergie est reçue par le fluide dans l évaporateur (q > 0) et donnée à l extérieur dans le condenseur (q < 0). d enthalpie du fluide entre la sortie et l entrée du condenseur ou de l évaporateur est : h q 2.4 Bilan entropique : second principe Le premier principe ne renseigne pas sur le sens d évolution du système. C est pourquoi il faut le compléter avec le second principe. On définit l entropie massiques par δs =. Pour le système Σ, réunion de Σ et Σ e à l instant t et réunion de Σ et Σ s à l instant t + dt, tel que Σ est un système fermé, on a d après le second principe : Or S Σ (t + dt) S Σ (t) = δs ech + δs cree S Σ (t + dt) S Σ (t) =. 6

7 En régime stationnaire :. d où s = Au final, lors de la traversée d une machine en régime permanent, la variation d entropie massique entre la sortie et l entrée de l élément est due à un terme d échange thermique et à un terme de création d entropie rendant compte des irréversibilités : s = s ech + s cree 3 Application à des machines réelles 3.1 Diagramme (lnp, h) ou digramme des frigoristes 3.2 Application à une machine frigorifique cf TD 3.3 Application au turboréacteur cf TD 7