Chapitre 6 : Séries numériques

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1 Uiversités Paris 6 et Paris 7 M MEEF Aalyse (UE Chapitre 6 : Séries umériques Gééralités Défiitio Soit (u 0 ue suite à valeurs réelles ou complexes La série de terme gééral u est la suite (S 0 défiie par : S = u k pour tout etier 0 et appelée les sommes partielles, et est otée u Lorsqu elle coverge, sa limite 0 u = lim + S est appelée la somme de la série Das ce cas, pour tout etier 0 la série covergete et sa somme R est appelée le reste d ordre de la série, o a : p + u p est u = S + R = et la suite (R 0 coverge vers 0 u k + u k pour tout etier 0 O a doc : S 0 = u 0 et S S = u pour tout etier > 0, et réciproquemet toute suite (v 0 peut être cosidérée comme ue série e posat u 0 = v 0 et u = v v pour tout etier > 0 Propositio Si u et v coverget et si λ, µ C, alors (λ u + µ v coverge et o a : (λ u + µ v = λ u + µ v Attetio! Si (u + v coverge, il faut vérifier la covergece de u et v avat d écrire : (u + v = u + v Propositio 2 Si la série 0 u coverge, la suite (u 0 coverge vers 0 Quad (u 0 e coverge pas vers 0, o dit que la série 0 u diverge grossièremet Si la série coverge, o a pour tout etier > 0 (trasformatio d Abel : u = R R Propositio 3 Pour tout a C, la série géométrique a coverge si et seulemet si : a <, et o a das ce cas : a = a

2 2 Séries à termes positifs Si o a : u 0 pour tout etier, la série u est croissate, doc elle coverge si et seulemet si elle est majorée, et si elle diverge elle ted vers + O e déduit le théorème de comparaiso suivat Théorème Soiet (u 0 et (v 0 deux suites réelles positives O suppose qu il existe u etier aturel N 0 tel que : u v pour tout etier N - Si v coverge, alors u coverge - Si u diverge, alors v diverge Corollaire Soiet (u 0 et (v 0 deux suites positives telles que : u = O(v Si v coverge alors u coverge, et si u diverge alors v diverge Théorème 2 Soiet (u 0 et (v 0 deux suites réelles positives telles que : u v, alors les séries u et v sot de même ature Lorqu elles coverget, leurs restes sot équivalets, et lorqu elles diverget, leurs sommes parielles sot équivaletes Exercice Motrer que l( + l( quad ted vers + et e déduire que la série harmoique diverge et qu o a : k l( k= Exercice 2 Motrer que pour tout etier 2 o a : série 2 coverge 2 ( et e déduire que la Propositio 4 Règle de Cauchy Soit (u 0 ue suite réelle positive telle que : ( lim u = l R Si l < alors la série u coverge - Si l > alors la série u diverge Propositio 5 Règle de d Alembert Soit (u 0 ue suite réelle strictemet positive telle que : u + lim = l R + + u - Si l < alors la série u coverge - Si l > alors la série u diverge Das les deux cas, o e peut pas coclure si l = comme le motret les exemples de u = / 2 et v = pour tout etier Propositio 6 Critère de Riema Pour tout réel α, la série de Riema coverge si et seulemet si : α > Exercice 3 Motrer que pour tout réel α > 0 et tout etier 2, o a : + dt t α α et e déduire le critère de Riema Motrer que si α >, o a : dt t α k α (α α 2 α

3 Exercice 4 Développemet décimal d u ombre réel a Soit a 0 N et soit (a ue suite à valeurs das {0,,, 9} Motrer que la série : a est covergete O ote sa somme : 0 0 b Motrer que pour tout N o a : a 0, a a 2 a 3 = a k 0 k a 0, a a 2 a 0 a k 0 k + 0 et que la deuxième iégalité est stricte sauf si o a : a k = 9 pour tout etier k + Motrer que das ce cas, le ombre a 0, a a 2 est u ombre décimal, c est à dire qu il s écrit : 0 N p avec N N et p N c Soit x u ombre réel positif : o pose a 0 = E(x où E est la partie etière, et pour tout etier o pose : a = E(0 x 0 E(0 x Motrer que a {0,,, 9} pour tout etier et qu o a : x = a 0, a a 2 d O repred les otatios du c Motrer par l absurde que la suite (a compred ue ifiité de termes différets de 9 : o appelle ue telle écriture u développemet décimal propre du réel positif x Motrer qu u tel développemet décimal propre de x est uique Remarque : si x < 0, o obtiet : x = a 0, a a 2 où a 0, a a 2 est le développemet décimal propre de x, et o obtiet aisi ue suite de ratioels qui coverge vers x, doc : Q est dese das R Ue propriété classique (voir l UE Nombres est que x est ratioel si et seulemet si so développemet décimal propre est périodique à partir d u certai rag 3 Séries absolumet covergetes Défiitio 2 Soit (u 0 ue suite réelle ou complexe O dit que la série 0 u coverge absolumet si la série 0 u coverge Théorème 3 Toute série absolumet covergete est covergete Ceci permet d appliquer les critères de la sectio précédete aux séries à termes de sige quelcoque pour motrer leur covergece absolue Démostratio : la preuve classique utilise le critère de Cauchy (doc la complétude de C : la suite (s 0 des sommes partielles de u coverge, doc c est ue suite de Cauchy : ε > 0, N 0, q > p N s p s q < ε Mais e otat (S 0 la suite des sommes partielles de u o a pour tous etiers q > p : S q S p = q =p+ u q =p+ u = s q s p doc (S 0 est aussi ue suite de Cauchy, doc elle coverge Au iveau BTS (doc pour les séries à termes réels, o peut rameer cette preuve à la covergece des suites croissates majorées (qui équivaut à la complétude de R e posat : v = u u pour tout etier 0 O a doc : 0 v 2 u pour tout etier 0, doc v coverge, mais o a aussi : u = u v pour tout etier 0 et comme u et v coverget, o e déduit la covergece de u 3

4 Théorème 4 Soiet 0 Cauchy est la série de terme gééral w = u et 0 v deux séries absolumet covergetes Leur produit de 4 Séries semi-covergetes u k v k, elle est absolumet covergete et : ( + ( + w = u v Théorème 5 Critère spécial des séries alterées Soit (u 0 ue suite réelle positive décroissate covergeat vers 0 Alors la série de terme gééral ( u est covergete, so reste R = ( k u k est du sige de ( + et : R u + pour tout 0 Exercice 5 Démotrer ce théorème e motrat que les suites défiies par : sot adjacetes a = 2+ ( k u k et b = 2 ( k u k 5 Familles sommables et séries doubles Les résultats suivats figuret au programme du CAPES, mais serot vraisemblablemet rappelés quad il s agira de les utiliser O retiedra qu e cas de covergece absolue, o peut permuter ou regrouper les termes d ue série sas chager sa ature i sa somme Théorème 6 Si la série u est absolumet covergete et si σ : N N est ue bijectio, alors u σ( est absolumet covergete et o a : u σ( = u Défiitio 3 Soiet I u esemble déombrable et (u i C I La famille (u i est dite sommable si I est fii ou bie s il existe ue bijectio σ : N I telle que u σ( coverge absolumet Cela e déped pas de la bijectio σ choisie, de même que la somme : u i = u σ( Théorème 7 Soit u ue série absolumet covergete et (A i ue partitio de N (fiie ( ou ifiie Pour tout i I la famille (u j j Ai est sommable, de même que la famille et o a : j A i u j ( j A i u i = u Corollaire 2 Soit u ue série absolumet covergete Alors les séries u 2 et u 2+ sot covergetes et o a : u = u 2 + u 2+ 4

5 Exercice 6 a Observer que ce résultat est faux pour la série ( b Le démotrer sas utiliser le théorème précédet c Motrer que si la série u est covergete, alors la série (u 2 + u 2+ est covergete et a la même somme La réciproque est-elle toujours vraie? Théorème 8 Séries doubles Soit (u p, q p N, q N ue famille à termes réels ou complexes Si pour tout p N la série q 0 u p, q est covergete de somme s p et si la série p 0 s p coverge, alors les mêmes résultats sot vrais e itervertissat les variables p et q et o a : p=0 6 Exercices classiques Exercice 7 a 3 ( + u p, q = q=0 q=0 ( + u p, q p=0 Étudier la covergece des séries de terme gééraux suivats : (! b α + où α R+ l( c 3 + cos( d ( α l( avec α, β R (séries de Bertrad Si α =, o comparera à ue itégrale β e + ( α 2α où α R f l ( + ( Exercice 8 Formule de Stirlig Pour tout etier, o pose : u = e (! (+ 2 et v = l(u + l(u Motrer que la série v coverge E déduire qu il existe u réel K > 0 tel que : (! K e E utilisat les itégrales de Wallis (voir le chapitre 4, motrer fialemet que : (! 2 π e Exercice 9 Costate d Euler Pour tout etier, o pose : H = et a = + k dt t k= a Motrer que la série a est covergete : sa somme γ est appelée la costate d Euler Vérifier que : H = l( + γ + o( b Motrer que : a 2 2 et e déduire que : H = l( + γ + ( 2 + o Exercice 0 Règle de Duhamel Soit (u N ue suite réelle strictemet positive telle qu il existe u réel α vérifiat : u + = α ( u + o Motrer que si α > alors u coverge, et que si α < alors u diverge (o pourra poser : v = α pour tout etier avec α bie choisi et comparer u et v 5