Proposition 3 : «l image du point O par la rotation r a pour affixe : ( ) + i (1 + 3 )».

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1 Liban juin 8 EXECICE 1 points Une urne A contient quatre boules rouges et si boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher. Un joueur dispose d un dé à si faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à. Il le lance une fois : s il obtient 1, il tire au hasard une boule de l urne A, sinon il tire au hasard une boule de l urne B. 1. Soit l évènement «le joueur obtient une boule rouge». Montrer que p() =,15.. Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu elle provienne de A est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu elle provienne de B? Le joueur répète deu fois l épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c est-à-dire qu à l issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale). Soit un entier naturel non nul. Lors de chacune des deu épreuves, le joueur gagne euros s il obtient une boule rouge et perd deu euros s il obtient une boule noire. On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deu épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs, et. 1. Déterminer la loi de probabilité de G.. Eprimer l espérance E(G) de la variable aléatoire G en fonction de. 3. Pour quelles valeurs de a-t-on E(G)? EXECICE 5 points Candidats n ayant pas choisi la spécialité mathématiques Pour chacune des si propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Partie A Le plan complee est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u, v ). π 1. Soit z un nombre complee d argument. 3 Proposition 1 : «z 1 est un nombre réel».. Soit (E) l ensemble des points M d affie z différente de 1 du plan telle que Proposition : «l ensemble (E) est une droitee parallèle à l ae des réels». π 3. Soit r la rotation d angle et dont le l centre K a pour affie 1 + i 3. z 1 z = 1. Proposition 3 : «l image du point O par la rotation r a pour affie : (1. On considère l équation (E) suivante : z π + cos 5 3 ) + i (1 + 3 )». Proposition : «l équation (E) a deu solutions complees de modules égau à 1». On considère le cube ABCDEFGH d arête 1, re Proposition 5 : «le vecteur AG eprésenté ci-dessous. est normal auu plan (BDE)». Proposition : «les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires». Liban Juin 8 1

2 EXECICE 5 points Candidats ayant choisi la spécialité mathématiques Pour chacune des si propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. 1. Dans le plan complee rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) on considère la similitude directe f d écriture complee : z 3 (1 i) z + i Proposition 1 : «f = r o h où h est l homothétie de rapport 3 centre Ω et d angle π».. Pour tout entier naturel n non nul : Proposition : «5 n n + 1 est divisible par 5». Proposition 3 : «5 n n + 1 est divisible par 7». 3. Dans le plan muni d un repère, (D) est la droite d équation : 11 5 y = 1. et de centre le point Ω d affie i et où r est la rotation de Proposition : «les points de (D) à coordonnées entières sont les points de coordonnées (5 k + 1 ; 11 k + 8) où k Z.. L espace est rapporté à un repère orthonormal. (O ; i, j, k ). La surface Σ ci-dessous a pour équation z = + y. Proposition 5 : «la section de la surface Σ et du plan d équation = λ, où λ est un réel, est une hyperbole» Proposition : «le plan d équation z = 9 partage le solide délimité par Σ et le plan d équation z = 9 en deu solides de même volume». appel : Soit V le volume du solide délimité par Σ et les plans d équations z = a et z = b où a b 9. V est donné par la formule V = b S( k) d k où S(k) est l aire de la section du solide par le plan d équation z = k où k [ a, b]. a EXECICE 3 points Partie A. Démonstration de cours Prérequis : définition d une suite tendant vers plus l infini. «une suite tend vers + si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d un certain rang, supérieurs à A». Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +. On considère la fonction f définie sur l intervalle [ ; + [ par : f () = ln ( + 1) + 1. La courbe (C ) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci- dessous. Cette courbe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l épreuve. 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [ ; + [.. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d abscisse. 3. Tracer la droite (T) sur le graphique. Dans la suite de l eercice, on admet que, sur l intervalle ] ; + [, la courbe (C ) est située au dessus de la droite (T). Partie C On considère la suite (u n ) définie sur N par u = 1, et pour tout entier naturel n, u n + 1 = f (u n ). 1. Construire sur l ae des abscisses les cinq premiers termes de la suite (u n ) en laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique donné).. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la suite (u n ) et son comportement lorsque n tend vers +? 3. a. Montrer à l aide d un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n 1. b. Montrer que la suite (u n ) est croissante. c. d. Montrer que la suite (u n ) n est pas majorée. En déduire la limite de la suite (u n ). Liban Juin 8

3 EXECICE 5 points Partie A On considère une fonction f dérivable sur l intervalle ] ; + [. On donne le tableau de ses variations : Soit g la fonction définie sur ] ; + [ par : g () = 1. En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe (C ) susceptible de représenter f dans le plan muni d un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur l ae des abscisses, cm sur l ae des ordonnées).. a. Interpréter graphiquement g (). b. Montrer que g (),5. 3. a. Soit un réel supérieur à. Montrer que f ( t) d t. En déduire que g (). b. Déterminer la limite de la fonction g en +.. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l intervalle ] ; + [. t On admet que pour tout réel t, f (t ) = (t 1) e À l aide d une intégration par parties, eprimer en fonction du réel l intégrale. En déduire que pour tout réel, g () = (1 e ). 3. Déterminer la limite de la fonction g en. f ( t) d t ( t 1) e t d t. Liban Juin 8 3

4 EXECICE 1 points 1 COECTION U U 1. Soit U l évènement «le joueur obtient le 1». p() = p( U) + p( U ) = = 9 = 3 =, p( A) Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu elle provienne de A est p( / A) = = 1 = p() p( B) Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu elle provienne de B est p( / B) = 1 5 = = donc si le joueur p() 3 9 obtient une boule rouge, la probabilité qu elle provienne de A est inférieure à la probabilité qu elle provienne de B. 1. Si le gain est alors le joueur a obtenu boules rouges donc p(g = ) =,15 =,5. Si le gain est alors le joueur a obtenu 1 boule rouge et une boule noire donc p(g = ) =,15 (1,15) =,55. Si le gain est alors le joueur a obtenu boules noires donc p(g = ) = (1,15) =,85 =,75. k Total p(g = k),75,55,5 1 k p(g = k),89,55,51,5,3 3,. E(G) =,3 3, 3. E(G),3 3, 3,,3, 3, 11,33 or est un nombre entier donc 1.,3 Pour que le jeu soit favorable au joueur, il faut que le gain soit d au moins 1. EXECICE 5 points Candidats n ayant pas choisi la spécialité mathématiques Partie A 1. Proposition 1 : FAUSSE arg z 1 = 1 arg z à π près donc arg z 1 = 1 π à π près or 1 = 1 + donc 3 arg z 1 = 3 π + 3 π à π près donc z 1 n est pas un nombre réel.. Proposition : FAUSSE z 1 z = 1 z = 1 z OM = AM où A est le point d affie 1 donc M décrit la médiatrice de [OA], l ensemble (E) est une droite parallèle à l ae des imaginaires. 3. Proposition 3 : VAIE π i r a pour écriture complee z z K = e (z z K ) soit z = i (z z K ) + z K l image du point O par la rotation r a pour affie i z K + z K = i (1 + i 3 ) i 3 soit (1 3 ) + i (1 + 3 ).. Proposition : VAIE z π + cos 5 z + 1 = donc = cos π 5 = [1 cos π 5 ] = sin π 5. donc z 1 = 1 [ cos π 5 + i sin π 5 ] π z 1 = cos 5 + i sin π 5 et z π = cos 5 i sin π donc l équation (E) a deu solutions complees de modules égau à Liban Juin 8

5 Proposition 5 : VAIE Dans le repère ( A ; AB, AD, AE ), AG a pour coordonnées (1 ; 1 ; 1) ; BD a pour coordonnées ( 1 ; 1 ; ) et DE a pour coordonnées ( ; 1 ; 1) donc AG. BD = =, de même AG. DE = 1 1 = donc le vecteur AG est orthogonal à deu vecteurs non colinéaires du plan (BDE) donc le vecteur AG est normal au plan (BDE). Proposition : FAUSSE EB a pour coordonnées (1 ; ; 1) et DE a pour coordonnées ( ; 1 ; 1) donc EB. DE = 1 donc les droites (EB) et (ED) ne sont pas perpendiculaires. On aurait pu aussi montrer que le triangle EBD est équilatéral de côté EXECICE 5 points Candidats ayant choisi la spécialité mathématiques 1. VAIE donc les droites (EB) et (ED) ne sont pas perpendiculaires. L epression complee de f est z = 3 (1 i) z + i de la forme z = a z + b donc f est un similitude directe donc est 3 décomposable en le produit d une homothétie de rapport positif (1 i) et une rotation de même centre Ω d angle arg 3 (1 i). 3 (1 i) = 3 donc le rapport de l homothétie est 3 arg 3 (1 i) = π π + k π (k Z) donc l angle de la rotation est Le centre de l homothétie et de la rotation Ω est l unique point invariant de f Vérification : si z = i alors 3 (1 i) z + i = 3 (1 i) ( 1 i) + i = + i donc si z = i, alors 3 (1 i) z + i = i = z donc le point d affie ( i) est invariant par f donc Ω ( i) est le centre de l homothétie et de la rotation. Proposition : FAUSSE si n = 1, Soit a = = Ce nombre ne termine ni par ni par 5 donc n est pas divisible par 5. Proposition 3 : VAIE 3 1 [7] donc 3 n + 1 [7] 5 [7] donc 5 [7] donc 5 [7] soit 5 1 [7] donc 5 n [7] donc 5 n n + 1 [7] Pour tout entier n non nul, 5 n n + 1 est divisible par VAIE = y = 1 et = 1 donc par soustraction membre à membre : 11 ( 1) 5 (y 8) = 11 ( 1) = 5 (y 8) donc 11 divise 5 (y 8) or 11 et 5 sont premiers entre eu donc 11 divise y 8 Il eiste un entier relatif k tel que y 8 = 11 k donc en remplaçant dans 11 ( 1) = 5 (y 8), on obtient que 1 = 5 k donc = 5 k + 1 et y = 11 k + 8 avec k Z Vérification : si = 5 k + 1 et y = 11 k + 8 alors 11 5 y = 55 k k 8 5 = 1 donc l ensemble des couples d entiers relatifs solutions de l équation (E) est (5 k + 1 ; 11 k + 8) avec k Z. Proposition 5 : FAUSSE Si = λ, z = y + λ est l équation d une parabole Proposition : VAIE L intersection du solide par le plan d équation z = k est un cercle de centre Ω k ( ; ; k) de rayon V = k S ( k ) d k = k π k d k = 1 π k donc si k = 9 Le volume compris entre le plan d équation z = 9, alors V = 81 π, si k = 9, V = 1 π 9 = 81 π k donc d aire π k et le plan d équation z = 9, est égal à 81 π 81 π = 81 π Liban Juin 8 5

6 EXECICE 3 points Partie A. Démonstration de cours 1. Démonstration de cours. Soit A un réel quelconque, (u n ) n est pas majorée donc il eiste n un entier naturel tel que (u n ) est croissante, donc si n n alors u n u n or u n A donc u n A donc si (u n ) est croissante, non majorée, si n n alors u n A. u n A, 1. f est définie dérivable (somme de fonctions dérivables sur [ ; + [ ) 1 f () = + donc sur l intervalle [ ; + [ f () > donc f est strictement croissante sur [ ; + [ f () = 1 et f () = donc une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d abscisse est y = Partie C u 1 u 1 u u 3 3 u 5 u 5 7. (u n ) semble être croissante et non bornée. 3. a. u = 1 donc u 1, la propriété est vraie pour n =. Montrons que, pour tout entier naturel n, si u n 1 alors u n f est strictement croissante sur [ ; + [ donc si u n 1 alors f (u n) f (1) alors u n + 1 ln + 1 or ln donc n La propriété est héréditaire donc est vraie pour tout n de N. b. u = 1, u 1 = ln + 1 donc u 1 u, la propriété est vraie pour n =. Montrons que, pour tout entier naturel n, si u n + 1 u n alors u n + u n + 1. f est strictement croissante sur [ ; + [ donc si u n + 1 u n alors f (u n + 1 ) f (u n ) soit u n + u n + 1. La propriété est héréditaire donc est vraie pour tout n de N, la suite (u n ) est croissante. c. Si la suite (u n ) est majorée, (u n ) étant croissante, alors (u n ) est convergente et sa limite est solution de f () = et est supérieure ou égale à 1. Soit g() = ln ( + 1) alors g () = + 1 = donc g est strictement croissante sur [ ; + [ g() = donc si > alors g() > donc g ne s annule pas sur ] ; + [ donc l équation f () = n a pas de solution sur ] ; + [. (u n ) n est pas majorée. d. La suite (u n ) est croissante non majorée donc lim n + u n = +. Liban Juin 8