Sur l image du groupe de tresses dans l algèbre de Hecke
|
|
- Danielle Lambert
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Sur l image du groupe de tresses dans l algèbre de Hecke conférence en l honneur de F. Digne, 1er avril 2015
2 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke B n = σ 1,..., σ n 1 σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1, σ i σ j = σ j σ i si i j 2
3 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke Soit k un corps, α k. B n = σ 1,..., σ n 1 σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1, σ i σ j = σ j σ i si i j 2
4 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke B n = σ 1,..., σ n 1 σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1, σ i σ j = σ j σ i si i j 2 Soit k un corps, α k. Alors H n (α) = kb n /(σ i + 1)(σ i α).
5 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke B n = σ 1,..., σ n 1 σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1, σ i σ j = σ j σ i si i j 2 Soit k un corps, α k. Alors H n (α) = kb n /(σ i + 1)(σ i α).
6 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke B n = σ 1,..., σ n 1 σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1, σ i σ j = σ j σ i si i j 2 Soit k un corps, α k. Alors H n (α) = kb n /(σ i + 1)(σ i α). si et seulement si R(σ i ) annule (X + 1)(X α).
7 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke si et seulement si R(σ i ) annule (X + 1)(X α).
8 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke si et seulement si R(σ i ) annule (X + 1)(X α). Problème :
9 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke si et seulement si R(σ i ) annule (X + 1)(X α). Problème : quand k est fini, calculer R(B n )
10 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke si et seulement si R(σ i ) annule (X + 1)(X α). Problème : quand k est fini, calculer R(B n ) quand k est fini, calculer Im(B n H n (α) ).
11 Motivation d étude des quotients finis de B n Si X est une variété algébrique lisse, définie sur un corps de nombres,
12 Motivation d étude des quotients finis de B n Si X est une variété algébrique lisse, définie sur un corps de nombres, les quotients fini de π 1 (X (C)) permettent de comprendre les revêtement de X (C),
13 Motivation d étude des quotients finis de B n Si X est une variété algébrique lisse, définie sur un corps de nombres, les quotients fini de π 1 (X (C)) permettent de comprendre les revêtement de X (C), qui peuvent être également vus comme des revêtements étales de X, considérée comme variété sur Q.
14 Motivation d étude des quotients finis de B n Si X est une variété algébrique lisse, définie sur un corps de nombres, les quotients fini de π 1 (X (C)) permettent de comprendre les revêtement de X (C), qui peuvent être également vus comme des revêtements étales de X, considérée comme variété sur Q. Quand de plus X est une variété définie sur Q,
15 Motivation d étude des quotients finis de B n Si X est une variété algébrique lisse, définie sur un corps de nombres, les quotients fini de π 1 (X (C)) permettent de comprendre les revêtement de X (C), qui peuvent être également vus comme des revêtements étales de X, considérée comme variété sur Q. Quand de plus X est une variété définie sur Q, de tels revêtements permettent parfois de réaliser le quotient fini correspondant comme groupe de Galois d une extension de Q.
16 Motivation d étude des quotients finis de B n Si X est une variété algébrique lisse, définie sur un corps de nombres, les quotients fini de π 1 (X (C)) permettent de comprendre les revêtement de X (C), qui peuvent être également vus comme des revêtements étales de X, considérée comme variété sur Q. Quand de plus X est une variété définie sur Q, de tels revêtements permettent parfois de réaliser le quotient fini correspondant comme groupe de Galois d une extension de Q. En tous les cas, la théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte
17 Motivation d étude des quotients finis de B n Si X est une variété algébrique lisse, définie sur un corps de nombres, les quotients fini de π 1 (X (C)) permettent de comprendre les revêtement de X (C), qui peuvent être également vus comme des revêtements étales de X, considérée comme variété sur Q. Quand de plus X est une variété définie sur Q, de tels revêtements permettent parfois de réaliser le quotient fini correspondant comme groupe de Galois d une extension de Q. En tous les cas, la théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π1 et (X ) Gal(Q Q) 1
18 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1
19 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1 et donc un morphisme Gal(Q Q) Out( π1 (X (C))),
20 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1 et donc un morphisme Gal(Q Q) Out( π1 (X (C))), provenant d un morphisme Gal(Q Q) Aut( π1 (X (C)))
21 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1 et donc un morphisme Gal(Q Q) Out( π1 (X (C))), provenant d un morphisme Gal(Q Q) Aut( π1 (X (C))) dès que X (Q).
22 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1 et donc un morphisme Gal(Q Q) Out( π1 (X (C))), provenant d un morphisme Gal(Q Q) Aut( π1 (X (C))) dès que X (Q). Ainsi, tout quotient fini d un tel π 1 (X (C)) joue un role dans l étude des actions de Galois géométriques de Gal(Q Q).
23 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1 et donc un morphisme Gal(Q Q) Out( π1 (X (C))), provenant d un morphisme Gal(Q Q) Aut( π1 (X (C))) dès que X (Q). Ainsi, tout quotient fini d un tel π 1 (X (C)) joue un role dans l étude des actions de Galois géométriques de Gal(Q Q). Quand le π 1 (X (C)) est loin d être abélien,
24 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1 et donc un morphisme Gal(Q Q) Out( π1 (X (C))), provenant d un morphisme Gal(Q Q) Aut( π1 (X (C))) dès que X (Q). Ainsi, tout quotient fini d un tel π 1 (X (C)) joue un role dans l étude des actions de Galois géométriques de Gal(Q Q). Quand le π 1 (X (C)) est loin d être abélien, ou anabélien,
25 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1 et donc un morphisme Gal(Q Q) Out( π1 (X (C))), provenant d un morphisme Gal(Q Q) Aut( π1 (X (C))) dès que X (Q). Ainsi, tout quotient fini d un tel π 1 (X (C)) joue un role dans l étude des actions de Galois géométriques de Gal(Q Q). Quand le π 1 (X (C)) est loin d être abélien, ou anabélien, on conjecture de plus que Gal(Q Q) Out(π 1 (X (C))) est injectif.
26 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier,
27 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C))
28 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C)) pour X une variété lisse définie sur Q,
29 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C)) pour X une variété lisse définie sur Q, on a un morphisme Gal(Q Q) Aut( B n )
30 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C)) pour X une variété lisse définie sur Q, on a un morphisme Gal(Q Q) Aut( B n ) dont on sait qu il est injectif pour n 3.
31 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C)) pour X une variété lisse définie sur Q, on a un morphisme Gal(Q Q) Aut( B n ) dont on sait qu il est injectif pour n 3. Dans le cas particulier de B n,
32 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C)) pour X une variété lisse définie sur Q, on a un morphisme Gal(Q Q) Aut( B n ) dont on sait qu il est injectif pour n 3. Dans le cas particulier de B n, Drinfeld a défini un groupe abstrait par lequel factorise ce morphisme,
33 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C)) pour X une variété lisse définie sur Q, on a un morphisme Gal(Q Q) Aut( B n ) dont on sait qu il est injectif pour n 3. Dans le cas particulier de B n, Drinfeld a défini un groupe abstrait par lequel factorise ce morphisme, le groupe de Grothendieck-Teichmüller.
34 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C)) pour X une variété lisse définie sur Q, on a un morphisme Gal(Q Q) Aut( B n ) dont on sait qu il est injectif pour n 3. Dans le cas particulier de B n, Drinfeld a défini un groupe abstrait par lequel factorise ce morphisme, le groupe de Grothendieck-Teichmüller.
35 Motivation d étude des quotients finis de B n Dans le cas particulier de B n, Drinfeld a défini un groupe abstrait par lequel factorise ce morphisme, le groupe de Grothendieck-Teichmüller.
36 Motivation d étude des quotients finis de B n Dans le cas particulier de B n, Drinfeld a défini un groupe abstrait par lequel factorise ce morphisme, le groupe de Grothendieck-Teichmüller. pour n 5.
37 Motivation d étude des quotients finis de B n Dans le cas particulier de B n, Drinfeld a défini un groupe abstrait par lequel factorise ce morphisme, le groupe de Grothendieck-Teichmüller. pour n 5. Ainsi, la complétion profinie de B n est un objet intéressant à comprendre.
38 Image de B n dans H n (α) : idée générale
39 Image de B n dans H n (α) : idée générale On note o(α) l ordre de α dans le groupe multiplicatif de k.
40 Image de B n dans H n (α) : idée générale On note o(α) l ordre de α dans le groupe multiplicatif de k. Fait : si o(α) > n, alors H n (α) est semisimple déployée sur k.
41 Image de B n dans H n (α) : idée générale On note o(α) l ordre de α dans le groupe multiplicatif de k. Fait : si o(α) > n, alors H n (α) est semisimple déployée sur k. B n H n (α) λ n GL(V λ )
42 Image de B n dans H n (α) : idée générale On note o(α) l ordre de α dans le groupe multiplicatif de k. Fait : si o(α) > n, alors H n (α) est semisimple déployée sur k. B n H n (α) λ n GL(V λ ) où les R λ : B n GL(V λ ) sont les représentation irréductibles de B n qui factorisent par H n (α).
43 Image de B n dans H n (α) : idée générale On note o(α) l ordre de α dans le groupe multiplicatif de k. Fait : si o(α) > n, alors H n (α) est semisimple déployée sur k. B n H n (α) λ n GL(V λ ) où les R λ : B n GL(V λ ) sont les représentation irréductibles de B n qui factorisent par H n (α). Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ
44 Image de B n dans H n (α) : idée générale Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ
45 Image de B n dans H n (α) : idée générale Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ Idée : par induction sur n
46 Image de B n dans H n (α) : idée générale Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ Idée : par induction sur n si l on connait l image de B n 1 dans H n 1 (α), on connait un gros sous-groupe de R λ (B n ).
47 Image de B n dans H n (α) : idée générale Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ Idée : par induction sur n si l on connait l image de B n 1 dans H n 1 (α), on connait un gros sous-groupe de R λ (B n ). R λ (B n ) est un sous-groupe irréductible de GL(V λ ), dont un gros sous-groupe est connu : en grande dimension, il y a peu de possibilités.
48 Image de B n dans H n (α) : idée générale Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ Idée : par induction sur n si l on connait l image de B n 1 dans H n 1 (α), on connait un gros sous-groupe de R λ (B n ). R λ (B n ) est un sous-groupe irréductible de GL(V λ ), dont un gros sous-groupe est connu : en grande dimension, il y a peu de possibilités. Problèmes :
49 Image de B n dans H n (α) : idée générale Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ Idée : par induction sur n si l on connait l image de B n 1 dans H n 1 (α), on connait un gros sous-groupe de R λ (B n ). R λ (B n ) est un sous-groupe irréductible de GL(V λ ), dont un gros sous-groupe est connu : en grande dimension, il y a peu de possibilités. Problèmes : R λ (B n ) préserve-t-il une structure orthogonale? symplectique? unitaire?
50 Image de B n dans H n (α) : idée générale Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ Idée : par induction sur n si l on connait l image de B n 1 dans H n 1 (α), on connait un gros sous-groupe de R λ (B n ). R λ (B n ) est un sous-groupe irréductible de GL(V λ ), dont un gros sous-groupe est connu : en grande dimension, il y a peu de possibilités. Problèmes : R λ (B n ) préserve-t-il une structure orthogonale? symplectique? unitaire? Comment gérer les petites valeurs de n?
51 Image de B n dans H n (α) : cas générique Pour donner une idée de ce qui peut se passer, on considère le cas où k est infini.
52 Image de B n dans H n (α) : cas générique Pour donner une idée de ce qui peut se passer, on considère le cas où k est infini. Alors l adhérence R λ (B n ) de R λ (B n ) pour la topologie de Zariski est un groupe algébrique.
53 Image de B n dans H n (α) : cas générique Pour donner une idée de ce qui peut se passer, on considère le cas où k est infini. Alors l adhérence R λ (B n ) de R λ (B n ) pour la topologie de Zariski est un groupe algébrique. Comment le déterminer, au moins quand α est générique?
54 Image de B n dans H n (α) : cas générique Pour donner une idée de ce qui peut se passer, on considère le cas où k est infini. Alors l adhérence R λ (B n ) de R λ (B n ) pour la topologie de Zariski est un groupe algébrique. Comment le déterminer, au moins quand α est générique? Par une construction de monodromie.
55 Image de B n dans H n (α) : cas générique Pour donner une idée de ce qui peut se passer, on considère le cas où k est infini. Alors l adhérence R λ (B n ) de R λ (B n ) pour la topologie de Zariski est un groupe algébrique. Comment le déterminer, au moins quand α est générique? Par une construction de monodromie. k = C((h)) α = exp(iπh) le paramètre α étant alors transcendant sur le corps premier Q k.
56 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n.
57 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n. À λ n et w S n on associe w λ End(V λ ).
58 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n. À λ n et w S n on associe w λ End(V λ ). La représentation associée, R λ : B n GL(V λ ) GL N (k)
59 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n. À λ n et w S n on associe w λ End(V λ ). La représentation associée, sur k = C((h)), R λ : B n GL(V λ ) GL N (k)
60 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n. À λ n et w S n on associe w λ End(V λ ). La représentation R λ : B n GL(V λ ) GL N (k) associée, sur k = C((h)), est obtenue par monodromie de la 1-forme
61 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n. À λ n et w S n on associe w λ End(V λ ). La représentation R λ : B n GL(V λ ) GL N (k) associée, sur k = C((h)), est obtenue par monodromie de la 1-forme ω = h i<j (i j) λ d log(z i z j ) Ω 1 (C n ) End(V λ )
62 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n. À λ n et w S n on associe w λ End(V λ ). La représentation R λ : B n GL(V λ ) GL N (k) associée, sur k = C((h)), est obtenue par monodromie de la 1-forme ω = h i<j (i j) λ d log(z i z j ) Ω 1 (C n ) End(V λ ) où C n = {(z 1,..., z n ) C n i j z i z j }.
63 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n. À λ n et w S n on associe w λ End(V λ ). La représentation R λ : B n GL(V λ ) GL N (k) associée, sur k = C((h)), est obtenue par monodromie de la 1-forme ω = h i<j (i j) λ d log(z i z j ) Ω 1 (C n ) End(V λ ) où C n = {(z 1,..., z n ) C n i j z i z j }. L image d un générateur σ i est conjuguée à exp (hiπ(i i +1) λ ).
64 Image de B n dans H n (α) : cas générique
65 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ).
66 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n
67 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n
68 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n engendrée par les transpositions.
69 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n engendrée par les transpositions. H n = (i j); 1 i, j n Lie = (i i +1); 1 i n 1 Lie ks n
70 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n engendrée par les transpositions. H n = (i j); 1 i, j n Lie = (i i +1); 1 i n 1 Lie ks n Cette algèbre de Lie admet des analogues pour tout groupe de Coxeter
71 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n engendrée par les transpositions. H n = (i j); 1 i, j n Lie = (i i +1); 1 i n 1 Lie ks n Cette algèbre de Lie admet des analogues pour tout groupe de Coxeter (et même tout groupe de réflexions complexes),
72 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n engendrée par les transpositions. H n = (i j); 1 i, j n Lie = (i i +1); 1 i n 1 Lie ks n Cette algèbre de Lie admet des analogues pour tout groupe de Coxeter (et même tout groupe de réflexions complexes), et mérite donc le nom d algèbre de Hecke infinitésimale de type A.
73 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n engendrée par les transpositions. H n = (i j); 1 i, j n Lie = (i i +1); 1 i n 1 Lie ks n Cette algèbre de Lie admet des analogues pour tout groupe de Coxeter (et même tout groupe de réflexions complexes), et mérite donc le nom d algèbre de Hecke infinitésimale de type A. C est une algèbre de Lie réductive, son centre est de dimension 1.
74 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n engendrée par les transpositions. H n = (i j); 1 i, j n Lie = (i i +1); 1 i n 1 Lie ks n Cette algèbre de Lie admet des analogues pour tout groupe de Coxeter (et même tout groupe de réflexions complexes), et mérite donc le nom d algèbre de Hecke infinitésimale de type A. C est une algèbre de Lie réductive, son centre est de dimension 1. Comprendre sa structure revient donc à comprendre ses idéaux simples.
75 Image de B n dans H n (α) : cas générique
76 Image de B n dans H n (α) : cas générique Détail technique :
77 Image de B n dans H n (α) : cas générique Détail technique : Pour alléger la description, on a intérêt à se concentrer sur l image du sous-groupe des commutateurs de B n.
78 Image de B n dans H n (α) : cas générique Détail technique : Pour alléger la description, on a intérêt à se concentrer sur l image du sous-groupe des commutateurs de B n. On le note B n.
79 Image de B n dans H n (α) : cas générique Détail technique : Pour alléger la description, on a intérêt à se concentrer sur l image du sous-groupe des commutateurs de B n. On le note B n. On a une suite exacte 1 B n B n Z 1
80 Image de B n dans H n (α) : cas générique Détail technique : Pour alléger la description, on a intérêt à se concentrer sur l image du sous-groupe des commutateurs de B n. On le note B n. On a une suite exacte 1 B n B n Z 1 qui est presque scindée :
81 Image de B n dans H n (α) : cas générique Détail technique : Pour alléger la description, on a intérêt à se concentrer sur l image du sous-groupe des commutateurs de B n. On le note B n. On a une suite exacte 1 B n B n Z 1 qui est presque scindée : Z(B n ) Z est envoyé sur un sous-groupe d indice n(n 1)/2 de Z.
82 Image de B n dans H n (α) : cas générique Détail technique : Pour alléger la description, on a intérêt à se concentrer sur l image du sous-groupe des commutateurs de B n. On le note B n. On a une suite exacte 1 B n B n Z 1 qui est presque scindée : Z(B n ) Z est envoyé sur un sous-groupe d indice n(n 1)/2 de Z. On ne perd donc pas grand-chose à se restreindre à B n.
83 Image de B n dans H n (α) : cas générique
84 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions :
85 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n}
86 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ }
87 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ }
88 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004)
89 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004) 1. R [n 1,1] (B n ) = SL(V [n 1,1] ) = SL n 1 (k)
90 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004) 1. R [n 1,1] (B n ) = SL(V [n 1,1] ) = SL n 1 (k) 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1]
91 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004) 1. R [n 1,1] (B n ) = SL(V [n 1,1] ) = SL n 1 (k) 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. λ E R λ (B n ) = SL(V λ ).
92 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004) 1. R [n 1,1] (B n ) = SL(V [n 1,1] ) = SL n 1 (k) 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. λ E R λ (B n ) = SL(V λ ). De plus, R λ Rλ,
93 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004) 1. R [n 1,1] (B n ) = SL(V [n 1,1] ) = SL n 1 (k) 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. λ E R λ (B n ) = SL(V λ ). De plus, R λ Rλ, d où SL(V λ ) R λ λ (B n ) = {(x, t x 1 )} SL(V λ ) SL(V λ )
94 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004) 1. R [n 1,1] (B n ) = SL(V [n 1,1] ) = SL n 1 (k) 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. λ E R λ (B n ) = SL(V λ ). De plus, R λ Rλ, d où SL(V λ ) R λ λ (B n ) = {(x, t x 1 )} SL(V λ ) SL(V λ ) 4. λ F R λ (B n ) = OSP(V λ ),
95 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004) 1. R [n 1,1] (B n ) = SL(V [n 1,1] ) = SL n 1 (k) 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. λ E R λ (B n ) = SL(V λ ). De plus, R λ R λ, d où SL(V λ ) R λ λ (B n ) = {(x, t x 1 )} SL(V λ ) SL(V λ ) 4. λ F R λ (B n ) = OSP(V λ ), groupe d isométrie d une forme orthogonale ou symplectique issue de sgn V λ V λ dans Rep(S n ).
96 Image de B n dans H n (α) : cas générique
97 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin
98 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004)
99 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α)
100 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F
101 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) Idée de la démonstration : λ E/ SL(V λ ) λ F
102 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes,
103 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes, et observées les factorisations,
104 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes, et observées les factorisations, on a un morphisme injectif bien défini.
105 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes, et observées les factorisations, on a un morphisme injectif bien défini. On montre qu il est surjectif par récurrence sur n.
106 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes, et observées les factorisations, on a un morphisme injectif bien défini. On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP
107 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes, et observées les factorisations, on a un morphisme injectif bien défini. On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP on est ramené à la détermination des R λ (B n ).
108 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes, et observées les factorisations, on a un morphisme injectif bien défini. On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP on est ramené à la détermination des R λ (B n ). Par récurrence, on connait R λ (B n 1 ).
109 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes, et observées les factorisations, on a un morphisme injectif bien défini. On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP on est ramené à la détermination des R λ (B n ). Par récurrence, on connait R λ (B n 1 ). Alors
110 Image de B n dans H n (α) : cas générique On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP on est ramené à la détermination des R λ (B n ). Par récurrence, on connait R λ (B n 1 ). Alors
111 Image de B n dans H n (α) : cas générique On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP on est ramené à la détermination des R λ (B n ). Par récurrence, on connait R λ (B n 1 ). Alors Comme R λ est irréducible, si (dim V λ )/rg R λ (B n ) (dim V λ )/rg R λ (B n 1 ) est petit, les possibilités pour R λ (B n ) sont très contraintes
112 Image de B n dans H n (α) : cas générique On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP on est ramené à la détermination des R λ (B n ). Par récurrence, on connait R λ (B n 1 ). Alors Comme R λ est irréducible, si (dim V λ )/rg R λ (B n ) (dim V λ )/rg R λ (B n 1 ) est petit, les possibilités pour R λ (B n ) sont très contraintes (exemple : si < 2, alors R λ (B n ) = SL(V λ )).
113 Image de B n dans H n (α) : cas générique On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP on est ramené à la détermination des R λ (B n ). Par récurrence, on connait R λ (B n 1 ). Alors Comme R λ est irréducible, si (dim V λ )/rg R λ (B n ) (dim V λ )/rg R λ (B n 1 ) est petit, les possibilités pour R λ (B n ) sont très contraintes (exemple : si < 2, alors R λ (B n ) = SL(V λ )). Pour n petit, on caclule la dimension de R λ (B n ), par calcul (informatique) de l image de H n.
114 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire.
115 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes.
116 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes. Proposition
117 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes. Proposition 1. R λ R λ
118 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes. Proposition 1. R λ R λ 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1]
119 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes. Proposition 1. R λ R λ 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. Il existe une forme bilinéaire non-degénérée invariante par B n is λ = λ.
120 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes. Proposition 1. R λ R λ 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. Il existe une forme bilinéaire non-degénérée invariante par B n is λ = λ. On veut en plus une preuve suffisamment explicite pour déterminer le type sur F q des formes orthogonales en question.
121 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes. Proposition 1. R λ R λ 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. Il existe une forme bilinéaire non-degénérée invariante par B n is λ = λ. On veut en plus une preuve suffisamment explicite pour déterminer le type sur F q des formes orthogonales en question. Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n.
122 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes. Proposition 1. R λ R λ 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. Il existe une forme bilinéaire non-degénérée invariante par B n is λ = λ. On veut en plus une preuve suffisamment explicite pour déterminer le type sur F q des formes orthogonales en question. Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ.
123 Image de B n dans H n (α) : cas fini Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ.
124 Image de B n dans H n (α) : cas fini Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ. L action de σ i est de la forme σ i.t = αt si i et i + 1 se trouvent dans la même ligne de T σ i.t = T si i et i + 1 se trouvent dans la même colonne de T σ i.t = m i (T)T + (1 + m i (T))T i i+1 sinon.
125 Image de B n dans H n (α) : cas fini Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ. L action de σ i est de la forme σ i.t = αt si i et i + 1 se trouvent dans la même ligne de T σ i.t = T si i et i + 1 se trouvent dans la même colonne de T σ i.t = m i (T)T + (1 + m i (T))T i i+1 sinon. On montre qu il existe de bons poids,
126 Image de B n dans H n (α) : cas fini Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ. L action de σ i est de la forme σ i.t = αt si i et i + 1 se trouvent dans la même ligne de T σ i.t = T si i et i + 1 se trouvent dans la même colonne de T σ i.t = m i (T)T + (1 + m i (T))T i i+1 sinon. On montre qu il existe de bons poids, w(t) k
127 Image de B n dans H n (α) : cas fini Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ. L action de σ i est de la forme σ i.t = αt si i et i + 1 se trouvent dans la même ligne de T σ i.t = T si i et i + 1 se trouvent dans la même colonne de T σ i.t = m i (T)T + (1 + m i (T))T i i+1 sinon. On montre qu il existe de bons poids, w(t) k tels que les σ i préservent la forme bilinéaire
128 Image de B n dans H n (α) : cas fini Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ. L action de σ i est de la forme σ i.t = αt si i et i + 1 se trouvent dans la même ligne de T σ i.t = T si i et i + 1 se trouvent dans la même colonne de T σ i.t = m i (T)T + (1 + m i (T))T i i+1 sinon. On montre qu il existe de bons poids, w(t) k tels que les σ i préservent la forme bilinéaire < T 1, T 2 >= w(t 1 )δt 1,T 2
129 Image de B n dans H n (α) : cas fini Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ. L action de σ i est de la forme σ i.t = αt si i et i + 1 se trouvent dans la même ligne de T σ i.t = T si i et i + 1 se trouvent dans la même colonne de T σ i.t = m i (T)T + (1 + m i (T))T i i+1 sinon. On montre qu il existe de bons poids, w(t) k tels que les σ i préservent la forme bilinéaire < T 1, T 2 >= w(t 1 )δt 1,T 2 On en déduit la proposition, et un analogue fini du groupe algébrique précédent.
130 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit
131 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Comme B n = (B n, B n ), on n a pas à se soucier des représentations de dimension 1.
132 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Comme B n = (B n, B n ), on n a pas à se soucier des représentations de dimension 1.
133 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit
134 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit
135 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Dickson : classification des sous-groupes irréducibles de SL 2 (F q ).
136 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit
137 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit La représentation [2, 2] provient de [2, 1] via un morphisme spécial B 4 B 3.
138 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit
139 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Pour λ = [n 1, 1], les σ i agissent par des pseudo-réflexions.
140 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Pour λ = [n 1, 1], les σ i agissent par des pseudo-réflexions. Théorème de Wagner : en dimension 3, les sous-groupes de SL n (q) engendrés par des pseudo-réflexions d ordre au moins 3
141 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Pour λ = [n 1, 1], les σ i agissent par des pseudo-réflexions. Théorème de Wagner : en dimension 3, les sous-groupes de SL n (q) engendrés par des pseudo-réflexions d ordre au moins 3 sont SL n (q )
142 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Pour λ = [n 1, 1], les σ i agissent par des pseudo-réflexions. Théorème de Wagner : en dimension 3, les sous-groupes de SL n (q) engendrés par des pseudo-réflexions d ordre au moins 3 sont SL n (q ) ou SU n (q ), q q
143 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Pour λ = [n 1, 1], les σ i agissent par des pseudo-réflexions. Théorème de Wagner : en dimension 3, les sous-groupes de SL n (q) engendrés par des pseudo-réflexions d ordre au moins 3 sont SL n (q ) ou SU n (q ), q q (à une exception près).
144 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit
145 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Par récurrence, à partir des représentations de réflexion, on obtient l image de B n dans la somme des représentations à deux colonnes [n p, p] (Brunat-M., 2012).
146 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Par récurrence, à partir des représentations de réflexion, on obtient l image de B n dans la somme des représentations à deux colonnes [n p, p] (Brunat-M., 2012). Mais comment distingue-t-on entre SU et SL?
147 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh.
148 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique.
149 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer,
150 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer, en considérant la représentation de monodromie :
151 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer, en considérant la représentation de monodromie : Proposition R λ (B n ) UN ε (k), où ε Aut(k) est h h. (I.M., 2005)
152 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer, en considérant la représentation de monodromie : Proposition R λ (B n ) UN ε (k), où ε Aut(k) est h h. (I.M., 2005) On remarque que ε(α) = α 1.
153 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer, en considérant la représentation de monodromie : Proposition R λ (B n ) UN ε (k), où ε Aut(k) est h h. (I.M., 2005) On remarque que ε(α) = α 1. Si k = F q = F p (α) est fini,
154 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer, en considérant la représentation de monodromie : Proposition R λ (B n ) UN ε (k), où ε Aut(k) est h h. (I.M., 2005) On remarque que ε(α) = α 1. Si k = F q = F p (α) est fini, il existe ε Aut(k) = Gal(F q F p ) d ordre 2 tel que ε(α) = α 1
155 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer, en considérant la représentation de monodromie : Proposition R λ (B n ) UN ε (k), où ε Aut(k) est h h. (I.M., 2005) On remarque que ε(α) = α 1. Si k = F q = F p (α) est fini, il existe ε Aut(k) = Gal(F q F p ) d ordre 2 tel que ε(α) = α 1 si et seulement si F p (α + α 1 ) = F q.
156 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer, en considérant la représentation de monodromie : Proposition R λ (B n ) UN ε (k), où ε Aut(k) est h h. (I.M., 2005) On remarque que ε(α) = α 1. Si k = F q = F p (α) est fini, il existe ε Aut(k) = Gal(F q F p ) d ordre 2 tel que ε(α) = α 1 si et seulement si F p (α + α 1 ) = F q. Proposition Si F p (α + α 1 ) = F q, alors R λ (B n ) SU N (q). (Brunat-M, 2012)
157 Image de B n dans H n (α) : n grand Le cas n petit étant réglé, on peut supposer les V λ de dimension assez grande, et raisonner par récurrence.
158 Image de B n dans H n (α) : n grand Le cas n petit étant réglé, on peut supposer les V λ de dimension assez grande, et raisonner par récurrence. Pour n = 6, V [3,2,1] est déjà de dimension 16.
159 Image de B n dans H n (α) : n grand Le cas n petit étant réglé, on peut supposer les V λ de dimension assez grande, et raisonner par récurrence. Pour n = 6, V [3,2,1] est déjà de dimension 16. Théorème (Guralnick-Saxl) Soit V un F p -espace vectoriel de dimension d > 10, G GL(V ) fini, irréductible, primitif, tenseur-indécomposable. Si il existe g G \ F p et λ Fp tel que dim Im(g λ) 2, alors
160 Image de B n dans H n (α) : n grand Le cas n petit étant réglé, on peut supposer les V λ de dimension assez grande, et raisonner par récurrence. Pour n = 6, V [3,2,1] est déjà de dimension 16. Théorème (Guralnick-Saxl) Soit V un F p -espace vectoriel de dimension d > 10, G GL(V ) fini, irréductible, primitif, tenseur-indécomposable. Si il existe g G \ F p et λ Fp tel que dim Im(g λ) 2, alors soit G est un groupe classique dans une représentation naturelle
161 Image de B n dans H n (α) : n grand Le cas n petit étant réglé, on peut supposer les V λ de dimension assez grande, et raisonner par récurrence. Pour n = 6, V [3,2,1] est déjà de dimension 16. Théorème (Guralnick-Saxl) Soit V un F p -espace vectoriel de dimension d > 10, G GL(V ) fini, irréductible, primitif, tenseur-indécomposable. Si il existe g G \ F p et λ Fp tel que dim Im(g λ) 2, alors soit G est un groupe classique dans une représentation naturelle soit G est alterné ou symétrique dans une représentation naturelle
162 Image de B n dans H n (α) : n grand Théorème (Guralnick-Saxl) Soit V un F p -espace vectoriel de dimension d > 10, G GL(V ) fini, irréductible, primitif, tenseur-indécomposable. Si il existe g G \ F p et λ Fp tel que dim Im(g λ) 2, alors soit G est un groupe classique dans une représentation naturelle soit G est alterné ou symétrique dans une représentation naturelle
163 Image de B n dans H n (α) : n grand Théorème (Guralnick-Saxl) Soit V un F p -espace vectoriel de dimension d > 10, G GL(V ) fini, irréductible, primitif, tenseur-indécomposable. Si il existe g G \ F p et λ Fp tel que dim Im(g λ) 2, alors soit G est un groupe classique dans une représentation naturelle soit G est alterné ou symétrique dans une représentation naturelle En utilisant la règle de branchement,
164 Image de B n dans H n (α) : n grand Théorème (Guralnick-Saxl) Soit V un F p -espace vectoriel de dimension d > 10, G GL(V ) fini, irréductible, primitif, tenseur-indécomposable. Si il existe g G \ F p et λ Fp tel que dim Im(g λ) 2, alors soit G est un groupe classique dans une représentation naturelle soit G est alterné ou symétrique dans une représentation naturelle En utilisant la règle de branchement, à partir de l image de B n 1 on montre que l on est dans les hypothèses du théorème,
165 Image de B n dans H n (α) : n grand Théorème (Guralnick-Saxl) Soit V un F p -espace vectoriel de dimension d > 10, G GL(V ) fini, irréductible, primitif, tenseur-indécomposable. Si il existe g G \ F p et λ Fp tel que dim Im(g λ) 2, alors soit G est un groupe classique dans une représentation naturelle soit G est alterné ou symétrique dans une représentation naturelle En utilisant la règle de branchement, à partir de l image de B n 1 on montre que l on est dans les hypothèses du théorème, et l on exclut le cas des groupes symétriques/alternés.
166 Image de B n dans H n (α) : conclusion
167 Image de B n dans H n (α) : conclusion Il faut ensuite montrer que le groupe classique en question est sur le bon corps.
168 Image de B n dans H n (α) : conclusion Il faut ensuite montrer que le groupe classique en question est sur le bon corps. La quasi-simplicité des groupes classiques permet alors de conclure via lemme de Goursat.
169 Image de B n dans H n (α) : conclusion Il faut ensuite montrer que le groupe classique en question est sur le bon corps. La quasi-simplicité des groupes classiques permet alors de conclure via lemme de Goursat. Théorème, premier cas. (Brunat-Magaard-M., 2014) Si o(α) > n et o(α) {2, 3, 4, 5, 6, 10}, avec F q = F p (α), alors l image de B n dans H n (α) est SL n 1 (q) dès que F p (α + α 1 ) = F q. λ E/ SL(V λ ) λ F OSP(V λ )
170 Image de B n dans H n (α) : conclusion Théorème, deuxième cas. (Brunat-Magaard-M., 2014) Si o(α) > n et o(α) {2, 3, 4, 5, 6, 10}, avec F q = F p (α), alors l image de B n dans H n (α) est SU n 1 (q) λ E/ SU(V λ ) λ F OSP( ˇV λ )
171 Image de B n dans H n (α) : conclusion Théorème, deuxième cas. (Brunat-Magaard-M., 2014) Si o(α) > n et o(α) {2, 3, 4, 5, 6, 10}, avec F q = F p (α), alors l image de B n dans H n (α) est SU n 1 (q) dès que F p (α + α 1 ) = F q, λ E/ SU(V λ ) λ F OSP( ˇV λ )
172 Image de B n dans H n (α) : conclusion Théorème, deuxième cas. (Brunat-Magaard-M., 2014) Si o(α) > n et o(α) {2, 3, 4, 5, 6, 10}, avec F q = F p (α), alors l image de B n dans H n (α) est SU n 1 (q) λ E/ SU(V λ ) λ F OSP( ˇV λ ) dès que F p (α + α 1 ) = F q, avec V λ = ˇV λ F q F q.
173 Image de B n dans H n (α) : conclusion Théorème, deuxième cas. (Brunat-Magaard-M., 2014) Si o(α) > n et o(α) {2, 3, 4, 5, 6, 10}, avec F q = F p (α), alors l image de B n dans H n (α) est SU n 1 (q) λ E/ SU(V λ ) λ F OSP( ˇV λ ) dès que F p (α + α 1 ) = F q, avec V λ = ˇV λ F q F q.
Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailLa Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37
La Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37 26. Groupes de Teichmüller profinis (Discrétification et prédiscrétification) Soit π un groupe profini à lacets de type g, ν, T le Ẑ-module
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détailL isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld et applications cohomologiques par Laurent Fargues
Préambule.................................... xv Bibliographie... xxi I L isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld et applications cohomologiques par Laurent Fargues Introduction...................................
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détailProposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailRésumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr
Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailCours introductif de M2 Algèbres de Lie semi-simples et leurs représentations
Cours introductif de M2 Algèbres de Lie semi-simples et leurs représentations Jean-François Dat 2013-2014 Résumé Dans ce cours, on étudie la structure des algèbres de Lie et de leurs représentations linéaires,
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailCNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2
CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détail1 Première section: La construction générale
AMALGAMATIONS DE CLASSES DE SOUS-GROUPES D UN GROUPE ABÉLIEN. SOUS-GROUPES ESSENTIEL-PURS. Călugăreanu Grigore comunicare prezentată la Conferinţa de grupuri abeliene şi module de la Padova, iunie 1994
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailRAPHAËL ROUQUIER. 1. Introduction
CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Trois exposés à la semaine «Géométrie algébrique complexe» au CIRM, Luminy, décembre 2003 1. Introduction On étudie dans un premier temps les propriétés internes
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailFEUILLETAGES PAR VARIÉTÉS COMPLEXES ET PROBLÈMES D UNIFORMISATION LAURENT MEERSSEMAN
FEUILLETAGES PAR VARIÉTÉS COMPLEXES ET PROBLÈMES D UNIFORMISATION LAURENT MEERSSEMAN Abstract. Ce texte est une introduction aux feuilletages par variétés complexes et aux problèmes d uniformisation de
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailJournées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015
et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailSUR CERTAINS SYSTEMES D EQUATIONS AVEC CONTRAINTES DANS UN GROUPE LIBRE (*)
PORTUGALIAE MATHEMATICA Vol. 56 Fasc. 4 1999 SUR CERTAINS SYSTEMES D EQUATIONS AVEC CONTRAINTES DANS UN GROUPE LIBRE (*) J. Almeida and M. Delgado Résumé: Le théorème principal trouvé par Ash pour sa preuve
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailCarl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailCHAPITRE IV. L axiome du choix
CHAPITRE IV L axiome du choix Résumé. L axiome du choix AC affirme qu il est légitime de construire des objets mathématiques en répétant un nombre infini de fois l opération de choisir un élément dans
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailTemps et thermodynamique quantique
Temps et thermodynamique quantique Journée Ludwig Boltzmann 1 Ensemble Canonique Distribution de Maxwell-Boltzmann, Ensemble canonique ϕ(a) = Z 1 tr(a e β H ) Z = tr(e β H ) 2 La condition KMS ϕ(x x) 0
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailReprésentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailReprésentation des Nombres
Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailAxiomatique de N, construction de Z
Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailCircuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance
Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailComment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise
Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailErreur statique. Chapitre 6. 6.1 Définition
Chapitre 6 Erreur statique On considère ici le troisième paramètre de design, soit l erreur statique. L erreur statique est la différence entre l entrée et la sortie d un système lorsque t pour une entrée
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailESQUISSE D UN PROGRAMME. par Alexandre Grothendieck
ESQUISSE D UN PROGRAMME par Alexandre Grothendieck Sommaire: 1. Envoi. 2. Un jeu de Lego-Teichmüller et le groupe de Galois de Q sur Q. 3. Corps de nombres associés à un dessin d enfant. 4. Polyèdres réguliers
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détailpar François Martin & Emmanuel Royer
Séminaires & Congrès 12, 2005, p. 1 117 FORMES MODULAIRES ET PÉRIODES par François Martin & Emmanuel Royer Résumé. L objet de ce cours est de présenter la théorie des formes modulaires et certains de ses
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailUne introduction aux codes correcteurs quantiques
Une introduction aux codes correcteurs quantiques Jean-Pierre Tillich INRIA Rocquencourt, équipe-projet SECRET 20 mars 2008 1/38 De quoi est-il question ici? Code quantique : il est possible de corriger
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailLEMME FONDAMENTAL POUR LES ALGÈBRES DE LIE (D APRÈS NGÔ BAO-CHÂU)
LEMME FONDAMENTAL POUR LES ALGÈBRES DE LIE (D APRÈS NGÔ BAO-CHÂU) DAT JEAN-FRANÇOIS AND NGO DAC TUAN La formule des traces sur les corps de nombres a été introduite par Selberg, puis développée par Arthur.
Plus en détailVI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE
VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif
Plus en détailpar Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis
LA CATÉGORIE Θ DE JOYAL EST UNE CATÉGORIE TEST par Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis Résumé. Le but principal de cet article est de prouver que la catégorie cellulaire Θ de Joyal est une catégorie
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE. SMI AlgoII
ALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE 1 2 Comment choisir entre différents algorithmes pour résoudre un même problème? Plusieurs critères de choix : Exactitude Simplicité Efficacité (but de ce chapitre)
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailProbabilités III Introduction à l évaluation d options
Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailLES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES
LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES 1 Ce travail a deux objectifs : ====================================================================== 1. Comprendre ce que font les générateurs de nombres aléatoires
Plus en détailRapport de stage de fin de première année : exemples de groupes, leur traitement par MAGMA, et applications en cryptographie
Rapport de stage de fin de première année : exemples de groupes, leur traitement par MAGMA, et applications en cryptographie Encadré par Guénaël Renault Tristan Vaccon juin 2009-juillet 2009 Table des
Plus en détailFeuille G1 RAPPEL SUR LES GROUPES
Université Joseph Fourier Licence de Mathématiques Année 2004/2005 Algèbre II Michael Eisermann Feuille G1 RAPPEL SUR LES GROUPES Mode d emploi. Tout énoncé portant un numéro est un exercice, parfois implicite.
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailCours d initiation à la programmation en C++ Johann Cuenin
Cours d initiation à la programmation en C++ Johann Cuenin 11 octobre 2014 2 Table des matières 1 Introduction 5 2 Bases de la programmation en C++ 7 3 Les types composés 9 3.1 Les tableaux.............................
Plus en détail1 Comment faire un document Open Office /writer de façon intelligente?
1 Comment faire un document Open Office /writer de façon intelligente? 1.1 Comment fonctionne un traitement de texte?: les balises. Un fichier de traitement de texte (WRITER ou WORD) comporte en plus du
Plus en détail