Sur l image du groupe de tresses dans l algèbre de Hecke

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1 Sur l image du groupe de tresses dans l algèbre de Hecke conférence en l honneur de F. Digne, 1er avril 2015

2 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke B n = σ 1,..., σ n 1 σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1, σ i σ j = σ j σ i si i j 2

3 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke Soit k un corps, α k. B n = σ 1,..., σ n 1 σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1, σ i σ j = σ j σ i si i j 2

4 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke B n = σ 1,..., σ n 1 σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1, σ i σ j = σ j σ i si i j 2 Soit k un corps, α k. Alors H n (α) = kb n /(σ i + 1)(σ i α).

5 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke B n = σ 1,..., σ n 1 σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1, σ i σ j = σ j σ i si i j 2 Soit k un corps, α k. Alors H n (α) = kb n /(σ i + 1)(σ i α).

6 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke B n = σ 1,..., σ n 1 σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1, σ i σ j = σ j σ i si i j 2 Soit k un corps, α k. Alors H n (α) = kb n /(σ i + 1)(σ i α). si et seulement si R(σ i ) annule (X + 1)(X α).

7 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke si et seulement si R(σ i ) annule (X + 1)(X α).

8 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke si et seulement si R(σ i ) annule (X + 1)(X α). Problème :

9 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke si et seulement si R(σ i ) annule (X + 1)(X α). Problème : quand k est fini, calculer R(B n )

10 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke si et seulement si R(σ i ) annule (X + 1)(X α). Problème : quand k est fini, calculer R(B n ) quand k est fini, calculer Im(B n H n (α) ).

11 Motivation d étude des quotients finis de B n Si X est une variété algébrique lisse, définie sur un corps de nombres,

12 Motivation d étude des quotients finis de B n Si X est une variété algébrique lisse, définie sur un corps de nombres, les quotients fini de π 1 (X (C)) permettent de comprendre les revêtement de X (C),

13 Motivation d étude des quotients finis de B n Si X est une variété algébrique lisse, définie sur un corps de nombres, les quotients fini de π 1 (X (C)) permettent de comprendre les revêtement de X (C), qui peuvent être également vus comme des revêtements étales de X, considérée comme variété sur Q.

14 Motivation d étude des quotients finis de B n Si X est une variété algébrique lisse, définie sur un corps de nombres, les quotients fini de π 1 (X (C)) permettent de comprendre les revêtement de X (C), qui peuvent être également vus comme des revêtements étales de X, considérée comme variété sur Q. Quand de plus X est une variété définie sur Q,

15 Motivation d étude des quotients finis de B n Si X est une variété algébrique lisse, définie sur un corps de nombres, les quotients fini de π 1 (X (C)) permettent de comprendre les revêtement de X (C), qui peuvent être également vus comme des revêtements étales de X, considérée comme variété sur Q. Quand de plus X est une variété définie sur Q, de tels revêtements permettent parfois de réaliser le quotient fini correspondant comme groupe de Galois d une extension de Q.

16 Motivation d étude des quotients finis de B n Si X est une variété algébrique lisse, définie sur un corps de nombres, les quotients fini de π 1 (X (C)) permettent de comprendre les revêtement de X (C), qui peuvent être également vus comme des revêtements étales de X, considérée comme variété sur Q. Quand de plus X est une variété définie sur Q, de tels revêtements permettent parfois de réaliser le quotient fini correspondant comme groupe de Galois d une extension de Q. En tous les cas, la théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte

17 Motivation d étude des quotients finis de B n Si X est une variété algébrique lisse, définie sur un corps de nombres, les quotients fini de π 1 (X (C)) permettent de comprendre les revêtement de X (C), qui peuvent être également vus comme des revêtements étales de X, considérée comme variété sur Q. Quand de plus X est une variété définie sur Q, de tels revêtements permettent parfois de réaliser le quotient fini correspondant comme groupe de Galois d une extension de Q. En tous les cas, la théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π1 et (X ) Gal(Q Q) 1

18 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1

19 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1 et donc un morphisme Gal(Q Q) Out( π1 (X (C))),

20 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1 et donc un morphisme Gal(Q Q) Out( π1 (X (C))), provenant d un morphisme Gal(Q Q) Aut( π1 (X (C)))

21 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1 et donc un morphisme Gal(Q Q) Out( π1 (X (C))), provenant d un morphisme Gal(Q Q) Aut( π1 (X (C))) dès que X (Q).

22 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1 et donc un morphisme Gal(Q Q) Out( π1 (X (C))), provenant d un morphisme Gal(Q Q) Aut( π1 (X (C))) dès que X (Q). Ainsi, tout quotient fini d un tel π 1 (X (C)) joue un role dans l étude des actions de Galois géométriques de Gal(Q Q).

23 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1 et donc un morphisme Gal(Q Q) Out( π1 (X (C))), provenant d un morphisme Gal(Q Q) Aut( π1 (X (C))) dès que X (Q). Ainsi, tout quotient fini d un tel π 1 (X (C)) joue un role dans l étude des actions de Galois géométriques de Gal(Q Q). Quand le π 1 (X (C)) est loin d être abélien,

24 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1 et donc un morphisme Gal(Q Q) Out( π1 (X (C))), provenant d un morphisme Gal(Q Q) Aut( π1 (X (C))) dès que X (Q). Ainsi, tout quotient fini d un tel π 1 (X (C)) joue un role dans l étude des actions de Galois géométriques de Gal(Q Q). Quand le π 1 (X (C)) est loin d être abélien, ou anabélien,

25 Motivation d étude des quotients finis de B n La théorie du π 1 étale fournit une suite exacte courte 1 π 1 (X (C)) π et 1 (X ) Gal(Q Q) 1 et donc un morphisme Gal(Q Q) Out( π1 (X (C))), provenant d un morphisme Gal(Q Q) Aut( π1 (X (C))) dès que X (Q). Ainsi, tout quotient fini d un tel π 1 (X (C)) joue un role dans l étude des actions de Galois géométriques de Gal(Q Q). Quand le π 1 (X (C)) est loin d être abélien, ou anabélien, on conjecture de plus que Gal(Q Q) Out(π 1 (X (C))) est injectif.

26 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier,

27 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C))

28 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C)) pour X une variété lisse définie sur Q,

29 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C)) pour X une variété lisse définie sur Q, on a un morphisme Gal(Q Q) Aut( B n )

30 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C)) pour X une variété lisse définie sur Q, on a un morphisme Gal(Q Q) Aut( B n ) dont on sait qu il est injectif pour n 3.

31 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C)) pour X une variété lisse définie sur Q, on a un morphisme Gal(Q Q) Aut( B n ) dont on sait qu il est injectif pour n 3. Dans le cas particulier de B n,

32 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C)) pour X une variété lisse définie sur Q, on a un morphisme Gal(Q Q) Aut( B n ) dont on sait qu il est injectif pour n 3. Dans le cas particulier de B n, Drinfeld a défini un groupe abstrait par lequel factorise ce morphisme,

33 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C)) pour X une variété lisse définie sur Q, on a un morphisme Gal(Q Q) Aut( B n ) dont on sait qu il est injectif pour n 3. Dans le cas particulier de B n, Drinfeld a défini un groupe abstrait par lequel factorise ce morphisme, le groupe de Grothendieck-Teichmüller.

34 Motivation d étude des quotients finis de B n En particulier, comme B n = π 1 ({A C; #A = n}) = π 1 (X (C)) pour X une variété lisse définie sur Q, on a un morphisme Gal(Q Q) Aut( B n ) dont on sait qu il est injectif pour n 3. Dans le cas particulier de B n, Drinfeld a défini un groupe abstrait par lequel factorise ce morphisme, le groupe de Grothendieck-Teichmüller.

35 Motivation d étude des quotients finis de B n Dans le cas particulier de B n, Drinfeld a défini un groupe abstrait par lequel factorise ce morphisme, le groupe de Grothendieck-Teichmüller.

36 Motivation d étude des quotients finis de B n Dans le cas particulier de B n, Drinfeld a défini un groupe abstrait par lequel factorise ce morphisme, le groupe de Grothendieck-Teichmüller. pour n 5.

37 Motivation d étude des quotients finis de B n Dans le cas particulier de B n, Drinfeld a défini un groupe abstrait par lequel factorise ce morphisme, le groupe de Grothendieck-Teichmüller. pour n 5. Ainsi, la complétion profinie de B n est un objet intéressant à comprendre.

38 Image de B n dans H n (α) : idée générale

39 Image de B n dans H n (α) : idée générale On note o(α) l ordre de α dans le groupe multiplicatif de k.

40 Image de B n dans H n (α) : idée générale On note o(α) l ordre de α dans le groupe multiplicatif de k. Fait : si o(α) > n, alors H n (α) est semisimple déployée sur k.

41 Image de B n dans H n (α) : idée générale On note o(α) l ordre de α dans le groupe multiplicatif de k. Fait : si o(α) > n, alors H n (α) est semisimple déployée sur k. B n H n (α) λ n GL(V λ )

42 Image de B n dans H n (α) : idée générale On note o(α) l ordre de α dans le groupe multiplicatif de k. Fait : si o(α) > n, alors H n (α) est semisimple déployée sur k. B n H n (α) λ n GL(V λ ) où les R λ : B n GL(V λ ) sont les représentation irréductibles de B n qui factorisent par H n (α).

43 Image de B n dans H n (α) : idée générale On note o(α) l ordre de α dans le groupe multiplicatif de k. Fait : si o(α) > n, alors H n (α) est semisimple déployée sur k. B n H n (α) λ n GL(V λ ) où les R λ : B n GL(V λ ) sont les représentation irréductibles de B n qui factorisent par H n (α). Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ

44 Image de B n dans H n (α) : idée générale Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ

45 Image de B n dans H n (α) : idée générale Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ Idée : par induction sur n

46 Image de B n dans H n (α) : idée générale Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ Idée : par induction sur n si l on connait l image de B n 1 dans H n 1 (α), on connait un gros sous-groupe de R λ (B n ).

47 Image de B n dans H n (α) : idée générale Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ Idée : par induction sur n si l on connait l image de B n 1 dans H n 1 (α), on connait un gros sous-groupe de R λ (B n ). R λ (B n ) est un sous-groupe irréductible de GL(V λ ), dont un gros sous-groupe est connu : en grande dimension, il y a peu de possibilités.

48 Image de B n dans H n (α) : idée générale Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ Idée : par induction sur n si l on connait l image de B n 1 dans H n 1 (α), on connait un gros sous-groupe de R λ (B n ). R λ (B n ) est un sous-groupe irréductible de GL(V λ ), dont un gros sous-groupe est connu : en grande dimension, il y a peu de possibilités. Problèmes :

49 Image de B n dans H n (α) : idée générale Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ Idée : par induction sur n si l on connait l image de B n 1 dans H n 1 (α), on connait un gros sous-groupe de R λ (B n ). R λ (B n ) est un sous-groupe irréductible de GL(V λ ), dont un gros sous-groupe est connu : en grande dimension, il y a peu de possibilités. Problèmes : R λ (B n ) préserve-t-il une structure orthogonale? symplectique? unitaire?

50 Image de B n dans H n (α) : idée générale Règle de branchement : Res Bn 1 R λ = µ λ R µ Idée : par induction sur n si l on connait l image de B n 1 dans H n 1 (α), on connait un gros sous-groupe de R λ (B n ). R λ (B n ) est un sous-groupe irréductible de GL(V λ ), dont un gros sous-groupe est connu : en grande dimension, il y a peu de possibilités. Problèmes : R λ (B n ) préserve-t-il une structure orthogonale? symplectique? unitaire? Comment gérer les petites valeurs de n?

51 Image de B n dans H n (α) : cas générique Pour donner une idée de ce qui peut se passer, on considère le cas où k est infini.

52 Image de B n dans H n (α) : cas générique Pour donner une idée de ce qui peut se passer, on considère le cas où k est infini. Alors l adhérence R λ (B n ) de R λ (B n ) pour la topologie de Zariski est un groupe algébrique.

53 Image de B n dans H n (α) : cas générique Pour donner une idée de ce qui peut se passer, on considère le cas où k est infini. Alors l adhérence R λ (B n ) de R λ (B n ) pour la topologie de Zariski est un groupe algébrique. Comment le déterminer, au moins quand α est générique?

54 Image de B n dans H n (α) : cas générique Pour donner une idée de ce qui peut se passer, on considère le cas où k est infini. Alors l adhérence R λ (B n ) de R λ (B n ) pour la topologie de Zariski est un groupe algébrique. Comment le déterminer, au moins quand α est générique? Par une construction de monodromie.

55 Image de B n dans H n (α) : cas générique Pour donner une idée de ce qui peut se passer, on considère le cas où k est infini. Alors l adhérence R λ (B n ) de R λ (B n ) pour la topologie de Zariski est un groupe algébrique. Comment le déterminer, au moins quand α est générique? Par une construction de monodromie. k = C((h)) α = exp(iπh) le paramètre α étant alors transcendant sur le corps premier Q k.

56 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n.

57 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n. À λ n et w S n on associe w λ End(V λ ).

58 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n. À λ n et w S n on associe w λ End(V λ ). La représentation associée, R λ : B n GL(V λ ) GL N (k)

59 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n. À λ n et w S n on associe w λ End(V λ ). La représentation associée, sur k = C((h)), R λ : B n GL(V λ ) GL N (k)

60 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n. À λ n et w S n on associe w λ End(V λ ). La représentation R λ : B n GL(V λ ) GL N (k) associée, sur k = C((h)), est obtenue par monodromie de la 1-forme

61 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n. À λ n et w S n on associe w λ End(V λ ). La représentation R λ : B n GL(V λ ) GL N (k) associée, sur k = C((h)), est obtenue par monodromie de la 1-forme ω = h i<j (i j) λ d log(z i z j ) Ω 1 (C n ) End(V λ )

62 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n. À λ n et w S n on associe w λ End(V λ ). La représentation R λ : B n GL(V λ ) GL N (k) associée, sur k = C((h)), est obtenue par monodromie de la 1-forme ω = h i<j (i j) λ d log(z i z j ) Ω 1 (C n ) End(V λ ) où C n = {(z 1,..., z n ) C n i j z i z j }.

63 Image de B n dans H n (α) : cas générique H n (1) = ks n. À λ n et w S n on associe w λ End(V λ ). La représentation R λ : B n GL(V λ ) GL N (k) associée, sur k = C((h)), est obtenue par monodromie de la 1-forme ω = h i<j (i j) λ d log(z i z j ) Ω 1 (C n ) End(V λ ) où C n = {(z 1,..., z n ) C n i j z i z j }. L image d un générateur σ i est conjuguée à exp (hiπ(i i +1) λ ).

64 Image de B n dans H n (α) : cas générique

65 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ).

66 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n

67 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n

68 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n engendrée par les transpositions.

69 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n engendrée par les transpositions. H n = (i j); 1 i, j n Lie = (i i +1); 1 i n 1 Lie ks n

70 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n engendrée par les transpositions. H n = (i j); 1 i, j n Lie = (i i +1); 1 i n 1 Lie ks n Cette algèbre de Lie admet des analogues pour tout groupe de Coxeter

71 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n engendrée par les transpositions. H n = (i j); 1 i, j n Lie = (i i +1); 1 i n 1 Lie ks n Cette algèbre de Lie admet des analogues pour tout groupe de Coxeter (et même tout groupe de réflexions complexes),

72 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n engendrée par les transpositions. H n = (i j); 1 i, j n Lie = (i i +1); 1 i n 1 Lie ks n Cette algèbre de Lie admet des analogues pour tout groupe de Coxeter (et même tout groupe de réflexions complexes), et mérite donc le nom d algèbre de Hecke infinitésimale de type A.

73 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n engendrée par les transpositions. H n = (i j); 1 i, j n Lie = (i i +1); 1 i n 1 Lie ks n Cette algèbre de Lie admet des analogues pour tout groupe de Coxeter (et même tout groupe de réflexions complexes), et mérite donc le nom d algèbre de Hecke infinitésimale de type A. C est une algèbre de Lie réductive, son centre est de dimension 1.

74 Image de B n dans H n (α) : cas générique Ceci permet de calculer l enveloppe algébrique de R λ (B n ). Son algèbre de Lie est l image dans la représentation λ de la sous-algèbre de Lie H n de l algèbre de groupe ks n engendrée par les transpositions. H n = (i j); 1 i, j n Lie = (i i +1); 1 i n 1 Lie ks n Cette algèbre de Lie admet des analogues pour tout groupe de Coxeter (et même tout groupe de réflexions complexes), et mérite donc le nom d algèbre de Hecke infinitésimale de type A. C est une algèbre de Lie réductive, son centre est de dimension 1. Comprendre sa structure revient donc à comprendre ses idéaux simples.

75 Image de B n dans H n (α) : cas générique

76 Image de B n dans H n (α) : cas générique Détail technique :

77 Image de B n dans H n (α) : cas générique Détail technique : Pour alléger la description, on a intérêt à se concentrer sur l image du sous-groupe des commutateurs de B n.

78 Image de B n dans H n (α) : cas générique Détail technique : Pour alléger la description, on a intérêt à se concentrer sur l image du sous-groupe des commutateurs de B n. On le note B n.

79 Image de B n dans H n (α) : cas générique Détail technique : Pour alléger la description, on a intérêt à se concentrer sur l image du sous-groupe des commutateurs de B n. On le note B n. On a une suite exacte 1 B n B n Z 1

80 Image de B n dans H n (α) : cas générique Détail technique : Pour alléger la description, on a intérêt à se concentrer sur l image du sous-groupe des commutateurs de B n. On le note B n. On a une suite exacte 1 B n B n Z 1 qui est presque scindée :

81 Image de B n dans H n (α) : cas générique Détail technique : Pour alléger la description, on a intérêt à se concentrer sur l image du sous-groupe des commutateurs de B n. On le note B n. On a une suite exacte 1 B n B n Z 1 qui est presque scindée : Z(B n ) Z est envoyé sur un sous-groupe d indice n(n 1)/2 de Z.

82 Image de B n dans H n (α) : cas générique Détail technique : Pour alléger la description, on a intérêt à se concentrer sur l image du sous-groupe des commutateurs de B n. On le note B n. On a une suite exacte 1 B n B n Z 1 qui est presque scindée : Z(B n ) Z est envoyé sur un sous-groupe d indice n(n 1)/2 de Z. On ne perd donc pas grand-chose à se restreindre à B n.

83 Image de B n dans H n (α) : cas générique

84 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions :

85 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n}

86 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ }

87 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ }

88 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004)

89 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004) 1. R [n 1,1] (B n ) = SL(V [n 1,1] ) = SL n 1 (k)

90 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004) 1. R [n 1,1] (B n ) = SL(V [n 1,1] ) = SL n 1 (k) 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1]

91 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004) 1. R [n 1,1] (B n ) = SL(V [n 1,1] ) = SL n 1 (k) 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. λ E R λ (B n ) = SL(V λ ).

92 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004) 1. R [n 1,1] (B n ) = SL(V [n 1,1] ) = SL n 1 (k) 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. λ E R λ (B n ) = SL(V λ ). De plus, R λ Rλ,

93 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004) 1. R [n 1,1] (B n ) = SL(V [n 1,1] ) = SL n 1 (k) 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. λ E R λ (B n ) = SL(V λ ). De plus, R λ Rλ, d où SL(V λ ) R λ λ (B n ) = {(x, t x 1 )} SL(V λ ) SL(V λ )

94 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004) 1. R [n 1,1] (B n ) = SL(V [n 1,1] ) = SL n 1 (k) 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. λ E R λ (B n ) = SL(V λ ). De plus, R λ Rλ, d où SL(V λ ) R λ λ (B n ) = {(x, t x 1 )} SL(V λ ) SL(V λ ) 4. λ F R λ (B n ) = OSP(V λ ),

95 Image de B n dans H n (α) : cas générique Définitions : Eq = {Equerres} = {[n r, 1,..., 1] n} E = {λ n; λ λ } F = {λ n; λ = λ } Théorème. (I.M., 2004) 1. R [n 1,1] (B n ) = SL(V [n 1,1] ) = SL n 1 (k) 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. λ E R λ (B n ) = SL(V λ ). De plus, R λ R λ, d où SL(V λ ) R λ λ (B n ) = {(x, t x 1 )} SL(V λ ) SL(V λ ) 4. λ F R λ (B n ) = OSP(V λ ), groupe d isométrie d une forme orthogonale ou symplectique issue de sgn V λ V λ dans Rep(S n ).

96 Image de B n dans H n (α) : cas générique

97 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin

98 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004)

99 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α)

100 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F

101 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) Idée de la démonstration : λ E/ SL(V λ ) λ F

102 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes,

103 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes, et observées les factorisations,

104 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes, et observées les factorisations, on a un morphisme injectif bien défini.

105 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes, et observées les factorisations, on a un morphisme injectif bien défini. On montre qu il est surjectif par récurrence sur n.

106 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes, et observées les factorisations, on a un morphisme injectif bien défini. On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP

107 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes, et observées les factorisations, on a un morphisme injectif bien défini. On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP on est ramené à la détermination des R λ (B n ).

108 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes, et observées les factorisations, on a un morphisme injectif bien défini. On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP on est ramené à la détermination des R λ (B n ). Par récurrence, on connait R λ (B n 1 ).

109 Image de B n dans H n (α) : cas générique Globalement, on obtient enfin Théorème. (I.M., 2004) L image de B n dans H n (α) a pour adhérence SL n 1 (k) OSP(V λ ) λ E/ SL(V λ ) λ F Idée de la démonstration : une fois définies les formes invariantes, et observées les factorisations, on a un morphisme injectif bien défini. On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP on est ramené à la détermination des R λ (B n ). Par récurrence, on connait R λ (B n 1 ). Alors

110 Image de B n dans H n (α) : cas générique On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP on est ramené à la détermination des R λ (B n ). Par récurrence, on connait R λ (B n 1 ). Alors

111 Image de B n dans H n (α) : cas générique On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP on est ramené à la détermination des R λ (B n ). Par récurrence, on connait R λ (B n 1 ). Alors Comme R λ est irréducible, si (dim V λ )/rg R λ (B n ) (dim V λ )/rg R λ (B n 1 ) est petit, les possibilités pour R λ (B n ) sont très contraintes

112 Image de B n dans H n (α) : cas générique On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP on est ramené à la détermination des R λ (B n ). Par récurrence, on connait R λ (B n 1 ). Alors Comme R λ est irréducible, si (dim V λ )/rg R λ (B n ) (dim V λ )/rg R λ (B n 1 ) est petit, les possibilités pour R λ (B n ) sont très contraintes (exemple : si < 2, alors R λ (B n ) = SL(V λ )).

113 Image de B n dans H n (α) : cas générique On montre qu il est surjectif par récurrence sur n. A l aide de la simplicité de SL et OSP on est ramené à la détermination des R λ (B n ). Par récurrence, on connait R λ (B n 1 ). Alors Comme R λ est irréducible, si (dim V λ )/rg R λ (B n ) (dim V λ )/rg R λ (B n 1 ) est petit, les possibilités pour R λ (B n ) sont très contraintes (exemple : si < 2, alors R λ (B n ) = SL(V λ )). Pour n petit, on caclule la dimension de R λ (B n ), par calcul (informatique) de l image de H n.

114 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire.

115 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes.

116 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes. Proposition

117 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes. Proposition 1. R λ R λ

118 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes. Proposition 1. R λ R λ 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1]

119 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes. Proposition 1. R λ R λ 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. Il existe une forme bilinéaire non-degénérée invariante par B n is λ = λ.

120 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes. Proposition 1. R λ R λ 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. Il existe une forme bilinéaire non-degénérée invariante par B n is λ = λ. On veut en plus une preuve suffisamment explicite pour déterminer le type sur F q des formes orthogonales en question.

121 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes. Proposition 1. R λ R λ 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. Il existe une forme bilinéaire non-degénérée invariante par B n is λ = λ. On veut en plus une preuve suffisamment explicite pour déterminer le type sur F q des formes orthogonales en question. Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n.

122 Image de B n dans H n (α) : cas fini Pour adapter l argument, il faut d abord exhiber algébriquement une factorisation similaire. En termes de théorie des représentations, il faut montrer les propriétés suivantes. Proposition 1. R λ R λ 2. R [n r,1 r ] Λ r R [n 1,1] 3. Il existe une forme bilinéaire non-degénérée invariante par B n is λ = λ. On veut en plus une preuve suffisamment explicite pour déterminer le type sur F q des formes orthogonales en question. Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ.

123 Image de B n dans H n (α) : cas fini Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ.

124 Image de B n dans H n (α) : cas fini Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ. L action de σ i est de la forme σ i.t = αt si i et i + 1 se trouvent dans la même ligne de T σ i.t = T si i et i + 1 se trouvent dans la même colonne de T σ i.t = m i (T)T + (1 + m i (T))T i i+1 sinon.

125 Image de B n dans H n (α) : cas fini Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ. L action de σ i est de la forme σ i.t = αt si i et i + 1 se trouvent dans la même ligne de T σ i.t = T si i et i + 1 se trouvent dans la même colonne de T σ i.t = m i (T)T + (1 + m i (T))T i i+1 sinon. On montre qu il existe de bons poids,

126 Image de B n dans H n (α) : cas fini Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ. L action de σ i est de la forme σ i.t = αt si i et i + 1 se trouvent dans la même ligne de T σ i.t = T si i et i + 1 se trouvent dans la même colonne de T σ i.t = m i (T)T + (1 + m i (T))T i i+1 sinon. On montre qu il existe de bons poids, w(t) k

127 Image de B n dans H n (α) : cas fini Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ. L action de σ i est de la forme σ i.t = αt si i et i + 1 se trouvent dans la même ligne de T σ i.t = T si i et i + 1 se trouvent dans la même colonne de T σ i.t = m i (T)T + (1 + m i (T))T i i+1 sinon. On montre qu il existe de bons poids, w(t) k tels que les σ i préservent la forme bilinéaire

128 Image de B n dans H n (α) : cas fini Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ. L action de σ i est de la forme σ i.t = αt si i et i + 1 se trouvent dans la même ligne de T σ i.t = T si i et i + 1 se trouvent dans la même colonne de T σ i.t = m i (T)T + (1 + m i (T))T i i+1 sinon. On montre qu il existe de bons poids, w(t) k tels que les σ i préservent la forme bilinéaire < T 1, T 2 >= w(t 1 )δt 1,T 2

129 Image de B n dans H n (α) : cas fini Hoefsmit (1974) a donné des modèles explicites, si o(α) > n. Une base de V λ est donnée par les tableaux standard T de forme λ. L action de σ i est de la forme σ i.t = αt si i et i + 1 se trouvent dans la même ligne de T σ i.t = T si i et i + 1 se trouvent dans la même colonne de T σ i.t = m i (T)T + (1 + m i (T))T i i+1 sinon. On montre qu il existe de bons poids, w(t) k tels que les σ i préservent la forme bilinéaire < T 1, T 2 >= w(t 1 )δt 1,T 2 On en déduit la proposition, et un analogue fini du groupe algébrique précédent.

130 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit

131 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Comme B n = (B n, B n ), on n a pas à se soucier des représentations de dimension 1.

132 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Comme B n = (B n, B n ), on n a pas à se soucier des représentations de dimension 1.

133 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit

134 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit

135 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Dickson : classification des sous-groupes irréducibles de SL 2 (F q ).

136 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit

137 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit La représentation [2, 2] provient de [2, 1] via un morphisme spécial B 4 B 3.

138 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit

139 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Pour λ = [n 1, 1], les σ i agissent par des pseudo-réflexions.

140 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Pour λ = [n 1, 1], les σ i agissent par des pseudo-réflexions. Théorème de Wagner : en dimension 3, les sous-groupes de SL n (q) engendrés par des pseudo-réflexions d ordre au moins 3

141 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Pour λ = [n 1, 1], les σ i agissent par des pseudo-réflexions. Théorème de Wagner : en dimension 3, les sous-groupes de SL n (q) engendrés par des pseudo-réflexions d ordre au moins 3 sont SL n (q )

142 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Pour λ = [n 1, 1], les σ i agissent par des pseudo-réflexions. Théorème de Wagner : en dimension 3, les sous-groupes de SL n (q) engendrés par des pseudo-réflexions d ordre au moins 3 sont SL n (q ) ou SU n (q ), q q

143 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Pour λ = [n 1, 1], les σ i agissent par des pseudo-réflexions. Théorème de Wagner : en dimension 3, les sous-groupes de SL n (q) engendrés par des pseudo-réflexions d ordre au moins 3 sont SL n (q ) ou SU n (q ), q q (à une exception près).

144 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit

145 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Par récurrence, à partir des représentations de réflexion, on obtient l image de B n dans la somme des représentations à deux colonnes [n p, p] (Brunat-M., 2012).

146 Image de B n dans H n (α) : cas fini, n petit Par récurrence, à partir des représentations de réflexion, on obtient l image de B n dans la somme des représentations à deux colonnes [n p, p] (Brunat-M., 2012). Mais comment distingue-t-on entre SU et SL?

147 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh.

148 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique.

149 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer,

150 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer, en considérant la représentation de monodromie :

151 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer, en considérant la représentation de monodromie : Proposition R λ (B n ) UN ε (k), où ε Aut(k) est h h. (I.M., 2005)

152 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer, en considérant la représentation de monodromie : Proposition R λ (B n ) UN ε (k), où ε Aut(k) est h h. (I.M., 2005) On remarque que ε(α) = α 1.

153 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer, en considérant la représentation de monodromie : Proposition R λ (B n ) UN ε (k), où ε Aut(k) est h h. (I.M., 2005) On remarque que ε(α) = α 1. Si k = F q = F p (α) est fini,

154 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer, en considérant la représentation de monodromie : Proposition R λ (B n ) UN ε (k), où ε Aut(k) est h h. (I.M., 2005) On remarque que ε(α) = α 1. Si k = F q = F p (α) est fini, il existe ε Aut(k) = Gal(F q F p ) d ordre 2 tel que ε(α) = α 1

155 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer, en considérant la représentation de monodromie : Proposition R λ (B n ) UN ε (k), où ε Aut(k) est h h. (I.M., 2005) On remarque que ε(α) = α 1. Si k = F q = F p (α) est fini, il existe ε Aut(k) = Gal(F q F p ) d ordre 2 tel que ε(α) = α 1 si et seulement si F p (α + α 1 ) = F q.

156 Image de B n dans H n (α) : unitarisabilité Retour sur le cas générique : k = C((h)), α = exp iπh. On ne voit pas l unitarisabilité sur l enveloppe algébrique. Mais on peut montrer, en considérant la représentation de monodromie : Proposition R λ (B n ) UN ε (k), où ε Aut(k) est h h. (I.M., 2005) On remarque que ε(α) = α 1. Si k = F q = F p (α) est fini, il existe ε Aut(k) = Gal(F q F p ) d ordre 2 tel que ε(α) = α 1 si et seulement si F p (α + α 1 ) = F q. Proposition Si F p (α + α 1 ) = F q, alors R λ (B n ) SU N (q). (Brunat-M, 2012)

157 Image de B n dans H n (α) : n grand Le cas n petit étant réglé, on peut supposer les V λ de dimension assez grande, et raisonner par récurrence.

158 Image de B n dans H n (α) : n grand Le cas n petit étant réglé, on peut supposer les V λ de dimension assez grande, et raisonner par récurrence. Pour n = 6, V [3,2,1] est déjà de dimension 16.

159 Image de B n dans H n (α) : n grand Le cas n petit étant réglé, on peut supposer les V λ de dimension assez grande, et raisonner par récurrence. Pour n = 6, V [3,2,1] est déjà de dimension 16. Théorème (Guralnick-Saxl) Soit V un F p -espace vectoriel de dimension d > 10, G GL(V ) fini, irréductible, primitif, tenseur-indécomposable. Si il existe g G \ F p et λ Fp tel que dim Im(g λ) 2, alors

160 Image de B n dans H n (α) : n grand Le cas n petit étant réglé, on peut supposer les V λ de dimension assez grande, et raisonner par récurrence. Pour n = 6, V [3,2,1] est déjà de dimension 16. Théorème (Guralnick-Saxl) Soit V un F p -espace vectoriel de dimension d > 10, G GL(V ) fini, irréductible, primitif, tenseur-indécomposable. Si il existe g G \ F p et λ Fp tel que dim Im(g λ) 2, alors soit G est un groupe classique dans une représentation naturelle

161 Image de B n dans H n (α) : n grand Le cas n petit étant réglé, on peut supposer les V λ de dimension assez grande, et raisonner par récurrence. Pour n = 6, V [3,2,1] est déjà de dimension 16. Théorème (Guralnick-Saxl) Soit V un F p -espace vectoriel de dimension d > 10, G GL(V ) fini, irréductible, primitif, tenseur-indécomposable. Si il existe g G \ F p et λ Fp tel que dim Im(g λ) 2, alors soit G est un groupe classique dans une représentation naturelle soit G est alterné ou symétrique dans une représentation naturelle

162 Image de B n dans H n (α) : n grand Théorème (Guralnick-Saxl) Soit V un F p -espace vectoriel de dimension d > 10, G GL(V ) fini, irréductible, primitif, tenseur-indécomposable. Si il existe g G \ F p et λ Fp tel que dim Im(g λ) 2, alors soit G est un groupe classique dans une représentation naturelle soit G est alterné ou symétrique dans une représentation naturelle

163 Image de B n dans H n (α) : n grand Théorème (Guralnick-Saxl) Soit V un F p -espace vectoriel de dimension d > 10, G GL(V ) fini, irréductible, primitif, tenseur-indécomposable. Si il existe g G \ F p et λ Fp tel que dim Im(g λ) 2, alors soit G est un groupe classique dans une représentation naturelle soit G est alterné ou symétrique dans une représentation naturelle En utilisant la règle de branchement,

164 Image de B n dans H n (α) : n grand Théorème (Guralnick-Saxl) Soit V un F p -espace vectoriel de dimension d > 10, G GL(V ) fini, irréductible, primitif, tenseur-indécomposable. Si il existe g G \ F p et λ Fp tel que dim Im(g λ) 2, alors soit G est un groupe classique dans une représentation naturelle soit G est alterné ou symétrique dans une représentation naturelle En utilisant la règle de branchement, à partir de l image de B n 1 on montre que l on est dans les hypothèses du théorème,

165 Image de B n dans H n (α) : n grand Théorème (Guralnick-Saxl) Soit V un F p -espace vectoriel de dimension d > 10, G GL(V ) fini, irréductible, primitif, tenseur-indécomposable. Si il existe g G \ F p et λ Fp tel que dim Im(g λ) 2, alors soit G est un groupe classique dans une représentation naturelle soit G est alterné ou symétrique dans une représentation naturelle En utilisant la règle de branchement, à partir de l image de B n 1 on montre que l on est dans les hypothèses du théorème, et l on exclut le cas des groupes symétriques/alternés.

166 Image de B n dans H n (α) : conclusion

167 Image de B n dans H n (α) : conclusion Il faut ensuite montrer que le groupe classique en question est sur le bon corps.

168 Image de B n dans H n (α) : conclusion Il faut ensuite montrer que le groupe classique en question est sur le bon corps. La quasi-simplicité des groupes classiques permet alors de conclure via lemme de Goursat.

169 Image de B n dans H n (α) : conclusion Il faut ensuite montrer que le groupe classique en question est sur le bon corps. La quasi-simplicité des groupes classiques permet alors de conclure via lemme de Goursat. Théorème, premier cas. (Brunat-Magaard-M., 2014) Si o(α) > n et o(α) {2, 3, 4, 5, 6, 10}, avec F q = F p (α), alors l image de B n dans H n (α) est SL n 1 (q) dès que F p (α + α 1 ) = F q. λ E/ SL(V λ ) λ F OSP(V λ )

170 Image de B n dans H n (α) : conclusion Théorème, deuxième cas. (Brunat-Magaard-M., 2014) Si o(α) > n et o(α) {2, 3, 4, 5, 6, 10}, avec F q = F p (α), alors l image de B n dans H n (α) est SU n 1 (q) λ E/ SU(V λ ) λ F OSP( ˇV λ )

171 Image de B n dans H n (α) : conclusion Théorème, deuxième cas. (Brunat-Magaard-M., 2014) Si o(α) > n et o(α) {2, 3, 4, 5, 6, 10}, avec F q = F p (α), alors l image de B n dans H n (α) est SU n 1 (q) dès que F p (α + α 1 ) = F q, λ E/ SU(V λ ) λ F OSP( ˇV λ )

172 Image de B n dans H n (α) : conclusion Théorème, deuxième cas. (Brunat-Magaard-M., 2014) Si o(α) > n et o(α) {2, 3, 4, 5, 6, 10}, avec F q = F p (α), alors l image de B n dans H n (α) est SU n 1 (q) λ E/ SU(V λ ) λ F OSP( ˇV λ ) dès que F p (α + α 1 ) = F q, avec V λ = ˇV λ F q F q.

173 Image de B n dans H n (α) : conclusion Théorème, deuxième cas. (Brunat-Magaard-M., 2014) Si o(α) > n et o(α) {2, 3, 4, 5, 6, 10}, avec F q = F p (α), alors l image de B n dans H n (α) est SU n 1 (q) λ E/ SU(V λ ) λ F OSP( ˇV λ ) dès que F p (α + α 1 ) = F q, avec V λ = ˇV λ F q F q.

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