Matrices. 3 Cas particulier des matrices de passage Effets d un changement de bases Matrices équivalentes et matrices semblables...

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1 Dans le cas particulier des espaces vectoriels de dimension finie, nous avons introduit la représentation matricielle d une famille de vecteurs pour déterminer son rang De la même façon, nous verrons comment la représentation matricielle d une application linéaire nous permet, en dimension finie, de simplifier le travail algébrique, et de le remplacer par de simples calculs numériques 1 Représentation matricielle 2 11 à coefficients dans K 2 12 Représentation matricielle d une famille de vecteurs en dimension finie 3 13 Représentation matricielle d une application linéaire en dimensions finies 4 2 Calcul matriciel et interprétation algébrique 5 21 Définition du produit matriciel 5 22 Interprétation algébrique des opérations sur les matrices 6 23 Algèbre M n(k) des matrices carrées d ordre n 6 24 Trace et transposée d une matrice carrée 7 3 Cas particulier des matrices de passage 8 31 Définition et premières propriétés 8 32 Effets d un changement de bases 9 33 équivalentes et matrices semblables 10 Liste non exhaustive des capacités attendues Comprendre ce que représente une matrice Ecrire et utiliser la matrice d une famille de vecteurs Ecrire et utiliser la matrice d une famille de vecteurs Utiliser les opérations élémentaires pour déterminer le rang d une matrice Déterminer une base dans laquelle la matrice d un projecteur ou d une symétrie s exprime par des blocs diagonaux Calculer l image d un vecteur par une application linéaire Mener des opérations algébriques sur les matrices et en connaître l interprétation Connaître la notion de matrice inversible et inverser une telle matrice Connaître la définition et les propriétés des applications trace et transposée Connaître la notion de matrice symétrique ou anti-symétrique Définir une matrice de passage Utiliser les formules de changement de bases Caractériser des matrices équivalentes Connaître la notion de matrices semblables et citer quelques invariants de similitude ()

2 1 Représentation matricielle L ensemble K désigne encore un sous-corps de C Par ailleurs, on rappelle que K n désigne un K-espace vectoriel dont les vecteurs sont des n-uplets de la forme x = (x 1,, x n) et qu on x 1 pourra aussi donner sous la forme d un vecteur-colonne x = x n 11 à coefficients dans K Définition Soient n, p deux entiers 1 On appelle matrice à n lignes et p colonnes toute représentation de la forme : m 11 m 1j m 1p M = m i1 m ij m ip m n1 m nj m np où pour tout (i, j) 1, n 1, p, m ij désigne le coefficient de la matrice d indice (i, j) On note alors M np(k) l ensemble des matrices à n lignes et p colonnes et à coefficients dans K ou encore M n(k) l ensemble des matrices carrées d ordre n, c est à dire à n lignes et n colonnes De plus, dans le cas particulier où p = 1, on parle simplement de matrice-colonne et de la même façon, si n = 1, on parle simplement de matrice-ligne dans le cas particulier où p = n, et si : (i, j) 1, n 2, i j m ij = 0, alors on dit que la matrice est diagonale et elle sera de la forme: (i, j) 1, n 2, i > j m ij = 0, alors on dit que la matrice est triangulaire supérieure et elle sera de la forme: (i, j) 1, n 2, i < j m ij = 0, alors on dit que la matrice est triangulaire inférieure et elle sera de la forme: Pour finir, on appelle matrice nulle la matrice notée O n,p et définie comme la matrice dont tous les coefficients sont nuls Propriété 1 (structure d espace vectoriel) Soient n, p N On définit sur l ensemble M np(k) deux opérations + et telles que : { (M, N) M np(k) 2, M + N = (m ij + n ij ) M np(k) λ K, M M np(k), λm = (λm ij ) M np(k) Alors, muni de ces opérations, (M np(k), +, ) constitue un K-espace vectoriel de dimension n p et dont on donne ici la base canonique : E 11 =, E 12 =,, E np = On se ramène simplement à la définition d un espace vectoriel; on vérifie alors que la famille donnée est bien libre et génératrice Définition Soit M M np(k) On appelle rang de la matrice M le rang des vecteurs de K n définis par chacune de ses colonnes : m 1j rg(m) = rg(c 1,, C p) avec pour tout j 1, p, C j = m nj Les vecteurs C 1,, C n seront appelés les vecteurs-colonnes associés à la matrice M 2

3 Propriété 2 (première propriété) Avec les notations de la définition, rg(m) min(n, p) On revient à la définition du rang d une famille de vecteurs, comme dimension du sous-espace vectoriel engendré par (C j ) j 1,p Propriété 3 (rang et opérations élémentaires) Soit M M np(k) On rappelle que le sous-espace V ect(c 1,, C p) est invariant si : (i) on ajoute à un vecteur-colonne une combinaison linéaire des autres vecteurs, (ii) on multiplie un vecteur-colonne par un scalaire non nuls, (iii) on échange deux de ces vecteurs-colonnes Et ainsi, le rang de la matrice M est invariant par ces opérations élémentaires Encore une fois, pour déterminer le rang d une matrice, on pourra procéder de deux façons : on étudie la liberté des vecteurs-colonnes et on se ramène à un système d équations linéaires, on essaie de mettre en place les opérations élémentaires ainsi décrites, et ceci afin de faire apparaître des zéros : Exemple 1 Déterminer le rang de la matrice M définie par : x M = 1 x x x 12 Représentation matricielle d une famille de vecteurs en dimension finie Définition Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n 1 dont on note B = (e 1,, e n) une base de E Si on considère des vecteurs x 1,, x p E, alors tous ces vecteurs se décomposent de façon unique de sorte que pour tout j 1, p : On construit ainsi la matrice : x j = x 1j e x nj e n = n x ij e i i=1 x 11 x 1j x 1p Mat B (x 1,, x n) = x i1 x ij x ip x n1 x nj x np On dit qu il s agit de la matrice des vecteurs (x i ) suivant la base B et on notera X 1,, X p les vecteurs-colonnes de K n associés aux vecteurs x 1,, x p dans la base B Propriété 4 (isomorphisme canonique) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n 1 dont on note B = (e 1,, e n) une base de E L application φ B : (x 1,, x p) E p Mat B (x j ) M np(k) désigne un isomorphisme d espaces vectoriels On se ramène à la caractérisation d un isomorphisme en dimension finie Remarques 1 Cet isomorphisme nous permettra ainsi de voir n importe quelle matrice comme la matrice d une famille de vecteurs dans une base donnée 2 De plus, si M = Mat B (x j ) où B désigne une base quelconque de E, alors : rg(m) = rg(x 1,, X p) = rg(x 1,, x p) 3

4 Corollaire 5 (indépendance du rang d une famille de vecteurs par rapport à la base donnée) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie dont on note B et B deux bases de E Alors, rg(mat B (x j )) = rg(mat B (x j )) = rg(x j ) Autrement dit, le rang d une famille de vecteurs est une propriété intrinsèque : il est égal au rang de la matrice associée dans une base quelconque 13 Représentation matricielle d une application linéaire en dimensions finies Définition Soient E, F deux K-espace vectoriel de dimensions finies et on note B = (e 1,, e p) une base de E, B = (f 1,, f n) une base de F Si f L(E, F ), alors on appelle matrice de f suivant les bases B et B la matrice à n lignes et p colonnes constituée des vecteurs f(e j ) dans la base B : m 11 m 1j m 1p n Mat BB (f) = m i1 m ij m ip, avec pour tout j 1, p, f(e j ) = m ij f i i=1 m n1 m nj m np Remarque Dans le cas particulier où f = id E, alors on note Mat B (id E ) la matrice associée et on a : Mat B (id E ) = diag(1,, 1) notée I p Propriété 6 (isomorphisme canonique) Soient E, F deux K-espace vectoriel de dimensions finies On note B = (e 1,, e p) une base de E, B = (f 1,, f n) une base de F L application φ BB : f L(E, F ) Mat BB (f) M np(k) désigne un isomorphisme d espaces vectoriels On se ramène à la caractérisation d un isomorphisme en dimension finie Remarques 1 Cet isomorphisme nous permettra ainsi de voir n importe quelle matrice comme la matrice d une application linéaire dans des bases données : on parlera généralement de l application linéaire canoniquement associée 2 De plus, si M = Mat BB (f) où B, B désignent des bases quelconques de E et F, alors : rg(m) = rg(f(e 1 ),, f(e p)) = rg(f) Corollaire 7 (indépendance du rang d une application linéaire par rapport aux bases données) Soient E, F deux K-espace vectoriel de dimensions finies dont on note B, D deux bases de E, B, D deux bases de F Alors, rg(mat BB (f)) = rg(mat DD (f)) = rg(f) Autrement dit, le rang d une application linéaire est une propriété intrinsèque : il est égal au rang de la matrice associée dans des bases quelconques Exemple 2 On considère l endomorphisme de R 3 défini par f : (x, y, z) (x + y + z, x y + 2z, 2x + 3z) 1 Déterminer le matrice de f dans la base canonique, puis préciser Im(f) 2 Calculer le rang de f En déduire Ker(f) Propriété 8 (cas particulier des projecteurs et symétries) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie On note p un projecteur de E et s une symétrie de E Alors, (i) il existe une base (e i ) dans laquelle la matrice de p peut s écrire: avec un bloc diagonal de taille r et de sorte que rg(p) = r Mat (ei )(p) =

5 (ii) il existe une base (e i ) dans laquelle la matrice de s peut s écrire: avec deux blocs diagonaux et de sorte que rg(s) = n Mat (ei )(s) = A chaque fois, il suffit de concaténer les bases des sev supplémentaires qui décomposent E Remarque Si le rang d une application linéaire est indépendant du choix des bases, on pourra quand même retenir leur incidence sur la représentation matricielle : des bases bien choisies nous donneront des matrices faciles à manipuler, c est un des enjeux de la réduction des endomorphismes 2 Calcul matriciel et interprétation algébrique 21 Définition du produit matriciel Définition Soient A M np(k) et B M pq(k) On définit le produit des matrices A et B comme la matrice C M nq(k) donnée par les coefficients (c ij ) tels que : p (i, j) 1, n 1, q, c ij = a ik b kj k=1 qu on obtient en faisant le produit des lignes de A par les différents vecteurs-colonnes de B : A B = a i1 a ij a ip b 1j b pj Remarques 1 Il s agit en fait de faire le produit coefficient par coefficient des vecteurs-lignes de A par les vecteurs-colonnes de B Ainsi, le produit n aura du sens que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B 2 Plus généralement, on retiendra que le produit matriciel n est pas commutatif Exemple 3 Calculer le produit A B pour les matrices A, B définies par : ( ) ( ) A = et B = 2 A = 3 2 ( ) et B = A = et B = Propriété 9 (produit et matrices élémentaires) Soient (E ij ) les matrices élémentaires de M n(k) et A M n(k) Alors : { 1 si j = k (i) E ij E kl = δ jk E il, avec δ jk = 0 sinon a 1i 0 0 (ii) AE ij = et de la même façon, E ij A = a j1 a jn 0 0 a ni Il suffit d écrire le produit matriciel en respectant le produit ligne-colonne 5

6 22 Interprétation algébrique des opérations sur les matrices Propriété 10 (interprétation algébrique d une combinaison linéaire de deux matrices) Soient E, F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies dont on note B, B des bases de E et F Si f, g L(E, F ) et λ K, alors λmat BB (f) + Mat BB (g) = Mat BB (λf + g) C est une conséquence immédiate de l isomorphisme canonique Théorème 11 (interprétation algébrique du produit par un vecteur colonne) Soient E, F deux K-espace vectoriel de dimensions finies On note B = (e 1,, e p) une base de E, B = (f 1,, f n) une base de F Si f L(E, F ), alors en notant M = Mat BB (f), on a : y = f(x) Y = MX, avec X, Y les vecteurs-colonnes de K n associés aux vecteurs x E et y F On exprime simplement f(x) dans les bases données et on fera attention au choix des indices de lignes et colonnes Exemple 4 On considère la matrice M M 3 (R) définie par : M = On note f L(R 3 ) l endomorphisme de R 3 canoniquement associé, c est à dire qu en notant (e i ) les vecteurs de la base canonique de R 3, on a pour tout j 1, 3, f(e j ) = C j 1 Déterminer l expression algébrique de f 2 Déterminer Im(f) et Ker(f), puis vérifier s ils sont supplémentaires dans R 3 Propriété 12 (interprétation algébrique du produit de deux matrices) Soient E, F, G des K-espaces vectoriels de dimensions finies dont on note B, B et B des bases de E, F et G (i) Si f L(E, F ) et g L(F, G), alors Mat B B (g) Mat BB (f) = Mat BB (g f) (ii) De la même façon, si f L(E), alors pour tout k N, [Mat B (f)] k = Mat B (f k ) On revient au calcul de l image d un vecteur par le produit matriciel : y = f(x) Y = MX 23 Algèbre M n (K) des matrices carrées d ordre n Théorème 13 (structure de M n(k)) Soit n N Alors, muni des lois usuelles : (i) (M n(k), +, ) est un K-espace vectoriel de dimension n 2, (ii) (M n(k), +, ) est un anneau non commutatif dont I n = diag(1,, 1) désigne l élément neutre pour le produit Ainsi, on retiendra qu il s agit là d une K-algèbre non commutative Remarque Cette structure d algèbre nous permettra de faire des opérations sur les matrices comme on a pu le faire dans L(E) En particulier on pourra encore appliquer : la formule du binôme de Newton sous réserve que les matrices données commutent, les formules de factorisation sous réserve que les matrices données commutent, Par contre, ( on ) restera ( vigilant ) car l anneau des matrices carrées d ordre n n est pas intègre : on pourra par exemple considérer le produit

7 Exemple 5 Calculer les puissances entières positives de : A = Définition Soit A M n(k) On dit que A est inversible s il existe B M n(k) telle que : AB = BA = I n La matrice B est alors appelée l inverse de A et elle sera notée A 1 Propriété 14 (première caractérisation) Soient M M n(k), E un K-espace vectoriel de dimension finie et dont on note B une base Si f désigne l endomorphisme de E canoniquement associé à M, alors : M est inversible f GL(E) Et dans ce cas, M 1 = (Mat B (f)) 1 = Mat B (f 1 ) On procède par double implication ; pour la réciproque, on fera appel à l isomorphisme canonique φ BB Théorème 15 (autres caractérisations des matrices inversibles) Soit M M n(k) Alors, M est inversible si et seulement si l une des assertions suivantes est vérifiée : (i) rg(m) = n (ii) les vecteurs colonnes (C 1,, C n) constituent une base de K n (iii) M est inversible à gauche (iv) M est inversible à droite Tout découle du théorème de caractérisation des isomorphismes en dimension finie Remarque A ce stade de l année, il n existe pas de méthode simple pour aller chercher l inverse d une matrice mais on pourra retenir le cas particulier des matrices carrées d ordre 2 : si ad bc 0, alors la matrice associée est inversible et on a : ( ) 1 ( ) a b 1 d b = c d ad bc c a Pour inverser une matrice, on pourra dans les autres cas chercher à inverser le système linéaire donné par l équivalence suivante : AX = B X = A 1 B Exemple 6 Déterminer les valeurs λ R telles que la matrice A soit inversible et préciser A 1 avec : A = 1 λ Propriété 16 (groupe linéaire d ordre n) Notons GL n (K) l ensemble des matrices inversibles d ordre n Alors : (i) Si A, B GL n (K), alors AB GL n (K) et on a : (AB) 1 = B 1 A 1 (ii) (GL n (K), ) est un groupe appelé groupe linéaire d ordre n Le premier point est immédiat puisqu on vérifiera l inverse donné; pour le second, on reviendra à la définition d un groupe multiplicatif 24 Trace et transposée d une matrice carrée Définition Soit M M n(k) une matrice carrée dont on note (m ij ) les coefficients On appelle trace de M le scalaire noté tr(m) défini par : tr(m) = n i=1 m ii 7

8 Propriété 17 (de la trace) (i) L application tr : M M n(k) tr(m) K est une forme linéaire sur M n(k) (ii) Pour tous A, B M n(k), on a : tr(ab) = tr(ba) Il suffit de revenir aux coefficients diagonaux Exemple 7 Soit p un projecteur de E, K-espace vectoriel de dimension finie On définit la trace de p comme la trace de la matrice associée à p dans une base quelconque Montrer que : rg(p) = tr(p) Définition Soit M M n(k) une matrice carrée dont on note (m ij ) les coefficients notée M T ou bien t M M n(k) définie par : On appelle transposée de M la matrice t M = (m ij ), avec pour tout (i, j) 1, n 2, m ij = m ji Remarque On retiendra qu elle est simplement obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A On pourrait de la même façon définir la transposée d une matrice à n lignes et p colonnes Propriété 18 (de la transposée) (i) L application φ : M M n(k) t M M n(k) est un automorphisme involutif de M n(k) (ii) Pour tous A, B M n(k), on a : t (AB) = t B t A (iii) Si de plus, A GL n (K), alors t A GL n (K) et ( t A) 1 = t (A 1 ) Le premier point est immédiat en dimension finie ; pour le second, on reviendra aux coefficients du produit matriciel Le dernier point s obtient alors en transposant l égalité AA 1 = I n Exemple 8 Soit A M n(k) 1 Montrer que tr( t A) = tr(a) 2 On suppose de plus que A 2 = t A = A Montrer alors que : rg(a) = 1 i,k n a2 ki Définition Soit n N Dans M n(k), on définit alors : l ensemble des matrices symétriques par : S n(k) = {M M n(k), t M = M} = {M M n(k), m ji = m ij }, l ensemble des matrices antisymétriques par : A n(k) = {M M n(k), t M = M} = {M M n(k), m ji = m ij } Théorème 19 (décomposition de M n(k)) Soit n N Alors, S n(k) et A n(k) sont des sev de M n(k) de dimensions respectives n(n+1) 2 et n(n 1) 2 tels que : M n(k) = S n(k) A n(k) Pour le premier point, on essaie de les écrire sous forme de V ect supplémentaires en dimension finie Il suffira alors de revenir à la caractérisation des sev Remarques 1 Pour aller plus vite, on peut aussi rappeler que l application φ : M t M est une symétrie de M n(k) de sorte que : M n(k) = Ker(φ id) Ker(φ + id) = S n(k) A n(k) 2 Attention, la matrice d une symétrie n est pas nécessairement symétrique Une matrice symétrique ne représente pas nécessairement une symétrie 3 Cas particulier des matrices de passage 31 Définition et premières propriétés Définition Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie dont on note B et B deux bases de E On appelle matrice de passage de B = (e i ) à B = (e i ) la matrice de Mn(K) qui décrit les nouveaux vecteurs dans la base B : P BB = Mat B (e i ) 8

9 Remarque Avec les notations de la définition, P BB pourra aussi être vue comme la matrice de l identité de (E, B ) sur (E, B) : P BB = Mat B (e i ) = Mat B B(id E ) et il conviendra de choisir l une ou l autre de ces interprétations en fonction de l exercice demandé Exemple 9 On se place dans E = R n[x] 1 Montrer que B = ((X + 1) k ) 0 k n désigne une base de E 2 Si on note B la base canonique de E, déterminer P BB Propriété 20 (des matrices de passage) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie dont on note B, B, B des bases de E Alors : (i) P BB P B B = P BB (ii) P BB GL n (K) et (P BB ) 1 = P B B (iii) réciproquement, toute matrice inversible peut être vue comme une matrice de passage de la base canonique sur la base des vecteurs colonnes On revient à la matrice de l identité pour laquelle on fera attention aux choix des bases 32 Effets d un changement de bases Théorème 21 (effets sur les composantes d une vecteur) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie dont on note B = (e i ) et B = (e i ) deux bases de E On considère x E tel que : x = x 1 e x ne n et x = x 1 e x n e n Alors : X = P X X = P 1 X où X, X désignent les vecteurs-colonnes associés et P = P BB associée au changement de bases On considère l application id définie sur E à valeur dans E afin de traduire l égalité x = id(x) Théorème 22 (effets sur la matrice d une application linéaire) Soient E, F des K-espace vectoriels de dimension finie dont on note B, D des bases de E, B, D des bases de F, et on considère f L(E, F ) (i) Si on note M = Mat BB (f) et M = Mat DD (f), alors : M = QM P 1 M = Q 1 MP avec les matrices de passage P = P BD et Q = P B D, associées aux changements de bases dans E et F (ii) Et dans le cas particulier où f est un endomorphisme de E, on a : M = P M P 1 M = P 1 MP, avec P = P BD associée au changement de bases dans E On se ramène à des diagrammes commutatifs pour pouvoir décomposer les applications de E dans F, et obtenir les égalités souhaitées Bien souvent, le choix d une base nous permet de réduire la représentation matricielle d un endomorphisme et ainsi, les opérations algébriques en seront simplifiées Par contre, il faudra être capable de revenir à la matrice initiale; c est là un intérêt des formules de changement de base Exemple 10 On considère l endomorphisme f de E = R 3 canoniquement associé à la matrice: A = Déterminer Ker(f id E ) et Ker(f + 3id E ) 2 En déduire une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale On note D cette dernière matrice 3 Soit n N Exprimer alors A n en fonction de D n 9

10 33 équivalentes et matrices semblables Définition Soient M, M M np(k) On dit que M et M sont équivalentes si M et M représentent une même application linéaire dans des bases différentes, c est à dire s il existe (P, Q) GL p (K) GL n (K) tel que : M = Q 1 MP Soient M, M M n(k) On dit que M et M sont semblables si M et M représentent un même endomorphisme dans des bases différentes, c est à dire s il existe P GL n (K) tel que : M = P 1 MP Remarque Ces relations désignent des relations d équivalence, c est à dire qu elles sont réflexives, symétriques et transitives Théorème 23 (réduction d une matrice de rang r) Soit M M np(k) Si rg(m) = r, alors A est équivalente à la matrice J r définie par : ( ) Ir 0 J r = 0 0 Tout découle du théorème du rang : on détermine une décomposition de E avant de construire des bases adaptées, tout en faisant attention de bien vérifier les hypothèses du théorème de la base incomplète Corollaire 24 (caractérisation des matrices équivalentes) Soient M, M M np(k) M et M sont équivalentes rg(m) = rg(m ) Le premier fera appel à la conservation du rang par des isomorphismes; pour la réciproque, on exploitera la réduction de Jordan d une matrice de rang r Corollaire 25 (rang de la transposée) Soit M M n(k) Alors, rg(m) = rg( t M) On se ramène à la matrice J r et on transpose la formule de passage Remarques On ne confondra pas les notions de matrices équivalentes et matrices semblables 1 Si deux matrices carrées sont semblables, ( alors ) elles sont nécessairement équivalentes mais la réciproque est fausse : par exemple, 1 1 on pourra considérer la matrice M = dans M (R) 2 Avec le rang, il est donc très facile de vérifier que deux matrices sont équivalentes Par contre, pour montrer que deux matrices sont semblables, il faudra revenir à la définition et montrer qu elles représentent un même endomorphisme dans des bases distinctes et cela malgré la donnée de quelques invariants de similitude Propriété 26 (invariants de similitude) Soient M, M M n(k) des matrices qu on suppose semblables Alors, (i) rg(m) = rg(m ) (ii) tr(m) = tr(m ) On dit que ce sont des invariants de similitude, mais attention ils ne caractérisent pas la similitude des deux matrices La première propriété est immédiate puisque les matrices représentent le même endomorphisme Pour le second point, on utilisera une des fameuses propriétés de la trace 10