Partie A x t dt. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 x. D. PINEL, Site Mathemitec :

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1 nilles - Guyane Eercice 6 poins Quesion de cours Prérequis : posiivié e linéarié de l inégrale Soien a e deu réels d un inervalle I de R els que a Démonrer que si f e g son deu foncions coninues sur I elles que pour ou réel de l inervalle I, f () > g (), alors f ( ) d g ( ) d a a Parie d Soi un réel supérieur ou égal à Calculer en foncion de l inégrale ( ) Démonrer que pour ou réel apparenan à l inervalle [ ; + [, on a : 3 Déduire de ce qui précède que pour ou réel supérieur ou égal à, on a : Parie 3 + ln 3 Soi h la foncion définie sur R par h( ) = + Sur le graphique join en annee, le plan es muni d un repère orhogonal ( O ; i, j) dans lequel on a racé les coures représenaives des foncions h e logarihme népérien sur l inervalle [ ; ] On a a racé égalemen la droie (d) d équaion = h d = 0 a Démonrer que ( ) Illusrer sur le graphique le résula de la quesion précédene On noe D le domaine du plan délimié par la droie (d) e les coures représenaives des foncion h e logarihme népérien sur l inervalle [ ; ] En uilisan un inégraion par paries, calculer l aire de D en uniés d aire,5 y 0, ,5,5,5 3 3,5-0,5 - -,5 D PINEL, Sie Mahemiec : hp://mahemiecfreefr/indephp Terminale S nilles, Juin 007 Sujes de ac

2 Eercice (non spécialises) 5 poins ( O ; u, v) es un repère orhonormal direc du plan complee Soi le poin d affie + i = + u poin M d affie z, on associe le poin M d affie z elle que z ' ( z iz ) On pose z = + iy e z ' = ' + iy ' avec, y, e y réels a Démonrer les égaliés suivanes : ' = ( + y ) e y' ( y ) apparien à la droie (O) = + En déduire que le poin M Déerminer l ensemle des poins M du plan els que M =M c Démonrer que pour ou poin M du plan les veceurs M M ' e O son orhogonau Soi r la roaion de cenre O e d angle π M es le poin d affie z image de M par r, M le poin d affie z = z, M 3 le poin d affie z 3 el que le quadrilaère OM M 3 M soi un parallélogramme a Dans cee quesion uniquemen M a pour affie + i, placer les poins M, M, M, M 3 Eprimer z en foncion de z, puis z 3 en foncion de z c OM M 3 M es-il un losange? Jusifier d Vérifier que z ' z = iz3 En déduire que M M ' = OM3 3 Démonrer que les poins M, M, M e M 3 appariennen à un même cercle de cenre O si e seulemen si M M ' = OM Donner alors la mesure en radians de l angle géomérique M ' OM 3 Eercice (spécialises) 5 poins ( O ; u, v) es un repère orhonormal direc du plan complee (unié graphique cm) On considère le poin d affie z = + i On noe S la symérie orhogonale par rappor à l ae ( O ; u ) e h l homohéie de cenre O e de rappor 3 On pose s = h S Parie Placer le poin e compléer la figure au fur e à mesure Quelle es la naure de la ransformaion s? Jusifier 3 Déerminer l écriure complee de la ransformaion s a Déerminer l affie z du poin image de par s Monrer que z 3iz = Déerminer une mesure de l angle ( O, O ) 5 Soien M le milieu de [] e P l image de M par s Monrer que la droie (OP) es perpendiculaire à la droie () Parie On pose C = s()monrer que P es le milieu de [C] a Déerminer l écriure complee de s s e en déduire sa naure Monrer que l image de la droie (OP) par s es la droie (OM) c Que représene le poin M pour le riangle OP? Jusifier D PINEL, Sie Mahemiec : hp://mahemiecfreefr/indephp Terminale S nilles, Juin 007 Sujes de ac

3 Eercice 3 5 poins L espace es rapporé au repère orhonormé ( O ; i, j, k ) On considère les poins (3 ; 0 ; 6) e I(0 ; 0 ; 6) ; on appelle (D) la droie passan par e I On appelle (P) le plan d équaion y + z 6 = 0 e (Q) le plan d équaion y z + = 0 Démonrer que (P) e (Q) son perpendiculaires Démonrer que l inersecion des plans (P) e (Q) es la droie (D) 3 Démonrer que (P) e (Q) coupen l ae ( O ; j ) e déerminer les coordonnées des poins e C, inersecions respecives de (P) e (Q) avec l ae ( O ; j ) Démonrer qu une équaion du plan (T) passan par e de veceur normal C + y + z = 0 5 Donner une représenaion paramérique de la droie (O) Démonrer que la droie (O) e le plan (T) son sécans en un poin H don on déerminera les coordonnées 6 Que représene le poin H pour le riangle C? Jusifier z es (D) I y O (P) C (Q) 5 Eercice 5 poins Pour chaque quesion, une seule des proposiions es eace Le candida indiquera sur la copie le numéro e la lere de la quesion ainsi que la valeur correspondan à la réponse choisie ucune jusificaion n es demandée Une réponse eace au quesions e rappore 0,5 poin e à la quesion 3 rappore poin Une réponse ineace enlève 0,5 poin ; l asence de réponse es compée 0 poin Si le oal es négaif, la noe es ramenée à zéro On s inéresse à deu ypes de pièces élecroniques, P e P, qui enren dans la faricaion d une oïe de viesses auomaique Une seule pièce de ype P e une seule pièce de ype P son nécessaires par oîe L usine se fourni auprès de deu sous-raians e deu seulemen : S e S Le sous-raian S produi 80 % des pièces de ype P e 0 % de pièces de ype P Le sous-raian S produi 0 % des pièces de ype P e 60 % de pièces de ype P Un employé de l usine réuni oues les pièces P e P desinées à êre incorporées dans un cerain nomre de oîes de viesses Il y a donc auan de pièces de chaque ype 3 D PINEL, Sie Mahemiec : hp://mahemiecfreefr/indephp Terminale S nilles, Juin 007 Sujes de ac

4 Il ire une pièce au hasard a La proailié que ce soi une pièce P es : 0,8 0,5 0, 0, 0,6 La proailié que ce soi une pièce P e qu elle vienne de S es : 0, 0, 0,3 0, 0,5 c La proailié qu elle vienne de S es 0, 0, 0,5 0,6 0,8 Il y a 00 pièces au oal Cee fois l employé ire deu pièces simulanémen On suppose ous les irages équiproales a Une valeur approchée à 0 près de la proailié que ce soi deu pièces P es : 0,588 0,87 0,683 0,0095 Une valeur approchée à 0 près de la proailié que ce soi deu pièces P e P es : 0,5000 0,53 0,505 c La proailié que ce soien deu pièces fariquées par le même fournisseur es : La durée de vie eprimée en années des pièces P e P sui une loi eponenielle don le paramère λ es donné dans le aleau suivan : λ P P S 0, 0,5 S 0, 0,5 On rappelle que si X, durée de vie d une pièce eprimée en années, sui une loi eponenielle de paramère λ, alors p( X ) = λe λ d 0 Une valeur approchée à 0 près de la proailié qu une pièce P fariquée par S dure moins de 5 ans es : 0,3679 0,63 Source du suje : FLaroche D PINEL, Sie Mahemiec : hp://mahemiecfreefr/indephp Terminale S nilles, Juin 007 Sujes de ac

5 Corrigé nilles - Guyane Eercice Démonsraion de cours Soi h la foncion définie sur I par h = f g cee foncion es coninue sur I cee foncion es posiive sur I puisque ou réel de l inervalle I, f () > g () par posiivié de l inégrale [prérequis], h ( ) d 0 a par linéarié de l inégrale, ( ) En conclusion, f ( ) d g( ) d 0 h ( ) d = ( ) ( ) ( ) ( ) a f g d = f d g d a a a a c es-à-dire f ( ) d ( ) a a a g d On a, par définiion d une inégrale, ( ) On a ien Parie = 3 d = = + ( ) + = = e 0 c es-à-dire ( ) = 0 pour ou de [ [ ; +, ce qui donne 3 Inégrons par rappor à l inéquaion précédene, comme l inégrale conserve le sens des inégaliés, on oien, pour ou supérieur à : ce qui donne, d après les calculs du, ( ) d d 3 + ln Soi h la foncion définie sur R par ( ) a On a ( ) Par conséquen, Parie 3 h = h d = + d = h( ) d = = + + = + = + = L inégrale d une foncion coninue enre a e représene l aire algérique du domaine associé (ou encore, la valeur moyenne a un coefficien prés) : comme l inégrale es nulle, cela signifie que l aire du domaine, compris enre les droies d équaion = e =, siué au dessus de l ae des ascisses es la même que celle du domaine siué en dessous de l ae des ascisses 5 D PINEL, Sie Mahemiec : hp://mahemiecfreefr/indephp Terminale S nilles, Juin 007 Sujes de ac

6 On noe D le domaine du plan délimié par la droie (d) e les coures représenaives des foncion h e logarihme népérien sur l inervalle [ ; ] Sur le domaine considéré, la foncion ln es dessus de la coure C h (voir 3) La foncion ln h es donc posiive, e comme elle es coninue, l aire cherchée es donnée par = ( ln( ) h( ) ) d u a Par linéarié de l inégrale, = ( ) = = ln( ) h( ) d ln( ) d h( ) d ln( ) d Nous devons donc déerminer une primiive de la foncion ln, à l aide d une inégraion par paries On a u( ) = u '( ) = e par conséquen, v( ) = ln( ) v '( ) = 0 = d = d ln( ) [ ln( )] ln() [ ] ln() 3 u a = = Eercice (non spécialises) Soi le poin d affie + i = + u poin M d affie z, on associe le poin M d affie z elle que z ' ( z iz ) a = = > Uilisons la forme algérique de z, on oien : z ' ( [ iy] i[ iy] ) ( [ y] i[ y ] ) Or deu complees son égau si e seulemen si leur parie réelle e imaginaire son égales, donc on rouve ien ' = ( + y ) e y' = ( + y ) > (O) passe par l origine donc son équaion es du ype y = a y yo > a pour coordonnées carésiennes ( ;) donc son coefficien direceur es a = = L équaion de (O) es donc y = Comme pour M (z ), d après les calculs précédens on a y =, le poin M es sur la droie (O) O ' = + y = y = 0 On a M = M ssi y = y ' = y + y = y y = 0 ransformaion donnée son les poins de la droie (O) : ainsi, les poins fiés par la c Démonrer que pour ou poin M du plan les veceurs M M ' e O son orhogonau y ' On a MM ' soi MM ' e MM ' le produi scalaire des deu veceurs es donc y ' y y y y y = + = 0 donc les veceurs son ien orhogonau y 6 D PINEL, Sie Mahemiec : hp://mahemiecfreefr/indephp Terminale S nilles, Juin 007 Sujes de ac

7 π > La roaion de cenre O e d angle a pour écriure complee z ' = e z c es-à-dire z ' = iz On a donc z = iz > M image de M par la réfleion d ae (O) a donc pour affie : z = z > Le quadrilaère OM M 3 M soi un parallélogramme ssi MM 3 = OM z3 z = z 0 insi, z 3 = z + z = iz + z π i c OM M 3 M es un losange ssi ous ses coés son de même longueur Comme OM M 3 M es un parallélogramme, il suffi de vérifier de deu coés consécuifs son de même longueur : OM = z = iz = z > OM = z = z = z puisqu un complee e son conjugué on le même module > Donc oui, ce parallélogramme es un losange d On a z ' z = ( z + iz ) z = ( iz z ) = i( z + iz ) donc on a ien z ' z = iz3 Par conséquen, on passan au module, comme i =, on a M M ' = OM3 3 Les poins M, M, M e M 3 appariennen à un même cercle de cenre O si e seulemen si OM = OM = OM = OM 3 Comme OM = OM = z = OM es oujours vrai, la relaion ci-dessus équivau à OM = OM 3 Mais OM = OM 3 OM = OM 3 OM = MM ', d où l équivalence cherchée Supposons mainenan que cee condiion soi vérifiée e donc que les poins M, M, M e M 3 appariennen à un même cercle de cenre O (di aussi que ces poins son cocycliques) Nous avons vu que (MM ) es orhogonale à (O), auremen di (O) es la haueur issue de O, e comme le riangle OMM es recangle Noons R = OM le rayon du cercle, e θ = M ' OM Comme OM MM ' =, on a ' R MM = On sai alors que vau 6 π R sin( θ ) = = donc l angle cherché R 6 Eercice (spécialises) Parie h es une homohéie donc une similiude direce, S es une similiude aiale donc une similiude indirece La composée s de h e de S es donc une similiude indirece 3 > L écriure complee de S es z ' = z 7 D PINEL, Sie Mahemiec : hp://mahemiecfreefr/indephp Terminale S nilles, Juin 007 Sujes de ac

8 > Celle de h es z ' = 3z Par conséquen, en composan, on oien pour s : z ' = 3z a On a z 3z = donc z 3( i) 3( i) = + = > On calcule 3iz 3i ( i ) 3( i ) 3( i ) = + = + = donc on a ien z 3 z π = = = z > D après le cours, ( O, O ) arg arg ( 3i ) 5 > M es le milieu de [] donc son affie es > P = s(m) donc son affie es z 3( i) P = + 6 Le veceur OP a donc pour coordonnées OP 3 Or le veceur a pour coordonnées z + z Les droies () e (O) son par conséquen orhogonales cad z = i M = iz OP = = 0 donc on a ( ) Parie Par hypohèse s s s M P [], s(m) = P es le milieu de [s()s()]=[c] C, comme une similiude conserve les milieu, comme M es le milieu de a Comme s : z ' = 3z on a s s : z ' = 3 s( z) = 3z = 3z s s es donc l homohéie de cenre O e de rappor 3, cad s s = h La droie (OP) a pour image la droie (s(o)s(p)) cad (Os(P)) Or P = s(m) donc s(p) = s(s(m)) = h(m) d après le a Mais, pour une homohéie, cenre, image e anécéden son alignés, cad O, M e s(p) son alignés Par conséquen, la droie (Os(P)) es aussi la droie (OM) c > D après la quesion 5, (M) e (OP) son perpendiculaires donc M apparien à la haueur issue de dans OP > une similiude conserve les angles donc s((m)) s((op)) : comme s((m)) = (CP) e s((op)) = (OM), on a aussi (CP) (OM) Mais P es sur [C] donc (P) (OM) > M es l inersecion de deu haueurs de OP, c es donc l orhocenre du riangle Eercice 3 L espace es rapporé au repère orhonormé ( O ; i, j, k ) On considère les poins (3 ; 0 ; 6) e I(0 ; 0 ; 6) ; on appelle (D) la droie passan par e I On appelle (P) le plan d équaion y + z 6 = 0 e (Q) le plan d équaion y z + = 0 8 D PINEL, Sie Mahemiec : hp://mahemiecfreefr/indephp Terminale S nilles, Juin 007 Sujes de ac

9 0 0 Un veceur normal de (P) es n, e pour (Q) : n ' : ainsi n n ' = = 0 normau son orhogonau, donc les plans (P) e (Q) son orhogonau donc les veceurs L inersecion de deu plans non confondus es une droie Il suffi ici de vérifier que la droie D es incluse dans les plans P e Q pour conclure > les coordonnées de vérifien l équaion de P e Q (faies le!) > idem pour e son dans l inersecion de P e Q, donc on a P Q = ( ) 3 > l ae ( O ; ) j a pour équaion > (,y,z) es sur P ( O, j) ssi es donc le poin (0 ;3 ;0) = 0 z = 0 = 0 = 0 = 0 z = 0 z = 0 z = 0 : l inersecion de P e de l ae y + z 6 = 0 y = 6 y = 3 > C(,y,z) es sur Q ( O, = 0 = 0 j) ssi z = 0 z = 0 : l inersecion de Q e de l ae es y z + = 0 y = donc le poin C(0 ;- ;0) > Le plan T de veceur normal du ype + y + z + d = 0 3 C a aussi pour veceur normal 6 Son équaion es donc > Comme (O ;3 ;0) es un poin de T, ses coordonnées vérifien l équaion de (T) : 0++0+d=0 > L équaion de T es : + y + z = La droie (O) es dirigée par le veceur O 0 : un poin M(,y,z) sera sur (O) ssi les veceurs 6 3 = 3 OM y e O 0 son colinéaires donc ssi il eise un réel el que OM = O cad : y = 0 z 6 z = 6 3 > Le veceur direceur O 0 de (O) e un veceur normal 6 colinéaires, droie e plan son donc sécans 9 3 C 6 > Le poin H(,y,z) sera sur l inersecion ssi il vérifie les équaions de (O) e T cad ssi + y + z = = 0 5 = = / = = = = / 5 y = 0 y = 0 y = 0 y = 0 z = 6 z = 6 z = 6 z = / 5 D PINEL, Sie Mahemiec : hp://mahemiecfreefr/indephp de (T) ne son pas Terminale S nilles, Juin 007 Sujes de ac

10 Les coordonnées de H son donc H ;0; > e H son deu poins de (T) e comme (T) a pour veceur normal C, les droies (H) e (C) son orhogonales H es donc sur la haueur de C issue de 3 6 > comme H ;0; 5 5 haueur dans le riangle C > ainsi, H es l orhocenre du riangle C Eercice, on vérifie (faies le!) que H C = 0 : (H) es donc une deuième 08 S 05 P 0 S 05 P 0 06 S S a La proailié que ce soi une pièce P es : 0,8 0,5 0, 0, 0,6 Rappelons qu il y a auan de pièces P que P Voici l arre associé à la siuaion : La proailié que ce soi une pièce P e qu elle vienne de S es : 0, 0, 0,3 0, 0,5 On a p ( P S ) p ( P ) p ( S ) = = = 0 P c La proailié qu elle vienne de S es 0, 0, 0,5 0,6 0,8 = + = = 06 ppliquons la formule des proailiés oales : p ( S ) p ( P S ) p ( P S ) Il y a 00 pièces au oal Cee fois l employé ire deu pièces simulanémen On suppose ous les irages équiproales a Une valeur approchée à 0 près de la proailié que ce soi deu pièces P es : 0,588 0,87 0,683 0,0095 Comme pièces sur es P, on a l arre suivan : P P P insi, la proailié de piocher successivemen deu pièces P es P P P 0 D PINEL, Sie Mahemiec : hp://mahemiecfreefr/indephp Terminale S nilles, Juin 007 Sujes de ac

11 ure méhode : il y a irages possiles don favorales insi p = Une valeur approchée à 0 près de la proailié que ce soi deu pièces P e P es : 0,5000 0,53 0,505 D après l arre précéden e la formule des proailiés oales p = + = = ure méhode : On a suivan le même principe, p = c La proailié que ce soien deu pièces fariquées par le même fournisseur es : Rappelons que la proailié de S es de 06 > soi les pièces son oues les deu S, e avec un arre semlale au précéden, on rouve 0 9 p = > soi les pièces son oues les deu S, e On rouve ainsi une proailié de p+p p ' = ure méhode : On a suivan le même principe, p = La durée de vie eprimée en années des pièces P e P sui une loi eponenielle don le paramère λ es donné dans le aleau suivan : λ P P S 0, 0,5 S 0, 0,5 On rappelle que si X, durée de vie d une pièce eprimée en années, sui une loi eponenielle de paramère λ, alors p( X ) = λe λ d 0 Une valeur approchée à 0 près de la proailié qu une pièce P fariquée par S dure moins de 5 ans es : 0,3679 0,63 D après les rappels, ( ) p X 5 = 0e d = e = e D PINEL, Sie Mahemiec : hp://mahemiecfreefr/indephp Terminale S nilles, Juin 007 Sujes de ac