CORRECTION du BREVET (DNB), juin 2008
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- Laure Boulet
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1 Mathématiques CORRECTION du BREVET (DNB), juin 2008 Mathématiques, 28 juin 2008 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES EXERCICE 1 : 1. On choisit le nombre 10. On multiplie ce nombre par 3 : 10 3 = 30 On ajoute le carré du nombre choisi : = = 130 On multiplie par 2 : = 260 Si on choisit le nombre 10, le résultat obtenu est a) On choisit le nombre 5. On multiplie ce nombre par 3 : ( 5) 3 = 15 On ajoute le carré du nombre choisi : 15 + ( 5) 2 = = 10 On multiplie par 2 : 10 2 = 20 Si on choisit le nombre 5, le résultat obtenu est 20 b) On choisit le nombre 2 3. On multiplie ce nombre par 3 : = 2 ( 2 ) 2 On ajoute le carré du nombre choisi : 2 + = = 22 9 On multiplie par 2 : = 9 Si on choisit le nombre 2, le résultat obtenu est 3 9 1
2 c) On choisit le nombre 5. On multiplie ce nombre par 3 : 5 3 = 3 5 On ajoute le carré du nombre choisi : ( 5) 2 = = On multiplie par 2 : 2 ( ) = Si on choisit le nombre 5, le résultat obtenu est Soit x un nombre quelconque. On choisit un nombre x. On multiplie ce nombre par 3 : x 3 = 3x On ajoute le carré du nombre choisi : 3x + (x) 2 = x 2 + 3x On multiplie par 2 : 2 (x 2 + 3x) = 2x 2 + 6x Si on choisit le nombre x, le résultat obtenu est 2x 2 + 6x Pour répondre à la question posée, nous sommes amenés à résoudre l équation suivante : Factorisons l expression 2x 2 + 6x : 2x 2 + 6x = 0 2x 2 + 6x = 2 x x + 2 x 3 = 2x(x + 3) Nous sommes amenés à résoudre l équation suivante : 2x(x + 3) = 0 2x(x + 3) = 0 est équivalent à 2x = 0 ou x + 3 = 0 est équivalent à x = 0 2 ou x = 0 3 est équivalent à x = 0 ou x = 3 On peut choisir 3 ou 0 pour que le résultat obtenu soit 0 EXERCICE 2 : Si a = 2 alors 2a 2 3a 5 = = = 3 Comme 3 1 alors 2 n est pas solution de l équation 2a 2 3a 5 = 1 2
3 EXERCICE 3 : O A B C = 1 3 On a : 12 = 1 et 12 = 1 3 Les points A, B et C sont alignés dans cet ordre. Notons x A, x B et x C les abscisses respectives des points A, B et C. Calculons les distances AB et BC : AB = x B x A = = = 1 12 BC = x C x B = = = 1 12 AB = BC Les points A, B et C sont régulièrement espacés sur la droite graduée EXERCICE : choix des inconnues : Soit x le prix du kilogramme de vernis et y le prix du litre de cire. Mise en équation : 6 kilogrammes de vernis et litres de cire coûtent 6x + y. Or le prix de 6 kilogrammes de vernis et litres de cire est 95e.. Nous avons une première équation : 6x + y = 95 3 kilogrammes de vernis et 3 litres de cire coûtent 3x + 3y. Or le prix de 3 kilogrammes de vernis et 3 litres de cire est 55, 50e. Nous avons une deuxième équation : 3x + 3y = 55, 50. Les nombres x et y vérifient le système suivant que l on notera (S) : 3
4 { 6x + y = 95 (E1 ) (S) 3x + 3y = 55, 50 (E 2 ) Nous sommes amenés à résoudre le système (S) (système de deux équations à deux inconnues). Résolvons ce système à l aide de la méthode par combinaison. On multiplie les deux membres de l équation (E 2 ) par 2 et on recopie (E 1 ). Le système (S) est équivalent au système suivant : { 6x + y = 95 6x 6y = 111 On additionne membre à membre les équations obenues précedemment. Nous obtenons : 2y = 16 et donc y = 16 2 = 8 y = 8 On remplace (dans l équation (E 1 )) y par la valeur 8. 6x + 8 = 95 6x + 32 = 95 6x = x = 63 x = 63 6 x = 10, 5 x = 10, 5 Un kilogramme de vernis coûte 10, 5e et un litre de cire coûte 8e.
5 ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES EXERCICE 1 : Question Question 1 Question 2 Question 3 Question Réponse Proposition 3 : AD = BC Proposition 2 : 5π Proposition 2 : 17 Proposition 2 : Rectangle et isocèle EXERCICE 2 : 1. Les droites (AB) et (AC) sont sécantes en A Les points A, E et B sont alignés et les points A, F et C sont alignés. Les droites (EF) et (BC) sont parallèles. Nous pouvons appliquer le théorème de THALÈS et on peut écrire : AE AB = AF AC = EF BC Pour calculer BC, utilisons : Nous avons : Ainsi, BC =, = 8 EF BC = AE AB, 8 BC = 3 5 BC = 8 2. Je vous laisse le soin de tracer cette figure en vraie grandeur. 3. Comparons les rapports AK AC et AG AB. AK AC = 2, 6 6, 5 AG AB = 2 5 = = = 2 5 donc AK AC = AG AB De plus : les points A, K et C d une part et les points A, G et B d autre part sont alignés dans le même ordre. 5
6 D après la réciproque du théorème de THALÈS, on peut écrire que les droites (KG) et (BC) sont parallèles.. BC 2 = 8 2 = 6 AB 2 + AC 2 = , 5 2 = 67, 25 Le triangle ABC n est pas rectangle en A. donc BC2 AB 2 + AC 2 Les droites (AC) et (AB) ne sont pas perpendiculaires 6
7 PROBLÈME Notons C min la courbe inférieure représentant le poids minimum conseillé et C max la courbe supérieure représentant le poids maximum conseillé. Partie I : 1. Pour une personne mesurant 180 cm : Pour déterminer le poids minimum conseillé, il nous suffit de déterminer l ordonnée du point appartenant à la courbe C min qui a pour abscisse 180. En notant p min ce poids, on obtient graphiquement : p min = 60 kg. Pour déterminer le poids maximum conseillé, il nous suffit de déterminer l ordonnée du point appartenant à la courbe C max qui a pour abscisse 180. En notant p max ce poids, on obtient graphiquement : p max = 81 kg. 2. Pour une personne mesurant 165 cm : Pour déterminer le poids maximum conseillé, il nous suffit de déterminer l ordonnée du point appartenant à la courbe C max qui a pour abscisse 165. En notant p max ce poids, on obtient graphiquement : p max = 68 kg. Cette personne dépasse le poids maximum conseillé de kilogrammes (72 68 = ). 3. Toute personne mesurant plus de 170 cm convient. Sa taille peut être 175 cm (par exemple). Partie II : 1. Notons p le poids idéal pour une personne mesurant t cm. p est donné par la formule suivante : p = t 100 t 150 Notons p 160 le poids idéal pour une personne mesurant 160 cm, p 165 le poids idéal pour une personne mesurant 165 cm et p 180 le poids idéal pour une personne mesurant 180 cm. p 160 = p 165 = p 180 = = 57, 5 = 61, 25 = 72, 5 7
8 Le poids idéal pour une personne mesurant 160 cm est 57, 5 kilogrammes. Le poids idéal pour une personne mesurant 165 cm est 61, 25 kilogrammes. Le poids idéal pour une personne mesurant 180 cm est 72, 5 kilogrammes. Il faut par la suite placer sur le graphique donné en annexe les points A, B et C. Le point A a pour abscisse 160 (cm) et pour ordonnée 57, 5 (kg) Le point B a pour abscisse 165 (cm) et pour ordonnée 61, 25 (kg) Le point C a pour abscisse 180 (cm) et pour ordonnée 72, 5 (kg) 2. p = t 100 t 150 = = t 00 t t 250 = 3 t 250 = 3 t p = 0, 75t 62, 5 p= 0,75t - 62,5 p est une fonction du type : p(t) = at + b où a = 0, 75 et b = 62, 5. p est donc une fonction affine. Nous savons que la représentation graphique d une fonction affine est une droite. La représentation graphique du poids idéal en fonction de la taille est une droite. Notons (d) la droite représentative de la fonction p. Les points A et C (par exemple) appartiennent à la droite (d). La droite (d) est la droite (AC) avec A et C définis à la question précédente. 3. Notons p 170 le poids idéal pour une personne mesurant 170 cm p 170 = = 65 8
9 Notons p le poids idéal augmenté de 10%. p = p p 170 = , 5 = 71, 5 Le poids maximum conseillé pour une personne mesurant 170 cm est légèrement supérieur à 72 kilogrammes. Cette personne ne dépasse pas le poids maximum conseillé. 9
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