Livret de vacances. Pour les futurs premières scientifiques. A faire par vos soins et non par vos parents, frères et sœurs ou autres

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1 Livret de vacances Pour les futurs premières scientifiques A faire par vos soins et non par vos parents, frères et sœurs ou autres Ce livret est un moyen de garder vos automatismes et vos acquis de seconde pour ainsi attaquer de façon sereine votre première. Thème1 : Développer, factoriser et équation. Exercice 1 : 1) Développer et réduire : A=(2 x+ 1) 2 + 2( x 4) ; B=( x 2) 2 4(x+ 2) ; C=(2 x+ ) 2 ( x 4) 2 ; D=(4 x+ ) 2 (2 x+ 1)( x 2) 2) Factoriser : A=(x+ 1) 2 2(x+ 1) ; B=( x 5) 2 ( x+ 4)( x 5) ; C=(x ) 2 (5x+ 2) 2 ; D= x 2 +2 x+1 4(x+1) Exercice 2 : Résoudre les équations suivantes a) x 5=7 x+ 2 b) x 2 x=5 x c) 4 x 2 9=0 d) (7 x 21)( 5 x+ 10)=0 e) (5 x ) 2 (x+ 2) 2 =0 penser à factoriser Exercice : Résoudre les inéquations suivantes 1) Dresser le tableau de signe sur R de chacune des fonctions suivantes f (x)= x 5 ; g ( x)= 9 4 x. En déduire le signe de la fonction h définie par h( x)= f ( x) g(x). 2) Déterminer les solutions des inéquations suivantes : a) ( 2 x+ 1)(4 x 5)(7 x) 0 b) (x 1) 2 (2 x+ 5) 2 0

2 Thème 2 : Fonction et représentation graphique Exercice 4 : Dans un repère, on donne la courbe représentative de la fonction f. 1. Quel est l'ensemble de définition de f? 2. Compléter le tableau de valeur suivant :. Quels sont les éventuels antécédents de 0? de 2? 4. Résoudre graphiquement les équations f (x)=5, f (x)= 5 et f ( x)= Résoudre graphiquement les inéquations f (x)< 2 et f (x) Dresser le tableau de signe de la fonction f. 7. Dresser le tableau de variations de la fonction f. 8. Quel est le maximum de la fonction f sur [ -4 ; 2]? sur [0;4]? 9. Quel est le minimum de la fonction f sur [ -4 ; 2]? sur [0;4]? Thème : Fonction et calculs Exercice 5 : Soit f la fonction définie par f (x)=( x+ 4) 2 (2 x+ ) 2 sur R. 1) Développer f(x). 2) Factoriser f(x). ) Calculer f (0), f ( 7 4) Résoudre f (x) 0. x f(x) )et f ( 2). Exercice 6 : Soit f la fonction définie par f (x)= x x 2. 1) Préciser son domaine de définition. 2) Étudier le signe de f. ) En déduire les solutions de l'inéquation f (x) 0

3 Exercice 7 : Partie A : Étude de la fonction f. Soit f la fonction définie par f (x)= 2 x 2 4 x+ 1. 1) Préciser son domaine de définition. 2) Démontrer que f (x)= 2(x+ 1) 2 +. ) En déduire le tableau de variations de la fonction f. 4) Construire la courbe représentative de la fonction f sur le graphique ci-contre. 5) Déterminer le(s) antécédent(s) de par la fonction f. Partie B : Étude de la fonction g. Soit g la fonction définie par g ( x)=2 x+ 1. 1) Préciser son domaine de définition. 2) Déterminer son tableau de variations. ) Déterminer son tableau de signe. 4) Construire la courbe représentative de la fonction g sur le graphique ci-contre. 5) Calculer l'image de 5 puis déterminer le(s) antécédent(s) de -1 par la fonction g. Partie C : Position relative de deux courbes Étudier la position relative de deux courbes, c est préciser laquelle est au dessous ou au dessus de l autre, et en quels points elles se coupent. Pour étudier la position relative de C f et C g sur I, il suffit de comparer les fonctions f et g en étudiant le signe de f (x) g(x). si f (x) g(x)> 0 pour tout x I, alors Cf est strictement au dessus de Cg sur I. si f (x) g(x)< 0 pour tout x I, alors Cf est strictement au dessous de Cg sur I. les solutions de l équation f (x) g(x)=0 sont les abscisses des points d intersection des deux courbes. 1) A l'aide du graphique, conjecturer les positions relatives de C f et C g sur R 2) Démontrer que f (x) g(x)= 2 x( x+). ) Étudier le signe f (x) g (x) 4) Démontrer la conjecture émise à la question 1 sur les positions relatives de C f et C g.

4 Thème 4 : Géométrie analytique Exercice 8 : On a placé trois points A, B et C dans le repère orthonormé (O,I,J) ci-dessous : 1) Donner les coordonnées de ces trois points A, B et C. 2) Déterminer les coordonnées du milieu K du segment [BC]. ) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un parallélogramme. 4) Déterminer les coordonnées du point E, symétrique de C par rapport à A. 5) Placer les points K, D et E dans le repère (O,I,J). 6) Soit le point F(;-1). a) Placer le point F. b) Quelle est la nature du triangle AEF? Justifier la réponse. 7) a) Déterminer les coordonnées du centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle AEF. b) Tracer ce cercle.

5 Thème 5 : Géométrie et algorithmique Exercice 9 : L'algorithme ci-dessous, qui est incomplet, doit permettre de calculer les coordonnées du milieu M d'un segment [AB], connaissant les coordonnées de A et de B au départ : Variables : x A et y A sont deux nombres réels x B et y B sont deux nombres réels x M et y M sont deux nombres réels Entrées : Afficher «abscisse du point A :» Lire... Afficher «ordonnée du point A :» Lire... Afficher «abscisse du point B :» Lire... Afficher «ordonnée du point B :» Lire... Traitement : Affecter à x M la valeur... Affecter à y M la valeur... Sortie : Afficher «l'abscisse du point M est :» Afficher... Afficher «l'ordonnée du point M est :» Afficher... 1) Compléter cet algorithme. 2) Qu'affiche l'algorithme en sortie si on prend en entrée les coordonnées des points A(-1;2) et B(;-4)? ) On considère un point M' symétrique d'un point M par rapport à un point A. En utilisant l'algorithme ci-dessus, écrire un algorithme qui demande en entrée les coordonnées de M et de A et qui affiche en sortie les coordonnées de M'. 4) De la même façon, écrire un algorithme qui demande en entrée les coordonnées de deux points A et B dans un repère orthonormé et qui affiche en sortie la distance AB. Thème 6 : Équation de droite Exercice 10 : En utilisant la méthode graphique, déterminer les équations des droites D 1, D 2, D et D 4 suivantes.

6 Exercice 11 : 1) Dans un repère, déterminer une équation de chacune des droites. a) La droite (d 1 ) a pour coefficient directeur 2 et pour ordonnée à l'origine 2. b) La droite (AB) passe par les points A ( 4; ) et B(; 2). c) La droite (d 2 ) passe par le point C( 1; 2) et est parallèle à (d 1 ). 2) Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point d'intersection entre les droites (d 1 ) et (AB). Exercice 12 : Dans un repère, on donne les points A (0;), B( 2; 4), C(8; 1), D(4; ) et E ( 5; 7 2). 1) Démontrer que les points A, B et C sont alignés. 2) Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Exercice 1 : Thème 7 : Vecteurs On se place dans un repère orthonormé (O, I,J). On considère les points A ( 2;2), B(5;6) et C(4;1). 1) Réaliser une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice. 2) Calculer les coordonnées du point M tel que MC= 1 AC. ) Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. 4) Calculer les coordonnées du milieu N de [CD]. 5) Montrer que N, M et B sont alignés. 6) Calculer les coordonnées du milieu P de [AB]. 7) Démontrer que les droites (DP) et (BN) sont parallèles. 8) Calculer les coordonnées du point Q tel que PQ= PM. 9) Démontrer que les points B, C et Q sont alignés de deux manières différentes : a) en utilisant les coordonnées ; b) sans utiliser les coordonnées. Exercice 14 : On considère un triangle ABC. Soit D et E les points définis par BD=2 AB et CE=2 AC et K et P les milieux respectifs des segments [BC] et [DE]. 1) a) Construire une figure. b) Que penser des droites (BC) et (DE) et des points A, K et P? 2) On se place dans le repère (A,B,C). a) Calculer les coordonnées des points D et E. b) Montrer que (BC) et (DE) sont parallèles. c) Montrer que les points A, K et P sont alignés.

7 Exercice 15 : On considère le cercle trigonométrique ci-contre : 1) Placer sur ce cercle les nombres réels suivants : a) 0 b) π c) 2 π d) π Thème 8 : Trigonométrie e) π 6 f) π 2 g) π 2 2) En utilisant des symétries, placer les nombres réels suivants sur le cercle : a) 5π b) 2 π c) π 4 6 ) a) Donner deux nombres réels différents qui possèdent le point A pour image sur le cercle. b) Donner deux nombres réels différents qui possèdent le symétrique de A par rapport à O pour image sur le cercle. Exercice 16 : Thème 9 : Probabilités Un sac contient six jetons blancs et un jeton noir. Un enfant tire au hasard un premier jeton, le remet dans le sac, puis en tire un second au hasard. 1) Décrire la situation avec un arbre pondéré. 2) Combien y a-t-il d'issues possibles? ) A l'aide de l'arbre, calculer la probabilité des événements suivants : a) A : «les deux jetons sont noirs» ; b) B : «les deux jetons ont une couleur différente» ; c) C : «au moins un jeton tiré est noir». 4) Définir l'événement Ā par une phrase, puis calculer sa probabilité.