1ES Automath - Savoir lire graphiquement (révisions de seconde) Vocabulaire. Exercice 1 (piste verte) Exercice 2 (piste verte)

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1 Vocabulaire 1ES Automath - Savoir lire graphiquement (révisions de seconde) Langage des fonctions antécédent x image f(x) pour les points de la courbe ( et seulement pour ceux-là ) Langage des graphiques abscisse x ordonnée y y = f(x) Exercice 1 (piste verte) Soit f une fonction dont la représentation C f est donnée ci-dessous : toutes les questions se font par lectures graphiques. 1) Donner l ensemble de définition de f 2) Donner l image de 3 par la fonction f 3) Donner les antécédents de 2 par la fonction f 4) Donner le maximum et le minimum de f sur [ 9 ; 11 ] 5) Donner le maximum et le minimum de f sur [ 8 ; 3 ] 6) Décrire par des phrases, les variations de f 7) Donner le tableau de variation de f 8) Sachant que 9 a 11, encadrer f(a) 9) Sachant que 2 b 7, encadrer f(b) 10) Résoudre f(x) = 3 11) Résoudre f(x) > 4 12) Résoudre g(x) f(x) Exercice 2 (piste verte) Dans un repère orthogonal, 1) Colorier tous les points d abscisses 4. Donner une équation de l ensemble de points obtenu. 2) Colorier tous les points d ordonnée 3. Donner une équation de l ensemble de points obtenu. 3) Tracer la droite d équation y = 2 4) Tracer la droite d équation x = 5 5) Colorier les points M(x ; y) tels que : y 4 6) Colorier les points M(x; y) tels que : 1 x 2 1ES Automath - Lectures graphiques Novembre.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 1 sur 10

2 Exercice 3 (piste rouge) f et g sont deux fonctions. a, b et c sont des nombres. Donner les coordonnées des points F, P, R H, K, Q en utilisant les réels notés a, b, c ainsi que leurs images notés f(a), f(b), f(c). Exercice 4 : A partir d un tableau de variations Soit g une fonction dont voici le tableau de variations x g 1 1 De plus, g( 4) = g(6) a) Si possible, comparer g(2 3) et g(4) b) Conjecturer le nombre de solutions de l équation g(x) = 0 c) Pour x [ 5 ; 6], encadrer g(x) d) Sachant que 4 a 2, que dire de g(a)? e) Donner une représentation possible pour la fonction g Exercice 5 : Lire graphiquement les équations de droites 1ES Automath - Lectures graphiques Novembre.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 2 sur 10

3 Exercice 6 : Déterminer une équation de droite Soit d la droite passant par F( 3 ; 5) et de coefficient directeur 2 a) Tracer la droite d b) Déterminer une équation de d Exercice 7 (piste rouge) Faire les exercices 76, 78, 79 page 52 Vigilance de vocabulaire Il faut veiller à ce que les objets dont on parle soient bien définis : f étant une fonction numérique, «les antécédents d un point par f», «l image du point par f» n existent pas de même pour «l abscisse de f», «l ordonnée de f», Bien faire attention à la nature des objets : nombre, point, fonction, courbe x, f(x), y sont des nombres Parler du point 2 est incorrect (x ; f(x)) sont les coordonnées d un point pas le point Il vaut mieux dire «le point de coordonnées (2 ; 3) est sur C f» ou encore «A(2 ; 3) est sur C f» plutôt que «(2 ; 3) est sur C f» C f est une courbe : c est-à-dire un ensemble de points. C f n a ni abscisse, ni ordonnée. Ce sont les points de C f qui ont des abscisses et des ordonnées. C f = C g veut dire que les courbes (et donc les fonctions) sont les mêmes. Ne pas confondre avec f(x) = g(x) f est une fonction (procédé de transformation, une boite noire de calcul) Ecrire la «fonction f(x)» est incorrect car f(x) désigne seulement la formule qui permet la transformation pas la transformation. Par exemple, si f(x) = 4x 7, la fonction est le procédé qui «à un nombre fait correspondre quatre fois ce nombre moins 7» f n a pas de point, pas d abscisse, pas d ordonnée, Eviter un langage trop imagé : «On se met sur le point», «on se met sur la courbe» «On lit le point». Comment lire ce point là 1ES Automath - Lectures graphiques Novembre.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 3 sur 10

4 Exercice 1 Question 1 On lit tous les abscisses des points de C f. Pour se corriger L ensemble de définition est [ 9 ; 11] Question 2 Première explication : On cherche le point de la courbe d abscisse 3. On lit son ordonnée. L image de 3 par f est 2 Seconde explication : On trace la droite d équation x = 3. Elle coupe la courbe au point A. On lit l ordonnée de A L image de 3 par f est 2 Question 3 Première explication : On cherche les points de la courbe d ordonnée 2. On lit leurs abscisses. 2 a trois antécédents. Environ : 5,9 2,2 10 Seconde explication : On trace la droite d équation y = 2. Elle coupe la courbe en trois points. On lit les abscisses de ces points. 2 a trois antécédents. Environ : 5,9 2,2 10 Question 4 On cherche le point le plus haut de la courbe. On lit son ordonnée. Le maximum de f sur [ 9 ; 11] est 6 On cherche le point le plus bas de la courbe. On lit son ordonnée. Le minimum de f sur [ 8 ; 3] est 6 Question 5 On limite la lecture aux points dont l abscisse est comprise entre 8 et 3. On ne tient pas compte des zones grisées. On cherche le point le plus haut de la portion de courbe. On lit son ordonnée. Le maximum sur [ 8 ; 3] est 2 On cherche le point le plus bas de la portion 1ES Automath - Lectures graphiques Novembre.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 4 sur 10

5 de courbe. On lit son ordonnée. Le minimum sur [ 8 ; 3] est 6 Question 6 Quand x augmente de 9 à 5 f(x) diminue de 1 à 6 Les variations sont de sens contraire. L ordre est inversé f est décroissante sur [ 9 ; 5] Quand x augmente de 5 à 5 f(x) augmente de 6 à 6 Les variations sont de même sens L ordre est conservé f est croissante sur [ 5 ; 5] Quand x augmente de 5 à 11 f(x) diminue de 6 à 3 Les variations sont de sens contraire. L ordre est inversé. f est décroissante sur [5 ; 11] Question 7 Valeur de x Variations de f Question 8 En se référant au tableau de variation : 6 est le minimum de f sur [ 9 ; 11] : pour tout réel a de [ 9 ; 11], 6 f(a) 6 est le maximum de f sur [ 9 ; 11] : pour tout réel a de [ 9 ; 11], f(a) 6 Ainsi : 6 f(a) 6 Question 9 Première idée : En se référant au graphique, et en le limitant aux abscisses dans l intervalle [ 8 ; 3] : 6 est le minimum de f sur [ 8 ; 3] : pour tout réel b de [ 8 ; 3], 6 f(b) 2 est le maximum de f sur [ 8 ; 3] : pour tout réel b de [ 8 ; 3], f(b) 2 Ainsi : pour tout b [ 8 ; 3] 6 f(b) 2 1ES Automath - Lectures graphiques Novembre.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 5 sur 10

6 Seconde idée : En se référant au tableau de variations Pour tout b [ 8 ; 3] 6 f(b) 2 Question 10 Première explication : On cherche les points de la courbe d ordonnée 3. On lit leurs abscisses. L équation f(x) = 3 a deux solutions : 3,2 et 7,5 Seconde explication : On trace la droite d équation y = 3. Elle coupe la courbe en deux points. On lit les abscisses de ces points. 3 a deux antécédents. Environ : 3,2 et 7,5 Question 11 Première explication : On cherche les points de la courbe dont l ordonnée est supérieure à 4. On lit leurs abscisses. L ensemble des solutions de l inéquation f(x) 4 est : [ 9 ; 7,1 ] [ 1,2 ; 11] Seconde explication : On trace la droite d équation y = 4. On cherche les points de la courbe situés au-dessus de la droite. On lit les abscisses de ces points. L ensemble des solutions est : [ 9 ; 7,1 ] [ 1,2 ; 11] 1ES Automath - Lectures graphiques Novembre.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 6 sur 10

7 Question 12 On cherche les points de C g situés au-dessus de C f ou situés sur C f. On lit leurs abscisses. L ensemble des solutions de l inéquation g(x) f(x) est : [ 7,4 ; 3 ] Exercice 2 Question 1 Question 2 Question 3 Tous les points de la droite ont pour abscisse 4 Une équation de la droite est : x = 4 Question 4 Tous les points de la droite ont pour ordonnée 3 Une équation de la droite est y = 3 Question 5 Tous les points de la droite ont pour ordonnée -2 Une équation de la droite est y = 2 Question 6 Tous les points de la droite ont pour abscisse 4 Une équation de la droite est : x = 4 Tous les points M(x; y) pour lesquels: y 4 sont au-dessus de la droite ou sur la droite. Tous les points M(x; y) pour lesquels 1 x 2 sont sur les droites ou entre les droites. Exercice 3 Une équation de D 2 est : y = a Cela veut dire que les points de la droite D 2 sont ceux qui ont pour ordonnée a Donc y F = y H = y Q = a Une équation de D 1 est : x = b 1ES Automath - Lectures graphiques Novembre.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 7 sur 10

8 Cela veut dire que les points de la droite D 1 sont ceux qui ont pour abscisse b Donc x R = x P = x H = x K = b Comme C f est la représentation graphique de f une équation de C f est : y = f(x) Cela veut dire que chaque point de la courbe C f ont leur ordonnée qui est l image de leur abscisse Donc y F = f(x E ) y R = f(x R ) Comme C g est la représentation graphique de g une équation de C g est : y = g(x) Cela veut dire que chaque point de la courbe C g ont leur ordonnée qui est l image de leur abscisse Donc y F = g(x E ) y K = f(x K ) Les points de l axe des abscisses ont pour ordonnée 0. Donc y P = 0 Les points de l axe des ordonnées ont pour abscisse 0. Donc x Q = 0 Réponses F(c ; f(c)) ou encore F(c ; g(c)) car f(c) = g(c) R(b ; f(b)) P(b ; 0) H(b ; a) K(b ; g(b)) Q(0 ; a) Exercice 4 Question a On a : 2 < 2 3 < 4 < 6 Comme la fonction g est décroissante sur [ 2 ; 6 ], elle inverse l ordre sur cet intervalle Donc g(2) < g(2 3) < g(4) < g(6) Donc 2 < g(2 3) < g(4) < 1 Autre justification x g(2 3) g(4) g 1 1 Question b Quand x augmente de 5 à 3, g(x) diminue de 4 à 1 Sous réserve que l on puisse tracer C g sans lever le crayon, g(x) devrait valoir 0 Quand x augmente de 3 à 2, g(x) augmente de 1 à 2 Sous réserve que l on puisse tracer C g sans lever le crayon, g(x) devrait valoir 0 1ES Automath - Lectures graphiques Novembre.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 8 sur 10

9 Quand x augmente de 2 à 6, g(x) diminue de 2 à 1 g(x) ne pourra pas valoir 0 En résumé : g(x) = 0 devrait avoir deux solutions, l une dans [ 5 ; 3] et l autre dans [ 3 ; 2] Question c x g 1 1 Quand x varie de 4 à 2, la plus petite image rencontrée est -1 et la plus grande 2 Donc 1 g(a) 2 On dit que l on a écrit un encadrement de g(a) d amplitude 3. Question d Exercice 5 : Par cœur : Toute droite admet une équation : Soit de la forme y = mx + p (pour les droites non parallèles à l axe des ordonnées) Dans ce cas, m s appelle le coefficient directeur de la droite et p l ordonnée à l origine Variation des ordonnées De plus, m = Variation des abscisses Les variations sont prises entre deux points quelconques de la droite. Et justement, dans le cas d une droite, on trouve toujours le même nombre quels que soient les points choisis. Soit de la forme x = nombre (pour les droites parallèles à l axe des ordonnées) 1ES Automath - Lectures graphiques Novembre.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 9 sur 10

10 Pour lire la valeur de m, on prend deux points dont on est certain qu ils sont sur la droite. On lit les variations des abscisses et la variation des ordonnées pour aller de l un à l autre on applique la formule. En remplaçant x par 0 dans la formule y = mx + p, on trouve y = p Donc pour lire la valeur de p, on cherche le point d intersection de la droite et de l axe des ordonnée. La valeur de p est l ordonnée de ce point. Pour aller de A à C La variation des abscisses est +1 La variation des ordonnées est +3 Donc m = 3 1 = 3 La droite D 1 coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 2) donc p = 2 donc D 1 : y = 3x + 2 Pour aller de D à F La variation des abscisses est +1 La variation des ordonnées est 2 Donc m = 2 1 = 2 La droite D 2 coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 1) donc p = 1 donc D 2 : y = 2x + 1 Pour aller de G à I La variation des abscisses est +1 La variation des ordonnées est 1 Donc m = 1 1 = 1 La droite D 3 coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 1) donc p = 1 donc D 2 : y = x 1 1ES Automath - Lectures graphiques Novembre.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 10 sur 10