Relativité numérique en astrophysique

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "Relativité numérique en astrophysique"

Didier Dumais
il y a 5 ans
Total affichages :

1 Relativité numérique en astrophysique Jérôme Novak Département d Astrophysique Relativiste et de Cosmologie CNRS / Observatoire de Paris Meudon, France En collaboration avec Silvano Bonazzola, Eric Gourgoulhon, Philippe Grandclément 1

2 1. Équations d Einstein en formalisme 3+1 (les équations à résoudre) 2. Méthodes numériques (méthodes spectrales à plusieurs domaines) 3. Modèles d étoiles à neutrons 4. Binaires d astres compacts en approximation quasi-stationnaire 2

3 Équations d Einstein en formalisme 3+1 (les équations à résoudre) 3

4 Formalisme 3+1 en Relativité Générale Feuilletage de l espace-temps par une famille d hypersurfaces du genre espace Σ t. Nn t x i = const Σ t+dt n β Σ t n : unitaire et normal à Σ t (n = N t) N : fonction lapse, β : vecteur shift t = Nn + β avec n β = 0 4

5 3-métrique γ induite par la 4-métrique g sur les hypersurfaces Σ t : γ = g + n n Composantes du tenseur de la 4-métrique exprimées en fonction de la fonction lapse, des composantes du 3-vecteur shift et de la 3-métrique : g µν dx µ dx ν = (N 2 β i β i ) dt 2 + 2β i dt dx i + γ ij dx i dx j Tenseur de courbure extrinsèque K de l hypersurface Σ t K = 1 2 nγ (Dérivée de Lie de la 3-métrique le long du champ normal à Σ t ) 5

6 Équations d Einstein dans le formalisme 3+1 Contrainte hamiltonienne : R + K 2 K ij K ij = 16πE Contrainte impulsionnelle : D j K ij D i K = 8πJ i Équations dynamiques : K ij t β K ij = N [ R ij 2K ik K k j + KK ij +4π ((S E) 2S ij )] D i D j N, γ ij t β γ ij = 2NK ij (R ij : Tenseur de Ricci de la 3-métrique γ, D i : dérivée covariante associée à γ) 6

7 Méthodes numériques Méthodes spectrales à plusieurs domaines 7

8 Méthodes spectrales et méthodes aux différences finies Méthodes spectrales : représentation d un champ physique u par une autre fonction I u appartenant à un certain espace vectoriel de dimension finie H. Si (ϕ 0,..., ϕ N ) est une base orthonormée de H, alors la projection de u sur H est donnée par : N P u = ũ n ϕ n. Les coefficients (ũ 0,..., ũ N ) sont obtenus par le produit scalaire de u avec les fonctions de la base : n=0 ũ n = u, ϕ n. Différences finies : représentation d un champ physique u par un tableau fini de nombres : les valeurs (u 1,..., u n ) prises par u aux points de la grille (x 1,..., x n ). Cette différence fonction/nombres est la raison pour laquelle les méthodes spectrales sont d habitude beaucoup plus précises que les méthodes aux différences finies. 8

9 Décomposition sur plusieurs domaines Les méthodes spectrales à plusieurs domaines ont été décrites pour les problèmes 3D par : Bonazzola, Gourgoulhon & Marck, Phys. Rev. D 58, (1998). Coquille 1 Noyau r = α ξ 0 0<ξ<1 Coquille 2 r = α ξ+β 1<ξ<1 1 1 r = α ξ+β 2 2 1<ξ<1 Domaine externe compactifié 1 r = α (1 ξ) 3 1<ξ<1 coordonnées physiques (r, θ, ϕ) coordonnées numériques (ξ, θ, ϕ) 9

10 Ensemble de domaines pour décrire un système binaire Possibilité d adapter les grilles à la surface des étoiles par le mapping suivant : r = α[ξ + A(ξ)F (θ, ϕ ) + B(ξ)G(θ, ϕ )] + β, θ = θ, ϕ = ϕ 10

11 Bases de fonctions pour la décomposition spectrale u(ξ, θ, ϕ) = N ϕ /2 m=0 N θ 1 j=0 N r 1 i=0 û mji X i (ξ) Θ j (θ) e imϕ La régularité sur l axe (θ = 0) et à l origine sont bien traitées en choisissant (on suppose l invariance par symétrie/plan équatorial) : Décomposition en ϕ : Séries de Fourier Décomposition en θ : Polynômes trigonométriques ou fonctions de Legendre associées pour m pair : Θ j (θ) = cos(2jθ) ou Θ j (θ) = P2j m (cos θ) pour m impair : Θ j (θ) = sin((2j + 1)θ) ou Θ j (θ) = P2j+1 m (cos θ) Décomposition en ξ (radiale) : Polynômes de Tchebychev dans le noyau : X i (ξ) = T 2i (ξ) pour m pair, X i (ξ) = T 2i+1 (ξ) pour m impair dans les cocquilles et le domaine externe compactifié X i (ξ) = T i (ξ) 11

12 Évaluation d opérateurs linéaires Toute opération linéaire sur u (par ex : une dérivée partielle), revient à multiplication matricielle dans l espace des coefficients. Ainsi, si L est un opérateur linéaire, on a : L I u = N û n L ϕ n = n=0 ( N N ) a kn û n ϕ k, k=0 n=0 où les a kn sont définis par : L ϕ n = N a kn ϕ k. On peut ainsi résoudre les EDP elliptiques par une inversion de matrice. k=0 12

13 Résolution d équations elliptiques avec des sources non-compactes Feuilletage maximal : N = S Équation dans la jauge de distorsion minimale pour le vecteur shift : β ( β) = S Error Number of Chebyshev coefficients Erreur sur la composante z de la solution de l équation du shift en distorsion minimale, avec une source non-compacte 13

14 Résultats 14

15 Modèles d étoiles à neutrons en Relativité Générale 15

16 Champ magnétique dans les étoiles à neutrons Équations d Einstein-Maxwell couplées, dans l hypothèse de stationarité et de symétrie axiale. Déformation induite par le champ magnétique sur les étoiles à neutrons en rotation rapide. Bocquet, Bonazzola, Gourgoulhon & Novak Astron. Astrophys. (1995). 16

17 Étoiles à neutrons en théorie tenseur-scalaire de la gravitation Sur-théorie de la Relativité Générale (Cf. présentation de G. Esposito-Farèse). prédiction d ondes gravitationnelles scalaires interagissant avec les détecteurs. Formes et amplitudes des ondes provenant d effondrements de supernovæ ou (étoile à neutrons trou noir). 17

18 Étoiles à neutrons superfluides Les étoiles à neutrons sont (en majorité) des objets froids et contiennent des neutrons superfluides + protons superconducteurs. approche à deux fluides sur les modèles numériques + équation d état spéciale. En collaboration avec R.Prix, N.Anderson (U. de Southampton) et G.Comer (U. de St. Louis). 18

19 Binaires d astres compacts en approximation quasi-stationnaire 19

20 Binaires d étoiles à neutrons Approximation de symétrie hélicoïdale ( métrique spatiale conformément plate : γ ij = Ψ 4 f ij ). Hypothèse de contre-rotation Orbital frequency [ Hz ] Relative change in central density e c /e c inf M B = M sol Irrotational Corotating Separation d [ km ] 20

21 Binaires d étoiles à neutrons Grilles adaptatives pour les deux étoiles à neutrons. 21

22 Binaires de trous noirs Mêmes approximations que pour les binaires d étoiles à neutrons. Hypothèse de co-rotation. Région centrale excisée et remplacée par une condition au contours à l intérieur de (ou sur) l horizon. (t,r 1, θ 1, φ 1 ) a 1 a 2 M I P P I(P) r 1 IR 3 I M II I(P) a 1 a 2 (t,r θ φ 2,, ) 2 2 P r 2 I(P) IR 3 Premiers résultats : Gourgoulhon, Grandclément & Bonazzola, gr-qc/ Grandclément, Gourgoulhon & Bonazzola, gr-qc/

23 Test : vérification asymptotique (pour des trous noirs infiniment éloignés) de la troisième loi de Kepler. 2.2 Déviation à la troisième loi de Kepler I = 4J Ω 1/3 /M 5/ Paramètre de séparation D/a 23

24 Fonction lapse dans le plan orbital 24

Documents pareils

Ondes gravitationnelles de basses fréquences et relativité

Ondes gravitationnelles de basses fréquences et relativité numérique Jérôme Novak LUTH : Laboratoire de l Univers et de ses THéories CNRS / Université Paris 7 / Observatoire de Paris F-92195 Meudon Cedex,