ÉLECTROCINÉTIQUE - RÉSEAUX - corrigé des exercices A.EXERCICES DE BASE
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- Emma Charbonneau
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1 ÉLECTROCINÉTIQUE - RÉSEAUX - corrigé des exercices AEXERCICES DE BASE I Théorème de superposition et "grillage infini" Chaque branche du grillage a une caractéristique affine (simple résistance), donc le système d'équations décrivant le réseau est linéaire et on peut utiliser le théorème de superposition Pour que la superposition soit correcte, il faut en particulier qu'elle respecte la superposition des courants imposés par les générateurs : le courant qui entre dans le grillage en A est I c dans le schéma de gauche et nul dans le schéma de droite, cela donne bien un total I c comme dans le réseau réel ; le courant qui sort du grillage en B est nul dans le schéma de gauche et I c dans le schéma de droite, cela donne bien un total I c comme dans le réseau réel ; le courant qui sort du grillage à l'infini est I c dans le schéma de gauche et -I c dans le schéma de droite, cela donne bien un total nul comme dans le réseau réel 3 Le fil à l'infini, infiniment long et de résistance nulle, est physiquement irréalisable Mais les deux schémas qu'on superpose ne sont que des représentations symboliques de ce que serait le système physique décrit par les équations mathématiques intervenant dans les calculs intermédiaires Le fait qu'un tel système physique ne puisse pas exister importe peu si le système d'équations mathématiques se simplifie à la fin, et que la solution mathématique décrit finalement correctement un système physique réel 4 Si la périphérie du grillage est supposée infiniment conductrice, le point de branchement à l'infini peut être placé de n'importe quel côté Le schéma de gauche est alors invariant par symétrie selon un axe vertical passant par A, donc le courant dans la branche à droite de A est égal au courant dans la branche à gauche de A En considérant de même les symétries par rapport à un axe horizontal, puis par rapport à des axes inclinés selon les diagonales, on conclut que les courants dans les quatre branches issues de A sont égaux entre eux, et sont donc égaux à I c 4 5 On peut en déduire dans le schéma de gauche : U AB = r I c 4 De même, le schéma de droite correspond à un courant I c 4 se rejoignent en B Ceci correspond de même à : U AB = r I c 4 dans chacune des quatre branches qui 6 Par superposition de ces deux contributions, le courant dans la branche AB est I c, et la tension correspondante est : U AB = r I c = r I c, cʼest-à-dire que la résistance équivalente est : R = r II Électrolyseur L'énoncé indique E > 0 donc le schéma du générateur correspond à la convention de signe usuelle Puisque l'électrolyseur est un dipôle passif, le générateur impose dans les branches de droite un courant du haut vers le bas, ce qui correspond à I 0 remarque : le courant peut être nul si la tension imposée entre ses bornes est insuffisante pour provoquer l'électrolyse
2 Avec les notations de Thévenin, on peut utiliser le schéma équivalent suivant (où on a aussi schématisé le montage du rhéostat) : 3 On peut séparer le problème en deux parties : remplacer l'assemblage de gauche (générateur parfait plus montage diviseur de tension ) par un générateur équivalent, réglable en tension, puis étudier le courant imposé par ce générateur selon la loi de Pouillet La force électromotrice E du générateur de Thévenin équivalent est la tension "à vide", c'est-à-dire pour I = 0 On obtient dans ce cas (diviseur de tension) : E = U AB(0) = E x R La résistance R du générateur équivalent est celle qu'on obtient en considérant le générateur à x (R " x) l'arrêt, c'est-à-dire pour E = 0 Ceci correspond à deux résistances x et R-x en parallèle : R = R En cours d'électrolyse, on obtient donc (tant que cette relation correspond à une valeur positive) : E " # E " I = R " + R " = xe "R E # R R # + x(r " x) La relation précédente est ainsi valable pour x x 0 = R E " E = 4 Ω ; pour 0 < x < x 0 on obtient I = 0 On obtient finalement le graphique suivant : I (A) RE /E x (!) III Pont de Wheatstone et source de courant Pour utiliser la représentation de Thévenin, on remplace la partie du réseau complémentaire de R d par un générateur de Thévenin de force électromotrice E et de résistance R
3 3 La fem E est égale à la tension U BD à vide (sans R d ) La méthode du diviseur de courant donne : I = I c R 3 +R 4 R +R +R 3 +R 4 et I 4 = I c R + R R + R + R 3 + R 4, puis : E = U BD(0) = R 4 I 4 - R I = I c R R 4 "R R 3 R +R +R 3 +R 4 La résistance R est égale à la résistance du même circuit, avec générateur à l'arrêt (I c = 0, ce qui correspond à ouvrir cette branche du circuit) Or, cette résistance correspond à R +R 4 en parallèle avec R +R 3 : R = (R +R 4 )(R +R 3 ) R +R +R 3 +R 4 Pour le montage simplifié, la loi de Pouillet donne : E R I = = I R 4 "R R 3 R +R c d (R +R 4 )(R +R 3 ) +R d (R +R +R 3 +R 4 ) Pour utiliser la représentation de Norton, on remplace la partie du réseau complémentaire de R d par un générateur de Norton de courant de court-circuit Iʼc et de résistance R Le courant de court-circuit est : Iʼc = E R = I c R R 4 "R R 3 (R +R 4 )(R +R 3 ) ; mais on peut le calculer en courtcircuitant B et D La méthode du diviseur de courant donne : I = I c R 4 R + R 4 et I = I c R 3 R + R 3, dʼoù Iʼc = = I - I = I c R R 4 "R R 3 (R +R 4 )(R +R 3 ) La résistance R est la même que précédemment : R = (R +R 4 )(R +R 3 ) R +R +R 3 +R 4 R Pour le montage simplifié, la méthode du diviseur de courant donne : I = Iʼc c'est-à-dire : R +R d I = I c R R 4 "R R 3 (R +R 4 )(R +R 3 ) +R d (R +R +R 3 +R 4 ) B EXERCICES D APPROFONDISSEMENT IV Association de résistances Les couples de points symétriques (B, D), (Bʼ, Dʼ) et (B, D ) sont reliés de façon symétrique, donc le réseau est globalement symétrique par rapport au plan considéré
4 4 Les points symétriques considérés sont aux mêmes potentiels ; on peut les court-circuiter sans modifier la répartition des courants 3 En "aplatissant" le réseau diagonalement (D,Dʼ et D sont respectivement confondus avec B, Bʼ et B ), et en remplaçant chaque paire de résistances r en parallèle par une résistance r, on obtient le réseau équivalent suivant, qui peut encore se simplifier par des associations en série : 4 Dans un tel réseau, on peut continuer à simplifier par des équivalences triangle-étoile (triangles AʼBʼB et BBʼCʼ) ; mais compte tenu de la symétrie centrale, et en utilisant la loi des nœuds, on peut limiter le nombre de courants inconnus à deux (nombre de mailles indépendantes) En écrivant la loi des mailles, par exemple pour les deux mailles de gauche, on obtient : ri + r (I + I - I) - r I - r (I - I ) = 0 ; r I + r (I + I 3r - I) - (I - I - I ) = 0 De la première équation, on déduit : I = 5 I ; en reportant dans la seconde, on obtient : I = 5 I Ainsi : U AB = r I + 3r (I - I - I ) + r (I - I ) = r I, d'où la résistance équivalente : R = r V Pont de Wheatstone On considère le circuit à vide : La fém (tension U DF "à vide", en l'absence de R 5 ) peut se calculer à partir de la loi de Millmann, et de la méthode du pont diviseur de tension : G 0 E 0 U AB = avec G G 0 + G + G = 34 R + R et G 34 = U AD = U AB R R + R = U AB R G et U AF = U AB R 3 G 34 ; E = U DF = U AF - U AD = G 0 E 0 G 0 + G + G 34 [R 3 G 34 - R G ] = R 3 + R 4 ; G 0 E 0 R R 3 " R R 4 G 0 + G + G 34 R + R ( )( R 3 + R 4 ) Lʼéquilibre du pont, défini par lʼune ou lʼautre des conditions : I 5 = = 0 ou U DF = R 5 I 5 = 0, correspond à : E = 0, cʼest-à-dire : R R 4 = R R 3 E R + R 5
5 5 VI Pont de Wheatstone On considère le circuit à vide : Le courant de court circuit (courant I DF "à vide", en l'absence de R 5 ) peut se calculer à partir de la loi de Pouillet, et de la méthode du pont diviseur de courant : E 0 I 0 = avec R R 0 + R 3 + R 3 = 4 I = I 0 G + G 3 et R 4 = G G + G 3 = I 0 G R 3 et I = I 0 G R 4 ; I c = I DF = I - I = E 0 R 0 + R 3 + R 4 [G R 3 - G R 4 ] = G + G 4 ; Lʼéquilibre du pont, défini par lʼune ou lʼautre des conditions : U DF = correspond à : I c = 0, cʼest-à-dire : R R 4 = R R 3 remarque : on peut "mélanger" les notations de Thévenin et de Norton E 0 ( )( R + R 4 ) R R 3 " R R 4 R 0 + R 3 + R 4 R + R 3 I c G + G 5 = 0 ou I 5 = G 5 U DF = 0, VII Étude d'un transistor Dʼaprès le modèle équivalent : U (I, U ) = h I + h U Par ailleurs, le courant dans le résistor de conductance h est : h U = I - h I ; donc inversement : I (I, U ) = h U + h I a Pour une sortie sur une résistance R c on obtient : U = -R c I et donc : I = -h R c I + h I On en déduit : A i = I I = h + h R c b Dʼaprès ce qui précède, on obtient : I = I A i = - U A u = U R = - c h U h + "R c c On obtient ainsi : A p = U I U I = A u A i = - R c A i donc : U = -h R c h (h + "R c )(+ h R c ) U R c A i + h U On en tire : d Le gain maximum (en valeur absolue) correspond à "A p "R c = 0 cʼest-à-dire à : Δh R c - h = 0 et donc : R c = h "h 000 Ω
6 e Pour cette valeur particulière de R c, on obtient : 6 A i 48 h = 50 ; A u 400 = 500 ; A h p 5000 h = 5000 h L'allure de la variation des gains est la suivante : remarque : les gains A u et A p sont négatifs et on raisonne sur leur valeur absolue ; par ailleurs, les importantes variations des gains sont mieux représentées en échelles logarithmiques 3a Pour le montage "collecteur commun" : Iʼ = I ; Iʼ = -I - I ; Uʼ = U - U ; Uʼ = -U 3b On peut écrire : Uʼ = (h I + h U ) - U ; cʼest-à-dire Uʼ = hʼ Iʼ + hʼ Uʼ avec hʼ = h = = Ω et hʼ = - h = 0,9996 De même : Iʼ = -I - (h U + h I ) ; cʼest-à-dire Iʼ = hʼ Iʼ + hʼ Uʼ avec hʼ = - - h = -5 et hʼ = h = 5 µs h " 40 Ω ; et pour cette valeur de R #" h " c on obtient : h " A i 5 -hʼ ; A u ; A h " p 5 - h " remarque : pourvu que le courant demandé ne soit pas trop grand (R c pas trop petit), ce montage 3c Pour ce montage : R c = est suiveur de tension avec amplification du courant
7 On obtient pour ce montage les variations suivantes : 7
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