Chapitre 15 Équations diérentielles linéaires
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1 Notations. Chapitre 15 Équations diérentielles linéaires I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. K désigne R ou C. n désigne un entier naturel non nul. I. Systèmes diérentiels I.1 Théorème de Cauchy linéaire Définition 1 (Système différentiel). Soient A : I M n (K) et B : I M n,1 (K) des fonctions continues. La fonction X est solution du système diérentiel linéaire X = AX + B (E ) si X : I M n,1 (K) est dérivable et t I, X (t) = A(t)X(t) + B(t). L'équation homogène associée au système (E ) est l'équation : X = AX. (H ) Exercice Montrer que si X est solution de l'équation X = AX + B, alors X est de classe C 1 sur I. 2. Soient B et E deux vecteurs de même direction constante et B = ( i, j, k ) une base orthonormée directe telle que i et B soient colinéaires. Exprimer le système diérentiel associé à l'équation diérentielle d'une particule soumise à une force de Lorentz, i.e. telle que m a = q v B + q E. Théorème 1 (Théorème de Cauchy linéaire, Admis). Soient A : I M n (K) et B : I M n,1 (K) deux fonctions continues. L'équation diérentielle linéaire X = AX + B possède des solutions sur I. De plus, pour tout t I et X M n,1 (K), le problème de Cauchy : X (t) = A(t)X(t) + B(t), t I, possède une unique solution. Exercice 2. X(t ) = X 1. Montrer que si X est une solution non nulle de l'équation homogène (H ), alors X ne s'annule en aucun point de I. 2. Montrer que si X 1 et X 2 sont deux solutions distinctes de l'équation diérentielle (E ), alors pour tout t I, X 1 (t) X 2 (t). 3. Soit λ K. Déterminer l'unique solution du système diérentiel linéaire X = λx satisfaisant X() = t( 1 1 ).
2 I.2 Ensemble des solutions Théorème 2 (Ensemble des solutions). Notons S H l'ensemble des solutions de l'équation homogène (H ) et y p une solution du système diérentiel (E ). Alors, S H est un espace vectoriel et l'ensemble S des solutions du système diérentiel (E ) s'écrit : S = y p + S H = y p + y, y S H }. Théorème 3 (Dimension de l espace des solutions de l équation homogène). Pour tout t I, l'application SH M Φ t : n,1 (K) X X(t ) est un isomorphisme. En particulier, S H est de dimension nie égale à n. Exercice 3. x = y 1. Résoudre le système diérentiel y = x 2. Résoudre le système diérentiel associé à une particule soumise à une force de Lorentz lorsque le champ électrique est nul. Propriété 1 (Principe de superposition). Soient B 1, B 2 des fonctions continues sur I à valeurs dans M n,1 (K) et B = B 1 + B 2. Si X 1 (resp. X 2 ) est solution du système diérentiel X = AX + B 1 (resp. X = AX + B 2 ), alors X 1 + X 2 est solution du système diérentiel X = AX + B.. II. Équations diérentielles scalaires d'ordre 1, 2 II.1 Équations scalaires d'ordre 1 Soient a et b deux fonctions continues de I dans K. On étudie l'équation diérentielle Théorème 4. Soit t I. On note α : t l'équation diérentielle (E1 ) est : t y + ay = b (E 1 ) t a(s) ds une primitive de a. L'ensemble des solutions de ( t ) } t e α(t) λ + b(s) e α(s) ds, λ K. t Si t b(t) est de la forme... λ constante P n (t) polynôme de degré n... chercher un solution de la forme µ constante Q n (t) polynôme de degré n λ cos(αt) + µ sin(αt), (λ, µ) K 2 λ 1 cos(αt) + µ 1 sin(αt), (λ 1, µ 1 ) K 2 λ e αt, λ K, α a λ e at, λ K µ e αt, µ K µt e at, µ K
3 Exercice Résoudre sur R + l'équation diérentielle y = 2 t y + 1 t. 2. Résoudre, sur R, l'équation diérentielle y + y = cosh. II.2 Équations scalaires d'ordre 2 Théorème 5. Soient a, b, c trois fonctions continues de I dans K. La fonction x est solution de l'équation ( ) x diérentielle x + ax + bx = c si et seulement si x est solution du système diérentiel ( ) ( ) 1 X = AX + B, où A : t et B : t. De plus, b(t) a(t) c(t) (i). l'ensemble des solutions de l'équation homogène x + a(t)x + b(t)x = est un sousespace vectoriel de C 2 (I, K) de dimension 2. (ii). Pour tout (t, a, a 1 ) I K 2, il existe une unique solution de l'équation diérentielle qui satisfait y(t ) = a et y (t ) = a 1. Exercice Écrire l'équation diérentielle x +t 3 x +cosh(t)x = sinh(t) sous forme d'un système diérentiel d'ordre On considère l'équation diérentielle (1 + t 2 )x + 4tx + 2x = sur R. a) Déterminer la dimension de l'espace vectoriel des solutions. b) Déterminer des solutions de l'équation développables en séries entières puis l'ensemble des solutions de l'équation. III. Équations diérentielles linéaires à coecients constants III.1 Système homogène à coecients constants Propriété 2 (Sous-espaces propres). Soit A M n (K), λ Sp(A) une valeur propre de A et X un vecteur propre associé. Alors, X : t e λt X est solution du système diérentiel X = AX. Théorème 6 (Cas diagonalisable). Soit A M n (K) une matrice diagonalisable. On note, (λ 1,..., λ n ) ses valeurs propres (en les comptant avec leur multiplicité) et (V1,..., V n ) une base de vecteurs propres associés. Pour tout k 1, n, posons ϕ k : t e λ kt V k. Alors, (ϕ 1,..., ϕ n ) est une base de S H. Exercice On suppose que A est diagonalisable et que toutes ses valeurs propres sont de partie réelle strictement négative. Déterminer le comportement asymptotique des solutions de X = AX Résoudre le système diérentiel X = X Déterminer les solutions à valeurs réelles du système diérentiel X = X Soit A = Montrer qu'il existe une matrice P telle que P 1 AP = puis en déduire l'ensemble des solutions de X = AX.
4 III.2 Équations scalaires d'ordre 2 à coecients constants Soit (a, b, c) K 3 tel que a. On étudie l'équation diérentielle ay + by + cy = d. (E 2 ) Théorème 7. L'équation caractéristique associée à l'équation (E 2 ) est ar 2 + br + c =. (EC 2 ) On note r 1 et r 2 les solutions de l'équation caractéristique (EC 2 ). } R C S H = t λ 1 y 1 (t) + λ 2 y 2 (t), λ 1, λ 2 C. (i). Si r 1 r 2 et (r 1, r 2 ) K 2, y 1 : t e r 1t, y 2 : t e r 2t. (ii). Si r 1 = r 2 (notons r cette valeur commune), y 1 : t e r t, y 2 : t t e r t. (iii). Si K = R, r 1 r 2 et r 1 = α + iβ R, alors y 1 : t e αt cos(βt), y 2 : t e αt sin(βt). Exercice Résoudre l'équation diérentielle y + 2y + 2y =. 2. Soient ω et Q deux réels strictement positifs. Déterminer l'ensemble des solutions réelles de l'équation diérentielle y + ω Q y + ω 2 y =. Si t d(t) est de la forme et sur (EC 2 ) une solution particulière... P n (t) e αt, deg(p n ) = n α non racine Q n (t) e αt, deg(q n ) = n P n (t) e αt, deg(p n ) = n α racine simple t Q n (t) e αt, deg(q n ) = n P n (t) e αt, deg(p n ) = n α racine double t 2 Q n (t) e αt, deg(q n ) = n Exercice 8. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation diérentielle : 1. y 4y + 3y = (2t + 1) e t. 2. y 4y + 3y = sin(2t). Autour de y + q(x)y = Exercice 9. Soit q une fonction continue sur R. On considère l'équation diérentielle (E) : y + q(x)y =. 1. Wronskien et ensemble des solutions. Étant données deux fonctions dérivables f et g, on note W (f, g) = f g fg. a) Montrer que si y 1 et y 2 sont solutions de (E), alors W (y 1, y 2 ) est une fonction constante. On désigne par y 1 et y 2 les solutions de l'équation (E) qui satisfont y 1 () = 1, y 1 () =, y 2 () =, y 2 () = 1.
5 b) Déterminer la valeur de W (y 1, y 2 ). c) Existe-t-il un réel t tel que y 1 (t ) = y 2 (t ) =? d) Montrer que l'ensemble des solutions de (E) est Vect y 1, y 2 }. e) Montrer que, si q est paire, alors y 1 est paire et y 2 est imapire. 2. Solutions non bornées. On suppose que la fonction q est intégrable. a) Montrer que si y est une solution de (E) bornée, alors y admet une limite nie en +, puis montrer que cette limite est forcément nulle. b) Montrer que (E) admet nécessairement une solution non bornée. 3. Solutions bornées. On suppose qu'il existe une fonction a de classe C 1 et intégrable sur R + telle que q = 1 + a. On note f une solution de (E). a) A-t-on nécessairement lim x + a(x) =? b) On dénit sur R + la fonction g : x f(x) + classe C 2 sur R +, puis que g + g =. x c) Montrer qu'il existe c R + tel que : x R +, f(x) c + d) Montrer que toutes les solutions de y + (1 + a)y = sont bornées. sin(x t)a(t)f(t) dt. Montrer que g est de x a(t) f(t) dt. Programme ociel (PCSI) Techniques fondamentales de calcul en analyse - C - Primitives et équations diérentielles linéaires (p. 11) Programme ociel (PSI) Équations diérentielles linéaires (p. 25)
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