D1 i est un nombre non réel vérifiant la relation

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1 RÉSUMÉ 01 : LES NOMBRES COMPLEXES QUELQUES RAPPELS D1 i st u ombr o rél vérifit l rltio i 1 P1 Tout ombr complx s écrit d mièr uiqu b vc b : c st l form lgébriqu d D ) R( ) st l prti réll d b) b Im( ) st l prti imgiir d P O (, ') : R( ') R( ) R( ') t Im( ') Im( ) Im( ') D3 b s ppll l cojugué d D4 b s ppll l modul d P3 O pour tous ombrs complxs t ' : ) ' ' b) ' si ' 0 ' c) ' ' (iéglité trigulir) O d plus ' ' 0 ou ' 0 ou ]0, [ tl qu ' d) ) ' ' f) ' ' g) ' ' h) i) i j) 0 0 D5 O ot, 1 NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE st doc l smbl ds ombrs complxs d modul 1 D6 O pos pour tout rél : cos( ) si( ) P4 O : {, } Tout ombr complx d modul 1 put doc s écrir sous l form vc P5 O (, ') : ( ') ' P6 Tout ombr complx o ul s écrit sous l form r vc t ]0, [ r C st l form xpotill (ou trigoométriqu) du ombr complx L ombr r st l modul d : r D7 L ombr s ppll u rgumt d Il st doé modulo O écrit lors Arg( ) [ ] P7 O pour tous ombrs complxs o uls t ' : Arg( ') Arg( ) Arg( ') [ ] t Arg Arg( ) Arg( ') [ ] ' i P8 O cos( ) t * : càd si( ) cos( ) si( ) : c st l formul d Moivr P9 O : cos( ) t si( ) i : c sot ls formuls d Eulr Pg 1 sur 5

2 LE PLAN COMPLEXE D8 O idtifi u pl usul mui d u rpèr orthoormé ( O, u, v) O dit qu st lors l pl complx 1 )A tout ombr complx b vc (, b), o fit corrspodr l poit M d d coordoés crtésis (, b) ds O doc OM u b v O dit qu st l ffix du poit M )A c mêm ombr complx b, o fit ussi corrspodr l vctur w d composts (, b ) O isi w u b v O dit qu st ussi l ffix du vctur w P10 Si M pour ffix b t si M ' pour ffix ' ' b ' vc (,, ', ') 4 b b, lors l vctur MM ' pour ffix ' D9 O pos pour tout : u cos( ) u si( ) v P11O pour tout : 1 t ms( u, u ) [ ] u v u u y P1 Si M ( ) st u poit du pl complx distict d O (c'st-à-dir tl qu 0 ), vc b, b, lors o : OM ms( u, OM ) Arg( ) [ ] P13 Si M ( ) t M '( ') sot dux poits du pl complx, lors o : b v O u M ( ) x ) MM ' ' b)si ( ) st u poit fixé d t si r 0, lors i)l smbl ds poits M ( ) d tls qu r st l crcl d ctr t d ryo r ii)l smbl ds poits M ( ) d tls qu r st l disqu (frmé) d ctr t d ryo r iii)l smbl ds poits M ( ) d tls qu r st l disqu (ouvrt) d ctr t d ryo r c) ms( u, MM ') Arg( ' ) [ ] si ' P14 Si A( ), B( b), C( c), D( d) sot qutr poits du pl complx vc A B t C D, lors o : d c ) ms( AB, CD) Arg [ ] b d c b) AB t CD sot coliéirs si t sulmt si b st rél d c c) AB t CD sot orthogoux si t sulmt si b st imgiir pur d) A, B, C sot ligés si t sulmt si c b st rél Pg sur 5

3 RACINES N IÈMES DE L UNITÉ P15 Si *, lors l équtio 1 dmt xctmt solutios disticts ds C sot ls ombrs ik k xp vc 0 k 1 D10 Cs ombrs sot pplés ls rcis èms d l uité P16 O pour tout : 1 k 0 0 k : l somm ds rcis ièms d l uité st ull P17 )Ls rcis crrés d 1 sot 1 t 1 b)ls rcis cubiqus d 1 sot 1, j i xp 1 3 t xp i i j j c)ls rcis qutrièms d 1 sot 1, i, 1, i D11 O pos pour tout * : ik xp, 0 k 1 : st l smbl ds rcis ièms d l uité P18 O * : Pr cotr, il xist ds élémts d qui pprtit à ucu smbl j i i Ci-dssus, ls rcis 1 ièms d l uité rpréstés ds l pl complx j j i i Ci-dssus, ls rcis 3 ièms, 4 ièms t 6 ièms d l uité rpréstés ds l pl complx Pg 3 sur 5

4 RACINES N IÈMES D UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL * P19 Cosidéros i u ombr complx o ul vc 0 t L équtio dmt xctmt solutios disticts ds C sot ls ombrs ( ) i k k xp vc 0 k 1 D1 Cs ombrs sot pplés ls rcis èms d ièm ' u rci d'u ombr complx o ul P0 Cosidéros ièms k, pour 0 k 1, ls rcis d l' uité Alors ls rcis ièms d sot ls ombrs ' k vc 0 k 1 ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ P1 Cosidéros, b, c trois ombrs complxs vc 0 E c L'équtio du scod dgré ( ) : b 0 Pour résoudr ( E) ds, o put : )Détrmir u rci crré du discrimit b 4 c O doc b b b)ls solutios d ( E) ds sot lors : 1 t O lors P Cosidéros : b c ( ) ( 1), b, c trois ombrs complxs vc 0 L'équtio du scod dgré ( E) : b c 0 1 t ls dux rcis d ( E) b c O lors 1 t 1 P3 Cosidéros s t p dux ombrs complxs fixés L coupl ( 1, ) st solutio du systèm 1 s 1 p si t sulmt si 1 t sot ls dux rcis d l foctio polyomil f ( t) t s t p EXPONENTIELLE COMPLEXE D13 Si x y vc x y, lors o pos x y x y O doc R( ) Im( ) : P4 O 0 pour tout t (, ') : t ' ' 1 P5 Si x y vc x y, lors o x t Arg( ) y [ ] P6 O pour tous ' (, ') : ' i Pg 4 sur 5

5 QUELQUES TRANSFORMATIONS DU PLAN D14 Soit w( b) u vctur fixé O ppll trsltio du pl d vctur w l pplictio t : défii pr MM ' w vc M ' t( M ) M ( ) w M '( ') P7 Ctt trsltio t s crctéris pr l rltio complx : ' D15 Soit ( ) u poit fixé du pl complx t u rél fixé O ppll rottio du pl d ctr ( ) t d gl orité [ ] l pplictio r : 1 ) r( ) défii pr : ( ) M '( ') )Si M lors l poit M ' r( M ) vérifi M M ' ms M, M ' [ ] M ( ) P8 Ctt rottio r s crctéris pr l rltio complx : ' ( ) D16 Soit ( ) u poit fixé du pl complx t u rél o ul fixé O ppll homothéti du pl d ctr ( ) t d rpport l pplictio h : défii pr : M ' M vc M ' h( M ) M '( ') P9 Ctt homothéti h s crctéris pr l rltio complx : ' ( ) ( ) M ( ) D17 L symétri orthogol s pr rpport à l x ds bscisss Ox st défii pr : 1 )Si M )Si M Ox lors s( M ) M Ox lors ( MM ') Ox t l miliu d [ MM '] pprtit à Ox vc s( M ) M ' P30 Ctt symétri orthogol s s crctéris pr l rltio complx ' M ( ) A( ) Ox M '( ') Pg 5 sur 5