sous forme algébrique puis sous forme exponentielle puis celle de cos

Transcription

1 CONTÔLE N TS Vendred ma heures I Dans cet exercce, les calculs seront détallés Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O, u, v ) On pose z, et z, B et C sont les ponts d affxes respectves z, et z Écrre z et sous forme exponentelle Écrre z sous forme algébrque pus sous forme exponentelle En dédure la valeur exacte de cos pus celle de cos Donner une mesure de l angle ( OB O ) 5 Détermner l ensemble des ponts M d affxe z tels que II Dans cet exercce, tous les résultats seront arronds à Une agence de voyage propose des tnérares tourstques pour lesquels chaque clent effectue un aller et un retour en utlsant sot un bateau, sot un tran tourstque Le chox du mode de transport peut changer entre l aller et le retour Les tros partes sont ndépendantes Parte Lorsque le bateau est chos à l aller, l l est également pour le retour 9 fos sur Lorsque le tran a été chos à l aller, le bateau est préféré pour le retour dans % des cas On nterroge au hasard un clent On consdère les évènements suvants : : «le clent chost de fare l aller en bateau»; : «le clent chost de fare le retour en bateau» On note p la probablté de l événement Une étude a montré que la probablté que le clent utlse deux moyens de transport dfférents pour l aller et le retour est, On chost au hasard un clent de l agence Tradure la stuaton par un arbre pondéré Montrer que p,65 On chost au hasard un clent qu a fat le retour en tran Détermner la probablté qu l at fat l aller en bateau On chost au hasard clents de cette agence On note X la varable aléatore qu compte le nombre de clents qu utlsent les deux moyens de transport On admet que le nombre de clents est assez grand pour que l on pusse assmler l expérence à un trage avec remse a Quelle est la lo suve par X? Justfer b Détermner la probablté qu exactement clents utlsent les deux moyens de transport dfférents c Détermner la probablté qu l y at au mons 5 clents qu utlsent les deux moyens de transport dfférents 5 Le coût d un trajet aller ou d un trajet retour est de 56 en bateau; l est de en tran On note Y la varable aléatore qu assoce, à un clent prs au hasard, le coût en euro de son trajet aller-retour a Détermner la lo de probablté de Y b Calculer l espérance mathématque de Y Interpréter le résultat Parte B Le temps d attente d un clent lorsqu l prend le tran, exprmé en mnutes, peut être modélsé par une varable aléatore T qu sut la lo unforme sur l'ntervalle [ ] Quelle est la probablté d'attendre plus de douze mnutes? Précser le temps d'attente moyen

2 Parte C On modélse la durée de ve, en années, d un moteur de bateau par une varable aléatore D sut une lo exponentelle de paramètre On sat que P(D ), Donner la valeur exacte de Pour la sute, on prendra,5 Détermner la probablté qu un moteur at une durée de ve de plus de ans Détermner la probablté qu un moteur at une durée de ve d exactement 9 ans et mos Détermner la probablté qu un moteur qu a déjà 5 ans dure encore plus de ans 5 Détermner la durée de ve moyenne d un moteur rrondr à l année O, u, v est le pont d affxe et B est le pont d affxe Le but de l exercce est de détermner l affxe du pont C tel que BC sot un trangle équlatéral drect III On munt le plan complexe d un repère orthonormé drect ( ) Justfer que arg z B et que z B En dédure la forme algébrque de z B En dédure l affxe de IV On consdère la sute ( w n ) défne par w et, pour tout nombre enter n, nw n (n )w n Le tableau suvant donne les dx premers termes de cette sute n w n Calculer w Dans cette queston toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton Détermner l expresson de w n en foncton de n Justfer Justfer Donner la nature de la sute ( w n )

3 I COECTION DU CONTÔLE N TS z (dagonale d un carré de côté ) et graphquement arg( ) ( ) La forme exponentelle de z est e ( ) Sot un argument de cos( ) et sn( ) La forme exponentelle de est e z z 6 D autre part, z e donc π 6 ( ) 6 ( )( ) ( )( ) 6 6 La forme algébrque de z est 6 e 6 La forme exponentelle de z est e cos cos cos cos arg z cos ez z e ( 6 ) 6 6 e ( ) ( OB O ) ( OB u ) ( u O ) ( u O ) ( ) donc ( OB O ) 5 Sot (E) l ensemble cherché M(z) (E) ss ss z ( ) ss z M ss CM (E) est le cercle de centre C et de rayon II Parte On peut construre l arbre pondéré c-contre : La probablté que le clent chossse deux moyens de transport dfférents est P P( ) P() P ( ) P( ) () p ns p,65 ( p) P () P( ) P( ) 5 p 5 p, donc p,9 donc 5 P u OB arg( z ) arg( ) arg p 9 z -p

4 Calculons P( ) : et forment une partton de P( ) P() P ( ) P( ) P ( ) donc, d après la formule des probabltés totales,,65,,5,, ns, P (),65,,, Lorsqu on chost au hasard un clent qu a fat le retour en tran, la probablté qu l at fat l aller en bateau est envron, a On répète fos de façon ndépendante l épreuve de Bernoull qu consste à chosr un clent et à noter s l utlse les deux moyens de transport La probablté qu l utlse les deux moyens de transport est, lors X sut la lo bnomale de paramètres et, b D après la calculatrce, P(X ),5 La probablté qu exactement clents utlsent les deux moyens de transport dfférents est envron,5 c P(X 5) P(X 5) P(X ),9 La probablté qu l y at au mons 5 clents qu utlsent les deux moyens de transport dfférents est envron,9 5 a Les valeurs prses par Y sont, 6 et Voc la lo de probablté de Y : k 6 P(Y k) P( ),65,9,55, P,5,,5 b E(Y),55 56,,5 9, Sur un grand nombre de clents, le coût moyen d un trajet aller-retour est 9 Parte B Le temps d attente d un clent lorsqu l prend le tran, exprmé en mnutes, peut être modélsé par une varable aléatore T qu sut la lo unforme sur l'ntervalle [ ] P(T ) P( T ), 9 La probablté d'attendre plus de douze mnutes est envron, E(T),5 Le temps d'attente moyen est mnutes et secondes Parte C On modélse la durée de ve, en années, d un moteur de bateau par une varable aléatore D sut une lo exponentelle de paramètre On sat que P(D ), P(D ) e t dt e, donc e, donc Pour la sute, on prendra,5 e t P(D ) P(D ) e ln(,) e ( t) dt t e ( e e,5,6 La probablté qu un moteur at une durée de ve de plus de ans est envron,6 La probablté qu un moteur at une durée de ve d exactement 9 ans et mos est P T 5 (D 5 ) P(D ) car D sut une lo de durée de ve sans vellssement P(D ),, La probablté qu un moteur qu a déjà 5 ans dure encore plus de ans est, 5 E(T), La durée de ve moyenne d un moteur est envron ans

5 III On munt le plan complexe d un repère orthonormé drect ( O, u, v ) est le pont d affxe et B est le pont d affxe Le but de l exercce est de détermner l affxe du pont C tel que BC sot un trangle équlatéral drect arg z B arg( zc z) arg( zb z ) ( u C ) ( u B ) z B z B B B ( B u ) ( u C ) ( B C ) car BC est équlatéral drect car BC est équlatéral D après la queston, e cos z B La forme algébrque de est z B z B sn donc ( z B ) ( ) IV w ( )w 9 9 donc w Il semble que, pour tout n de, w n n Prouvons-le Intalsaton : pour n : w et donc w La proprété est vrae pour n Hérédté : sot p un enter naturel tel que w p p Montrons que w p (p ) p (p )w p (p )w p (p )(p ) p² 5p Factorsons le trnôme : et le trnôme a deux racnes réelles qu sont et On a donc p² 5p p (p ) (p )(p ) ns, (p )w p (p )(p ) et donc, pusque p est non nul, w p p Concluson : pour tout n de, w n n ( w n ) est donc une sute arthmétque de rason et de er terme u