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1 Utilisation pratique des Nombres Complexes.! L'AUTEUR "04" en Electricité et Electronique / Robotique... Le Sommaire: - Forme algébrique (ou forme cartésienne) - Partie réelle et partie imaginaire 3- Addition ou soustraction des nombres complexes 4- Multiplication d un nombre réel et d un nombre complexe 5- Multiplication de deux nombres complexes 6- Forme trigonométrique (ou forme polaire) d un nombre complexe 7- Module et ument 8- Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique 9- Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique 9-- Plan complexe 9-- Module 9-3- Argument 0- Multiplication de deux nombres complexes avec la forme trigonométrique - Division de deux nombres complexes - Nombre complexe conugué 3- Exemples d application en électricité : les impédances complexes 3-- Exemple n : Circuit RLC série 3-- Exemple n : Circuit RL parallèle 4- Exemple d application en électronique : fonction de transfert d un filtre 5- Réponse aux questions DE CE POLY : Richard KOWAL... Labo Electronique. - Forme algébrique: (ou forme cartésienne) Voici un nombre complexe que nous appellerons (avec une barre en dessous pour bien montrer qu il s agit d un nombre complexe). La forme algébrique est une façon de représenter un nombre complexe : + 3 (ou + 3 ) Remarque : se lit «complexe» ou «nombre complexe» + 3 se lit «deux plus trois» En mathématiques, on utilise: i et en électronique c'est: + 3i «deux plus trois i» Vérifié en Octobre 08 Labo Electronique / Robotique. page / 4 Richard KOWAL! Sciences de l Ingénieur

2 - Partie réelle et partie imaginaire: Un nombre complexe possède une partie réelle et une partie imaginaire : Remarques : + 3 partie réelle est le nombre imaginaire unité. partie imaginaire Un nombre réel est un nombre complexe qui n a pas de partie imaginaire :,5 + 0 ou plus simplement:,5 Un nombre imaginaire est un nombre complexe qui n a pas de partie réelle : ou plus simplement: 3 Question n : Que valent la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe : 5,,5? Question n : Que valent la partie réelle et la partie imaginaire du nombre réel π? Question n 3 : Que valent la partie réelle et la partie imaginaire du nombre imaginaire? (Solution à la fin de ce cours). 3- Addition ou soustraction des nombres complexes: Les parties réelles s additionnent (ou se soustraient). Les parties imaginaires s additionnent (ou se soustraient). Soit : et : + Addition : (5 ) + (7 + ) Soustraction : ( + ) (5 + ) + (7 ) Question n 4 : Additionner les nombres complexes 3 4 et Question n 5 : Soustraire les nombres complexes 3 4 et Labo Electronique / Robotique. page / 4 Richard KOWAL!

3 4- Multiplication d un nombre réel et d un nombre complexe: Soit : 3+ 5 Multiplions le nombre complexe par le nombre réel 8 : 8 8 (3+ 5) On développe : 8 (3 + 5) Multiplication de deux nombres complexes: Les choses se compliquent!, le nombre imaginaire unité, a la propriété étonnante suivante : ou ² ou «fois est égal à -» «au carré est égal à -» Soit : et : Multiplication : (6 + 3) (5 + ) On développe : (6 + 3) (5 + ) (30 6) + ( + 5) avec: Question n 6 : Multiplier les nombres complexes et 4 +. Question n 7 : Multiplier les nombres complexes 3 4 et Exemples: Question n 8 : Multiplier les nombres complexes et Labo Electronique / Robotique. page 3 / 4 Richard KOWAL!

4 6- Forme trigonométrique (ou forme polaire) d un nombre complexe: La forme trigonométrique est une autre façon de représenter un nombre complexe : Exemple : ; + rad 3 ou : 7 Module et ument: ( ; + 60 ) Un nombre complexe possède un module et un ument : π ; + rad module 3 3 ument Le module du nombre complexe se note : Ici : Le module est un nombre réel positif ou nul. ou L ument d un nombre complexe est un angle que l on peut exprimer en degrés ( ) ou en radians (80 π radians). L ument du nombre complexe se note : ( ) π 3 Ici : ( ) + rad 8- Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique: C est très simple : L'AUTEUR DE CE POLY : Richard KOWAL... Labo Electronique. partie réelle module cosinus de l'ument partie imaginaire module sinus de l'ument ; + rad 3 cos + rad + sin + rad Labo Electronique / Robotique. page 4 / 4 Richard KOWAL!

5 9- Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique. 9-- Plan complexe: Le plan complexe désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe. Exemple : 3+ 4 axe des imaginaires O axe des réels En abscisse, nous avons la partie réelle. En ordonnée, nous avons la partie imaginaire. 9-- Module: axe des imaginaires module O axe des réels Le théorème de Pythagore... mod ule d'un nombre complexe (partie réelle) + (partie imaginaire) Labo Electronique / Robotique. page 5 / 4 Richard KOWAL!

6 Le module est une grandeur réelle positive (comme la longueur). Calculons le module du nombre : Exemples: Question n 9 : Calculer le module du nombre complexe. Question n 0 : Calculer le module du nombre imaginaire 5. Question n : Calculer le module du nombre imaginaire 7. Question n : Calculer le module du nombre réel 3, Argument: axe des imaginaires module ument O axe des réels L ument d un nombre complexe est un angle. Reprenons le nombre complexe : 3+ 4 L ument du nombre complexe se note : ( ) (3 + 4) Dans le cas particulier où la partie réelle est strictement positive : partie imaginaire partie réelle ( ) tan Application numérique (avec une calculatrice) : 4 ( 3 + 4) arctan + 53, ( 3 4) arctan 53, 3 3 N.B. Suivant la marque de la calculatrice, la fonction réciproque de la tangente se note : arctan ou Shift + tan ou tan - ou Atn Labo Electronique / Robotique. page 6 / 4 Richard KOWAL!

7 Dans le cas particulier où la partie réelle est positive et la partie imaginaire nulle (nombre réel positif), l ument est nul. (8) 0 Dans le cas particulier où la partie réelle est négative et la partie imaginaire nulle (nombre réel négatif), l ument est 80 (ou π radians) (- 8) 80 Dans le cas particulier où la partie réelle est nulle et la partie imaginaire positive, l ument est + 90 (ou π radian) (+) +90 Dans le cas particulier où la partie réelle est nulle et la partie imaginaire négative, l ument π est 90 (ou radians) (-3) - 90 Dans le cas particulier où la partie réelle est strictement négative : En degrés : partie imaginaire partie réelle ( ) 80 + tan En radians : partie imaginaire partie réelle ( ) π + tan 4 ( 3+ 4) 80 + arctan 80 53,3 + 6, ( 3 4) 80 + arctan ,3 + 33,3 6, 87 3 Question n 3 : Calculer l ument du nombre complexe +. Question n 4 : Calculer l ument du nombre imaginaire 5. Question n 5 : Calculer l ument du nombre imaginaire 7. Question n 6 : Calculer l ument du nombre réel 3,93. Labo Electronique / Robotique. page 7 / 4 Richard KOWAL!

8 0- Multiplication de deux nombres complexes avec la forme trigonométrique: Module d un produit produit des modules Argument d un produit somme des uments Soit : et : 3; + 4 ; 6 3; + ; 4 6 π π 3 ; π π 6 ; ; + rad ( 6 ; + 5 ) Soit : Calculons: ; + rad ; + rad ; + rad π π ; + rad + rad ( ; + π rad) Remarque : ; + rad cos + rad + sin + rad 0 + cos + 0 On retrouve : - ( ; + π rad) ( + π rad) + sin( + π rad) Labo Electronique / Robotique. page 8 / 4 Richard KOWAL!

9 - Division de deux nombres complexes: Module d un quotient quotient des modules du numérateur et du dénominateur Argument d un quotient ument du numérateur ument du dénominateur Exemple : Soit : 3; + 4 et : ; 6 3; π π 3 5π ; + + ; + rad 4 6 ; 6 Exemple : (5)² + ()² (3)² + ( 4)² , ,3 + 0,5 3,6 5 ( 5 + ) ( 3 4) tan (,5 ; + 75 ) 5 tan 4 3 Cas particulier : alors : Y Y ( Y) ( ) ; + rad ; rad ; + rad Soit : Labo Electronique / Robotique. page 9 / 4 Richard KOWAL! Sciences de l Ingénieur

10 Remarque : ; + rad cos + rad + sin + rad 0 + ; rad cos rad + sin rad + 0 On retrouve : - Nombre complexe conugué: * désigne le conugué du nombre complexe. Par définition : x + y * x y x désigne la partie réelle du nombre complexe. y désigne la partie imaginaire du nombre complexe. 3 est le conugué de + 3. est le conugué de. 5 est le conugué de 5. Propriétés : + * x * y * * x x + y ( * ) ( ) + y Labo Electronique / Robotique. page 0 / 4 Richard KOWAL!

11 3- Exemples d application en électricité, les impédances complexes: En électricité, on peut caractériser le comportement d un dipôle passif linéaire en régime sinusoïdal avec un nombre complexe que l on appelle «impédance complexe». Ainsi l impédance complexe d une résistance est : R R (R est la résistance en ohms). L impédance complexe d une bobine est : L Lω (L est l inductance en henry, et ω la pulsation du courant en rad/s) L impédance complexe d un condensateur est : C Cω (C est la capacité en farad, et ω la pulsation du courant en rad/s) 3-- Exemple n ; Circuit RLC série: On associe une résistance, une bobine et un condensateur en série. L impédance complexe de l association est alors : R + L + C R + Lω+ R + Lω R + Lω Cω Cω Cω a. Donner l expression de la partie réelle de l impédance complexe. C ω Réponse : R b. La réactance X correspond à la partie imaginaire de l impédance complexe. Donner son expression. Réponse : X Lω Cω c. L impédance de l association (en ohms) correspond au module de l impédance complexe. Donner son expression. Réponse : mod ule (partie réelle) + (partie imaginaire) R + Lω R + Lω Cω Cω d. Le déphasage entre tension et courant est donné par l ument de l impédance complexe. L'AUTEUR DE CE POLY : Richard KOWAL... Labo Electronique. Labo Electronique / Robotique. page / 4 Richard KOWAL!

12 Réponse : ( ) tan partie imaginaire tan partie réelle Lω Cω R 3-- Exemple n : Circuit RL parallèle... On associe une résistance et une bobine en parallèle. L impédance complexe de l association est alors : R R + L L R Lω RLω R + Lω R + Lω a. L impédance de l association (en ohms) correspond au module de l impédance complexe. Donner son expression. Réponse : RLω R + Lω RLω R + Lω RLω R + L ( ω) b. Le déphasage entre tension et courant est donné par l ument de l impédance complexe. Donner son expression. RLω R + Lω Lω R Réponse : () ( RLω) ( R + Lω) + rad tan 4- Exemple d application en électronique : Fonction de transfert d un filtre... En électronique, on peut caractériser le comportement d un filtre avec un nombre complexe que l on appelle «fonction de transfert». Voici la fonction de transfert d un filtre RC passe-bas du er ordre : T + RCω a. L amplification du filtre correspond au module de la fonction de transfert. Donner son expression. π Réponse : T + RCω + RCω + RC ( RCω) + ( ω) Labo Electronique / Robotique. page / 4 Richard KOWAL!

13 b. Le déphasage entre la sortie et l entrée est fourni par l ument de la fonction de transfert. Donner son expression. Réponse : ( T) ( ) ( + RCω) arctan + RCω ( RCω) RCω 0 arctan 5- Réponse aux questions: Question n : Que valent la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe : 5,,5? Partie réelle :,5 Partie imaginaire : + 5, Question n : Que valent la partie réelle et la partie imaginaire du nombre réel π? π π + 0 Partie réelle : π Partie imaginaire : 0 Question n 3 : Que valent la partie réelle et la partie imaginaire du nombre imaginaire? 0 + Partie réelle : 0 Partie imaginaire : Question n 4 : Additionner les nombres complexes 3 4 et (3 4) + (3 + 4) (3 + 3) + ( 4 + 4) La partie imaginaire est nulle : le résultat est un nombre réel «pur». Question n 5 : Soustraire les nombres complexes 3 4 et (3 4) (3 + 4) (3 3) + ( 4 4) La partie réelle est nulle : le résultat est un nombre imaginaire «pur». Question n 6 : Multiplier les nombres complexes et 4 +. ( ) (4 + ) ( ) 6 Question n 7 : Multiplier les nombres complexes 3 4 et (3 4)(3 + 4) Labo Electronique / Robotique. page 3 / 4 Richard KOWAL!

14 L'AUTEUR DE CE POLY : Richard KOWAL... Labo Electronique ( ) La partie imaginaire est nulle : le résultat est un nombre réel «pur». Question n 8 : Multiplier les nombres complexes et (3 + 4) ( ) Question n 9 : Calculer le module du nombre complexe. ( ) + ( ) Question n 0 : Calculer le module du nombre imaginaire Question n : Calculer le module du nombre imaginaire 7. D après la question n 0 : Question n : Calculer le module du nombre réel 3, ,93 Pour un nombre réel, le module correspond à la valeur absolue. Question n 3 : Calculer l ument du nombre complexe +. ( + ) arctan + 45 Question n 4 : Calculer l ument du nombre imaginaire 5. (5) +90 Question n 5 : Calculer l ument du nombre imaginaire 7. (-7) - 90 Question n 6 : Calculer l ument du nombre réel 3,93. (-3,93) 80 La fin de ce poly! Sciences de l Ingénieur Labo Electronique / Robotique. page 4 / 4 Richard KOWAL!

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