Partie PHYSIQUE : Géothermie. Les deux problèmes ainsi que les deux parties du problème n 2 sont indépendants. condensation

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1 1/7 Partie PHYSIQUE : Géothermie Les deux problèmes ainsi que les deux parties du problème n 2 sont indépendants. Problème n 1 : Etude d une pompe à chaleur (PAC) sur aquifère Document n 1 : Principe du chauffage d un logement avec une PAC aquifère évaporation compression condensation Circuit secondaire Circuit primaire détente Nappe souterraine La géothermie sur aquifère consiste à pomper l eau d une nappe souterraine par l intermédiaire d un ou de plusieurs forages pour l acheminer jusqu à la pompe à chaleur, avant ensuite de la réinjecter dans l aquifère. Cette circulation d eau correspond au circuit primaire de l installation. L eau provenant de la nappe souterraine, qui constitue la source chaude de la PAC, permet l évaporation d un fluide frigorigène, le R410A. Le fluide frigorigène subit ensuite une compression, une condensation puis une détente. Au cours de l étape de condensation, le fluide frigorigène cède de la chaleur au circuit d eau secondaire qui permet le chauffage du logement.

2 2/7 Document n 2 : Diagramme (P, h) du fluide R410A Le diagramme (P, h) du fluide frigorigène R410A est donné en fin de sujet. L allure des diagrammes (P, h) est similaire à celle d un diagramme de Clapeyron (P, v). Outre, la pression P (en bar), portée en ordonnée, et l enthalpie massique h (en kj.kg -1 ), portée en abscisse de ces diagrammes, on peut aussi y lire la température T (en C), l entropie massique s (en J.kg -1. K -1 ) et le volume massique (en L -1.kg). On indique ci-dessus l allure sommaire, dans ce diagramme, de la courbe de saturation, de celle d une isotherme et de celle d une isentrope. L échelle des enthalpies massiques h est reportée en bas et en haut du diagramme, pour faciliter la lecture. Sont également représentées, entre autres, sur le diagramme : - sous la courbe de saturation, les courbes isotitres (x est le titre massique en vapeur) - les isothermes (la température est ici indiquée en C) - les isentropes. Document n 3 : Cycle thermodynamique du fluide frigorigène R410A Le fluide est vaporisé entièrement (Etape 1-2) puis surchauffé de manière isobare (Etape 2-3), le compresseur isentrope (étape adiabatique réversible) l amène à une pression de 20 bars (Etape 3-4), le fluide est liquéfié entièrement (Etape 4-5) puis sous refroidi (Etape 5-6). Une détente isenthalpique le ramène à l état 1 sans échange thermique. On donne les coordonnées (h, P, s) suivants à différents états du cycle. P : Pression en bars s : Entropie massique en Etat du fluide h : Enthalpie massique en kj.kg -1 J.kg -1.K -1 Etat ,0 Etat 2 (Etat vapeur h 2 5,0 saturante) Etat 3 (vapeur surchauffée) h 3 5, Etat 4 h Etat 5 h 5 20 Etat

3 3/7 Questions : 1. Rappeler le COP (coefficient de performance) ou efficacité de la PAC. Exprimer le COP en fonction uniquement de Q c et Q f, puis de de q c et q F, les grandeurs massiques correspondantes. 2. Par analogie avec le diagramme de Clapeyron, légender le diagramme, fourni en fin de sujet (ANNEXE), en précisant l état du fluide R410A dans les différentes parties du diagramme. Justifier la forme des isothermes sous la courbe de saturation. 3. En utilisant le document n 3, indiquer les positions des points 1 à 6 sur le cycle dessiné dans le diagramme fourni en ANNEXE. 4. Déterminer graphiquement les valeurs numériques de : h 2, h 4, h 3, h A l aide du graphique, déterminer la valeur de l enthalpie massique de vaporisation à -14 C. Que vaut l entropie massique de vaporisation à la même température? 6. Retrouver par un calcul le titre massique en vapeur à l état 1. Comparer à la valeur lue graphiquement. 7. a. Expliquer pourquoi q c est échangée sur les étapes 4 5 et 5 6. Sur quelle(s) étape(s) est échangée q F? b. Déterminer les expressions de q c et q F. Donner, à l aide du graphique, les valeurs approchées de q c et q F. 8. En déduire la valeur approchée du COP de la PAC.

4 4/7 Problème n 2 : Récupération d énergie thermique dans la chaussée couplée à la géothermie L énergie solaire absorbée par le bitume peut-être astucieusement utilisée pour assurer le chauffage d habitations ou d immeubles. Les sociétés néerlandaises O.O.M.S. (génie civil) et W.T.H. (génie thermique) ont développé dans ce but le dispositif Road Energy Systems (schématisé sur la figure 1) constitué des organes suivants, dans lesquels circule de l eau : un réseau de canalisations incluses dans la couche supérieure de la route ; un aquifère (réservoir d eau naturel souterrain) «chaud» à la température T C = 24 C ; un aquifère «froid» à la température T F = 8 C ; un échangeur thermique de type eau/eau (entre le dispositif et le système de chauffage/climatisation de l immeuble) ; une pompe assurant la circulation de l eau (non représentée sur la figure 1). Selon la saison, deux circuits différents de circulation d eau sont utilisés afin de stocker de l énergie thermique dans l aquifère chaud (en été) puis de l y récupérer (en hiver). ÉTÉ HIVER route route aquifères aquifères T F=8 C sol T S=16 C T C=24 C T F=8 C sol T S=16 C T C=24 C Dans le problème, on s intéresse au dimensionnement de l aquifère (Partie n 1) ainsi qu à l énergie thermique extraite de la chaussée (Partie n 2).

5 5/7 Partie n 1 : Dimensionnement des aquifères Les aquifères utilisés sont situés à une profondeur moyenne de 80 m où la température du sol est constante toute l année et vaut T S = 16 C. Un aquifère est modélisé par une sphère de centre O et de rayon R a contenant de l eau de capacité calorifique massique c eau = 4, J. K 1. kg 1, de masse volumique ρ eau = 1, kg. m 3 et de température T E supposée uniforme. Cette sphère est entourée de terre de conductivité thermique λ = 1,0 W. m 1. K 1 dont la température T(r) est supposée ne dépendre que de la distance r au centre de la sphère et tendre vers T S = 16 C lorsque la distance r tend vers l infini. Les transferts thermiques sont étudiés en régime permanent. 9. Écrire la loi de Fourier. 10. Exprimer, en fonction de λ, T et r, le flux thermique (r) à travers une sphère de centre O et de rayon r > R a, orientée selon e r. 11. Montrer, en considérant une coquille sphérique de terre comprise entre r et r + dr, que le flux thermique (r) se conserve. 12. Déduire des questions précédentes que le flux thermique peut s écrire : Φ = K (T E T S ), en exprimant K en fonction de λ et R a. Durant les six mois de fonctionnement en mode «hiver» (t H = 0,5 an), la température de l aquifère «chaud», initialement à T E0 = T C = 24 C, ne doit pas diminuer plus que ΔT = 1,0 C. Supposons, dans les questions suivantes, que l aquifère ne perde de l énergie que par conduction thermique dans la terre environnante au niveau de sa frontière, en r = R a. 13. Établir l équation différentielle vérifiée par la température T E de l eau. La mettre sous la forme : dt E dt en précisant l expression de τ en fonction de c eau, eau, R a et. 14. Résoudre l équation différentielle précédente pour déterminer la température T E(t) en fonction de T E0, T S, t et. 15. Déterminer une condition littérale sur pour que la diminution de température de l aquifère liée aux pertes par conduction soit inférieure à T durant t H : T E0 T E (t H ) < ΔT. 16. Calculer la valeur limite de et en déduire le rayon limite R a,limite de l aquifère. + T E τ = T S τ

6 6/7 Partie n 2 : Etude thermique de la chaussée durant l été La couche de bitume est assimilée à une plaque noire de surface S et de température uniforme T R au contact de l atmosphère de température T A = 300 K. Sur sa face supérieure, cette couche : reçoit un rayonnement solaire de puissance surfacique moyenne φ S = 400 W. m 2 reçoit un rayonnement d équilibre thermique de puissance surfacique φ a R = σt A 4 de la part de l atmosphère ; σ est la constante de Stefan-Boltzmann et vaut : σ = 5, W. m 2. K 4. émet un rayonnement d équilibre thermique de puissance surfacique φ b R =σt R 4 vers l atmosphère ; perd une puissance surfacique φ CC = h (T R T A ) par conducto-convection (h = 10 W. m 2. K 1 ). Sur sa face inférieure, la couche de bitume est en contact avec la terre dont la température est constante à partir d une profondeur p = 10 m, valant T S = 290 K. Ce contact est modélisé par une résistance thermique de longueur p, de surface S et de conductivité thermique λ = 1,0 W. m 1. K 1 ; celle-ci est traversée par un flux thermique de conduction Φ C = Sφ C. On se placera en régime stationnaire. 17. Faire un schéma de la couche de bitume, de l atmosphère et de la terre en y faisant figurer les différentes températures, ainsi que les divers flux thermiques surfaciques, mentionnés dans le texte, par une flèche indiquant le sens des transferts correspondants. 18. a. Etablir l expression de la résistance thermique R th d un barreau rectiligne unidimensionnel de section S, de longueur L et de conductivité thermique. b. En déduire l expression de φ C en fonction de, p, T R et T S. L énergie thermique prélevée par l eau circulant dans les canalisations incluses dans la chaussée peut-être modélisée par un flux surfacique φ E extrait de la couche de bitume. 19. Traduire l équilibre thermique de la route en régime permanent à l aide d une relation entre les divers flux surfaciques. 20. En déduire la puissance surfacique maximale E qui peut être extraite de la chaussée lorsque T R = T C = 24 C. Le coefficient de diffusion thermique (ou diffusivité) de la couche de bitume vaut D th = 2, m 2. s 1 et les tuyaux sont enterrés à la profondeur e = 10 cm. 21. Déterminer la durée caractéristique de diffusion thermique sur une distance e dans le bitume. Commenter.

7 ANNEXE : Document n 4 : Diagramme (P, h) du fluide frigorigène R410A 7/7

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