Macroéconomie - Croissance

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1 Macroéconomie - Croissance Licence 3 Sepembre 208 Rappels sur les dérivées. Eude d une foncion Une foncion es : croissane lorsque sa dérivée es posiive ; décroissane lorsque sa dérivée es négaive ; consane lorsque sa dérivée es nulle ; convexe lorsque sa dérivée seconde (la dérivée de sa dérivée) es posiive ; concave lorsque sa dérivée seconde es négaive..2 Dérivées usuelles Foncion f D f Foncion dérivée f D f x n, n N R nx n R x n = x n, n N \ {0} R \ {0} n x n+ = nx n R \ {0} x α, α ]0, + [ ]0, + [ αx α ]0, + [ e x R e x R ln x ]0, + [ x ]0, + [ Formules de dérivaion. Aenion aux domaines de dérivaion des foncions

2 avan d appliquer ces formules! (u + v) = u + v (uv) = u v + uv ( ) = u u u 2 ( u v ) = u v uv v 2 (v u) = (v u) u Les formules suivanes son des conséquences de la formule de dérivaion d une composée de foncions, mais il es bon de les connaîre égalemen : (u n ) = nu n u pour n N (u α ) = αu α u pour α R (ln u) = u u (e u ) = u e u Par ailleurs, quelques rappels sur les règles du log : ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a ln b, e ln a = a e ln(a k ) = k ln a. Exemple. Foncions de x à dériver : ln(2x + β) ; ln(4x α ) ; ax α+β.3 Dérivées parielles Pour une foncion de deux variables f : D R 2 R en un poin (a, b) D, on défini des dérivées parielles suivanes par rappor à chacune de ses variables : f (a, b) es la dérivée de la foncion parielle f(x, b) en a ; x f (a, b) es la dérivée de la foncion parielle f(a, y) en b. y Parfois, on les noe aussi f x (a, b) e f y (a, b). Exemple. Soi f(x, y) = x 2 3xy + 2y 2. Calculer les dérivées parielles au poin (, ). 2

3 En considéran y = consan, on a f(x, ) = x 2 3x + 2 e en dérivan par rappor à x on a f x = 2x 3, e donc : f (, ) = x En considéran x = consan, on a f(, y) = 3y + 2y 2 e en dérivan par rappor à y on a f y = 3 + 4y, e donc : f (, ) = y Exemple. Soi une foncion Cobb-Douglas F (x, x 2 ) = Ax α x β 2. Les dérivées parielles par rappor à x e x 2 son : F x = Aαx α x β 2 e F x2 = Aαx α x β 2 Exemple. (faculaif, à essayer de faire à la maison). Soi une foncion de producion CES elle que F (K, L) = A [ak γ + ( a)l γ ] /γ. Calculer ses dérivées parielles en uilisan la formule vue ci-dessus : (u α ) = αu α u. La dérivée parielle par rappor à L es : F L = A( a) [ ( a) + al γ K γ] γ γ La dérivée parielle par rappor à K es : F K = Aa [ a + ( a)k γ L γ] γ γ 2 Equaions différenielles Pour éudier les différenes variables uilisées dans ce cours (producion, capial, progrès echnique), il nous faudra souven avoir recours aux equaions différenielles. Pour cela, il fau savoir :. ce qu es une équaion différenielle ; 2. éudier ses propriéés (éa saionnaire, sabilié, ec.) ; 3. évenuellemen, rouver la soluion d une équaion différenielle. 2. Dérivée par le emps C es la manière don une variable change dans le emps. On noe x la dérivée de x par le emps. On a donc x = x. Si x augmene, x es posiif. Si x diminue, x es négaif. Enfin, lorsque x es consan (c es-à-dire. à l équilibre de x ) x = 0. Réciproquemen si x = 0, x a une valeur consane. 3

4 2.2 Taux de croissance g y = ẏ y Le aux de croissance d une variable (ex : y ) s obien en divisan la dérivée par le emps de la variable ( y ) par la variable elle-même (y ). Inuiivemen, cee expression représene donc la croissance de la variable en pourcenage, c es-à-dire de combien elle augmene par rappor à sa valeur. On le noe g y. 2.3 Définiion e exemples Une équaion différenielle es définie par une relaion enre une foncion e sa dérivée. Prenons une foncion y, qui dépend d une variable, de sore que y (ou y()) es la valeur de la foncion y en. Dans nore cas, une equaion différenielle donnera une relaion enre la foncion y e sa dérivée, noée en général ẏ. Définiion. On di que y vérifie une équaion différenielle s il exise une foncion f elle que : ẏ = f(y ) Exemples :. ẏ = ay + b, a, b R 2. k = sk α rk, s, r, α > 0 Remarque : Dans les exemples précédens, a, b, s, r, α son des paramères des équaions différenielles, c es-à-dire que l on considère qu ils son fixes, mais quelconques, mises à par les condiions précisées à droies. A l inverse, y e k désignen les inconnues de cee équaion, ce ne son donc pas n impore quelles foncions, mais il peu y en avoir plusieurs. 2.4 Propriéés des éas saionnaires On appelle éa saionnaire (ou équilibre) d une équaion différenielle une soluion consane y = y, c es-à-dire elle que ẏ = 0 pour ou. Exemples :. Pour ẏ = ay + b, à l éa saionnaire, ẏ = 0, on a donc ay + b = 0. Trois cas son possibles : si a = 0 e b 0, il n y pas d éa saionnaire ; si a = 0 e b = 0, oues les soluions son saionnaires ; si a 0, on isole y e on obien y = y = b a pour ou. 4

5 2. Pour k = sk α rk, e s, r, α > 0, à l éa saionnaire on a sk α rk = 0. k = k = 0 es donc une soluion saionnaire évidene. Supposons donc k 0 pour ou, alors la soluion vérifie : sk α rk sk α = rk Avec k 0 pour ou, on obien donc un deuxième éa saionnaire : k α = r s k = k 2 = ( r s ) α L une des propriéés inéressane à éudier es sa sabilié d un éa saionnaire. Se demander si un éa saionnaire es sable, c es se poser la quesion : es-ce que les aures soluions de l équaion différenielle von avoir endance à s en rapprocher, ou bien au conraire à s en éloigner? Pour que l éa saionnaire y soi sable, il fau que oue soluion y de l équaion différenielle vérifie pour ou : si y < y, alors ẏ > 0 ; e si y > y, ẏ < 0 En ermes économiques, nous verrons que l éa saionnaire d une équaion différenielle peu êre inerpréé comme la rajecoire de l économie à long erme si ce éa saionnaire es sable. Exemples :. Soi ẏ = ay + b l équaion différenielle considérée, don la soluion à l éa saionnaire es y = y = b a, alors : si a > 0, l éa saionnaire es insable ; si a < 0, l éa saionnaire es sable. 2. Soi l équaion k = sk α rk, avec s, r, α > 0, alors : k = 0 es un éa saionnaire insable ; k2 = ( r s ) α es un éa saionnaire sable. On visualise bien ces résulas sur des schémas. 2.5 Soluion des équaions différenielles En général, il peu êre difficile de rouver expliciemen les soluions d une équaion différenielle. Dans ce cours, nous n aurons à résoudre que les équaions différenielles simples qui suiven. Définiion.. On appelle équaion différenielle linéaire une équaion de la forme : ẏ = a.y + b, a, b R () 2. On appelle équaion différenielle liénaire homogène une équaion de la forme : ẏ = a.y, a R (2) 5

6 Théorème. Soi l équaion ẏ = a.y, avec a R. Alors, une foncion y vérifie cee équaion si e seulemen si y es de la forme : De plus, on a : y = C.e a, C R C = y 0 Démonsraion : Comme dans le héorème il y a un «si e seulemen si», on doi monrer une double implicaion. Sens : Soi y es de la forme : y = C.e a, C R Monrons que y vérifie l equaion différenielle. Pour cela, il suffi de dériver y, e on obien : ẏ = a.c.e a = a.y Sens 2 : Soi mainenan y vérifian l equaion différenielle : ẏ = a.y On défini une nouvelle foncion z, elle que z = y.e a, e on dérive z : ż = ẏ.e a a.y.e a = a.y.e a a.y.e a = 0 Donc z es une foncion consane, e il exise C R el que : Ce qui fini de démonrer le héorème. y.e a = z = C y = C.e a Corollaire. Soi l équaion ẏ = a.y + b, avec a, b R, a 0. Alors, une foncion y vérifie cee équaion si e seulemen si y es de la forme : De plus, on a : y = C.e a b a, C R C = y 0 + b a Démonsraion : Soi y une foncion, on pose z = y + b a y vérfie l équaion du corollaire si e seulemen si : pour ou. Alors, ẏ = a.y + b ż = a.(z b a ) + b ż = a.z Donc y es soluion de l équaion linéaire si e seulemen si z es soluion de l équaion homogène correspondane. D après le héorème précéden, cela es vrai si e seulemen si il exise C R, el que : y + b a = z = C.e a y = C.e a b a Ce qui es bien le résula recherché. 6

7 3 Aures références si nécessaire Knu Sydsaeer, Mahémaiques pour l économie Naïla Hayek, Mahémaiques pour l économie (Chapire sur les dérivées) Bernard Guerrien e Isabelle This, Les mahémaiques de la microéconomie (Chapire sur la dérivaion) Sophie Jallais, Mahémaiques des modèles dynamiques (Pour les équaions différenielles) 4 Quelques exercices e leur soluion () Si = αx β, avec α e β des consanes e X une variable, que vau ln( )? ln( ) = ln(αx β ) = ln(α) + ln(x β ) = ln(α) + β ln(x ) (2) Si ln( ) = ln(α) + β ln(x ), que vau le aux de croissance de? Y = En dérivan ln( ) par le emps, on obien : ln(y) = ln(α) +β ln(x) Mais puisque α es une consane, ln(α) Y = 0 e = β ln(x) X = β X, ou encore en noan g Y le aux de croissance de Y e g X le aux de croissance de X, g Y = βg X (3) Si = AK α L α, que vau le aux de croissance de? ln( ) = ln(ak α L α ) = ln(a)+ln(k α )+ln(l α ) = ln(a)+α ln(k )+( α) ln( ) e en dérivan on obien : g Y = ln() = ln(a) + α ln(k ) + ( α) ln() = αg K + ( α)g L (4) Commen simplifier X α X? X = X donc X α X = X α X = X α = X α (5) On noe k = K. Ecrivez K α L α en foncion de k e α. 7

8 K α L α = K α L α = ( K ) α = k α (6) On noe y = Y foncion de k, A e α. e k = K. Si = AK α L α, exprimez y en y = = AKα L α = AK α L α = A ( K ) α = Ak α (7) Si +T = ( + g Y ) T, exprimez g Y en foncion de +T, e T. +T = ( + g Y ) T ( Y+T ) ( ) T Y+T T = ( + gy ) g y = (8) = F (K, ) = AK α L α avec 0 < α <. Que vau P M K = Y K, la producivié marginale du capial? = αak α K L α = αa ( ) α K (9) Dans l exemple précéden, lorsque K augmene, que fai la producivié marginale du capial? Dans l expression : P M K = αa ( ) α K K es au numéraeur, mais l exposan (α ) es négaif. Si K augmene, Y K va donc diminuer. Aure manière de s en assurer, dériver la producivié marginale par le capial : P M K = α(α )AL α K α 2 < 0 car 0 < α < K 8

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