Travaux dirigés MT11. PREMIÈRE PARTIE : ALGÈBRE TD 1 à 7. UTBM automne 2008 page 1

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1 Travaux dirigés Travaux dirigés PREMIÈRE PARTIE : ALGÈBRE TD 1 à 7 UTBM automne 2008 page 1

2 TD 1 : Logique et ensembles TD 1 : Logique et ensembles Exercice Si P et Q sont deux propositions logiques, rappeler la négation et la contraposée de P Q. 2. Donner la négation et la contraposée de : a. Si tu ne valides pas l'u.v., tu ne partiras pas en vacances. b. Si une fonction est dérivable, elle est continue. c. Si un entier naturel est pair, il est divisible par 4. Exercice Démontrer que la proposition logique suivante est un théorème (c'est à dire est toujours vraie) : (P Q) ( P ) ( Q) En déduire la négation de la proposition suivante : "La fonction f est injective ou surjective". 2. Démontrer que la proposition logique suivante est un théorème (( P Q) Q) P À quel raisonnement correspond ce théorème? Exercice 3. [corrigé] Soient les quatre assertions suivantes : (a) x R y R x + y > 0 ; (b) x R y R x + y > 0 ; (c) x R y R x + y > 0 ; (d) x R y R y 2 > x. 1. Les assertions a, b, c, d sont-elles vraies ou fausses? 2. Donner leur négation. Exercice 4. Soit f, g deux fonctions de R dans R. Traduire en termes de quanticateurs les expressions suivantes : 1. f est majorée ; 2. f est bornée ; 3. f est paire ; 4. f est impaire ; 5. f est croissante ; 6. f n'a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts ; 7. f atteint toutes les valeurs de N ; 8. f est inférieure à g ; 9. f n'est pas inférieure à g. Exercice 5. A et B étant des parties d'un ensemble E, démontrer les lois de Morgan : A B = (A B) et A B = (A B). Exercice 6. Démontrer les relations suivantes : UTBM automne 2008 page 2

3 TD 1 : Logique et ensembles 1. A (B C) = (A B) (A C) 2. [corrigé] A (B C) = (A B) (A C). Exercice 7. [corrigé] Soient E un ensemble, A, B et C des parties de E. Montrer que (A B A C) (A B A C) B C Exercice 8. On note S 1 = {z C, z = 1}, le cercle unité. Donner des représentations géométriques des produits cartésiens suivants : R R; [0, 1] R; [0, 1] [0, 1]; S 1 R; S 1 S 1 Exercice 9. [corrigé] On dénit les cinq ensembles suivants : A 1 = { (x, y) R 2, x + y < 1 } A 2 = { (x, y) R 2, x + y < 1 } A 3 = { (x, y) R 2, x + y < 1 } A 4 = { (x, y) R 2, x + y > 1 } A 5 = { (x, y) R 2, x y < 1 } 1. Représenter ces cinq ensembles. 2. En déduire une démonstration géométrique de ( x + y < 1 et x y < 1) x + y < 1. Exercice Décrire l'ensemble P(P({1, 2})). 2. Les égalités suivantes sont-elles vraies ou fausses? a. P(A B) = P(A) P(B) b. P(A B) = P(A) P(B). UTBM automne 2008 page 3

4 TD 2 : Applications et relations TD 2 : Applications et relations Exercice 11. Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives? { N N 1. f : n n + 1 { Z Z 2. g : n n + 1 { R 3. 2 R 2 h : (x, y) (x + y, x y) { R {1} R 4. k : x x+1 x 1 Exercice 12. [corrigé] Montrer que l'application suivante est bijective. N Z n si n est pair f : 2 n n + 1 si n est impair 2 Exercice 13. On considère quatre ensembles A, B, C et D et des applications f : A B, g : B C, h : C D. Montrer que : Montrer que : g f injective f injective, g f surjective g surjective. ( g f et h g sont bijectives ) ( f, g et h sont bijectives ). Exercice 14. Déterminer les ensembles suivants : 1. f(r) où f : R C est dénie par f(x) = e ix 2. g 1 (] 5, 0[ [4, 9]) où g : R 2 R est dénie par g(x, y) = x 2 + y h 1 (]0, 1]) où h : R 2 R est dénie par h(x, y) = x + y. Exercice 15. Soit f : E F une application. 1. a. Montrer que A E, A f 1 (f(a)). b. Montrer que (f est injective) ( A E, f 1 (f(a)) = A). 2. a. [corrigé] Montrer que B F, f(f 1 (B)) B. b. [corrigé] Montrer que (f est surjective) ( B F, f(f 1 (B)) = B). UTBM automne 2008 page 4

5 TD 2 : Applications et relations Exercice 16. Soit R la relation dénie sur R 2 par (x, y)r(x, y ) x + y = x + y. 1. Montrer que cette relation est une relation d'équivalence. 2. Trouver la classe d'équivalence du couple (0, 0) et de (0, 1). Intuitivement à quel ensemble pouvez-vous identier R 2 /R? 3. Soit f : 4. Soit R 2 R (x, y) x + y. L'application f est-elle injective? surjective? g : Montrer que g est bien dénie et bijective. R 2 /R R (x, y) f(x, y) Exercice 17. [corrigé] Soit E un ensemble, et A E. On dénit une relation sur P(E) par X Y X A = Y A. 1. Montrer que est une relation d'équivalence. 2. Soit φ : P(E) P(E\A) X X\A. Montrer que φ est compatible avec, et que l'application quotient φ est une bijection. Exercice 18. On dénit la relation sur Z par x y 5 (y 2 x 2 ). 1. Montrer que dénit une relation d'équivalence sur Z. 2. Déterminer l'ensemble quotient Z/. 3. Peut-on dénir une addition quotient? Une multiplication quotient? UTBM automne 2008 page 5

6 TD 3 : Groupes, Anneaux et Corps Exercice 19. groupe. TD 3 : Groupes, Anneaux et Corps 1. Montrer que R, muni de la loi dénie par x y = x + y 1 est un 2. Montrer que H := {(x, y) R 2, x + y = 0} est un sous-groupe de (R 2, +) et que K := {(x, y) R 2, x + y = 2} n'est pas un sous-groupe de R Soient les quatre fonctions de R dans R f 1 (x) = x f 2 (x) = 1 x f 3 (x) = x f 4 (x) = 1 x Montrer que G = {f 1, f 2, f 3, f 4 } est un groupe pour la loi. Exercice 20. Soit (G, ) un groupe. On suppose que pour tout x G, on a x x = e. 1. Montrer que x G, x 1 = x. 2. Montrer que G est commutatif. Exercice Rappeler la dénition de Z/nZ. Comment sont dénies les opérations d'addition et de multiplication sur cet anneau? 2. a. Écrire la loi du groupe (Z/4Z, +). b. Écrire la table de multiplication de (Z/4Z, ). c. (Z/4Z, +, ) est-il un corps?. 3. Mêmes questions avec (Z/2Z Z/2Z, +, ). (Pour un produit d'anneau A B l'addition et la multiplication peuvent être dénies de la manière suivante (a, b) + (a, b ) = (a + a, b + b ) et (a, b).(a, b ) = (aa, bb )). Exercice 22. [corrigé d'après médian 2007] Soit G = {e, α, β} un groupe quelconque à trois éléments pour une loi. e α β 1. Recopier la table suivante e α β et compléter la première ligne et première colonne (e représente l'élément neutre pour ). Peut-on avoir α 2 = e (rappel α 2 = α α)? 2. Combien de tables diérentes peut-on obtenir pour les groupes à trois éléments? Exercice 23. Le but de l'exercice est de montrer qu'il n'existe pas de solution (x, y) Z Z pour l'équation x 2 2y 6 = Soit n N. Montrer que s'il existe (x, y) Z 2 tel que x 2 2y 6 = 17 alors l'égalité x 2 + (n 2)y 6 = 17 est vraie dans Z/nZ. 2. En calculant x 2 et y 6 pour chaque valeur de x, y dans Z/7Z, montrer que x 2 +5y 6 = 17 n'a pas de solution dans Z/7Z. 3. En déduire que x 2 2y 6 = 17 n'a pas de solution entière. UTBM automne 2008 page 6

7 TD 3 : Groupes, Anneaux et Corps Exercice 24. [corrigé] Montrer que si 3 x 2 + y 2 alors 3 x et 3 y (indication : on peut raisonner dans Z/3Z). En déduire que x 2 + y 2 = n'a pas de solutions dans Z. Exercice 25. En écrivant la table de multiplication de Z/7Z montrer que Z/7Z est un corps. UTBM automne 2008 page 7

8 TD 4 : Matrices TD 4 : Matrices Exercice 26. Eectuer le produit des matrices : ( ) ( ) ( ) a b c c b a a c 1 b b 1 c a Exercice 27. On considère les matrices suivantes : ( ) ( ) ( ) A =, D =, P = ( et P 2 = ). 1. Calculer les produits suivants : P P, D 2, D 3 et P DP. 2. Déduire de la question précédente un moyen simple de calculer A 2 et A Exercice 28. Soit A = et soit B = A I Calculer B 2, B 3 en déduire B n, pour tout entier n. 2. Développer (B + I 3 ) n par la formule du binôme et simplier. 3. En déduire A n Pour tout entier n. Exercice 29. [corrigé] On considère la matrice A = et C = Soient B = Montrer que AB = AC, a-t-on B = C? Que peut-on en conclure sur A? Exercice 30. Soit A une matrice carrée d'ordre n ; on suppose que A 2 est une combinaison linéaire de A et I n : A 2 = αa + βi n. 1. Montrer que A n est également une combinaison linéaire de A et I n pour tout n N. 2. Montrer que si β est non nul, alors A est inversible et que A 1 est encore combinaison linéaire de A et I n. 3. Application 1 : soit A = J n I n, où J n est la matrice Attila (envahie par les uns...), avec n 1. Montrer que A 2 = (n 2) A + (n 1) I n ; en déduire que A est inversible, et déterminer son inverse. 4. Application 2 : montrer que si n = 2, A 2 est toujours une combinaison linéaire de A et I 2,. Déterminer alors à quelle condition sur les coecient de A, A 1 existe et trouver la formule donnant A 1 en utilisant 2. Exercice 31. Calculer l'inverse s'il existe de UTBM automne 2008 page 8

9 TD 4 : Matrices ( ) A = B = 0 2 6, C = ( ) a b Exercice 32. [corrigé] Soit A = M c d 2 (R), on dénit det A = ad bc. Montrer que A est inversible si et seulement si det A 0. UTBM automne 2008 page 9

10 TD 5 : Les Complexes TD 5 : Les Complexes Exercice 33. Simplier (1 + i).(1 2i), (1 + i 3) 3, 1 i + 3i i 2 3i. Exercice 34. En utilisant la formule de Moivre, calculer cos 4θ et sin 4θ, où θ R. Exercice 35. Soit x R, linéariser : 1. cos 2 x. sin 2 x 2. cos 3 x + 2 cos 2 x + cos x 3. [corrigé] sin 3 x + 2 sin 2 x + sin x 4. [corrigé] sin 2 (3x) + cos 2 (2x) Exercice 36. Déterminer les racines i. carrées de i 3, ii. quatrièmes de i, iii. sixièmes de 27, iv. cubiques de 4(1 + i 3). Exercice 37. Soit z un nombre complexe non nul. Posons a = z + 1/z. 1. Montrer que z 2 (a 2 + a 1) = z 4 + z 3 + z 2 + z Montrer que a 2 + a 1 = 0 si et seulement si z 1 et z 5 = En déduire que cos(2π/5) = ( 5 1)/4. 4. Calculer cos(π/5) et cos(π/10). Exercice 38. [corrigé] 1. a. Calculer les racines carrées de 1+i 2. b. Mettre 1+i sous forme exponentielle. 2 c. En déduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8). 2. Calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12). Exercice 39. [corrigé] Montrer que les solutions de az 2 + bz + c = 0 avec a, b, c réels, sont réelles ou conjuguées. Exercice 40. Résoudre dans C les équations suivantes : z 2 + z + 1 = 0 ; z 2 (1 + 2i)z + i 1 = 0 ; z 2 3z i = 0 ; z 2 (5 14i)z 2(5i + 12) = 0 ; z 2 (3 + 4i)z 1 + 5i = 0 ; 4z 2 2z + 1 = 0 ; z z = 0 ; z 4 + 2z = 0. Exercice 41. Résoudre dans C le système : { z 1 1 z (indication : interpréter géométriquement z 1 z 2 ) UTBM automne 2008 page 10

11 TD 5 : Les Complexes Exercice 42 (Médian Printemps 2007). Dans cet exercice on dénit une relation binaire sur C. Soient z 1 = a 1 + ib 1 et z 2 = a 2 + ib 2 deux nombres complexes alors on dira que : z 1 z 2 si et seulement si a 1 < a 2 ou (a 1 = a 2 et b 1 b 2 ). Par exemple on a 2 + 5i 3 + i (car 2 < 3) et 2 + i 2 + 5i (car 2 = 2 et 3 5). Par contre 3 + 7i 2 + 8i. 1. Montrer que dénit une relation d'ordre sur C. 2. Cette relation est-elle d'ordre total? Justier. 3. Montrer que est compatible avec l'addition, c'est à dire pour tout z 1, z 2, z 3 C on a z 1 z 2 z 1 + z 3 z 2 + z Monrer que 0 i, en déduire que n'est pas compatible avec la multiplication. Exercice Caractériser la transfomation du plan complexe f : C C dénie par f(z) = (3 + i)z i. 2. Déterminer l'expression de la transformation f g où g est la rotation de centre A(1) et d'angle π/3. UTBM automne 2008 page 11

12 TD 6 : Polynômes TD 6 : Polynômes Exercice 44. Eectuer les divisions euclidiennes de 3X 5 + 4X par X 2 + 2X + 3, 3X 5 + 2X 4 X par X 3 + X + 2. Exercice 45. Trouver les restes des divisions euclidiennes de : 1. X 50 par X 2 3X (X + 3) 17 par X X 8 32X par (X 2) 3. Exercice 46. Eectuer les divisions par puissances croissantes de : 1. P = 1 par Q = 1 X, à l'ordre n, 2. P = 1 + X par Q = 1 + X 2 à l'ordre 5. Exercice 47. Déterminer le pgcd des polynômes suivants : A = X 5 + 3X 4 + X 3 + X 2 + 3X + 1 et B = X 4 + 2X 3 + X + 2, A = X 4 + X 3 3X 2 4X 1 et B = X 3 + X 2 X 1, Exercice 48. Dans R[X] et dans C[X], décomposer les polynômes suivants en facteurs irréductibles. 1. X X X X 9 + X 6 + X Exercice 49. Soient P et Q deux polynômes. Montrer que a est une racine commune a P et Q si et seulement si a est une racine de P GCD(P, Q). En déduire les racines multiples de X 5 X 3 4X 2 3X 2. Exercice 50. Soient P K[X], a, b K distincts, et α = P (a), β = P (b). 1. Quel est le reste de la division euclidienne de P par (X a)(x b)? 2. Trouver le reste de la division euclidienne de (cos θ + X sin θ) n par X Exercice 51. Trouver λ, µ C tels que X 2 + X + 1 divise X 5 + λx 3 + µx Exercice 52. [corrigé] Factoriser le polynôme P (X) = 1 X 1! + X(X 1) 2! + ( 1) n+1 X(X 1)...(X n) (n+1)! Exercice 53. [corrigé] Soit θ R, trouver le reste de la division euclidienne du polynôme P = (X sin θ + cos θ) n par X (n N). Exercice 54. [corrigé] Trouver un polynôme P de degré 5, tel que P (X) + 1 soit divisible par (X 1) 3 et P (X) 1 soit divisible par (X + 1) 3. UTBM automne 2008 page 12

13 TD 6 : Polynômes Exercice 55. Soit A = Calculer A 3 3A 2 + 2A. 2. Quel est le reste de la division euclidienne de X n par X 3 3X 2 + 2X? 3. Calculer A n pour n N. 4. A est-elle inversible? UTBM automne 2008 page 13

14 TD 7 : Fractions rationnelles TD 7 : Fractions rationnelles Exercice 56. Décomposer en éléments simples sur R les factions rationnelles suivantes : x 2 1. (x 1)(x + 2)(x + 3) 2. 1 (x 1)(x 2)(x + 4) x 2 x 4 1 n! (x 1)(x 2)... (x n) Exercice 57. [corrigé] Décomposition en éléments simples de Φ = 2x4 + x 3 + 3x 2 6x + 1 2x 3 x 2. Exercice 58. [corrigé] Décomposition en éléments simples de Φ = 2x5 8x 3 + 8x 2 4x + 1 x 3 (x 1) 2. Exercice 59. Décomposer sur R et C les fractions rationnelles 1. 1 (x + 1)(x + 2) 6 2. Exercice 60. Calculer Exercice 61. Calculer pour N N, 1 x 4 x x 2 7x+6 dx x 3 3x 2 (d'après examen nal MT 11 automne 2004). 9x+27 N n=1 2n + 1 n 2 (n + 1) 2 Exercice 62. Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle F telle que F 2 = X. Exercice 63. Soit n N, et ω = e i 2π n. 1. Soit P C[X] vériant P (ωx) = P (X). Montrer qu'il existe Q C[X] tel que P (X) = Q(X n ). 2. En déduire la réduction au même dénominateur de la fraction rationnelle Exercice 64. Soit P C 4 [X]. F (X) = n 1 k=0 X + ω k X ω k. 1. Décomposer en éléments simples de C(X) la fraction rationnelle 2. En déduire la somme 5 P k=1 ( e 2ikπ ). n P X 5 1. UTBM automne 2008 page 14