AA est appelé vecteur nul.

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1 Première S2 Chapitre 10 : les vecteurs. Page n 1 Dans le langage courant, la vitesse associée à une mesure est une valeur numérique : " En traversant Melle, je dois rouler à 50 km.h -1 ". Mais en sciences, on caractérise la vitesse par une direction, un sens et une intensité. C'est pour cela qu'on représente la vitesse par un vecteur vitesse. Ainsi 50 km.h -1 correspond à la norme du vecteur vitesse. Pourquoi étudier les vecteurs? Car, ils mettent en évidence des propriétés géométriques et permettent de résoudre des problèmes d'alignement, de parallélisme et de concours. Historiquement, Sir William Rowan Hamilton, mathématicien Irlandais ( ) fut le premier à employer le terme de vecteur. Ses travaux sur une forme de multiplication de triplets de nombres réels l'ont conduit, en 1843, à la découverte de la notion de quaternions. Les quaternions sont de nouveaux nombres, constitués de quatre composantes dans l'ensemble des nombres complexes. Leurs applications dans les domaines de la physique et des mathématiques ont contribué à la naissance du calcul vectoriel. 1 Vecteurs égaux. Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu elles ont la même direction. Deux droites sécantes n ont pas la même direction. Il y a deux sens de parcours sur la droite ( AB ). De A vers B ou bien de B vers A. A deux points distincts A et B, on associe le vecteur AB et le vecteur BA. Le vecteur AB a pour direction : la direction de la droite ( AB ) ; a pour sens : le sens de A vers B ; a pour longueur : la longueur AB. Lorsque les points A et B sont confondus, le vecteur AA est appelé vecteur nul. On écrit : AA = 0. Le vecteur nul n a pas de direction. Sa longueur est égale à 0. Soient ABet CD deux vecteurs. Alors AB et CD sont égaux si et seulement si ils ont la même direction ; AB = CD ABDC est un parallélogramme. ils ont le même sens ; ils ont la même longueur.

2 Première S2 Chapitre 10 : les vecteurs. Page n 2 Si ÄAB = ÄCD = ÄEF =, on note ce vecteur Åu. ÄAB, ÄCD, ÄEF sont appelés des représentants du vecteur Åu. La norme du vecteur ÄAB est la distance AB. On note AB = AB. Propriété : Soit Åu un vecteur. Alors pour tout point A, il existe un seul point B tel que ÄAB = Åu. Exemples : voir feuille annexe. E1 Savoir reconnaître et construire deux vecteurs égaux. Soient A, B et C trois points non alignés. 1. Construire le point E tel que ÄBE = ÄAC. 2. Les égalités suivantes sont-elles vraies? ÄAB = ÄCE ; ÄAE = ÄBC ; ÄBE = ÄCA 3. Åv Åu O Construire les points D, F et G tels que ÄOD= Åu ; ÄDF = Åv ; ÄGF = Åu. Quelle est la nature du quadrilatère ODFG? Justifier. 2 Opérations sur les vecteurs. Relation de Chasles. Pour additionner les vecteurs u et v, je marque deux points A et B tels que AB = u. Je place un point C tel que BC = v. J obtiens u + v = AB + BC = AC. L égalité AB + BC = AC s appelle la relation de Chasles. Règle du parallélogramme. Pour additionner les vecteurs u et v, je marque deux points A et B tels que AB = u. Je place un point D tel que AD = v. J obtiens u + v = AB + AD = AC. [ AC ] est la diagonale du parallélogramme ABCD.

3 Première S2 Chapitre 10 : les vecteurs. Page n 3 Propriété : Åu + Åv = Åv + Åu On appelle opposé du vecteur u le vecteur noté - u qui a la même direction que le vecteur u et la même longueur mais qui a un sens contraire à u. Soient A et B deux points. Notons Åw = ÄAB. Alors - Åw = - ÄAB = ÄBA. u et v sont deux vecteurs. Soustraire un vecteur, c est ajouter son opposé. u v = u + ( - v ). E2 Savoir additionner deux vecteurs. P 189 n 1 et n 2. 3 Produit d un vecteur par un réel. Soit u un vecteur. Soit k un réel non nul positif. Alors le produit du vecteur u par le réel k est le vecteur k u tel que k u et u ont la même direction ; k u et u ont le même sens; ku r = k u r Soit u un vecteur. Soit k un réel non nul négatif. Alors le produit du vecteur u par le réel k est le vecteur k u tel que k u et u ont la même direction. k u et u ont des sens opposés. ku r = k u r

4 Première S2 Chapitre 10 : les vecteurs. Page n 4 Propriétés : k u = 0 équivaut à k = 0 ou u = 0. k ( u + v ) = k u + k v. ( k + k ) u = k u + k u. k ( k u ) = ( k k ) u. 1. u = u. Exemples : voir feuille annexe. E3 Savoir utiliser le produit d'un vecteur par un réel. p 189 n 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10 et Colinéarité. Définition : les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. Théorème : les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k non nul tel que u = k v. Conséquence le vecteur nul Å0 est colinéaire à tous les vecteurs. Les points A, B, et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Définition : soient A et B deux points distincts d'une droite d. Alors ÄAB est un vecteur directeur de la droite d. ( cad un vecteur non nul dont la direction est celle de d ) Propriété : soit d la droite passant par un point A et de vecteur directeur le vecteur Åu. Un point M appartient à la droite d si et seulement si, il existe un réel k tel que : ÄAM = k Åu. Deux droites sont parallèles si et seulement si un vecteur directeur de l'une est colinéaire au vecteur directeur de l'autre. Les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ABet CD sont colinéaires.

5 Première S2 Chapitre 10 : les vecteurs. Page n 5 Exemple d'exercice : ABC est un triangle du plan et P et Q sont deux points tels que ÄBP = 2 ÄBC et 2ÄCA + ÄAQ = Å0. Les droites ( AB ) et ( PQ ) sont elles parallèles? Méthode pour résoudre un tel problème. Notre objectif est de démontrer que les droites ( AB ) et ( PQ ) sont parallèles. Autrement dit de démontrer une relation entre les vecteurs ÄPQ et ÄAB. Nous allons donc décomposer le vecteur ÄPQ à l'aide de la relation de Chasles en introduisant les lettres A et B car P est connu à l'aide de B et Q est connu à partir de A. Ensuite nous remplacerons ÄPB et ÄAQ par des vecteurs égaux. Et à l'aide des règles de calculs, nous additionnerons les vecteurs. Résolution de l'exercice et dessin : voir feuille annexe. Le point I est le milieu du segment [ AB ] si et seulement si IA + IB = 0. Conséquences : ÄAI = ÄIB ÄAI = 1 2 Ä AB Pour tout point M du plan, ÄMI = 1 2 ( ÄMA + ÄMB ) Le point G est le centre de gravité du triangle ABC si et seulement si AG = 2 AA'. 3 E4 Savoir utiliser le calcul vectoriel. P 190 n 16 ; 17 ; 18 ; 20 et 21.