1 Barycentre de deux points pondérées.
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- Josselin Thomas
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1 1ère STI - Chapitre 7: Géométire Introduction Exercices de révision sur les vecteurs : 35, 37, 38 et 39 page Barycentre de deux points pondérées. 1.1 Présentation du problème. 2kg 5kg? 4kg 1kg On considère une balance formée d une barre homogène et de deux plateaux de même masse. Si on place le même poids de chaque côté (quelque soit ce poids!!), on obtient l équilibre en plaçant le pointeur au milieu de la barre. Si les poids diffèrent, la position du point d équilibre change. Quel sera-t-il dans les deux cas du schéma? 1.2 Modélisation. (A; 5) G (B; 1) Les extrémités d un segment de même longueur que la barre précédente sont des point pondérés par un coefficient : (A; 5), (B; 1), par exemple. Le point d équilibre est noté G. On a la relation vectorielle : 5 GA + GB = 0.
2 2 1.3 Définitions - Propriétés. (a) Définition Le barycentre G de deux points pondérés (A; α) et (B; β), noté G = bar{(a; α); (Bβ)} est défini par la relation vectorielle : α GA + β GB = 0. (b) Retour à l exemple Exprimer, à l aide de la relation de Chasles, le vecteur AG en fonction du vecteur AB. (c) Proposition Si α+β 0, le barycentre G du système de points pondérés {(A; α); (Bβ)} est défini de manière unique par la relation (d) Remarques AG = β AB ou bien BG = α + β α AB. α + β Les vecteurs AG et AB étant colinéaires, le point G appartient à la droite (AB). La position du barycentre ne change pas si on remplace les masses par des masses proportionnelles. (e) Autre propriété Si O est un point quelconque du plan et si α + β 0, on a : OG = α OA + β OB. α + β α + β Si O est l origine du repère on parle de coordonnées barycentriques de G par rapport aux points A et B. 1.4 Extension de la notion. Si on considère trois points A, B, C non alignés du plan ayant une masse identique, on peut étudier la position de leur barycentre (centre d inertie, centre de gravité ou centre des masses). On parle d isobarycentre : GA + GB + GC = 0.
3 3 Retrouver, à l aide de la relation de Chasles, la position du point G sur chacune des médianes. (on pourra poser I le milieu de [AB]) 2 Produit scalaire. Le terme scalaire désigne en fait un nombre réel. Dans ce paragraphe, nous allons faire un produit de vecteurs dont le résultat sera, non pas un vecteur mais un scalaire. 2.1 Idée de base. Comment transformer un produit de deux éléments en une somme? Partant de l identité remarquable (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, on obtient : ab = 1 2 [(a + b)2 a 2 b 2 ]. Ceci est particulièrement intéressant lorsque les éléments sont des normes de vecteurs. On pose alors : u. v = 1 2 [ u + v 2 u 2 v 2 ]. En effet, si les vecteurs u et v sont orthogonaux, se produit est égal à 0 (d après le théorème de Pythagore. Faire un dessin) 2.2 Définition. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est défini par : u. v = 1 2 [ u + v 2 u 2 v 2 ] (se lit u scalaire v ). 2.3 Expression dans un repère orthonormé. (a) Résultat Soient (O; i; j) un repère orthonormé du plan et u ( ) ( x y et v x ) y deux vecteurs quelconques. On a alors : ( ) x + x u+ v, u 2 = x 2 +y 2, v 2 = x 2 +y 2 et u+ v 2 = (x+x ) 2 +(y+y ) 2. y + y En utilisant la définition, on obtient alors (exercice) : u. v = xx + yy.
4 4 (b) Exemple u ( 2 0) et v ( 1 3),... (c) Remarque u. u = x.x + y.y = x 2 + y 2 = u 2. On pose alors u 2 = u 2 ( u 2 est appelé le carré scalaire de u). 2.4 Propriétés du produit scalaire. Soient u, v et w trois vecteurs et a un scalaire (un réel). On a : (a) v. u = u. v (symétrie du produit scalaire). (b) u.( v + w) = u. v + u. w. (c) u.(a v) = (a u). v = a u. v. (d) u. 0 = 0. u = Autres expressions du produit scalaire. Soient u, v deux vecteurs et O, A et B trois points tels que : u = OA et v = OB. On pose θ l angle orienté entre u et v et H le projeté orthogonal de B sur (OA). (a) On montre que : u. v = OA. OH = OA OH. (indication : utiliser un vecteur i unitaire sur la direction (OA). On a OA = OA. i et OH = OH. i...) (b) Comme on a OH = OB. cosθ, on peut écrire : 2.6 Applications (a) Trigonométrie Pour deux réel a et b on a : u. v = u v cosθ. cos(a + b) = cosacosb sin a sin b.
5 5 cos(a b) = cosacosb + sin a sin b. sin(a + b) = sin a cosb + sin b cosa. sin(a b) = sin a cosb sin b cosa. Démonstration : cf. TP. (b) Formule d Al-Kashi (Pythagore généralisée) Soit ABC un triangle quelconque. c A b C a On a : B a 2 = b 2 + c 2 2bc cosâ. Application : Si AB = 3cm, AC = 5cm et  = 30. Calculer BC. Peut-on en déduire d autres informations? 3 Droites et cercles. 3.1 Équation linéaire (ou cartésienne) d une droite du plan. (a) Rappels Soient a, b et c trois réels. L ensemble des points M(x; y) du plan tels que ax + by = c (équation linéaire) est une droite. Exemple : Tracer l ensemble des points M(x; y) tels que 2x + 3y = 6. (b) Exercice Déterminer l équation linéaire de droites représentées dans un repère orthonormal.
6 6 (c) Vecteur directeur Une droite d équation cartésienne ax + by = c admet pour vecteur directeur le vecteur v ( ) b a. Déterminer et représenter en couleur un vecteur directeur de chacune des droites dans l exercice précédent. (d) Vecteur normal Une droite d équation cartésienne ax+by = c admet pour vecteur normal le vecteur n ( a b). Déterminer et représenter en couleur un vecteur normal de chacune des droites dans l exercice précédent. 3.2 Équation d un cercle. Un cercle de centre Ω et de rayon R est l ensemble des points situés à une distance R de Ω. D où le résultat suivant : Le cercle C de centre Ω(a; b) et de rayon R a pour équation cartésienne : (x a) 2 + (y b) 2 = R 2. Démonstration : M(x; y) C si et seulement si MA. MB = 0... Exercice : Déterminer l équation du cercle de diamètre [AB] où A(3; 4) et B(5; 2). 4 Calcul vectoriel dans l espace. 4.1 Vecteurs dans l espace. Un repère orthonormal de l espace est la donnée d un point O et de trois vecteurs deux à deux orthogonaux et de norme 1 : i, j et k. Un vecteur v est la donnée de trois coordonées (abscisse, ordonnée, cote) : x v y. z
7 7 4.2 Produit scalaire dans l espace. (a) Définition x x Soient u y et v y deux vecteurs de l espace. On définit leur produit z z scalaire de manière analogue au plan : u. v = xx + yy + zz. On admet que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si u. v = 0. (b) Exercice Soient A(2; 0; 1), B(3; 1; 0) et C(2; 1; 0) trois points. Montrer que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. Les représenter. (Quelle est la différence entre les terminologies perpendiculaires et orthogonales?) 4.3 Produit vectoriel dans l espace. 4.4 Distance de deux points dans un repère orthonormal de d espace. Soient A(x A ; y A ; z A ) et B(x B ; y B ; z B ) deux points du plan muni d un repère orthonormal. On a alors : AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2. 5 Aires et volumes. 5.1 Aire d un triangle, relation des sinus. (a) Exercice Soit ABC un triangle (notations habituelles, cf. 2.6 (b) ). On appelle H le pied de la hauteur issue de A dans ce triangle. 1. Montrer que AH = b sin Ĉ. 2. On appelle S la surface du triangle ABC. Déduire de ce qui précède que 2S = ab sin Ĉ.
8 8 3. En déduire la relation des sinus : 2S abc = sin  = a sin ˆB b = sin Ĉ. c (b) Application Exercice 103 page Formules d aires et volumes. Feuille polycopiée à coller.
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