Modélisation des processus aléatoires

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Modélisation des processus aléatoires"

Transcription

1 Deuxième année F4 Année universitaire 25/26 Modélisation des processus aléatoires Introduction aux équations différentielles stochastiques Vincent Barra Institut Supérieur d Informatique, de Modélisation et de leurs Applications Campus des Cézeaux - B.P AUBIERE CEDEX

2

3 Table des matières 1 Introduction Motivations Avec les mains Des faux semblants Formule d Itô Exemple Equations différentielles stochastiques Définitions et exemples Définition Exemples Existence et unicité de solutions Un exemple en dimension Résolution par changement de variable Théorème d existence et d unicité Equations différentielles stochastiques linéaires Simulation d équations différentielles stochastiques A propos de convergence Schéma d Euler-Maruyama Schéma de Milstein Méthode de Romberg Applications Temps d arrêt Définitions Intégrales stochastiques et temps d arrêt Formule d Itô avec temps d arrêt Mouvement brownien et laplacien Interprétation probabiliste d équations aux dérivées partielles Interprétation probabiliste Formule de Feynman-Kac

4 ii TABLE DES MATIÈRES 3.3 Arrêt optimal Arrêt d une équation différentielle stochastique Arrêt optimal Conditions d optimalité Résolution Construction d une politique optimale d arrêt Applications en finance Problème de base Arbitrage et couverture Modélisation

5 Chapitre 1 Introduction Sommaire 1.1 Motivations Avec les mains Des faux semblants Formule d Itô Exemple Motivations Soit x R n. Considérons, pour b : R n R n champ vectoriel régulier, l équation différentielle ordinaire (EDO : { dx dt (t = b(x(t, t > (1.1 x( = x La solution, si elle est unique, est représentée par une trajectoire x : R + R n Dans la plupart des applications où une telle EDO intervient, les trajectoires mesurées expérimentalement ne sont que rarement conformes aux solutions analytiques de l équation. Des effets aléatoires viennent se superposer à la trajectoire idéale, et il semble donc raisonnable de modifier (1.1 en y introduisant un processus aléatoire perturbant le système. Formellement, la modification s écrit : { dx dt (t = b(x t + B(X t ξ(t, t > X = x (1.2

6 2 Introduction où B : R n M n,m (R, et ξ : R + R m est un bruit blanc m- dimensionnel. Cette approche soulève les problèmes suivants : définir ξ de manière rigoureuse en déduire l influence de ξ dans la résolution de (1.1 montrer que (1.1 a une solution, discuter de l unicité, du comportement asymptotique, du rôle de B, de x Avec les mains... Considérons tout d abord le cas m = n, x =, b = et B = I. La solution de (1.1 est le processus de Wiener n-dimensionnel ou mouvement brownien, noté W (.. (1.1 implique alors que dw dt (t = ξ(t et le bruit blanc est alors la dérivée temporelle du processus de Wiener. Dans le cas général, (1.1 peut alors se réecrire : { dxt = b(x t dt + B(X t dw t, t > X = x (1.3 et l équation obtenue alors est une équation différentielle stochastique. X est solution de (1.2 si et seulement si X t = x + t b(x s ds + t B(X s dw s, t > (1.4 X est donc défini à l aide d intégrales dites intégrales stochastiques qui nous permettent d introduire le plan de ce cours : rappels de probabilité (chapitre 2 et introduction aux martingales (chapitre 3 construction de W : chapitre 4 définition de l intégrale stochastique : chapitre 5 existence et construction des solutions de (1.2 : chapitre 6 Une fois développées ces grandes parties, il restera à répondre à des questions concernant la modélisation, et traitées dans le chapitre 7 : (1.2 modélise-t-elle correctement une situation physique observée le terme ξ est-il réellement un bruit blanc, ou est-il d une autre nature

7 1.3. Des faux semblants Des faux semblants Les questions soulevées dans le paragraphe précédent sont loin d être triviales, et différentes réponses peuvent y être apportées, amenant des solutions de (1.2 bien différentes. Comme nous le verrons, ceci est dû aux subtilités introduites dans le calcul stochastique, et nous introduisons ici rapidement un exemple pour illustrer ce propos Formule d Itô Si n = 1 et si X verifie : dx = b(xdt + dw on se pose la question suivante : pour u : R R suffisamment régulière, quelle équation différentielle stochastique satisfait Y (t = u(x(t, t >? Si l on dérive suivant la méthode déterministe classique, on s attend à écrire dy = u dx = u bdt + u dw ce qui amène un résultat faux, puisque nous verrons qu en fait dw (dt 1 2, dans un certain sens. La dérivation de Y amène alors à un résultat, connu sous le nom de formule d Itô : dy = (u b + 12 u dt + u dw Exemple La solution de l équation différentielle stochastique { dy = Y dw, t > Y ( = 1 (1.5 est et non pas Y t = e Wt t 2 Y t = e Wt

8 4 Introduction

9 Chapitre 2 Equations différentielles stochastiques Sommaire 2.1 Définitions et exemples Définition Exemples Existence et unicité de solutions Un exemple en dimension Résolution par changement de variable Théorème d existence et d unicité Equations différentielles stochastiques linéaires Simulation d équations différentielles stochastiques A propos de convergence Schéma d Euler-Maruyama Schéma de Milstein Méthode de Romberg Définitions et exemples Dans la suite, on note pour tout t F t = U(X, W s, s t la σ- algèbre générée par la variable aléatoire n-dimensionnelle X et l historique du processus brownien m-dimensionnel W jusqu à l instant t. X et W sont supposés indépendants.

10 6 Equations différentielles stochastiques Soient de plus b : R n [, T ] R n B : R n [, T ] M n,m (R deux fonctions, données pour T > Définition Définition 2.1. Un processus stochastique X = (X t t T R n est solution de l équation différentielle stochastique d Itô { dx = b(x, tdt + B(X, tdw à valeurs dans X si, pour t T : 1. X est progressivement mesurable par rapport à (F t 2. F = b(x, t L 1 n(, T 3. G = B(X, t L 2 n m(, T 4. X t = X + t b(x s, sds + t B(X s, sdw presque sûrement pour tout t T Exemples Exemple 1 Si m = n = 1, et si f, g sont deux fonctions continues, l unique solution de { dx = fxdt + gxdw X = 1 est : ( t T X t = e R t (f 1 2 g2 ds+ R t gdw. Exemple 2 : prix d action Si P t est le prix d une action à l instant t, il est possible (cf. chapitre 7 de modéliser son évolution en supposant que dp, la variation relative du prix, P évolue selon l équation différentielle stochastique dp P = µdt + σdw

11 2.1. Définitions et exemples 7 où µ et σ sont deux constantes appelées dérive et volatilité de l action. Alors et par la formule d Itô : d(log(p = dp P 1 σ 2 P 2 dt 2 P 2 = (µ σ2 2 dp = µp dt + σp dw dt + σdw soit P t = P e σwt+ µ σ2 t 2 Exemple 3 : pont brownien La solution de { dx = X dt + dw 1 t X = est 1 1 ( t < 1 X t = (1 t 1 s dw et est appelée le pont brownien entre l origine au temps et au temps 1. Exemple 4 : équation de Langevin Une amélioration possible du mouvement brownien consiste à prendre en compte dans le mouvement des particules une force de frottement. Dans le cas monodimensionnel : dx = bxdt + σdw où b > est le coefficient de frottement, et σ est le coefficient de diffusion. X est alors la vitesse de la particule brownienne. La solution, pour X indépendant du mouvement brownien, est : ( t On remarque alors que X t = X e bt + σ t E(X t = e bt E(X e b(t s dw

12 8 Equations différentielles stochastiques et que E(X 2 t = E ( t ( t e 2bt X 2 + 2σe bt X e b(t s dw + σ 2 2 e b(t s dw ( t t = e 2bt E(X 2 + 2σe bt E(X E e b(t s dw + σ 2 e 2b(t s ds = e 2bt E(X 2 + σ2 2b (1 e 2bt et la variance V(X t est donnée par : V(X t = e 2bt V(X + σ2 2b (1 e 2bt En supposant V(X <, il s en suit que lorsque t { E(Xt V(X t σ2 2b ( La distribution de X t approche N, σ2 lorsque t. Ainsi, quelquesoit la distribution initiale, la solution de l équation différentielle stochastique 2b pour des temps très grands suit approximativement une loi gausienne centrée et de variance σ2, qui représente un équilibre entre la force aléatoire de perturbation dw (que nous avons appelé dans l introduction un bruit blanc et 2b la force de frottement bx. Exemple 5 : Processus d Ornstein-Uhlenbeck Le mouvement brownien a été construit pour modéliser le déplacement d une particule microscopique en suspension dans un liquide, soumise à l agitation thermique. Une critique de cette modélisation est que les accroissements sont indépendants et ne dépendent pas de la vitesse de la particule au début de chaque période. Un modèle plus approprié est alors donné par l équation d Ornstein-Uhlenbeck : { d 2 Y = bdy + σdw Y = y, dy = y 1 où Y t est la position de la particule à l instant t, y et y 1 sont des variables aléatoires gaussiennes données. Si X = dy, le processus de vitesse satisfait l équation de Langevin : { dx = bxdt + σdw X = y 1

13 2.2. Existence et unicité de solutions 9 et la solution est alors ( t La position Y t satisfait alors X t = e bt X + σ ( t Y t = Y + t t e b(t s dw Xds et on montre qu alors : ( 1 e bt E(Y t = E(Y + E(Y 1 b et V(Y t = V(Y + σ2 b 2 t + σ2 2b 3 ( 3 + 4e bt e 2bt 2.2 Existence et unicité de solutions Un exemple en dimension 1 Soient b : R R une fonction de classe C 1, avec b L, et l équation différentielle stochastique { dx = b(xdt + dw X = x Définissons X t = x et En posant ( t ( n X n+1 t = x + s t t b(x n s ds + W t ( t ( n Dt n = max X n+1 s Xs n on montre par récurrence que ( t T Dt n C Ln n! tn. En effet : s ( Dt n = max b(x n r b(xr n 1 dr L L s t t t C Ln n! tn Ds n 1 ds Ln 1 C (n 1! tn 1 ds par induction

14 1 Equations différentielles stochastiques Ainsi, pour m n : max t T Xm t X n t C k=n L k k! T k lorsque n et pour presque tout ω, X n (ω converge uniformément pour t T vers un processus limite X, qui est solution du problème posé Résolution par changement de variable Soit l équation différentielle stochastique { dx = b(xdt + σ(xdw X = x (2.1 Cherchons à résoudre, pour f précisée plus bas, l équation différentielle stochastique { dy = f(y dt + dw (2.2 = y Y et trouvons une fonction u telle que X = u(y. En principe, (2.2 peut être résolue par l approche du paragraphe précédent. En supposant que f et u sont connues, la formule d Itô donne dx = u (Y dy u (Y dt = (u f + 12 u dt + u dw Ainsi, X résout (2.1 à condition que u (Y = σ(x = σ(u(y u (Y f(y u (Y = b(x = b(u(y u(y = x On résout donc l équation différentielle ordinaire pour z R : { du (z dz u(y = σ(u(z = x [ et une fois que u est connue, on résout (2.2 pour f(z = 1 σ(u(z b(u(z 1 2 u (z ]

15 2.2. Existence et unicité de solutions Théorème d existence et d unicité De la même manière que pour les équations différentielles ordinaires, il est possible d énoncer un théorème d existence et d unicité de la solution d une équation différentielle stochastique. Théorème 2.1. Soient T > et b : R n [, T ] R n B : R n [, T ] M n,m (R deux fonctions continues satisfaisant pour L >, t T et x, y R n : (a b(x, t b(y, t L x y B(x, t B(y, t L x y (b b(x, t L( x + 1 B(x, t L( x + 1 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans R n telle que (ce( X 2 < (dx indépendant de W + où W est un mouvement brownien de dimension m donné. Alors, il existe une unique solution X L 2 (, T à l équation différentielle stochastique { dx = b(x, tdt + B(X, tdw (2.3 X Cette solution, appelée solution forte, est de la forme ( i {1 n} X i t = X i + t b i (X s, sds + m j=1 t B ij (X s, sdw i s Remarque : le terme unique signifie que si X, Y L 2 (, T à trajectoires continues presque sûrement satisfont (2.3, alors P (X t = Y t, t T = 1 Notons que les conditions (a et (b traduisent le fait que b et B sont localement lipschitziennes par rapport à leur première variable. Nous énonçons enfin une propriété des solutions de l équation (2.3

16 12 Equations différentielles stochastiques Théorème 2.2. Sous les hypothèses du théorème précedent pour b, B, X, et si de plus E( X 2p pour p > 1, alors la solution X de { dx = b(x, tdt + B(X, tdw satisfait X 1. E( X t 2p C 2 (1 + E( X 2p e C 1t 2. E( X t X 2p C 2 (1 + E( X 2p t p e C 1t avec C 1, C 2 constantes ne dépendant que de T, L, m, n. Si ces estimations des moments de X semblent complexes, elles peuvent se réveler parfois utiles, par exemple dans le cas suivant : si B =, la solution de l équation différentielle stochastique devient solution de l équation différentielle ordinaire dx = b(x, t dt avec condition initiale potentiellement aléatoire. Dans ce cas, la fonction t X t est régulière si b l est, et dans le cas contraire, si pour un i {1 n} : ( x R n ( t T m b il (x, t 2 > l=1 alors presque toutes les trajectoires t Xt i sont nulle part différentiables pour presque tout ω. Il est cependant possible d utiliser les estimations précédentes pour affirmer que presque toutes les trajectoires t X t sont continues au sens de Hölder, avec pour chacune un exposant < γ < 1/2, à condition que pour tout p > 1, E( X 2p, ou en d autres termes ( s, t [, T ]( K > X t X s K t s γ 2.3 Equations différentielles stochastiques linéaires Dans le cas d équations différentielles stochastiques linéaires, il est possible dans certains cas de donner des solutions explicites à (2.3. Définition 2.2. L équation différentielle stochastique dx = b(x, tdt + B(X, tdw

17 2.3. Equations différentielles stochastiques linéaires 13 est linéaire si b et B sont de la forme b(x, t = c(t + D(tx, avec c : [, T ] R n et D : [, T ] M n,n (R B(x, t = E(t+F (tx, avec E : [, T ] M n,m (R et F : [, T ] L(R n, M n,m (R où L(R n, M n,m (R est l espace des fonctions linéaires continues de R n dans M n,m. Définition 2.3. Une équation différentielle stochastique linéaire est dite homogène si c = E =. Elle est dite linéaire au sens faible si F =. Examinons tout d abord le cas des équations différentielles stochastiques faiblement linéaires, et supposons tout d abord D constante. La solution de { dx = (c(t + DXdt + E(tdW (2.4 est avec X X t = e Dt X + t e D(t s (c(sds + E(sdW (2.5 e Dt = D k t k k= Plus généralement, la solution de { dx = (c(t + D(tXdt + E(tdW est X ( X t = Φ(t X + t k! Φ 1 (s(c(sds + E(sdW (2.6 (2.7 où Φ est la matrice fondamentale du système d équations différentielles ordinaires dφ = D(t, Φ( = 1. dt Remarquons au passage que (2.7 assure que X t est gaussien, si X l est. Si maintenant, n = 1, m 1, on s intéresse au cas des équations linéaires scalaires, et la solution de m dx = (c(t + d(txdt + (e j (t + f j (txdw j (2.8 j=1 X

18 14 Equations différentielles stochastiques est ( ( t m t m X t = Φ(t X + Φ 1 (s c(sds e j (sf j (s ds + Φ 1 (se j (sdw j j=1 j=1 où ( ( t m (f j 2 Φ(t = exp d ds + 2 j=1 t j=1 m f j dw j 2.4 Simulation d équations différentielles stochastiques L intérêt pratique de la simulation d équations différentielles stochastiques sera illustré dans le chapitre suivant. Nous en donnons néanmoins un aperçu rapide ici. Nous verrons qu il est possible de représenter la solution u d une EDP classique à l aide de la solution d une équation différentielle stochastique, au moyen d une formule du type u(x, t = E(h(X T Pour simuler numériquement u, dont on ne peut connaître l expression analytique, il existe donc deux possibilités : soit utiliser des méthodes classiques sans passer par la représentation ci-dessus, soit simuler numériquement X t jusqu au temps T, puis approcher l espérance à l aide de la loi des grands nombres (moyenne de M trajectoires indépendantes de (X t. Cette dernière technique présente un certain intérêt, surtout lorsque la dimension de X est grande. En effet, les méthodes classiques (éléments finis, éléments frontière,... deviennent dans ce cas vite lourdes à mettre en oeuvre, et l ordre de convergence des méthodes déterministes diminue fortement lorsque la dimension augmente, alors qu il est possible de montrer que celui obtenu avec des méthodes stochastiques est indépendant de cette dimension. Il s agit donc dans la suite d approcher numériquement dx t = b(x, tdt + B(X, tdw t partant de X = x. Pour la suite, on suppose que b et B sont homogènes, et sans resteindre le propos, que X t est un processus à valeurs réelles. Les schémas de simulation sont alors des extensions du cas déterministe (B=

19 2.4. Simulation d équations différentielles stochastiques A propos de convergence Deux mesures de vitesse de convergence sont habituellement utilisées sur les schémas décrits dans la suite. Si Y n X nh est une approximation d une trajectoire du processus solution de l équation différentielle stochastique précédente : la vitesse de convergence forte est donnée par le plus grand γ tel que E( X T Y N = o(h γ la vitesse de convergence faible concerne la convergence des moments et est donnée par le plus grand β tel que E(f(X t E(f(Y N = o(h β, pour f polynôme ou fonction régulière à support compact. Pour chaque schéma, des conditions de régularité spécifiques devront être imposées à b et B pour que la vitesse propre à la méthode soit effectivement atteinte Schéma d Euler-Maruyama On approche par X t+h = X t + t+h b(x s ds + t t t+h B(X s dw s X t+h X t + hb(x t + B(X t (W nh+h W nh Ici, le schéma d Euler suppose les intégrands constants sur l intervalle d intégration. Puisque les variables W nh+h W nh sont normales et indépendantes de variance h, on obtient le schéma : Y n+1 = Y n + hb(y n + B(Y n hδ n où les δ n sont des variables i.i.d. de loi N (, 1. Si b et B dépendent de t, ils sont remplacés dans le schéma par b(nh, Y n et B(nh, Y n. La figure 2.1 donne le code Matlab de résolution de dx t = λx t dt + µxdw, X = 1 par ce schéma. La solution analytique de ce problème est connue : X t = X + e (λ 1 2 µ2 t+µw t et permet donc de calculer une erreur emerr commise par le schéma. La figure 2.2 montre le tracé d une trajectoire de la solution exacte (trait plein, et l approximation correspondante donnée par le schéma (trait pointillé.

20 16 Equations différentielles stochastiques randn( state,5 lambda = 2; mu = 1; Xzero = 1; T = 1; N = 2^8; dt = T/N; dw = sqrt(dt*randn(1,n; W = cumsum(dw; Xtrue = Xzero*exp((lambda-.5*mu^2*([dt:dt:T]+mu*W; R = 4; Dt = R*dt; L = N/R; Xem = zeros(1,l; Xtemp = Xzero; for j = 1:L Winc = sum(dw(r*(j-1+1:r*j; Xtemp = Xtemp + Dt*lambda*Xtemp + mu*xtemp*winc; Xem(j = Xtemp; end emerr = abs(xem(end-xtrue(end Fig. 2.1 Schéma d Euler-Maruyama pour la résolution de dx t = λx t dt + µxdw : code MATLAB Fig. 2.2 Comparaison de l approximation d Euler-Maruyama et d une trajectoire de l EDS précédente

21 2.4. Simulation d équations différentielles stochastiques Schéma de Milstein En raison du terme brownien, d ordre h, le schéma d Euler n a une vitesse de convergence forte que de.5 (alors que dans le cas déterministe, γ = 1. Il est possible d améliorer cet ordre en avançant plus loin dans le développement de sorte à arriver jusqu à l ordre h. Ceci amène naturellement à une estimation plus fine de X s dans la seconde intégrale, et X t+h X t + hb(x t + X t + hb(x t + t+h t t+h t B(X t + B(X t (W s W t dw s B(X t + B (X t B(X t (W s W t dw s X t + hb(x t + B(X t (W t+h W t + B (X t B(X t t+h t (W s W t dw s X t + hb(x t + B(X t(w t+h W t + B (X t B(X t ((W t+h W t 2 h 2 d où Y n+1 = Y n + b(y n h + B(Y n hδ n + B(Y nb (Y n (δ 2 n 1h 2 Ce schéma est uniquement valide en dimension 1, car en dimension supérieure des termes de la forme t+h (W t s W t dw s inconnus vont intervenir, où W est un mouvement brownien indépendant de W. La figure 2.3 donne un exemple de simulation d une trajectoire du processus solution de dx t = rx t (K X t dt + βx t dw t, qui intervient dans l étude de la dynamique des populations.

22 18 Equations différentielles stochastiques randn( state,1 r = 2; K = 1; beta =.25; Xzero =.5; T = 1; N = 2^(11; dt = T/N; R = 32; dw = sqrt(dt*randn(n; Dt = R*dt; L = N/R; Xtemp = Xzero; for j = 1:L Winc = sum(dw(:,r*(j-1+1:r*j,2; Xtemp = Xtemp + Dt*r*Xtemp.*(K-Xtemp + beta*xtemp.*winc *beta^2*Xtemp.*(Winc.^2 - Dt; end Xmil = Xtemp; end Fig. 2.3 Schéma de Milstein pour dx t = rx t (K X t dt + βx t dw t : code MATLAB Méthode de Romberg Contrairement au cas déterministe, les schémas deviennent très rapidement extrêmement compliqués. Si l on cherche un bon ordre de loi, une alternative est d utiliser la méthode de Romberg : partir d un schéma simple (Euler- Maruyama par exemple, et le faire fonctionner pour différentes valeurs de h (et donc obtenir des trajectoires simulées X k,h t, puis extrapoler polynomialement (en h les espérances obtenues pour trouver la valeur en h =.

23 Chapitre 3 Applications Sommaire 3.1 Temps d arrêt Définitions Intégrales stochastiques et temps d arrêt Formule d Itô avec temps d arrêt Mouvement brownien et laplacien Interprétation probabiliste d équations aux dérivées partielles Interprétation probabiliste Formule de Feynman-Kac Arrêt optimal Arrêt d une équation différentielle stochastique Arrêt optimal Conditions d optimalité Résolution Construction d une politique optimale d arrêt Applications en finance Problème de base Arbitrage et couverture Modélisation

24 2 Applications 3.1 Temps d arrêt Définitions Soit (Ω, U, P un espace probabilisé, et F une filtration de σ-algèbres. Nous rappelons ici quelques définitions et propriétés qui seront utiles dans la suite de ce paragraphe. Définition 3.1. Une variable aléatoire τ : Ω R est un temps d arrêt par rapport à F si pour tout t {τ t} F t En d autres termes, l ensemble des ω Ω tels que τ(ω t est un ensemble F t -mesurable. Théorème 3.1. Si τ 1 et τ 2 sont deux temps d arrêt par rapport à F, alors : 1. τ 1 τ 2 = min(τ 1, τ 2 est un temps d arrêt 2. τ 1 τ 2 = max(τ 1, τ 2 est un temps d arrêt Démonstration En remarquant que {τ < t} = {τ t 1 k }, on a : } {{ } F t k=1 F t 1 k {τ 1 τ 2 < t} = {τ 1 < t} {τ 2 < t} F t et {τ 1 τ 2 < t} = {τ 1 < t} {τ 2 < t} F t La notion de temps d arrêt vient naturellement à l esprit lors de l étude d équations différentielles stochastiques, lorsqu il s agit d étudier des phénomènes intervenant à des intervalles de temps aléatoires. Exemple : Soit X la solution de l équation différentielle stochastique { dx = b(x, tdt + B(X, tdw X où B, b et X satisfont les propriétés du théorème d existence et d unicité de X. Théorème 3.2. Soit E un ensemble ouvert ou fermé non vide de R n. Alors τ = inf{t, X t E} est un temps d arrêt, en posant τ = + pour les trajectoires de X n atteignant jamais E

25 3.1. Temps d arrêt 21 Démonstration Soit t. Il s agit de montrer que {τ t} F t. Soit pour cela (t i i> un sous-ensemble dense dénombrable de R n+. En supposant tout d abord que E est ouvert, l événement {τ t} = t i t {X ti E} } {{ } F ti F t appartient à F t. En supposant maintenant que E est fermé. Soit d(x, E la distance entre un point x et E, définissons E n = {x, d(x, E < 1 }. Alors l événement n appartient à F t. Remarque : {τ t} = {X ti E n } } {{ } F ti F t n=1 t i t 1. la variable aléatoire σ = sup{t, X t E}, n est en général pas un temps d arrêt. La justification heuristique vient du fait que l évenement {σ t} dépend du futur de X, et n est donc en général par F t - mesurable. 2. temps d arrêt est un terme un peu restrictif, puisque dans de nombreux exemples, X ne s arrête pas à cet instant Intégrales stochastiques et temps d arrêt Définition 3.2. Si G L 2 ([, T ] et si τ [, T ] est un temps d arrêt, on définit : τ GdW = T O χ {t τ} GdW Lemme 3.1. : intégrale d Itô avec temps d arrêt Si G L 2 ([, T ] et si τ [, T ] est un temps d arrêt, alors ( τ E GdW = et E ( ( τ 2 ( τ GdW = E G 2 ds

26 22 Applications Démonstration En effet, ( τ E GdW = E et E ( ( τ ( 2 ( T GdW = E T χ {t τ} G dw = } {{ } L 2 ([,T ] 2 χ {t τ} GdW ( T = E (χ {t τ} G 2 dt ( τ = E G 2 ds Formule d Itô avec temps d arrêt Notons encore W le mouvement brownien m-dimensionnel. Si dx = b(x, tdt+ B(X, tdw, alors nous avons vu que pour toute fonction u deux fois continument différentiable : d(u(x t, t = u t (X t, tdt+ n i=1 Sous la forme intégrale, on a aussi avec où u(x t, t = u(x, + Lu = 1 2 u x i (X t, tdx i t n i,j=1 a ij = Du.BdW = a ij n i,j=1 ( u t + Lu ds + 2 u + x i x j m i=1 m B ik B jk, et k=1 m k=1 n i=1 2 u x i x j (X t, t t b i u x i u x i B ik dw k Du.BdW m B il B jl dt L est le générateur. Pour ω Ω, la formule d Itô convient pour tout t [, T ], et en particulier l=1

27 3.2. Interprétation probabiliste d équations aux dérivées partielles 23 pour un temps d arrêt τ. En prenant l espérance de la formule pour ce temps d arrêt, on aboutit à : ( τ ( u E(u(X τ, τ = E(u(X, + E t + Lu ds (3.1 qui permet de relier fortement, comme nous le verrons plus tard, les équations différentielles stochastiques et les équations aux dérivées partielles ordinaires Mouvement brownien et laplacien Un cas important survient lorsque X = W, le mouvement brownien n- dimensionnel, dont le générateur est où u est le laplacien de u Lu = 1 2 n i=1 2 u x 2 i = 1 2 u 3.2 Interprétation probabiliste d équations aux dérivées partielles Interprétation probabiliste Temps d atteinte d une frontière Soit E un ouvert borné de R n, de frontière E. Par la théorie des équations aux dérivées partielles, on sait qu il existe une solution unique à l équation de Laplace { 1 u = 1 sur E 2 u = sur E (3.2 Le but de la présente section est de trouver une représentation probabiliste de la solution de (3.2. Pour ce faire, on se donne x E et on considère un mouvement brownien n-dimensionnel W à partir duquel on construit le processus stochastique X = W +x. On définit alors τ x = inf{t, X t / E} le temps d atteinte du bord de E par une trajectoire de X partant de x. Théorème 3.3. Avec les notations précédentes : ( x E u(x = E(τ x

28 24 Applications En particulier, u > sur tout E. Démonstration On applique (3.1 avec Lu = 1 u. Pour tout n > : 2 E (u(x τx n = E(u(X + E ( τx n 1 2 u(x sds Puisque 1 u = 1 et que u est bornée, on a lim E(τ 2 x n < et la variable n aléatoire τ x est intégrable. En faisant tendre n vers l infini, on obtient alors ( τx u(x = E(u(X τx + E 1ds = E(u(X τx + E(τ x mais u = sur E et donc u(x τx =, ce qui achève la démonstration. En remarquant que u est bornée, E(τ x < et donc presque sûrement pour tout x E, τ x <. Les trajectoires du processus X, mouvement brownien partant de x, atteignent donc avec probabilité 1 E. Dans le cas non stationnaire, l équation précédente s écrit : { u = 1 u sur E R t 2 u(x, = f(x sur E (3.3 C est l équation de la chaleur, et on peut montrer que u(x, t = E(f(X t est solution de ce problème, si f est continue et bornée. Représentation probabiliste de fonctions harmoniques Soit E un domaine de R n et g : E R une fonction continue. On démontre qu il existe une solution unique u, de classe C 2 sur le domaine et C 1 sur sa frontière au problème différentiel (problème de Dirichlet : { u = sur E (3.4 u = g sur E u est une fonction harmonique. Théorème 3.4. Avec les notations précédentes, et pour X mouvement brownien partant de x, on a : ( x E u(x = E(g(X τx

29 3.2. Interprétation probabiliste d équations aux dérivées partielles 25 La démontration est identique au théorème précédent. Donnons un exemple simple d utilisation de ce théorème : si u = dans un ouvert contenant la boule B(x, r centrée en x et de rayon r, alors u(x = E(u(X τx où τ x est le temps d atteinte par X de la sphère B(x, r. Le mouvement brownien étant isotrope dans l espace, on peut supposer que le terme à droite du signe égalité est la moyenne de u sur la sphère B(x, r, par rapport à la mesure de la surface, d où : u(x = 1 aire de B(x, r B(x,r uds qui représente la formule de la valeur moyenne pour une fonction harmonique. Temps d atteinte d une partie de la frontière Avec les mêmes notations que précédemment, on suppose de plus que la frontière de E est réunion de deux sous-ensembles disjoints, i.e. E = Γ 1 Γ 2, avec Γ 1 Γ 2 =. On cherche à résoudre u = sur E u = 1 sur Γ 1 u = sur Γ 2 Théorème 3.5. Pour tout x E, u(x est la probabilité que la trajectoire d un mouvement brownien initiée en x touche Γ 1 avant Γ 2 Démonstration La démonstration est évidente en appliquant le théorème précédent avec g = 1 sur Γ 1 et g = sur Γ Formule de Feynman-Kac Nous étendons ici le théorème de représentation des fonctions harmoniques pour obtenir une représentation probabiliste de l unique solution de l équation aux dérivées partielles { 1 u + cu = f sur E 2 (3.5 u = sur E où nous supposons c, f régulières, c sur E. Avec les mêmes notations que dans le paragraphe précédent, on montre que :

30 26 Applications Théorème 3.6. : formule de Feynman-Kac ( τx ( x E u(x = E f(x t e R t c(xsds dt Démonstration Remarquons que puisque E(τ x < et c sur E, toutes les intégrales sont convergentes. Soit Y t = e Zt pour Z t = t c(x sds. Alors dz = c(xdt et la formule d Itô donne dy = c(xy dt. La règle du produit d Itô permet alors d écrire : d ( u(xe Zt = (du(xy t + u(xdy t ( 1 n = 2 u(xdt + u dw i Y t + u(x( c(xdty t x i Enn utilisant (3.1 pour τ = τ x et en prenant l espérance ( τx [ ] 1 E (u(xy t = E(u(X + E u(x c(xu(x Y t dt 2 i=1 et puisque u résout (3.5, on en déduit u(x = E(u(X = E ( τx f(xe R t c(xsds dt il est possible d interpréter cette formule en considérant que les particules browniennes disparaissent à des temps aléatoires σ, par exemple en étant absorbées par le mileu dans lequel elles évoluent. En supposant de plus que la probabilité de disparition dans un court intervalle de temps [t, t + h] est de la forme c(x t h+o(h, alors la probabilité de survie d une particule jusqu au temps t est approximativement égale à (1 c(x t1 h(1 c(x t2 h (1 c(x tn h où = t < t 1 < t n = t, h = t k+1 t k. Lorsque h, cette probabilité converge vers Y t et donc u(x peut être interprétée comme la moyenne de f(x sur toutes les trajectoires qui survivent suffisamment pour atteindre E. Dans le cas non stationnaire, le problème précédent s écrit { u = 1 t 2 u + cu sur E R u(x, = f(x sur E On montre alors que u(x, t = E(f(X t e ct est solution de (3.6 pour c bornée, et f continue bornée. (3.6

31 3.3. Arrêt optimal Arrêt optimal On s intéresse ici à des problèmes de contrôle optimal. Soit un système dont l état évolue au cours du temps selon une équation différentielle. On se donne des contrôles qui modifient en un certain sens le comportement de ce système, soit par l intermédiaire d une modification de ses paramètres, soit par un arrêt du processus. On se donne enfin un critère de coût, dépendant du choix des contrôles et de l état du système. Le but du contrôle optimal est de trouver un choix de contrôles permettant de minimiser le coût. Le problème de contrôle stochastique le plus simple survient lorsqu il est impossible de modifier l équation différentielle stochastique contrôlant l évolution d un processus X, mais qu il est seulement envisageable de décider un temps où arrêter le processus Arrêt d une équation différentielle stochastique Soient E un domaine borné régulier de R n, b : R n R n, B : R n M n m (R satisfaisant les conditions habituelles d existence et d unicité de l équation différentielle stochastique { dx = b(xdt + B(XdW X = x pour x E Notons τ = τ x le temps d atteinte de E d une trajectoire de X initiée en x. Pour θ un temps d arrêt par rapport à F, on définit l espérance du coût d arrêt de X en θ τ par : ( θ τ J x (θ = E f(x s ds + g(x θ τ (3.7 En s arrêtant en θ, le coût est une fonction g de l état courant du système X(θ. Si le processus n est pas arrêté avant que la trajectoire ait atteint E, i.e. si θ τ, le coût est dans ce cas g(x τ. Enfin, un coût de fonctionnement par unité de temps f est ajouté, modélisant les dépenses de fonctionnement du processus jusqu au temps θ τ Arrêt optimal La principale question concerne l existence d un temps d arrêt optimal θ = θx pour lequel J x (θ = min J x(θ θ temps d arrêt

32 28 Applications Si un tel temps existe, la seconde question concerne la méthode de recherche de θ. Notons u(x = inf J x(θ. S il est difficile de calculer θ directement, il va être θ possible à partir de u de construire θ par programmation dynamique Conditions d optimalité Dans la suite, on suppose u suffisamment régulière. Notons tout d abord qu il est possible de s arrêter au début (θ = et que donc : ( x E u(x g(x. De plus, τ = si x E et donc : ( x E u(x = g(x Soient maintenant x E et δ >. Si le système n est pas arrêté au temps δ, alors d après l équation différentielle stochastique, le nouvel état du système au temps δ est X δ. En ce point, le meilleur coût possible est u(x δ. Ainsi, en supposant que E n est pas atteint, et que l on ne stoppe pas en δ, le coût est supérieur à ( δ E f(x s ds + u(x δ Puisque u(x = inf θ J x(θ, alors La formule d Itô donne par ailleurs pour où Ainsi ( t u(x E f(x s + u(x δ ds ( δ E(u(X δ = u(x + E Lu(X s ds Lu = 1 2 n i,j=1 a ij a ij = 2 u + x i x j m l=1 m B ik B jk k=1 B i u x i ( δ E f(x + Lu(X s ds en divisant par δ et en le faisant tendre vers, on obtient f(x + Lu(x. De manière équivalente, on obtient Mu f(x, x E, où M = L. En observant finalement que si pour un x E, u(x < g(x, alors il est

33 3.3. Arrêt optimal 29 optimal de ne pas stopper le processus, il est envisageable de penser que le système peut encore évoluer un petit temps δ, de telle sorte que Mu = f pour les points x tels que u(x < g(x. En résumé, si le raisonnement précédent est valide, alors u satisfait { max(mu f, u g = sur E u = g sur E (3.8 qui forment les conditions d optimalité Résolution L étude rigoureuse du problème d arrêt commence par montrer que (3.8 possède une solution unique u, puis que ce u est exactement inf J x(θ. u θ permettra alors de définir θ, un temps d arrêt optimal. Théorème 3.7. Soient f, g des fonctions régulières. Il existe une unique fonction u, à dérivées secondes bornées, telle que : 1. u g E 2. Mu f presque partout sur E 3. max(mu f, u g = presque partout sur E 4. u = g sur E. En général, u n est pas de classe C 2 sue E Construction d une politique optimale d arrêt En notant S = {x E, u(x = g(x} l ensemble d arrêt, on montre facilement que S est fermé et que pour tout x E, θ est le premier temps d atteinte de S. Théorème 3.8. Si u est la solution de (3.8, alors ( x E u(x = J x (θ = inf θ J x(θ Ce théorème affirme que le problème de construction de la politique optimale revient à calculer la solution de (3.8, puis à définir θ, et enfin lancer des trajectoires de X jusqu à ce qu elles atteignent S ou qu elles sortent de E.

34 3 Applications 3.4 Applications en finance Problème de base On cherche à étudier le prix S t d un actif S (qui peut être une action, une obligation, une matière première... qui évolue selon l équation différentielle stochastique { ds = µsdt + σsdw S = s (3.9 où µ > est la dérive (ou tendance de l actif, et σ est sa volatilité. Il est naturel de décomposer le rendement instantané dst S t de l actif comme la superposition d une tendance locale µdt et d un bruit. Ce problème, traité par Black et Scholes d une part, Merton d autre part en 1973, est encore très utilisé aujourd hui pour le calcul d options d achat (ou call option. Ce contrat confère à son acheteur le droit (mais pas l obligation d acheter S à un cours p fixé à la signature du contrat (p est le prix d exercice à la date future T appelée temps d exercice ou échéance. En échange, il versera aujourd hui une prime C au vendeur de S. Le problème posé ici est la détermination de la meilleure valeur de C Arbitrage et couverture On suppose dans la suite qu un euro mis en banque en t = rapporte e rt au temps T. En d autres termes, r > est un taux d intérêt constant sans risque. De manière équivalente, 1 euro en t = T vaut e rt en t =, qui est appelé le facteur d escompte. Il est alors raisonnable de penser que l acheteur du contrat aura en T un gain égal à e rt E (max(s T p, (3.1 En effet, si S T < p, alors S est sans valeur. Si S T > p on peut acheter une unité de S au prix p, pour la revendre immédiatement à S T et réaliser un bénéfice de max(s T p,. En moyennant sur toutes les trajectoires de S, et en pondérant par le facteur d escompte e rt, on obtient (3.1. En fait, (3.1 n est pas la bonne réponse, puisque d autres facteurs interviennent dans les marchés financiers, dont le plus important est l arbitrage, qui consiste en la possibilité de réaliser des profits sans risque (i.e. d acheter une unité de S en t, de la revendre immédiatement à un prix S > S t en

35 3.4. Applications en finance 31 profitant par exemple des décalages de prix entre différentes places de cotation, et de réaliser ainsi un profit. Une stratégie d arbitrage réalisée par un investisseur totalement démuni en t = lui permet donc de n avoir à coup sûr aucune dette à l instant T, tout en gagnant de l argent avec une probabilité stictement positive. Dans un marché financier réel, cette possibilité est en principe interdite par les autorités de régulation (elles répriment en particulier les délits d initié. Il faut donc essayer de ne pas créer d opportunité d arbitrage. Cette idée est introduite dans le modèle sous la forme de la notion de couverture, qui consiste à gérer dynamiquement un portefeuille contenant S et des obligations sans risque. Le vendeur de l option va rechercher une stratégie qui, partant d une richesse initiale C, lui permettra d atteindre la richesse terminale souhaitée max(s t p,, de manière à honorer son engagement envers l acheteur, et cela dans tous les scénarios (trajectoires d évolution du marché Modélisation Pout s et t T, on note u(s, t le prix de l option à l instant t, sachant S t = s. Au temps T, on a évidemment u(s, T = max(s p,. De plus, si s =, alors S t = pour t T et u(, t =. On recherche ici C = u(s,. On définit alors pour t T le processus stochastique C t = u(s t, t. En utilisant (3.9 et la formule d Itô, on obtient : dc = ( u t u = t u dt + ds + 1 s 2 u + µs + σ2 s 2 S2 2 u 2 u s 2 (ds 2 s 2 dt + σs u s dw (3.11 L introduction de la notion de couverture passe par la duplication de C dans un portefeuille contenant des actifs S et des obligations B. Plus précisément, si B est un investissement sans risque, qui suit donc l évolution B t = e rt, soit ; { db = rbdt (3.12 B = 1 il s agit de trouver des processus φ et ψ tels que : ( t [, T ] C t = φs t + ψb t (3.13 Bien sûr, la construction effective de φ et ψ élimine tout facteur de risque : si une entreprise vend une option d achat, elle encourt le risque qu au temps T,

36 32 Applications S T excède p, et que donc l acheteur fasse un grand profit. Mais si en même temps elle construit le portefuille (3.13, les profits générés par ce dernier vont exactement compenser la dépense effectuée pour payer le bénéfice de l acheteur. Inversement, si S T < p, le portefeuille n apporte aucun profit. Pour réaliser une telle opération, l entreprise ne doit pas injecter le moindre argent dans le système de couverture, en dehors de l investissement initial. Cet état de fait est modélisé en forçant le portefeuille représenté par le terme de droite dans (3.13 à être auto-financé. En d autres termes, les changements de valeurs du portefeuille ne dépendent que des changement de S et B. Ainsi, ( t [, T ] dc t = φds t + ψdb t (3.14 En combinant (3.11, (3.12 et (3.14, on aboutit à l identité ( u u + µs t s + σ2 2 u 2 S2 dt + σs u dw = φ(µsdt + σsdw + ψrbdt s 2 s (3.15 et si (3.13 est valide, il faut donc choisir φ et ψ pour que (3.15 soit valide. En particulier, les facteurs de dw coïncident, à condition de prendre ( t [, T ] φ t = u s (S t, t (3.16 ce qui amène à ( u t + σ2 2 u 2 S2 dt = ψrbdt s 2 Mais ψb = C φc = u u S par (3.13 et (3.16. Et donc s ( u ( t [, T ] t (S t, t + rs u s (S t, t + σ2 2 u 2 S2 s (S t, t ru(s 2 t, t dt = (3.17 et pour assurer C t = u(s t, t, on impose donc à u(s, t de verifier l équation aux dérivées partielles de Black-Scholes-Merton u ( t [, T ] t + rs u s + σ2 2 u 2 S2 ru = (3.18 s2 On remarque au passage que la dérive µ n apparaît plus. Ainsi, pour répondre au problème posé de la détermination de la meilleure valeur de C, il s agit de trouver u(s,, et donc u, vérifiant u t + rs u s + σ2 2 s2 2 u s 2 ru =, s > t T u = max(s p,, s > t = T u =, s = t T problème qui peut être résolu explicitement.

Le modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un

Plus en détail

Probabilités III Introduction à l évaluation d options

Probabilités III Introduction à l évaluation d options Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un

Plus en détail

I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.

I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème. I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous

Plus en détail

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option

Plus en détail

Les mathématiques de la finance Université d été de Sourdun Olivier Bardou olivier.bardou@gdfsuez.com 28 août 2012 De quoi allons nous parler? des principales hypothèses de modélisation des marchés, des

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2.

Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2. Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2. Techniques de correction pour les options barrières 25 janvier 2007 Exercice à rendre individuellement lors

Plus en détail

Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou

Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou alpha-stables Richard Eon sous la direction de Mihai Gradinaru Institut de Recherche Mathématique de Rennes Journées de probabilités 215,

Plus en détail

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce

Plus en détail

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o Corrigé exercices8et9 8. On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B,S) à trois étapes. On suppose que S = C et que les facteurs

Plus en détail

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA

Plus en détail

de calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d

de calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation de quelques problèmes de calibration Plan de la présentation 1. Présentation de quelques modèles à calibrer 1a. Reconstruction d une courbe

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Propriétés des options sur actions

Propriétés des options sur actions Propriétés des options sur actions Bornes supérieure et inférieure du premium / Parité call put 1 / 1 Taux d intérêt, capitalisation, actualisation Taux d intéret composés Du point de vue de l investisseur,

Plus en détail

PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE

PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques François Delarue) PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Ce texte vise à modéliser de façon simple l évolution d un actif financier à risque, et à introduire,

Plus en détail

Processus aléatoires avec application en finance

Processus aléatoires avec application en finance Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

PROJET MODELE DE TAUX

PROJET MODELE DE TAUX MASTER 272 INGENIERIE ECONOMIQUE ET FINANCIERE PROJET MODELE DE TAUX Pricing du taux d intérêt des caplets avec le modèle de taux G2++ Professeur : Christophe LUNVEN 29 Fevrier 2012 Taylan KUNAL - Dinh

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Calculating Greeks by Monte Carlo simulation

Calculating Greeks by Monte Carlo simulation Calculating Greeks by Monte Carlo simulation Filière mathématiques financières Projet de spécialité Basile Voisin, Xavier Milhaud Encadré par Mme Ying Jiao ENSIMAG - Mai-Juin 27 able des matières 1 Remerciements

Plus en détail

Introduction au pricing d option en finance

Introduction au pricing d option en finance Introduction au pricing d option en finance Olivier Pironneau Cours d informatique Scientifique 1 Modélisation du prix d un actif financier Les actions, obligations et autres produits financiers cotés

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Calcul Stochastique pour la finance. Romuald ELIE

Calcul Stochastique pour la finance. Romuald ELIE Calcul Stochastique pour la finance Romuald ELIE 2 Nota : Ces notes de cours sont librement inspirées de différentes manuels, polycopiés, notes de cours ou ouvrages. Citons en particulier ceux de Francis

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Théorie Financière 8 P. rod i u t its dé dérivés

Théorie Financière 8 P. rod i u t its dé dérivés Théorie Financière 8P 8. Produits dit dérivés déié Objectifsdelasession session 1. Définir les produits dérivés (forward, futures et options (calls et puts) 2. Analyser les flux financiers terminaux 3.

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

4. Martingales à temps discret

4. Martingales à temps discret Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les

Plus en détail

Génération de scénarios économiques

Génération de scénarios économiques Modélisation des taux d intérêt Pierre-E. Thérond ptherond@galea-associes.eu pierre@therond.fr Galea & Associés ISFA - Université Lyon 1 22 novembre 2013 Motivation La modélisation des taux d intérêt est

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Mesures gaussiennes et espaces de Fock

Mesures gaussiennes et espaces de Fock Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première

Plus en détail

TRAVAIL D ETUDE ET DE RECHERCHE. Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines

TRAVAIL D ETUDE ET DE RECHERCHE. Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Ensimag - 2éme année Mai 2010 TRAVAIL D ETUDE ET DE RECHERCHE Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Anne-Victoire AURIAULT 1/48 2/48 Cadre de l Étude Cette étude a été

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

Travail en collaboration avec F.Roueff M.S.Taqqu C.Tudor

Travail en collaboration avec F.Roueff M.S.Taqqu C.Tudor Paramètre de longue mémoire d une série temporelle : le cas non linéaire Travail en collaboration avec F.Roueff M.S.Taqqu C.Tudor Notion de longue mémoire Les valeurs d une série temporelle X = (X l )

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION

TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

6 Equations du première ordre

6 Equations du première ordre 6 Equations u première orre 6.1 Equations linéaires Consiérons l équation a k (x) k u = b(x), (6.1) où a 1,...,a n,b sont es fonctions continûment ifférentiables sur R. Soit D un ouvert e R et u : D R

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Modèles et Méthodes de Réservation

Modèles et Méthodes de Réservation Modèles et Méthodes de Réservation Petit Cours donné à l Université de Strasbourg en Mai 2003 par Klaus D Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden D 01062 Dresden E

Plus en détail

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013 Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008

Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Attitude des ménages face au risque. M1 - Arnold Chassagnon, Université de Tours, PSE - Automne 2014

Attitude des ménages face au risque. M1 - Arnold Chassagnon, Université de Tours, PSE - Automne 2014 Attitude des ménages face au risque - M1 - Arnold Chassagnon, Université de Tours, PSE - Automne 2014 Plan du cours 1. Introduction : demande de couverture et comportements induits pa 2. Représentations

Plus en détail

Quantification Scalaire et Prédictive

Quantification Scalaire et Prédictive Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction

Plus en détail

Résumé des communications des Intervenants

Résumé des communications des Intervenants Enseignements de la 1ere semaine (du 01 au 07 décembre 2014) I. Titre du cours : Introduction au calcul stochastique pour la finance Intervenante : Prof. M hamed EDDAHBI Dans le calcul différentiel dit

Plus en détail

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Tony FEVRIER Aujourd hui! Table des matières 1 Equations aux dérivées partielles et modélisation Equation différentielle et modélisation

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Modélisation de séries financières par un modèle multifractal. Céline Azizieh

Modélisation de séries financières par un modèle multifractal. Céline Azizieh Modélisation de séries financières par un modèle multifractal Céline Azizieh Mémoire présenté à l Université Libre de Bruxelles en vue d obtenir le diplôme d actuaire Supervision: W. Breymann (RiskLab,

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Introduction. aux équations différentielles. et aux dérivées partielles

Introduction. aux équations différentielles. et aux dérivées partielles Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Fonctions Analytiques

Fonctions Analytiques 5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,

Plus en détail

Liste des notes techniques... xxi Liste des encadrés... xxiii Préface à l édition internationale... xxv Préface à l édition francophone...

Liste des notes techniques... xxi Liste des encadrés... xxiii Préface à l édition internationale... xxv Préface à l édition francophone... Liste des notes techniques.................... xxi Liste des encadrés....................... xxiii Préface à l édition internationale.................. xxv Préface à l édition francophone..................

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Une forme générale de la conjecture abc

Une forme générale de la conjecture abc Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I

Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Roxane Duroux 1 Cadre de l étude Cette étude s inscrit dans le cadre de recherche de doses pour des essais cliniques

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Théorie Financière 2. Valeur actuelle Evaluation d obligations

Théorie Financière 2. Valeur actuelle Evaluation d obligations Théorie Financière 2. Valeur actuelle Evaluation d obligations Objectifs de la session. Comprendre les calculs de Valeur Actuelle (VA, Present Value, PV) Formule générale, facteur d actualisation (discount

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Module 7: Chaînes de Markov à temps continu

Module 7: Chaînes de Markov à temps continu Module 7: Chaînes de Markov à temps continu Patrick Thiran 1 Introduction aux chaînes de Markov à temps continu 1.1 (Première) définition Ce module est consacré aux processus à temps continu {X(t), t R

Plus en détail

Chapitre 1. L intérêt. 2. Concept d intérêt. 1. Mise en situation. Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de :

Chapitre 1. L intérêt. 2. Concept d intérêt. 1. Mise en situation. Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de : Chapitre 1 L intérêt Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de : 1. Comprendre la notion générale d intérêt. 2. Distinguer la capitalisation à intérêt simple et à intérêt composé. 3. Calculer la

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA

Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA Soutenance de doctorat, sous la direction de Pr. Bilodeau, M. et Pr. Ducharme, G. Université de Montréal et Université

Plus en détail

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

Chapitre 1 Cinématique du point matériel Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la

Plus en détail

MARTINGALES POUR LA FINANCE

MARTINGALES POUR LA FINANCE MARTINGALES POUR LA FINANCE une introduction aux mathématiques financières Christophe Giraud Cours et Exercices corrigés. Table des matières I Le Cours 7 0 Introduction 8 0.1 Les produits dérivés...............................

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique

ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique 1 ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique G. ALLAIRE 28 Janvier 2014 CHAPITRE I Analyse numérique: amphis 1 à 12. Optimisation: amphis

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail