Spé Devoir n 8 OPTIQUE

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1 Spé 8-9 Devoi n 8 OPTIQUE ETRALE PSI 8 A Pou que deux ondes poduisent des inteféences, il faut qu elles soient cohéentes, c est-à-die igoueusement synchones Pou obteni expéimentalement cette condition en optique, on éalise au moins deux souces secondaies images d une souce éelle pimaie, en veillant à ce que la difféence de mache au point d obsevation soit inféieue à la longueu de cohéence de la souce, c est-à-die la longueu moyenne des tains d onde qu elle émet A Une onde est monochomatique si sa dépendance tempoelle est puement sinusoïdale Elle est alos de duée infinie En teme de longueu d onde, cela coespond à une onde de longueu d onde unique On peut éalise une onde quasi monochomatique en utilisant : une souce lase qui, pa constuction, émet une onde dont la lageu spectale est tès faible ; une souce spectale suivie d un filte ne laissant passe qu une des aies émises; une souce de lumièe blanche dont on décompose la lumièe à l aide d un pisme ou d un éseau On isole ensuite la patie du faisceau coespondant à un tès petit secteu angulaie A3-a Pou éalise une souce quasi ponctuelle : à pati d un lase, qui émet une onde quasi plane, il faut place une lentille tès convegente, comme un objectif de micoscope pa exemple La souce ponctuelle est alos le point de convegence des ayons On pofite de plus de l élagissement du faisceau apès la lentille à pati d une lampe themique (spectale ou non, il faut place un diaphagme de faible ouvetue apès la souce On peut aussi utilise ne lentille condenseu pou faie convege la lumièe su ce diaphagme b Si la souce est quasi ponctuelle, les fanges d inteféences ne sont pas localisées et l on peut place l écan n impote où dans la zone d inteféence L inteféomète étant églé en lame d ai, on obseve des fanges ciculaies si l écan d obsevation est bien paallèle au plan des miois L écat ente ces fanges diminue losque l on s éloigne du cente de la figue c Si la souce n est plus ponctuelle, les difféents points de la souce ne sont pas cohéents et leus fanges d inteféences sont décalées En se supeposant, elles céent un éclaiement unifome su l écan Les fanges existent cependant à l infini ca alos la difféence de mache ne dépend plus du point souce et les anneaux cée pa tous ces points sont centés au même point de l écan et se supeposent donc sans se bouille En eculant l écan, on peut donc espée voi les fanges malgé l atténuation due à la popagation Les ayons qui se supeposent à l infini sont paallèles ente eux Ils le sont donc aussi avant les miois et possèdent le même angle d incidence su les miois Les fanges sont donc appelées fanges d égale inclinaison A4-a L écan étant placé dans le plan focal image de la lentille (L, les ayons qui convegent en un point M de cet écan sont paallèles ente eux avant la lentille et, pa conséquent, ils sont issus du même ayon incident su les miois et povenant du point souce S On a tacé su la figue ci-conte la mache des ayons issus de S et convegent en M La difféence de mache ente eux en M est δ(m = I J + J K I L I J K ERA F M Spé ψ 8-9 page /7 Devoi n 8 S S I J L K (L (M (M

2 En taçant la mache des ayons issus d un aute point souce S convegents en M, on constate que leu difféence de mache δ(m = I J + J K I L est la même ette difféence de mache ne dépend donc pas du point souce considéé On aua donc bien une figue d inteféence su l écan ainsi disposé, même si la souce est étendue b En notant i l angle d inclinaison su les miois des ayons qui intefèent en M et e = z z l épaisseu de la lame d ai, la difféence de mache en M est δ(m = ecos(i On etouve l angle apès éflexion et c est cet angle que fait le ayon passant pa le cente de la lentille et aivant en M On a donc tan( i = omme la lentille est utilisée dans les conditions de Gauss, on a i << et l on peut écie tan(i i d où δ ( M = ecos B La position z = z est appelée contact optique La difféence de mache est nulle en tout point de l écan se qui se taduit pa un éclaiement unifome appelé teinte plate EMAX EMI B Le contaste des fanges est défini pa = Quand il est nul, EMAX + EMI l éclaiement est unifome Dans le cas d une souce non monochomatique, est une fonction de λ la difféence de mache en M et de la lageu spectale = de la souce La fome de cette λ fonction dépend du modèle choisi pou décie la densité spectale de la souce Dans le cas où la fonction de contaste n est pas péiodique, on appelle longueu de cohéence de la souce la pemièe valeu δ de δ(m qui annule le contaste On considèe que le λ contaste est nul pou δ > δ Dans le modèle du pofil ectangulaie, on touve δ = = λ Avec la souce de lumièe blanche, λ est tès gand donc la longueu de cohéence est tès faible L éclaiement su l écan change de couleu (teintes de ewton losqu on s éloigne tès peu du contact optique puis devient tès vite unifomément blanc La lampe spectale équipée d un filte émet une onde de lageu spectale plus faible donc de longueu de cohéence plus gande Le domaine des valeus de δ inféieues à δ est donc plus gand L onde émise pa le lase est quasi monochomatique et la longueu de cohéence est alos de plusieus centimètes B3 On a des inteféences à deux ondes monochomatiques et synchones de même amplitude donc l intensité lumineuses en un point M de l écan s écit ( M IM = I + cos π δ où I est l intensité coespondant à une seule onde λ Le détecteu est placé au foye de la lentille de pojection donc il eçoit les ayons faisant un angle d incidence nul su les miois et l on a δ(f = e = (z z Il vient I( F' I cos( 4 ( z z = + πσ B4-a Les ondes coespondant à deux intevalles difféents ne sont pas synchones donc elles sont incohéentes haque intevalle de nombe d onde dσ est suffisamment petit pou ête considéé comme céant une onde monochomatique L intensité qu il poduit su l écan est donc di( F' = G( σ dσ + cos 4 πσ( z z ( ( Les ondes coespondant à deux intevalles difféents sont incohéentes donc l intensité ésultante est la somme des intensités dues à chaque ondes soit Spé ψ 8-9 page /7 Devoi n 8

3 ( ( I( F' = G( σ + cos 4 πσ( z z dσ σ +/ b Avec l expession de G(σ, il vient ( ' ( cos( 4 ( G = [ σ ] + sin 4 πσ( z z σ +/ σ +/ σ / 4 π( z z σ / I F = G + πσ z z dσ σ / G sin 4 ( sin 4 ( 4 ( z z z z z z = + πσ + πσ π G sin 4 ( cos( 4 4 ( z z z z z z = + π πσ π = G + sin 4 π ( z z cos( 4 πσ( z z 4 π ( z z On obtient la fome demandée en posant = G et encoe V( z z sinc 4 = π ( z z sin4 π ( z z V( z z = 4 π ( z z c La fonction V(z est maximum pou 4 π ( z z = soit z = z Su le gaphe, on lit z = 5, mm le pemie zéo de V(z coespond à 4 π ( z z =π soit ( z z = Su le gaphe, on lit z z =,5 mm d où = mm ou encoe = 5 m z z l intefange i F est telle que π = 4 πσ( z z soit σ = Su le gaphe, on if if,5 compte fanges dans le pemie lobe de lageu,5 mm donc i F = en mm et σ = = 3 mm ou 6 m (ou encoe λ =,5 6 m soit λ =,5 µm (,5 d ette modélisation conduit à une fonction de contaste qui s annule au delà d une cetaine valeu de z z ce qui coespond bien aux obsevations expéimentales D apès ce qui pécède, la longueu de cohéence est la lageu du lobe cental de la coube soit l = pou la souce de lumièe blanche l µm d où 6 m ; pou la souce spectale filtée l mm d où 3 m ; pou la souce lase l d où ; B5 L amplitude des deux ondes qui intefèent n est plus la même On peut écie j ( SM ψ M =ψ e πσ et j SM ψ M =ρψ e πσ ou Spé ψ 8-9 page 3/7 Devoi n 8

4 j ( SM SM j ( SM L amplitude totale est ψ ( M =ψ e πσ +ρ e πσ et l intensité * j = ψ ψ ( πσ δ ( M j ( πσ δ ( M k j e e πσ δ ( M j πσ δ ( M = kψ +ρ +ρ e +ρe I( M k ( M ( M = ψ +ρ +ρ ( cos( ( M = kψ +ρ +ρ πσ δ avec δ(m = (SM (SM En notant I = kψ l intensité eçue si l on masque la suface plane et δ(f = e = (z z au point F, il este pou l intensité en F : ρ I( z = I( +ρ + cos ( 4 πσ( z z +ρ ρ Le facteu de contaste est maintenant = < Les fanges ont la même allue et sont +ρ positionnées au même endoit mais elles sont moins contastées Les fanges sombes ne sont plus noies B6-a En généalisant le calcul pécédent, on peut écie l amplitude totale en F : j πσ( SF j πσδi( F' ψ ( F' =ψ e + ρie en notant δ i (M = (SM i (SM i= j i( F' j j( F' et l intensité devient I( F' = kψ + ρ ie πσ δ + ρie πσ δ i= j= j ( j i ( j i πσ δ ( F ' δ ( F ' j πσ δ ( F ' δ ( F ' = kψ + ρicos πσδ i( F' + ρρ i j e + e i= i= j= En négligeant les temes en ρ i ρ j qui sont d ode, il este, au pemie ode, en notant ϕ= i 4 πσ( z zi I( z = I + ρ cos ϕ i i i= b En epenant le calcul le calcul de B4 et en compaant le ésultat obtenu alos à celui obtenu en B3, on peut pévoi le ésultat suivant : c Dans le cas =, il este I( z = G + V( z z ρ cos ϕ i i i i= ( I( z = G + ρ sinc π( z z cos 4 πσ ( z z + ρ sinc π( z z cos 4 πσ ( z z L enveloppe est la somme de deux fonctions sinc, l une centée en z = z et l aute en z + 5/ On obtient la coube suivante : I(z z (en mm z z Spé ψ 8-9 page 4/7 Devoi n 8

5 d On mesue ρ i (amplitude d un lobe pincipal et z i (abscisse du cente de ce lobe pincipal si le gaphe de l intensité pésente des lobes pincipaux suffisamment sépaés les uns des autes c est-à-die si z i+ z i est tès supéieu à la lageu du lobe pincipal ou, autement dit, si z i+ z i est tès supéieu à la longueu de cohéence de la souce Pou avoi la meilleu ésolution possible su les positions z i, il faut donc choisi la longueu de cohéence la plus faible possible, c est-à-die la souce de lumièe blanche On obseve un maximum d intensité lumineuse dans une diection θ donnée pa appot à la diection incidente si la difféence de mache ente les ondes qui ont tavesé deux taits successifs est un multiple entie de la longueu d onde L onde incidente su le éseau est plane et les ondes émegentes obsevées sont paallèles ente elles donc la difféence de mache est d θ δ = dsin(θ avec d = n La condition pécédente conduit alos à la fomule des éseaux entie elatif L entie p est appelé ode du pic On peut écie p = sin( θp n λ Le détecteu est placé dans le plan focal image de la lentille Les ayons déviés dans la diection θ avant la lentille convegent en un point de ayon du détecteu tel que = tan( θ En supposant que la lentille tavaille dans les conditions de Gauss, on peut faie le développement tan(θ = θ + d où θ= + sin( θ p = p λ ou p est un n λ À la lageu angulaie ( sin( θ θ= coespond donc la lageu = f θ de la tache L λ su le détecteu soit = L 9 (75 A = ( = 7,5 6 m ou encoe = 7,5 µm La lageu de ce pic est tès inféieue à la lageu d une cellule de la baette donc la limite de ésolution du système vient du capteu Il ne poua distingue deux pics que s ils sont sépaés d un écat supéieu à a Le cente de la tache de diffaction d ode zéo est l image géométique du point souce Si la souce n est pas igoueusement ponctuelle, Le cente du pic coespondant à chaque point souce sea décalé omme ces points souces sont incohéents,, les intensités qu ils céent se supeposent La tache obtenue su le capteu sea donc élagie Les autes taches subissent le même élagissement ode 3 La lageu angulaie du faisceau eçu pa une cellule est telle que δθ= a a au pemie O pou un ode p donné, la vaiation angulaie δ λ θ due à une vaiation δλ de la longueu d onde est δ λ θ = pnδλ La lageu δλ des adiations eçues pa la cellule est telle que δ λ θ = δ a θ d où f δλ = a pn θ Spé ψ 8-9 page 5/7 Devoi n 8

6 omme dλ δλ σ= pa définition, on a dσ= d où δσ= λ λ λ = σ δλ Avec l expession pécédente de δλ, il vient A a pnf δσ= σ 6 ( δσ= (5 ( (4 ' ( δσ= (5 ( ( =,5 4 m pou le bleu ; = 3,56 3 m pou le ouge ; 4 Les gandeus a, n et f étant fixée pa constuction, δλ ne vaie qu avec l ode p Pou avoi une lageu δλ identique pou toutes les cellules du capteu, il faut donc qu elles eçoivent toutes des pics du même ode ela ne peut pas ête éalisé simultanément pou toutes les cellules Pa conte, en plaçant le éseau su un plateau tounant comme celui d un goniomète, on peut le faie toune pa appot à l onde incidente et ainsi sélectionne l ode du pic qui aive su une cellule donnée D On fait l image de (M su le capteu DD placé dans le plan focal image de la lentille (L P L objectif (L éalise donc avant (L P une image de (M située à l infini Pou cela, il faut que (M soit dans le plan focal objet de (L De même, (M est dans le plan focal de (L D Les deux objectifs étant identiques ont la même distance focale donc les miois sont dans la même position elative pa appot au capteu Il n y a donc pas de difféence de mache ente les ayons passés pa les deux miois et on doit obseve la teinte plate D3-a Le ayon passant pa le cente O de l objectif (L n est pas dévié Il se éfléchit en I su le mioi (M en semblant poveni de l image (M I I de O pa ce mioi Il aive en J su l objectif (M (L Il convege ensuite en K du plan focal image J de l objectif, point où passe le ayon paallèle à I J ( L O O J passant pa O Apès la lentille (L P, le ayon f convege au point M de l écan où passe le ayon ( L paallèle à J K passant pa le cente de la lentille K K (L P On pocède de même pou le ayon passant (L P pa le cente O de l objectif (L On emaque que le tacé O I J K est identique à O I J K b Le théoème de Malus énonce que les ayons lumineux sont pependiculaies aux sufaces M x ERA d onde D apès la question pécédente, les ayons qui d intefèent en M étaient paallèles avant de passe pa (M I I les objectifs (L et (L Les sufaces d onde sont (M donc des plans pependiculaies à ces ayons J Apès les objectifs, le chemin optique est le ( L O i même pou les deux ayons pendant l alle-etou objectif-mioi-objectif O J Ente les objectifs et la lentille H H (L P, les ayons sont de nouveau paallèles ente eux i La lentille (L P fait convege les ayons sans modifie (L la difféence de mache P Les sufaces d onde sont des plans équiphase donc (SO = (SH et (J M = (H M et la difféence de mache δ(m = (SM (SM se éduit à M x δ(m = H O + H J Spé ψ 8-9 page 6/7 Devoi n 8 PLA FOAL IMAGE DES OBJETIFS ( L ERA

7 omme O J = O J, il vient J J = O O = d, on a H O = H J = dsin(i = di puisque i est tès petit Il vient donc δ(m = di et l éclaiement en M s écit π x IM = I( + cos( πσ di = I + cos d λ f P ', qui est de la fome x IM = I + cosπ x λf ' P x = d L intefange augmente si d diminue donc on déplace un des objectifs de façon à augmente l intefange jusqu à avoi un éclaiement unifome Alos les axes des objectifs sont alignés D4-a Si on considèe que les longueus d onde extêmes du specte émis pa la souce de lumièe blanche sont λ B = 4 nm et λ R = 75 nm, la longueu de cohéence est l = = soit l = A l = =,9 µm 9 9 λ λ λ λ 4 75 B R B R b On voit = fanges dans l inteféogamme de lageu l donc l intefange est x = l l λf P Avec l expession de x obtenue à la question pécédente, on obtient = ' d où d λf ' d = P l A En penant comme longueu d onde la longueu d onde moyenne ente λ B et λ R, on 9 (575 (( touve d = =,5 3 m soit d =,5 mm 3 (,6 Spé ψ 8-9 page 7/7 Devoi n 8

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