Le théorème des accroissements finis Le théorème de Rolle

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1 ~ ème année Sciences Math. ~ Le théorème des accroissements inis Le théorème de Rolle (9 eercices résolus) Eercice : Soit la onction déinie sur R ar : = ( )( )( ) Montrer que l équation = 0 ossède eactement trois solutions dans R Eercice : ) Montrer que l équation sin = admet au moins une solution dans R ) Montrer qu il eiste c R cos() c c= 0 Eercice : ) Montrer que : ( ) ) En déduire que : ( ) Eercice 4 : (, R ) sin( ) sin( ) (, R ) cos( ) cos( ) π π Montrer que : (, ), tan( ) tan( ) Eercice 5 : Soit une onction déinie et dérivable sur [ 0,] ( [ ]) ( ) = 0, Et soit g la onction déinie sur [ 0, ] ar : [ ] 0, = 4 g α = ( ) g 4 ) Montrer qu il eiste α de ] 0, [ tel que ( ) 0 ) En aliquant le théorème de Rolle à la onction h sur [ 0,α ] tel que 4 h 4 ( ) = ( ) ( ) ( ) Montrer que :( c ] 0,[ ) () c /9 Math.ma /07

2 Eercice 6 : Soit la onction numérique déinie sur ) Soit R, montrer qu il eiste c de ) Calculer la limite suivante : R ar : = sin 0, sin = ( ) sin lim 0 Eercice 7 : Soient et g deu onctions continues sur [ a, b] et dérivables sur ] a, b[ ( ] a, b[ ) g 0 ) Montrer que g est injective ( b) ( a) ) Montrer que :( c ] a, b[ ) = g( b) g( a) g Eercice 8 : Soit ] 0,[ Montrer que :( N ) Eercice 9 : n n n ( n ) Montrer que : ( ) ( ) > 0 < Arc tan < n cos /9 Math.ma /07

3 On a = ( )( )( ) Corrigé de l eercice Soit R On a = 0 = 0 ou = ou = ou = Donc ( 0) = ( ) = ( ) = ( ) est continue sur [, ] est dérivable sur ], [ ( ) = ( ) Donc d arès le théorème de Rolle Donc d arès le théorème de Rolle : il eiste c ], [ tel que ( c ) = 0 () est continue sur [, ] est dérivable sur ], [ ( ) = ( ) Donc d arès le théorème de Rolle Donc d arès le théorème de Rolle : il eiste c ], [ tel que ( c ) = 0 ( ) est continue sur [,0] est dérivable sur ],0[ ( ) = ( 0) Donc d arès le théorème de Rolle Donc d arès le théorème de Rolle : il eiste c ],0[ tel que ( c ) = 0 () D arès ()(, ) et () on déduit que l équation = 0 admet trois solutions dans R Remarque : est un olnôme de troisième degré donc l équation = 0 ossède eactement trois solutions dans R Corrigé de l eercice ) Considérons la onction déinie sur R ar : ( ) sin( ) = π π 4 est continue sur R donc est continue sur, π π = 4 6 π π < 0 π π 4 = 4 /9 Math.ma /07

4 π π α 4 Donc d arès le théorème des valeurs intermédiaires : il eiste, ( α ) = 0 ) On a est dérivable sur R et ( R ) ( ) ( ) Donc cos = 0 = 0 On considère l intervalle [ 0,α ] : = cos On a est continue sur [ 0,α ], est dérivable sur ] 0,α [ et ( 0) = ( α) Donc d arès le théorème de Rolle : Il eiste c [ 0, α] tel que = 0 On déduit qu il eiste c R cos c= 0 tel que Corrigé de l eercice ) Considérons la onction déinie sur R ar : () t = sin() t Soient et deu éléments de R tels que : On a est continue sur R donc elle est continue sur l intervalle ermé I d etrémités et Et on a est dérivable sur R donc elle est dérivable sur I Donc d arès le théorème des accroissements inis : il eiste c I {, } ( ) ( ) = ()(. ) c c.-à-d. sin sin( ) = cos ()( c. ) donc sin sin( ) on sait que cos() c donc sin sin( ) = cos Donc sin sin( ) ( I) Si = : L a relation ( I ) est vériiée On déduit que : ( ) (, R ) sin( ) sin( ) ) D arès le résultat de la question ) : ( ) Soient et deu éléments de R (, R ) sin( ) sin( ) a b a b a b 4/9 Math.ma /07

5 Posons Donc sin π a= et π b= π sin π π π Donc cos( ) cos( ) D où ( ) (, R ) cos( ) cos( ) Corrigé de l eercice 4 π π Considérons la onction déinie sur, Soient et deu éléments de R tels que : π π On a est continue sur, et π π Et on a est dérivable sur, ar : () t = tan() t donc elle est continue sur l intervalle ermé I d etrémités donc elle est dérivable sur I Donc d arès le théorème des accroissements inis : il eiste c I {, } ( ) ( ) = ()(. ) c c.-à-d. tan tan( ) = ( tan )(. ) donc tan ta n( ) on sait que donc = tan tan ( ) n( ) ta n ta Donc tan tan( ) ( I) Si = : L a relation ( I ) est vériiée π π On déduit que : (, ), tan( ) tan( ) 5/9 Math.ma /07

6 Corrigé de l eercice 5 ) g : ( ) est continue sur [ 0, ] 4 ( ) 4 est continue et ositive sur [ 0, ] Donc ( ) 4 est continue sur [ 0, ] Donc g ( ) 4 est continue sur [ 0, ] : Et ar suite g= g g est continue sur [ 0, ] g : ( ) est dérivable sur ] 0, [ 4 ( ) 4 est dérivable et strictement ositive sur ] 0, [ Donc ( ) 4 est dérivable sur ] 0, [ Donc g ( ) 4 est dérivable sur ] 0, [ : Et ar suite g= g g est dérivable sur ] 0, [ Et on a g( ) g() 0= = 0 Donc d arès le théorème de Rolle : α de ] 0, [ tel que g ( α) = 0 ) 4 : 4 α ) est continue sur [ 0,α ] ( [ 0, ] [ 0,] est continue sur [ 0,α ] car elle est dérivable sur [ 0, ] : est continue sur [ 0,α ] Donc h= est continue sur [ 0,α ] 4 : 4 est dérivable sur ] 0,α [ est dérivable sur ] 0,α [ car elle est dérivable sur [ 0, ] : dérivable sur ] 0,α [ Donc h= est dérivable sur] 0,α [ On a h ( 0) = 0 6/9 Math.ma /07

7 4 hα = g α = hα = h 0 4 Et on a g = ( ) ( ) = h Donc ( ) ( ) 0 D où ( ) ( ) Donc d arès le théorème de Rolle : il eiste c ] 0,[ h = 0 Et on a our tout de ] 0,α [ : h = ( ) = c Puisque h = 0 alors ( () c) Et comme 0< c< α< donc c c c D où ( () c) () c c.-à-d. () () Donc ( c ] 0,[ ) () c c > (( [ ]) 0, 0 ) ) Soit R : Corrigé de l eercice 6 On a est continue sur 0, et dérivable sur 0, Donc d arès le théorème des accroissements inis : il eiste c 0, ( ) ( 0) 0 = ( c) On a :( t R ) () t ( t) ( t) cos = Donc il eiste c de 0, cos = sin ) On a our tout R il eiste c de 0, Puisque lim c = 0 0 = sin cos 7/9 Math.ma /07

8 alors ( ) t sin cos cos() t lim = lim = lim = = t 6 et uisque la onction alors 0 et ar suite sin lim = 6 sin lim 0 = 6 sin est aire Corrigé de l eercice 7 ) Soient et deu éléments de [ a, b ] tels que : g est continue sur l intervalle ermé d etrémités et g est dérivable sur l intervalle ouvert d etrémités et D arès le théorème des accroissements inis, on a : ( α ] a, b[ ) g g( ) = g ( α)(. ) Puisque ( ] a, b[ ) g 0 alors g ( α) 0 Donc g g( ) 0 D où g g( ) Et ar suite g est injective ) Considérons la onction h déinie ar :( [ ]) ( ) ( ) ( ) ( a) ( ) g( a) b a, b h =. g g b h est continue sur [ a, b ] ( car et g sont continues sur [, ] a b ) h est dérivable sur ] a, b [ ( car et g sont dérivables sur ], [ h( a) = h( b) ( un simle calcul ) D arès le théorème de Rolle :( c ] a b[ ) h c.-à-d. ( ] [) (), = 0 ( ) ( a) b c a, b c =. g b a b a alors ( c ] a, b[ ) = g c b a uisque g 0 () ( ) ( ) a b ) ( ) 8/9 Math.ma /07

9 Considérons la onction : t t Soit n N est continue sur [ n, n ] ( 0 Corrigé de l eercice 8 > ) est dérivable sur ] n, n [ ( > 0 ) D arès le théorème des accroissements inis : Il eiste c ] n, n [ ( n ) ( n) = ()( c. n n) = t = = t Or (). t On a n< c< n et la onction t est décroissante ( ] 0,[ ) Donc ( n ) ( n) Donc ( n ) ( n ) ( n) ( n) D où ( N ) n n n ( n ) ( ) : t n Corrigé de l eercice 9 Soit > 0 La onction " Arc tan" est continue sur [ 0, ] (" Arc tan" est continue sur R ) La onction " Arc tan" est dérivable sur ] 0, [ (" Arc tan" est dérivable sur R ) D arès le théorème des accroissements inis : il eiste c ] 0, [ ( ) ( ) = ( )( ) Arctan Arctan 0 Arctan c. 0 = c Donc : Arc tan < < c On a 0< c< donc Donc < < c D où ( > 0) < Arc tan < つづく 9/9 Math.ma /07