Corrigé : 1. F contient (0 ;0 ;0 ;0) et F est stable pour l addition et la multiplication par un. est libre, donc {( 0;

Transcription

1 Eercices Orau cocours B ENV Eercice. F coie ; ; ; e F es sable our l addiio e la mulilicaio ar u scalaire, doc F es u sous esace vecoriel de R. Soi ; y; z; R ; ; y; z; F y z y z y y L L L L L L z ; y; z; z ; z; z; z ; ; ; ; y z F Vec ; ; ; ; ; ; { ; ; ; ; ; } es ue amille géérarice de F.. La amille { ; ; ; ; ; } es libre, doc { ; ; ; ; ; } es ue base de F La amille { ; ; ; ; ; } es libre, doc { ; ; ; ; ; } es ue base de G rouver que F G R équivau à rouver que ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; F G es ue amille libre de R doc ue base de R soie a; b; c; d R, si a ; ; ; b ; c ; ; d ; ; oc { } a b d c a c a a a c d d b d b b alors a c a b d a b c b d a c d d d la amille es doc libre, doc F G R? La amille { ; ; ; ; ; } F G R es libre, doc { ; ; ; ; ; } ue base de G rouver que F G R équivau à rouver que ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; F G es ue amille libre de R doc ue base de R soie a; b; c; d R, si a ; ; ; b ; c ; ; d ; ; a b d c a c a a a c d d b alors a c a b d d b b d c b d a d a d d la amille es doc libre, doc F G R es L.Gulli Eercices d oral ENV B Page /

2 Eercice a M ; M M M oc M M M M M b doc a M ² doc M ² M M M doc M es iversible e M M M M u v M?Par récurrece sur Noos P : M u v M iialisaio P vraie? M il sui de redre u e v e P es vraie Hérédié : Soi N suosos P vraie moros que P es vraie M M M M u v M u M v M ² u M v M M u M v M v u v M u v e v u v u v e v u v v v v ; v ; E osa b doc o a alors M u v M avec u e v v suie récurree liéaire d ordre équaio caracérisique r² r, 6 > racies ; doc v ar br ; v ar b o déermie a e b v ar br doc b-a e v ar a doc 6 v r e u v r 6 E M u v M r r M a e r r b doc L.Gulli Eercices d oral ENV B Page /

3 Eercice rga rg C ; C ; C ; avec C ; C ; C ; veceurs coloes de A C C Remarque ; y R² C doc rga rg C ; C ; C; C rg C ; doc rga si y a Si y ; C C C C ; rga rg C ; C ; C; C rg C doc rga b Si y ; C C e C C ; rga rg C ; C Si y C ; C acile doc rga Eudios la amille{ C ; C ; } alors { } C Soi a; b; c R els que ac bc cc a b c y b L L L a yb c L L L a yb c ac bc cc a b yc y a c ay b c ay b c b a c a b c { C ; C ; C } es libre doc rga a c ay c Coclusio Si y alors rga Eudios la amille{ C ; C ; C ; } C Soi a; b; c; d R els que els que ac bc cc dc libre y b a yb c a c ay b c a b c yd y b d L L L a yb c d L L L a yb c d ac bc cc dc a b yc d y a c ya b c d ya b c d b d b d y a yb c d c y d a c a c ya b c d y c d si y e Si y ; alors a b c d a b c d { C ; C ; C ; C } es libre rga L.Gulli Eercices d oral ENV B Page /

4 si y e Si y b d c y d a c y c d L L L b d y c d a c y c d b d a d si y e Si y si y la amille es liée rga c d d R b d b d y c d c d si y e Si y si y a c a c y c d y d b d b d c d a d si y la amille es liée rga a c c d y d d R b d c d si y abcd la amille es libre rga a c y d Résumé : y y rga y rga y rga y y y rga y y rga y rga L.Gulli Eercices d oral ENV B Page /

5 Eercice Soi A Morer que A es diagoalisable. iagoaliser A Calculer A Recherche des valeurs rores de A λ A, soi λ R, A λ λ Soi X a; b; c λ λ a λ a A λ X λ b λ b c λ c b λ c b c Cas : λ A X b c e a R b c E rea a ; e ; es veceur rore associé à la valeur rore λ Cas : λ A λ X a a a λ b c c λ b c λ b b λ c b λ λ b λ² b Remarque si b alors c doc X a; b; c coradicio avec l hyohèse oc b doc λ ± so valeurs rores de A A adme valeurs rores disices doc A es diagoalisable Recherche d ue base de veceurs rores u e ; es veceur rore associé à la valeur rore λ Si λ ± ; A λ X a c λ b E rea b alors c λ où v ; es veceur rore associé à la valeur rore λ w ; ; es veceur rore associé à la valeur rore λ La marice de assage es P ; O a P AP doc A P P P P L.Gulli Eercices d oral ENV B Page /

6 Eercice m y z my z L L L my z L L L L L my z m y z m y y mz m y mz m m y z m my z Si m, m y y z z y m y z m S ; y; y / ; y R² vec ; ; ; si m { } { } Si m my z my z m y m y y y m y z m z y z y m y y y S y; y; y / y R vec ; ; z y z y m y si m y y z S z y Résumé : { } { } ; { ; } m { ; y; y / ; y R² } vec{ ; ; } S ; m m { y; y; y / y R} vec{ ; } S ; m S { ; } Eercice 6 L.Gulli Eercices d oral ENV B Page 6/

7 d d o iègre ar aries O ose u v' doc u ' e v l d [ l ] l d l l d oc d l l d d Pour ou ; ;doc doc oc d doc doc d Eercice 7. Si [ ] R ; ² cos doc ² cosd ² cos d d ² doc, es borée. L.Gulli Eercices d oral ENV B Page 7/

8 L.Gulli Eercices d oral ENV B Page 8/. [ ] d d d v u v u d v u si ² si ² si ² ' cos ² ' oc d v u ' si ² [ ] d cos ² ² cos ² [ ] cos ² ² ²cos ² ² d d ² cos ² ² ²cos ² ² d d ² ² ² ² ² oc ² Pour oc doc E d. Le Produi erme à erme doe [ ] [ ]!!! oc [ ]!!

9 vériicaios [! ] ;! ² d e [! ]! 8 ² d ² d e Eercice 8 6 [! ]! F es dérivable sur ] ; [, l E ] [ F' es coiue sur ] ; [ doc F es C sur ] ; [. Noos G F F l G F F F F l ' ' ' ' ² ² l l l l l l G' ² l G' e osa u l ; alors u' doc G' u' u u² ' u² l ² l ² oc G C C ; e G F F C doc C l² oc G F F l Pour ] [ calculos d, d aisos le chageme de variable u ; du L.Gulli Eercices d oral ENV B Page 9/

10 l l u l u l d du du du u u u l l u u voir l u l ² E du F F u l l ² l ² Par coséque d l ² F F Eercice 9 : Or du du [ u ] l l l l ² l u du u oos S u élève es abse S, L idéedace de abseces, rouve que X come le ombre de succès oc X sui la loi biomiale B ; do EX*, a X, 9, 8 8 b X 9, ², 9, 87 c 9 X X X X, 9,, 9 9, ², 9 X, 9 X X X X,, o eu arocher B ; ar P < 8 7 X 9, ², 9,, 9,?, 9 L.Gulli Eercices d oral ENV B Page / 6 8

11 e a X e, 68! e b X, 8! e c X, 68, 8. 9! 9 F A P F P A 9 P X,, 9 8, Eercice : éude des soluios sur ] ; [ E, y ' y équaio homogèe H y ' y y avec es d soluios de H : y Ke l Ke Ke avec K R soluio ariculière : y es soluio de y ' y soluios de E : y Ke avec K R éude des soluios sur ] ;[ E, y ' y ² ; doc y y ' équaio homogèe H y ' y y avec es Ke soluios de H : y Ke d l Ke avec K R soluio ariculière : méhode de variaio de la cosae Ke K' e y doc y' K e E y ' y ² ² e oe K' e K e K ² doc K ' ² e oc eoeielle / olyôme K ² e d ² e soluios de E : y Ke Ce avec C R C Eude des soluios sur R :si es soluio de E sur R alors C sur ] ; [ C sur ] ;[ L.Gulli Eercices d oral ENV B Page /

12 > Ke Ce < lim Ke Ce E lim [ ] Ce oc lim ² Ce C C Or e o ² doc C o Ce Si C lim doc es as déiie e doc es as soluio de E sur R Ce Si C lim Coclusio si es soluio de E sur R alors < e E > Ke lim ' lim ' aure ar o doi avoir [ ] [ ] e Or < ' ² ² ² e o ², doc ' o ² ² O doi doc avoir lim[ ' ] doc lim[ ' ] Or > Ke doc ' Ke doc lim [ ' ] K oc écessaireme K E résumé, l uique soluio de E sur R es la ocio déiie ar e < E > e e E ' L.Gulli Eercices d oral ENV B Page /

13 Eercice : P X doc a! oc e a E X e doc a l e P X P X a!! e a a e!!! a ae E X a e!! [ X Y ] X Y U P X Y P U idéedace a a oc P S 6!! Eercice : a a à icomaibles [ X Y ] P X P Y a a! Tableau our Z Ω X \Y. L.Gulli Eercices d oral ENV B Page /

14 oc Z Ω N Pour U Z X Y [ Y X ] à icomaibles Y P X a ap Y P Z P P Z a a Y a P Y a a E a E Y E [ a ] Y [ ] [ a ] P X Y [ ] Y a P X E[ a ] P Z P Z E Eercice : a Noos E { ; ;...}, e A le ombre de aries de cosécuis, doc v card A? ; ; ; ; Preos u eemle : E { } Comme cosruire les élémes de A? isiguos deu yes d élémes de A * Les élémes de * Les élémes de E e coea as d eiers A qui e coiee as { }, ce so alors les élémes de A A qui coiee { }, s ils coiee { }, ils e coiee as { } A auquels o a aoué { } Ce so doc les élémes de Coclusio card A card A card A doc v v v de même v v v b Noos v 7 le ombre de aços disices our la greouille d arriver à la 7 ème marche Pour arriver à la 7 ème marche la greouille a que ossibiliés -elle a as saué la 6 ème marche ou - elle a saué la 6 ème marche oc v 7 v6 v e même v 6 v v ; v v v ; v v v ; v v v Or v e v oc v ; v ; v 8 ; v 6 ; v 7 La greouille a aços d aeidre le hau de l escalier L.Gulli Eercices d oral ENV B Page /

15 c Le ombre de aços que la greouille a d aeidre le hau de l escalier sas asser ar la 6 ème marche es égal au Le ombre de aços que la greouille a d aeidre le hau de l escalier sas asser ar la ème marche v 8 Eercice : Sa robabilié es v v 7 8 u u Chageme de variable π a u e u π π a l g e e lim u lim g? u π a u l u h avec π l h co a l π a π π l ε ; a X X Xε X ; doc a ε doc h ε π lim h π doc π π lim g e doc lim u e u Eercice L.Gulli Eercices d oral ENV B Page /

16 a M ; M ; M R 9 ; M R 7 ; R,,,,, b A M A M M A M S A S doc R R M R M R S M M S M M M M M M les ersoes qui o les deu maladies oc M M les ersoes qui o aucue des deu maladies M M S Remarque : M M M M M M,, E M M M M S oc S P M M,, 7 R, 9,, 7,,, 7, c M R M R M, 9, R M R R, M R M R M, 7, R M R R, S R S R S,, R S R R, d Coû M M S,,98,99,6 R R R Coû,98,6,99 9 euros S L.Gulli Eercices d oral ENV B Page 6/

17 Eercice 6 : a Noos M la ersoe es malade e T le résula au es es osi L éocé di que : P T / M, 9 ; P T / M,, e P M, P M,96, O ous demade de calculer P M / T? P M T P T / M P M P T / M P M P M / T P T P T M P T M P T / M P M P T / M P M c es la ormule des robabiliés oales,, 96 P M / T, 6, 9,,, 96 b X sui la loi B ;, EX*, VX**,96,8 P X X,, 96, 98 P X X P X P X c P X / X P X P X ,,,,, P X / X, 9 P X, 98 Eercice 7 L.Gulli Eercices d oral ENV B Page 7/

18 al uivers des ossibles es doé das le ableau ci-dessous : 6 ; ;6 ; ;6 Loi de X i 6 PXi Loi de Y yi PYyi a Loi du coule X ;Y P X i Y 8 b PXY P X Y PXYP ;P ;P ; PXY6P ;P ;P, 7 PS Z sui la loi B ;7/8 EZ/ L.Gulli Eercices d oral ENV B Page 8/

19 7 7 P Z P Z P Z a ; ; ; doc Y X Loi de Y X Y X Y Y X Y X Y Y 6 Loi de X X X EX/ EY/ VXEX²-//-// VYEY²-/9/-/9/9 X e Y idéedaes doc X Y X Y 6 Eercice : eu ersoes A e B are e vacaces de aço idéedae das u ays E. Leur séour das ce ays eu s éales sur ourées > uméroées,,,. Pour éveuelleme s y recorer, elles o roeé d y séourer rois ours cosécuis e rois ours seuleme das u hôel H, choisi ar elles. O suose que les ours d arrivées,,,-, de ces deu ersoes so équirobables. Les arrivées o lieu le mai à 8h e les déars le soir à 8h deu ours lus ard. a Erimer e ocio de, la robabilié our que A e B arrive le même our berimer e ocio de, la robabilié our que A e B arrive avec u our d écar. c Erimer e ocio de, la robabilié our que A e B se recore à l hôel. Sacha que A e B se so recorées à l hoel, erimer e ocio de, la robabilié our que A e B e uisse asser qu ue ourée esemble. L.Gulli Eercices d oral ENV B Page 9/

20 a u arbre more que A, a ossibiliés, e our chacue d elle B a ossibiliés, le ombre de coules ossibles de ours d arrivée es. Noos R l évéeme A e B arrive le même our à l hoel. Le ombre de cas avorables d arriver le même our es a arrivé our ; Jour ; Jour cas Fav -, la robabilié d arriver le même our es doc R Cas Poss ² b Noos R l évéeme A e B arrive avec u our d écar à l hôel. éude des cas avorables. si A arrive le er our, alors B arrive le ème our. si A arrive le our avec ; alors B arrive soi le our - soi le our si A arrive le -èmè our, alors B arrive le -èmè our le ombre de cas avorables es doc { { 6 er our derier our cas Fav 6 la robabilié d arriver avec u Jour d écar es R Cas Poss ² ² c Noos R l évéeme A e B se recore à l hôel. Come eu de l arrivée le our J au mai, e du déar le our J le soir A e B e euve se recorer que das les cas où «A e B arrive le même our R» ou «A e B arrive avec our d écar R». ou «A e B arrive avec ours d écar R l u arrive le mai e l aure ar le soir». doc R R R R o a déà calculé R e R, calculos R calcul de R si A arrive le er our, alors B arrive le ème our. si A arrive le ème our, alors B arrive le ème our. si A arrive le our avec ; alors B arrive soi le our - soi le our si A arrive le -èmè our, alors B arrive le -èmè our si A arrive le -èmè our, alors B arrive le -èmè our le ombre de cas avorables es doc { { { { 8 er our ème our èmeour èmeour cas Fav la robabilié d arriver avec Jours d écar es R Cas Poss ² La robabilié de se recorer es doc 6 R P R P R P R ² ² ² ² Noos E l évéeme A e B e asse qu ue ourée esemble à l hôel. P E R O demade de calculer R E P R L évéeme E R sigiie : ils se so recorés à l hoel e ils o assé qu ue ourée esemble : E R E R R R E R E R E R L.Gulli Eercices d oral ENV B Page /

21 Or E R ils arrive le même our e ils rese ours doc ils asse ours esemble E R R ils arrive avec our d écar e ils rese ours doc ils e asse qu u our esemble E R ils arrive avec ours d écar e ils rese ours doc ils asse our esemble P R ² 6 Coclusio E R R doc R E P R 6 6 ² Vériicaio > doc our ls éale leur séour sur ours ; e leur séour dure ours cosécuis oc A e B e euve arriver le remier our ou le deuième our ossibiliés O ai u arbre, ils e asse qu u seul our esemble lorsque A arrive le our e B le our ou A arrive le our e B le our doc cas av doc la roba es /, 6 6 E, 6 6 Eercice : si < si es osiive, aya u seul oi de discoiuié, e lus d d doc déii ue desié de robabilié L.Gulli Eercices d oral ENV B Page /

22 U > Mi T ; T; T > T > T > T > oc [ T > T > T > ] idé > > > > P U P P T P T P T d oc P U > d or si d si < oc > si P U si < Remarque : Pour rouver que U es ue variable aléaoire de desié g l sui de déermier ue ocio g elle que P U > g d E ar coséque P U g d E dériva P U ' g doc g ' [ P U ] [ P U > ]' Fi de la remarque : Posos ar coséque la dérivée de 6 si g ; si < si < 6 si si si < 6 O a o a g d d, doc g es ue desié de roba Pour Pour < g d d P U > g d d P U > L.Gulli Eercices d oral ENV B Page /

23 Eercice : e e e e e e e e e e e e e e oc e e e es veceur rore associé à la valeur rore e e e e e so veceurs rores associés à la valeur rore e e e ; e e ; e e es ue base de veceurs rores, oc A es diagoalisable marice de assage P ; P E oa ; o a oc A P P rodui de marices iversibles es iversible. ar récurrece! B A A... A P PP P... P P P... P P P Avec oc B P P rodui de marices iversibles es iversible e B P P d L.Gulli Eercices d oral ENV B Page /

24 L.Gulli Eercices d oral ENV B Page / B Eercice : Tableau our Ω Y \X. oc N Ω Pour U [ ] Y X X Y à icomaibles [ ] Y P X P P ² ² doc [ ] P ² or [ ] oc Pour [ ] P ² P P P P E Or ² oc ² ² oc E