TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MFI. Informatique 3A MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES POUR L INFORMATIQUE , Automne. Jérôme Bastien

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1 TRAVAUX DIRIGÉS DE l UE MFI Informatique 3A MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES POUR L INFORMATIQUE 24-25, Automne Jérôme Bastien Document compilé le 23 septembre 24

2 Ce document est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons : Paternité - Pas d Utilisation Commerciale - Pas de Modification ; 3. ou en français

3 Liste des Travaux Dirigés Avant-propos iii Travaux Dirigés. Fonctions (de R dans R) Notions de continuité, limite Dérivation Développements limités 2 Applications en MNB 3 Travaux Dirigés 2. Suites numériques 5 Travaux Dirigés 3. Intégration 9 Calcul direct d intégrales 9 Calcul d intégrales par intégration par partie 9 Calcul d intégrales par changement de variable 9 Intégration des fractions rationnelles et autres fonctions particulières Travaux Dirigés 4. Équations différentielles ordinaires Équations différentielles ordinaires d ordre un et deux à coefficients constants Autres types d équations différentielles ordinaires 3 Travaux Dirigés 5. Systèmes linéaires et matrices Produit matriciel Résolution de systèmes Inversibilité de matrices Application : géométrie plane 6 Travaux Dirigés 6. Diagonalisation et applications Diagonalisation Application à la résolution de systèmes différentiels 9 Bibliographie 2 i

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5 Avant-propos Ce polycopié constitue les TD de Mathématiques Fondamentales pour l Informatique de Informatique 3A (24-25, Automne). Ce polycopié de TD est normalement disponible à la fois en ligne sur à la rubrique habituelle ; en cas de problème internet, sur le réseau de l université Lyon I : il faut aller sur : Poste de travail, puis sur le répertoire P: (appelé aussi \\teraetu\enseignants ), puis jerome.bastien, puis Polytech, puis Informatique 3A. enfin sur MFI. iii

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7 TRAVAUX DIRIGÉS Fonctions (de R dans R) Notions de continuité, limite exercice.. Étudier la limite de x 2 sin(/x) quand x tend vers zéro. exercice.2. Étudier la limite de (x 2 +)/(x 4 3x +)quand x tend vers +. exercice.3. Calculer la limite suivante : lim x2 + x + x x + Les exercices qui suivent sont facultatifs (et plus durs!). exercice.4. Déterminer lim x + xe ( ) x. exercice.5. () On considère la fonction caractéristique Q de Q définie par { si x Q, x R, Q (x) = si x Q. Montrer que la fonction Q est discontinue en tout point de R. On utilisera le fait que Q est dense dans R et que R\Q est dense dans R, c est-à-dire, pour tout x R\Q, il existe une suite (q n ) n N de rationnels tels que lim q n = x, n + pour tout x Q, il existe une suite (t n ) n N d irrationnels tels que lim t n = x. n + (2) On considère la fonction f de R dans R définie par x R, f(x) = Q (x) x +. Montrer que f est discontinue sur R et continue en zéro. (3) Soit n N. Pourriez vous construire une fonction de R dans R définie sur tout R, qui soit ne soit continue qu en n points distincts de R exactement et discontinue en dehors de ces points? Dérivation exercice.6. Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition : a) f(x) = x 2, b) f(x) =tan( 2x 2), ( c) f(x) =ln x 2 ), d) f(x) =cos 3 (x)sin 2 (x), e) f(x) =x 2 ( + x) n où n N.

8 2. FONCTIONS (DE R DANS R) exercice.7. Tracer le tableau de variation de la fonction définie par On pourra être amené à dériver plusieurs fois g. x R, g(x) =e x x 2 x. exercice.8. Montrer que la fonction f définie par x R, f(x) =(x sin x)(π x sin x), est strictement croissante sur ],π/2[. On montrera que x R, f (x) =(π 4sinx)sinx. Les exercices qui suivent sont facultatifs. exercice.9. Déterminer, pour n N, la dérivée n-ième des fonctions suivantes : a) f : R R b) f : R R x ( x 3 +2x 7 ) e x x e x cos(x) exercice.. Soient x R, f une fonction de R dans R définie au voisinage de x et dérivable en x, a, b R +. Démontrer que f(x + bh) f(x ah) lim = f (x ). h (b + a)h Développements limités exercice.. Trouver les limites suivantes 2 a) lim ln ( + sin x) cotan 2x, b) lim x x x 2 3 x 3, c) lim ( 2x 2 3x + ) tan πx, d) lim x /2 x + x ln(e x ) exercice.2. Former les développements limités à l ordre et au voisinage indiqués des fonctions suivantes : ( ) sh x a) ordre 4, voisinage de,f(x) =ln, x b) 3,, ln ( ln(e + x) ), c) 4,, x e x, d) 7,, e cos x, e) 3, 2, x x. exercice.3. Reprendre l exercice.3 avec les développements limités. UCBL/Polytech Automne Informatique 3A TD de MFI Jérôme Bastien

9 APPLICATIONS EN MNB 3 Applications en MNB exercice.4. On considère la fonction suivante f(x) =e 2 x 2 x 8. () Déterminer le nombre des racines de l équation f(x) =pour x. (2) Répondre à la question lorsque 6 x f(x) = x dans l intervalle [.5, 2].

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11 TRAVAUX DIRIGÉS 2 Suites numériques exercice 2.. () (a) Ceux qui ont une calculatrice «à l ancienne» la convertiront en mode radian. Taper n importe quel nombre, par exmple.5, puis appuyez plusieurs fois de suite sur la touche «cos». Les autres calculatrices, avec affichage alphanumérique, devront s adapter. (b) Que constatez-vous? (c) En appelant u n, la valeur obtenue à la n-ième frappe de la touche «cos», quelle relation avez-vous entre u n et n?entreu n+ et u n? fonction itérés du point fixe dernière valeur.45 (2) Figure 2.. Le colimaçon associés à la suite u n+ =cosu n. Tracer sur un même graphique les fonctions données par y =cos(x) et y = x et expliquer la construction du colimaçon de la figure 2.. Fairelamêmemanœuvreenpassantcettefois-civotre calculatrice en mode degré. Observez la figure 2.2. Observez la figure 2.3 et commentez! (5) Nous allons essayer de démontrer cela rigoureusement. Questions en cours de rédaction. 5

12 6 2. SUITES NUMÉRIQUES 25 2 fonction itérés du point fixe dernière valeur (3) Figure 2.2. Le colimaçon associés à la suite u n+ =cosu n (en degré) fonction itérés du point fixe dernière valeur.5 (4) Figure 2.3. Le colimaçon associés à la suite u n+ =cos(α)u n pour α =. exercice 2.2. Calculer la limite des suites définies par leur terme général u n dans chacun des cas suivants : u n = 3n 2 n 3 n +2 u n = n + n u n = n ( )n n +( ) n ( u n = + ) n n exercice 2.3. Reprendre l exercice 2. avec la suite définie par récurrence par u n+ = ) (u n + Aun, (2.) 2 en prenant par exemple u =5et A =. Observez la «rapidité» du calcul et la figure 2.4. UCBL/Polytech Automne Informatique 3A TD de MFI Jérôme Bastien

13 2. SUITES NUMÉRIQUES fonction itérés du point fixe dernière valeur Figure 2.4. Le colimaçon associés à la suite définie par (2.).

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15 TRAVAUX DIRIGÉS 3 Intégration Ces exercices sont tous issus de [CN3]. Calcul direct d intégrales exercice 3.. Calculer directement les intégrales suivantes : () (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) π π 3 e 3 π 2 x 4 dx, sin(x) dx, x 2 + dx, x 2 dx, tan(x) dx, x dx, 2 x dx, sin 2 xdx. Calcul d intégrales par intégration par partie exercice 3.2. Calculer les intégrales suivantes : x 3 () e x dx, (2) (3) (4) π π 4 e cos(x) ( x x 2) dx, cos 2 xdx, ln(x) dx. Calcul d intégrales par changement de variable exercice 3.3. Calculer les intégrales suivantes en faisant le changement de variable indiqué : () π 2 cos 2 x sin xdx, avect =cos(t), 9

16 3. INTÉGRATION (2) (3) (4) (5) (6) (7) π π 2 dx, avect =tan(x/2), 2cos(x)+3 x 2x + dx, avec2+4x = t 2, dx, avecx =tan(t), x2 + x x dx, avecx =t 2, x dx, avecx =/t, x 2 cos x 6 5sinx +sin 2 dx, avecsin(x) =t. x Intégration des fractions rationnelles et autres fonctions particulières Section facultative exercice 3.4. On pose, pour tout n N I n = () Calculer I et I. (2) Établir une relation entre I n et I n+2. (3) En déduire une expression générale de I n. exercice 3.5. Calculer les intégrales suivantes : () (2) (3) (4) 2 2 e x 2 dx, x + (x ) (x 2) 2 dx, x + x 2 + x + dx, (x 2 +2x +2) 2 dx. x n sin(πx)dx. UCBL/Polytech Automne Informatique 3A TD de MFI Jérôme Bastien

17 TRAVAUX DIRIGÉS 4 Équations différentielles ordinaires Équations différentielles ordinaires d ordre un et deux à coefficients constants Exercices extraits de [BC4]. Équations différentielles à coefficients constants d ordre un exercice 4.. Résoudre les équations différentielles suivantes (avec les éventuelles conditions initiales) où a R et b, t,y R. a) 2y (t)+3y(t) =, b) ay (t)+by(t) =, y(t )=y, exercice 4.2. Résoudre les équations différentielles suivantes (avec les éventuelles conditions initiales) a) 2y (t)+3y(t) =e t, y() = 2, b) 2y (t)+3y(t) =cos(t), c) y (t)+y(t) =t 2 + t. Pour la deuxième équation, on pourra passer en complexe pour trouver simplement une primitive de la fonction cos(t)e 3t/2. Pour la troisième équation, on pourra chercher une solution particulière polynômiale. Équations différentielles à coefficients constants d ordre deux exercice 4.3. Résoudre les équations différentielles suivantes (avec les éventuelles conditions initiales) a) y (t) 3y (t)+2y(t) =, b) y (t) 2y (t)+2y(t) =, c) y (t)+2y (t)+y(t) =, y() = 2, y () =. exercice 4.4. Résoudre l équation différentielle suivante exercice 4.5. () Résoudre l équation différentielle suivante y (t) 3y (t)+2y(t) = 3 sin(t)+cos(t). 2y +5y 3y =. (2) En déduire la solution de l équation différentielle suivante 2y +5y 3y = t 3 + t 2. On cherchera d abord une solution particulière sous la forme d un polynôme.

18 2 4. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES Applications à la mécanique exercice 4.6. On considère l équation différentielle gérant le mouvement d un point matériel d abscisse x soumis à l association en parallèle d un ressort linéaire de raideur k et d un patin de viscosité c et à une force extérieure nulle : mẍ(t)+cẋ(t)+kx(t) =. Ici, m, c et k sontdesréelsstrictementpositifs. () Résoudre cette équation différentielle (on distinguera plusieurs cas) (2) En faisant le moins de calculs possible, montrer que, dans tous les cas (et ce, indépendamment des conditions initiales) lim x(t) =. t + Physiquement, d où vient ce résultat? exercice 4.7 (Résolution du flambement dans le cas raisonnant). On étudie l équation différentielle qui traduit l équilibre d une poutre en compression avec un défaut initial v (x)+ωv(x) 2 =K sin(ωx), (4.) avec les conditions aux limites v() = v(l) =. (4.2) Ici, ω, ω et K sont des constantes strictement positives et L est la longueur de la poutre étudiée. Dans le cours, on a déjà traité le cas où ω ω. On suppose donc que ω = ω. (4.3) () Pourquoi ne peut on pas chercher une solution particulière de (4.) sous la forme v = λ sin(ω x), (comme dans le cours) sous l hypothèse (4.3)? (2) En utilisant la méthode de la variation de la constante, résoudre (4.) sous l hypothèse (4.3). (3) Vérifier que la solution obtenue est bien solution de (4.). (4) En considérant l hypothèse (qui provient de (4.3)) ω L = π, et les conditions aux limites (4.2), montrer que le système (4.)-(4.2) n admet une solution que dans le cas où K =, cette solution étant v(x) =B sin(ω x), où B est une constante quelconque. Pour chercher exercice 4.8. Une grandeur évolue à une vitesse proportionnelle à elle même. On sait que cette grandeur double tous les dix ans. Combien de temps lui faut-il pour tripler? exercice 4.9. Lorsqu on perce un trou au fond d un récipient cylindrique rempli de liquide sur une hauteur z, on démontre en mécanique des fluides que la vitesse d expulsion du liquide par le trou est v = 2gz. () En supposant que la section du récipient est S est que celle du trou est s, montrerque vs = Sdz/dt. Indication «tout ce qui n est plus au dessus est sorti par le trou». UCBL/Polytech Automne Informatique 3A TD de MFI Jérôme Bastien

19 AUTRES TYPES D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES 3 (2) En déduire l équation différentielle permettant de trouver z(t). (3) En utilisant la technique de séparation des variables, intégrer cette équation différentielle ; on supposera que z = z à t =. (4) En déduire le temps de vidange du récipient. (5) Application : la clepsydre On voudrait fabriquer un récipient dont la forme soit telle que dz/dt soit constant : on pourra ainsi fabriquer une horloge à eau dans laquelle la hauteur serait en relation linéaire avec le temps écoulé. Pour cela, on suppose que le récipient est de révolution autour d un axe Oz et dont la section perpendiculaire à cet axe serait un cercle de rayon r(z) ne dépendant que de z. Trouver la forme de r(z). (6) Réflexion : Pensez-vous que les grecs savaient résoudre des équations différentielles? Comment ont-ils procédé? Autres types d équations différentielles ordinaires Exercices essentiellement extraits de [BD, chapitre 4]. exercice 4.. Résoudre l équation xyy y 2 =. exercice 4.. () Soient A une primitive quelconque de a et C R. Montrer alors que la fonction φ(t) =Ce A(t) (4.4) est solution de l équation y (t)+a(t)y(t) =. (4.5) (2) Si on fait le changement de fonction inconnue en posant : y(t) =w(t)e A(t), quelle est l équation vérifiée par w? En déduire que toutes les solutions de (4.5) sont de la forme (4.4). (3) Soient y la solution générale et y p une solution particulière de y (t)+a(t)y(t) =f(t) (4.6) et soit z = y y p. Déterminer l équation dont z est solution. En déduire que la solution générale de (4.6) y(t) =Ce A(t) + y p (t), où y p (t) est une solution particulière de (4.6). exercice 4.2. Résdoudre l équation différentielle du premier ordre y +3x 2 y = exercice 4.3 (Équation de Bernoulli). Soient n un entier naturel strictement supérieur à et a et b deux réels. On considère l équation différentielle suivante : y (t) =ay(t)+by n (t). (4.7) On se propose de rechercher les solutions strictement positives de (4.7) sur R. () On pose sur R, z = y n. Déterminer une équation différentielle satisfaite par z et la résoudre. (2) En déduire les solutions strictement positives de (4.7) sur R. (3) Que donne le cas n =?

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21 TRAVAUX DIRIGÉS 5 Systèmes linéaires et matrices 5.. Produit matriciel exercice 5.. Calculer le produit matriciel AB dans les cas suivants : a) A = b) A = ( ) ( ) 2 2, B =, ( ) 3 6 8, B = exercice 5.2. Calculer le produit matriciel ABC avec A = 5.2. Résolution de systèmes ( ) 2, B = 3 4 exercice 5.3. Résoudre les systèmes suivants 2 3 4, C = ( ). a) { 2x + y =3, 2x +4y =6. b) x + y + z =6, 2x 3y +4z =8, x + y z =. c) x + y + z =6, 2x 3y +4z =8, 3x 2y +5z =4. d) x + y + z =6, 2x 3y +4z =8, 3x 2y +5z =3. On précisera si chaque système admet une solution, une infinité de solutions ou aucune solution. 5

22 6 5. SYSTÈMES LINÉAIRES ET MATRICES 5.3. Inversibilité de matrices exercice 5.4. Préciser dans chaque cas si la matrice A est inversible ou non : ( ) a) A =, b) A =, c) A = 3 5, d) A = Application : géométrie plane On se propose dans cet exercice d utiliser les notions de matrice pour exprimer analytiquement les rotations planes. Ces notions peuvent aussi s exprimer par le biais des complexes. exercice 5.5 (Étude des rotations). On se place dans le plan complexe, muni d un repère orthonormé (O, x, y). () Soient R R +, θ, φ R. Rappeler l interprétation géométrique de l égalité Re iφ e iθ = Re i(θ+φ). (2) Soient θ R et M un point du plan de coordonnées (x, y). En posant z = x + iy, calculer l affixe du point M, image de M par la rotation de centre O et d angle θ. (3) En déduire les coordonnées (x,y ) de M. On met le résultat sous la forme matricielle ( ) ( ) x x y = S θ, y où S θ est la matrice de M 2 (R) définie par ( ) cos θ sin θ S θ =. sin θ cos θ (4) Montrer que l inverse de la matrice S θ est définie par ( ) cos θ sin θ S θ =. sin θ cos θ (5) Pourquoi a-t-on Interprétez géométriquement. (6) Montrer que, pour tout θ, θ R, ona S θ = S θ? S θ S θ = S θ+θ. Interpréter ce résultat géométriquement et matriciellement. Remarque 5.. Les matrices permettent d étudier les applications linéaires planes ou spatiales (ou dans des espaces de dimensions quelconques). L exercice 5.6 permet de traiter un autre type d application. exercice 5.6 (Étude d une symétrie axiale). On se place dans le plan muni d un repère orthonormé. On considère la droite D d équation y = x/2. On appelle p D la projection orthogonale sur la droite D. UCBL/Polytech Automne Informatique 3A TD de MFI Jérôme Bastien

23 5.4. APPLICATION : GÉOMÉTRIE PLANE 7 () Soit M de coordonnées (x, y) et H(x,y ) l image p D (M) de M. Montrerque H D= y = x 2, (5.a) D (MH)= 2x + y 2x y =. (5.b) (2) Déduire de (5.) que l on a (x ) ( ) x y = A où A = y 5 (3) La matrice A est elle inversible? Pourquoi? ( )

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25 TRAVAUX DIRIGÉS 6 Diagonalisation et applications 6.. Diagonalisation exercice 6.. La matrice suivante est elle diagonalisable? 8 2 A = On montrera que la dimension de l espace propre associée à la valeur propre 2 est égale à un. exercice 6.2. Diagonaliser la matrice suivante sur C : ( ) B =. exercice 6.3. Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 3 et A la matrice de M n (R) définie par... A =... Montrer que A est diagonalisable. Pour cela, on pourra montrer, en résolvant le système AX = λx, oùλ R et X R n, que les sous-espaces propres de la matrice A sont : un espace de dimension n 2 associé à la valeur propre ; deux droites vectorielles associées à deux valeurs propres distinctes et non nulles que l on calculera Application à la résolution de systèmes différentiels exercice 6.4. On considère le système mécanique représenté sur la figure 6., formé de deux points matériels de masses m et m 2, d abscisses par rapport à la position d équilibre x (t) et x 2 (t), reliésàtroisressortsde raideur k, k 2 et k 3, soumis à aucune force extérieures. m m 2 k x k 2 x 2 k 3 Figure 6.. un système de ressorts () Montrer que le principe fondamental de la dynamique conduit aux deux équations suivantes { m ẍ (t)+(k + k 2 ) x k 2 x 2 =, m 2 ẍ 2 (t) k 2 x +(k 2 + k 3 ) x 2 =. (6.) 9

26 2 6. DIAGONALISATION ET APPLICATIONS (2) Déterminer les matrices M et K telles que (6.) soit équivalent à MẌ(t)+KX(t) =, (6.2) où ( ) x (t) X(t) =. x 2 (t) (3) Pour la suite de cet exercice, on suppose que m = m 2 =, k = k 2 = k 3 =. Diagonaliser la matrice K et en déduire la solution générale de (6.2). (4) Montrer qu en choisissant les conditions initiales particulières, on peut avoir comme solution { x (t) =cos(t + φ), x 2 (t) = cos(t + φ), et { x (t) =cos( 3t + ψ), (5) À quoi correspondent ces deux régimes? x 2 (t) =cos( 3t + ψ). UCBL/Polytech Automne Informatique 3A TD de MFI Jérôme Bastien

27 Bibliographie [BC4] J. Bastien et D. Chamoret. Mathématiques : Applications. Travaux Dirigés de l UV MT3 de l UTBM, disponible sur le web : rubrique MT pages. [BD] G. Blanchard et M.-C. Duban. Révision d algèbre et d analyse (cours de MT). Université de Technologies de Compiègne. 2. [CN3] T. Clopeau et D. Naima. Pré-recquis mathématiques. Notes de cours. Polytech Lyon, 23. 2

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