Banque d exercices pour le cours de "mise à niveau" de statistique de M1 AgroParisTech

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1 Banque d exercces pour le cours de "mse à nveau" de statstque de M1 AgroParsTech Instructons pour les exercces 1. Lorsque ren n est précsé, on suppose que la dstrbuton étudée est gaussenne. Pour les exercces 4 et 8, on approche une lo bnomale par une lo normale. 2. Pour chaque estmaton, on précsera l expresson de l estmateur ans que sa dstrbuton. 3. Pour chaque ntervalle de confance, on précsera l expresson et la dstrbuton de la statstque pvotale. 4. Pour chaque test, on donnera (a) la lo de l expérence, (b) les hypothèses testées et le rsque de premère espèce(sauf demande expresse, on prendra 5%), (c) la statstque du test, (d) la règle de décson (ou la zone de rejet), (e) la décson prse. 5. Pour chaque régresson lnéare, (a) on donnera le modèle utlsé, éventuellement le changement de varable chos, (b) on donnera les estmatons des paramètres, la drote de régresson et on défnra chaque objet du tableau des paramètres obtenu par le logcel. Vous précserez également les tests effectués, (c) on détallera la table d analyse de la varance, en donnant les sommes de carrés, leurs degrés de lberté, les carrés moyens et la statstque de Fsher. On précsera le test effectué, et le coeffcent de détermnaton, (d) on étudera le graphe des résdus. On fera éventuellement un changement de varable appropré, (e) s la valeur de x observée est x, on fera une prévson pour Y et on donnera un ntervalle de prédcton. Enoncés Exercce 1 Un échantllon de 25 yaourts prs dans une lgne de fabrcaton donne une contenance moyenne à 148 ml et l écart type est supposé connu et égal à 2ml. Donner un ntervalle de confance à 95% sur la contenance réelle de la populaton de yaourts de cette lgne de fabrcaton. A 99%? La valeur nomnale 150 ml se trouve-t-elle dans ces ntervalles de confance? Exercce 2 Un échantllon de 10 yaourts prs dans une lgne de fabrcaton donne les résultats suvants :

2 Donner un ntervalle de confance à 95% sur la contenance réelle de la populaton de yaourts de cette lgne de fabrcaton. A 99%? La valeur nomnale 150 ml se trouve-t-elle dans ces ntervalles de confance? Indcaton : pour cet échantllon, on a x = 1498 et x 2 = Exercce 3 Donner un ntervalle de confance à 95% sur l écart type de la contenance réelle des yaourts de cette lgne de fabrcaton. A 99%? La valeur nomnale 2 ml se trouve-t-elle dans ces ntervalles de confance? Exercce 4 81 personnes ont utlsé une crème ant moustques sur les bras dans une zone nfestée. Seules 6 ont été pquées. Donner un ntervalle de confance à 95% sur la proporton de personnes mmunsées contre les pqûres. Exercce 5 Dans le cas de l exercce 1, peut-on dre que la lgne de remplssage des yaourts est ben réglée sur la valeur nomnale de 150 ml? Exercce 6 1. Dans le cas de l exercce 2, peut-on dre que la lgne de remplssage des yaourts est ben réglée sur la valeur nomnale de 150 ml? 2. Un clent pense que les yaourts ne sont pas assez rempls, fare le test unlatéral correspondant à cette queston, le résultat est-l le même que pour le test précédent, et à 1%? Exercce 7 L écart type de la lgne de fabrcaton n est-l pas supéreur à 2 ml, ce qu est annoncé par le fabrcant? Exercce 8 Dans le cas de l exercce 4, peut-on dre que l effcacté de la crème est supéreure à 5%? Exercce 9 On veut comparer l usure des semelles dans une expérence où chaque sportf porte successvement les semelles A pus B pour le même type d entranement. Les résultats sont le suvants : 2sportf Usure A Usure B Les résultats montrent-ls une dfférence d usure entre semelle A et B? Indcaton : Dans l échantllon A, on a x = et x 2 = , et dans l échantllon B, y 2 = y = et Exercce 10 On veut comparer les ndces céphalques (rapport entre la largeur maxmale et la longueur maxmale du crâne human, en pourcentage) des crânes de deux populatons. Pour cela, on a relevé ces ndces sur 13 ndvdus de chaque populaton, prs au hasard : POP1 : POP2 :

3 En supposant ces ndces dstrbués suvant une lo normale, fare un test de comparason des deux populatons. Aurat-on pu prendre des échantllons de talles dfférentes? Indcaton : dans l échantllon 1, on a x = 989.1, x 2 = , alors que dans l échantllon 2, on a y = et y 2 = Exercce 11 On reprend l exemple précédent des semelles de chaussures. Pour la semelle A sur un échantllon de 10 sportfs on a obtenu une moyenne d usure de mm avec un écart type de 2.45 mm. Pour la semelle B sur un échantllon de 11 sportfs (ndépendant du premer) on a obtenu une moyenne d usure de mm avec un écart type de 2.51 mm. 1. La semelle B s use-t-elle plus vte que la A? 2. Quelle méthode expérmentale vous parat la melleure? Exercce 12 On souhate comparer la consommaton de boeuf dans les vlles anglases et françases. Pour cela, on relève dans 10 vllages franças de même mportance la consommaton de boeuf sur deux mos (en Kg par habtant) : On relève auss dans 10 vllages anglas comparables la consommaton de boeuf sur deux mos (en Kg par habtant) : On suppose que ces observatons sont ndépendantes et gaussennes. 1. Donner un ntervalle de confance pour la consommaton moyenne de boeuf sur deux mos dans les vllages franças au nveau de confance de 95%. 2. Tester au nveau 5% s l on consomme autant de boeuf dans les vllages anglas et franças. Indcaton : sur les 10 vllages franças, on obtent x = et x 2 = Sur les 10 vllages anglas, on obtent y = et y 2 = Exercce 13 Une tablette de chocolat sera qualfée de qualté supéreure s elle content une teneur en cacao supéreure à 430g par klogramme. On effectue un contrôle de qualté sur un échantllon de 10 tablettes de chocolat. On obtent les teneurs (exprmées en grammes par klogramme) suvantes : Que peut-on en conclure pour des nveaux de 20%? de 5%? 2. Construre un ntervalle de confance pour l espérance de la teneur en cacao au nveau de confance 95%. 3. Tester au nveau 10%, H 0 : "l écart-type vaut 30" contre H 1 : "l écart-type est plus grand que 30". Indcaton : dans cet échantllon, on a x = et x 2 = Exercce 14 Vous avez à décder s la concentraton d un certan produt est plus élevée dansune soluton A que dans une soluton B. Des dosages, effectués à cet effet, on donné les résultats suvants : soluton A : mg/l soluton B : mg/l On admet que le résultat d un dosage est la valeur d une varable aléatore normale dont l espérance est la concentraton du produt dans la soluton chose et dont l écart-type est le même dans les deux solutons. 3

4 Au nveau 5%, peut-on conclure que la concentraton du produt est plus élevée dans la soluton A? Indcaton : pour la soluton A, on a y 2 = x = 80.7 et x 2 = , et pour la soluton B, y = 50.6 et Exercce 15 On souhate vérfer la précson d une mesure. Pour cela, on effectue 10 mesures ndépendantes du même produt. Les résultats sont supposés ndépendants, gaussens, de moyenne m = 5 et de varance σ 2, représentant la précson. Les 10 mesures obtenues sont les suvantes : Construre un ntervalle de confance pour σ au nveau de confance 95%. Indcaton : dans cet échantllon, on a x = et x 2 = Exercce 16 Dans une maternté berlnose, une étude statstque a été menée pour essayer de détermner quel est l mpact de l âge de la mère sur le pods des nouveaux-nés. On note respectvement X et Y le pods d un bébé né à terme respectvement d une mère ayant mons ou plus de 30 ans. On observe un échantllon de 20 bébés dans chaque catégore et on obtent les pods (en Kg) suvants : pour les bébés ayant des mères de mons de 30 ans : pour les bébés ayant des mères de plus de 30 ans : On suppose que les varables X et Y sont gaussennes de moyennes respectves m 1 et m 2 et de même varance σ 2. Peut-on affrmer que les bébés nés de mères de plus de 30 ans sont plus petts à la nassance? Indcaton : dans le premer échantllon, on a x = et x 2 = Dans le deuxème échantllon, on a y = et y 2 = Exercce 17 Une assocaton de consommateurs veut comparer deux modèles de votures de deux marques dfférentes en s ntéressant à la proporton de véhcules qu ont beson d une réparaton mportante (plus de 500 euros) dans les deux premères années. Elles examnent 400 véhcules de la marque A, dont 53 vont nécesster une réparaton mportante, et 500 véhcules de la marque B, dont 78 vont nécesster une réparaton mportante. Peut-on conclure au rsque 10% que les deux proportons sont sgnfcatvement dfférentes? Exercce 18 Dataton au carbone 14 des troncs de Séquoa. Un étalonnage de la méthode de dataton au carbone 14 a été réalsé par l analyse de très veux troncs de séquoa géants. Par un prélèvement sur le tronc, on peut obtenr son âge en années, en comptant les anneaux de crossance et sa rado actvté C en carbone 14. t C logc Les los physques ndquent un len lnéare entre logc et le temps, fare une régresson de Y = logc en foncton du temps. Exercce 19 Salare en foncton du nombre d années d études. Un économste s ntéresse à la relaton lant la rémunératon à la durée des études. Il dspose de dx cas, ses ams d enfance qu ont exactement le même âge : 4

5 nom dplôme Revenu annuel brut en KE Jule Ingéneur 36 Albert CAP 14 Elode DUT 21 Kévn Bac pro 16 Mare DESS 32 Julen Ingéneur 34 Auréle CAP 16 Erc DUT 24 Carne Bac pro 14 Vncent DESS 30 Le nombre d années d étude est de -2 pour un CAP, 0 pour un Bac pro, +2 pour un DUT, +5 pour DESS et Ingéneur. Fare une régresson de Y = revenu en foncton du nombre d années d étude. 5

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