Cours d Electromagnétisme

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1 Année Universitaire Licence de Physique (S4) Cours d Electromagnétisme Chargé du Cours : M. Gagou Yaovi Maître de Conférences, HDR à l Université de Picardie Jules Verne, Amiens 1

2 Table des matières 1 Rappels d électrocinétique Notion de courant électrique Vecteur densité de courant et intensité du courant Conservation de la charge Loi d Ohm Champ d induction magnétique créé par un courant électrique Introduction Loi de Biot et Savart Théorème d Ampère Circulation du vecteur induction Généralisation du théorème d Ampère Equation de Maxwell-Ampère Théorème de Stokes Equation de Maxwell-Ampère Potentiel vecteur de l induction magnétostatique B est créé par un courant filiforme B est créé par un courant non filiforme Courant surfacique Courant volumique Remarque Conclusion Conservation du flux d induction Dipôle magnétique Définition Potentiel scalaire et induction magnétique créés par un dipôle magnétique Forces électromagnétiques Loi fondamentale de Laplace Travail des forces électromagnétiques Energie potentielle électromagnétique Régime quasi-stationnaire Introduction Force électromotrice d induction Hypothèses Circulation du champ électromoteur Induction électromagnétique - LOI DE FARADAY Loi de Faraday Sens du courant induit : Loi de Lenz Phénomènes d induction dans un circuit fixe placé dans un champ B variable

3 2.4.1 Expression mathématique du champ électromoteur Extension de la notion de champ électrique Relation de Maxwell-Faraday Coefficient d induction mixte Inductance propre et inductance mutuelle Principe de conservation de la charge Loi d Ohm en régime quasi-stationnaire Conclusion Energie électromagnétiques Définition Energie électromagnétique dans un circuit unique Cas de deux circuits filiformes (c 1 ) et (c 2 ) Généralisation Densité volumique d énergie électromagnétique Energie électromagnétique Localisation de l énergie électromagnétique : densité d énergie électromagnétique Energie électromagnétique dans le cas des circuits non filiformes Introduction 27 4 Série de Fourier Définitions Représentation Complexe Représentation spectrale Harmoniques Spectre Symétrie et Changement de l origine des temps Etude du circuit [R,L,C] série Méthode de Fresnel Notation en Complexe Valeur maximale, Valeur efficace Puissance Instantanée, Puissance moyenne Puissance active, Puissance réactive Rappels Champs stationnaires Champs quasi-stationnaires Régimes Variables (rapidement) Passage en régime variable

4 7.1.1 Difficultés d ordre mathématique Difficultés d ordre physique Que se passe-t-il réellement entre les armatures du condensateur? L équation de Maxwell-Ampère, Résumé des Equations de Maxwell Justification des Equations de Maxwell Les potentiels Equation de propagation du champ Cas général Cas où le milieu est considéré comme un diélectrique parfait Equations aux dimensions de ǫµ Les potentiels : Conditions de Lorentz Cas général d un milieu quelconque Définition d une onde plane Onde plane se propageant suivant un axe (Oz) Caractère transversale de l onde Relation entre les champs E et B Integration des équations de propagation Détermination de la composante (E x (z,t)) Détermination de B y (z,t) Détérmination de l onde (E y (z,t), B x (z,t)) Discussions Ondes progressives et régréssives Propriétés de l onde progressive Cas général : Onde plane de direction quelconque Notion de polarisation Définitions O.E.M. plane sinusoïdale et polarisée rectilignement Propagation suivant une direction quelconque Cas particulier d une propagation suivant Oz O.E.M. plane sinusoïdale et polarisée circulairement et elliptiquement Onde plane sinusoïdale se propageant rectilignement (notations complexes) Rappels 54 4

5 18 Calcul de l énergie électromagnétique Causes de la variation de l énergie électromagnétique Méthode de calcul Discussion Conservation de l énergie électromagnétique Cas d un volume non chargé Cas d un volume chargé

6 Chapitre 1 RAPPELS ET COMPLEMENTS DE MAGNETOSTATIQUE 1 Rappels d électrocinétique 1.1 Notion de courant électrique L ensemble des électrons d un conducteur peuvent être répartie en deux catégories : charges fixes fortement liées au noyau et les électrons de conduction. Tout ceci constitue un ensemble électriquement neutre avec une moyenne de vitesse nulle en l absence de champ électrique appliqué. En présence d un champ électrique constant E, les charges sont soumises à des électriques F = qe (1) et à des forces de frottement F r dues à des collisions des électrons contre les ions. Un état de régime s établit où les charges q sont animées d un mouvement d ensemble de vitesse v : c est le courant électrique. 1.2 Vecteur densité de courant et intensité du courant Soit ρ la quantité de charges mobiles par unité de volume. Pendant un intervalle de temps dt suffisamment petit les charges mobiles qui ont traversé l élément de surface ds sont contenues dans un petit volume cylindrique dτ de base ds et de génératrice parallèle à v. On a : dτ contient la charge, dτ = ds. vdt = v. ndsdt (2) dq = ρdτ = ρ v. ndsdt (3) Par définition, on appelle vecteur densité de courant au point M, le vecteur j = ρ v (4) par définition on appelle intensité du courant traversant l élément ds la grandeur : on en déduit : di = dq dt = j. ds = j. nds (5) I = Σ j. ds (6) Si dq est la charge ayant traversée le circuit pendant dt alors on a : I = dq dt 6

7 1.3 Conservation de la charge Soit Σ une surface entièrement fermée prise à l intérieur du conducteur et délimitant le volume τ, soit n la normale à la surface en tout point. L intensité du courant I ayant traversé Σ sera : I = j. nds = dq dt Σ où Q est la charge contenue dans D (le signe - pour traduire la diminution de charge dans τ due aux charges sortantes du conducteur). Or, Q = D ρ.dτ donc ρ j. nds = Σ D.dτ Par ailleurs d après le théorème de Green Ostrogradski, alors, on en déduit, Σ D j. nds = D div( j)dτ (div j + ρ )dτ = 0 (7) div j = ρ (8) En régime stationnaire ρ est partout constant dans le conducteur et alors div j = 0 (courant conctant). 1.4 Loi d Ohm F e = q. E est la force dont est soumisse la charge q en tout point du conducteur. E dérive du potentiel appliqué au conducteur. Ces charges sont soumises aussi aux forces de frottement : F r = λ v en regime permanent, v=constante et le PFD s écrit : m dv dt = F e + F r Conclusion : soit q. E λ v = 0 v = q λ E 7

8 d où j = ρ v = ρq λ E = σ E (9) avec σ = ρq Cette relation (loi d Ohm) indique que le vecteur j est colinéaire au champ E et donc lui λ est proportionnel. σ est appelé conductivité du matériaux. La quantité γ = 1 est appelé résistivité σ du matériaux. Les grandeurs γ et σ permettent de classer les matériaux en trois types : isolant, semi-conducteurs et conducteurs. 1.5 Champ d induction magnétique créé par un courant électrique Introduction La force électrostatique sur une charge q placée dans un champ électrique E est : F = q E L expérience montre que si q se déplace à la vitesse v 0, elle engendre en plus du champ E un champ d induction magnétique B. Lorentz a montré qu une particule de charge q se déplaçant à la vitesse v en présence des champs E et B créés par une charge quelconque Q, subit la force F = q.( E + v B) (10) A la force d origine électrostatique s est donc ajoutée une force d origine magnetique F m = q. v B. Le courant électrique étant la circulation de charges électriques, il en résulte qu un circuit éléctrique parcouru par une charge électrique produira en tout point M un champ d induction magnétique B et que l action de ce champ sur un autre circuit se traduira par l apparition de forces s exerçant sur ce circuit Loi de Biot et Savart a) Courant filiforme Considérons un fil métallique dans le plan π, dl = PP. Par definition la quantité Idl est appelé élément de courant au point P. Soit M un point quelconque de l espace tel que PM = r = r u, alors l élément de courant Idl crée au point M un vecteur induction magnétique élémentaire db dont : - le support est perpendiculaire au plan défini par (Idl, PM) - le sens est tel que le trièdre ( dl, r, db) soit direct - le module est défini par : db = µ 0I 4πr 2dlsinθ, où θ désigne l angle ( dl, u), µ 0 est la perméabilité du vide. Vectoriellement on écrit : db = µ 0I 4πr 3 dl r = µ 0I 4πr 2 dl u (11) 8

9 L induction magnétique B créée en un point M par un circuit filiforme fermé s obtient par intégration de la relation précédente. B = db Exemple : Un fil rectiligne infini traversé par un courant I crée en un point M situé à une distance a du fil crée l induction magnétique B de module : (c) B = µ 0I 2πa (12) Le sens de B est donné par la règle du tire-bouchon ou celle des trois doigts de la main. b) Courant surfacique Soit k le vecteur densité surfacique de courant, l élement de courant au point de la surface crée au point M un champs magnétique : En intégrant sur la surface on a : B = db = µ 0 k r ds (13) 4π r 3 (c) db = (c) µ 0 k r ds 4π r 3 c) Courant volumique Un volume élémentaire cylindrique de section ds est traversé par un courant di = j. ds. L élément de courant au point P pris à l intérieur du conducteur est alors di. dl = j. ds. dl = j.dτ on en deduit : d où, 1.6 Théorème d Ampère B = Circulation du vecteur induction (c) db = µ 0 j r dτ 4π r 3 db = (c) µ 0 j r dτ (14) 4π r 3 Soit Γ le cercle de rayon r centré en un point d un fil infini traversé par le courant I. Le sens de parcours de Γ étant choisi de sorte que le courant I entre par sa face sud et sorte par le nord. B = B r B θ B z = 0 µ 0 I 2πr 0 9

10 La circulation du vecteur induction magnétique B le long de Γ s écrit : C = B. dm µ 0 I = B θ.r.dθ = 2πr.r.dθ = µ 0I (15) on peut écrire aussi : (Γ) (Γ) C = (Γ) (Γ) H. dm = I car H = B µ 0, qui est vecteur exitation du champ magnétique ou (champ magnétique, tout court ) Généralisation du théorème d Ampère Cas d une distribution de courant filiforme Soit (Γ) le contour fermé enlaçant certains courants; la circulation du vecteur induction magnétique s écrit : C = (Γ) B. dm = µ 0 (±In ) (16) les courants sud-nord sont comptés positivement et les nord-sud négativement. Cas d une distribution de courant non filiforme C = B. dm = µ Equation de Maxwell-Ampère Théorème de Stokes Hypothèses : (Γ) (Σ) j. ds (17) a.) Soit (Σ) une portion de surface délimitée par un contour (Γ); on suppose que cette surface et continument orientable et que le contour fermé (Γ) est orienté par la règle du tire-bouchon. b.) Soit A(M) un champ vectoriel continu sur (Σ) (Γ) et possédant des dérivées partielles premières continues en tout point de (Σ) : Le théorème de Stokes stipule que la circulation du vecteur A(M) le long de la courbe (Γ) est égal au flux du rotationnel de A(M) à travers la surface orientée (Σ); c est à dire : A(M). dm = rot A(M). ds (18) remarque : cas général soit, (Γ) rot A(M). ds = A(M). n.ds = ds(, A, n) = ds( n ). A est une grandeur (physique ou mathématique) quelconque (Γ) (Σ) dm = ds( n ) (19) (Σ) 10

11 1.7.2 Equation de Maxwell-Ampère D après Stokes on peut écrire : on en déduit que : d où (Γ) (Γ) Σ B. dm = µ 0 Σ j. ds B dm = rot B. ds Σ rot B. ds = Σ µ 0 j. ds rot B = µ 0 j (20) 1.8 Potentiel vecteur de l induction magnétostatique B est créé par un courant filiforme Posons db = µ 0I 4πr 3 dl r alors db = da = rot( da) On en déduit que B = db = rot( da) (c) (c) c est à dire : B = rot A avec A = µ 0I 4π (c) B est créé par un courant non filiforme Courant surfacique da = µ 0I dl 4πr (21) dl r da = µ 0I kds 4π r avec k=vecteur densité surfacique de courant. On deduit A = µ 0I 4π (c) k ds (22) r 11

12 1.8.4 Courant volumique da = µ 0I didl avec di = j ds 4π r = µ 0I j dτd où 4π r da = µ 0I 4π j ds. dl r A = µ 0I 4π (c) j dτ (23) r Remarque Dans tous les cas A est défini à un gradient près. En effet, si A = A+ gradf alors B = rot A = rot A Conclusion Comme pour E ( E = gradv) on a : B = rot A A et V ont grossomodo la même forme. et Enfin, de rot( B) = µ 0 j et B = rot A on a : ( A) = µ 0 j (. A) (. ) A = µ 0 j grad(div A) A = µ 0 j soit, V = 1 ρ dτ (24) 4πǫ 0 (c) r A = µ 0I 4π (c) j dτ (25) r A+µ 0 j = 0 (26) 1.9 Conservation du flux d induction Puisque B = rot A, on a div B = div( rot A) = 0 (27) B est à flux conservateur c est à dire : Σ B. ds = Cste 12

13 1.10 Dipôle magnétique Définition C est une boucle (spire) traversée par un courant I et dont les dimensions sont très petites devant la distance r séparant le centre de la spire et un point M de l espace choisi pour étude. Soit S la surface de cette spire, par définition, le moment magnétique de la spire est : M = I S = IS n, pour N spires on a : M = NIS n Potentiel scalaire et induction magnétique créés par un dipôle magnétique L élément Idl de la spire crée en M une induction magnétique : db = µ 0I 4πr 3 dl r Soit B = µ 0I dl r 4π r 3 Imaginons un déplacement élémentaire dλ = MM du point M. La circulation infinitésimale de B s écrit : dc = B. dλ = µ 0I dλ. 4π dc = µ 0I 4π (c) (c) dl r r 3 dλ.( dl r r 3 ) (28) soit dc = µ 0I 4π (c) dl ( dλ) ). r r (29) 3 Quand l on passe de M pour aller en M, l angle solide Ω sous lequel de M on voit la spire, change de dω : or dω = (c) ( dl dλ) r 3 ). r alors Si nous posons V = µ 0I Ω, alors on peut écrire : 4π dc = dv, soit B. dλ = gradv. dλ dc = µ 0I dω (30) 4π B = gradv (31) Pardéfinition,V estlepotentielscalairemagnétostatiquedontdérivelevecteurinductionmagnétique B. Remarque : Géométriquement, Ω est l angle solide sous lequel on voit la face sud du dipôle magnétique S. r Ω = 4πr 3 on déduit V = µ 0I. M. r 4π r 3 13

14 1.11 Forces électromagnétiques Loi fondamentale de Laplace L expérience montre qu un petit élément de courant I dl placé dans une région où règne un champ magnétique B créé par un courant indépendant de I, subit la force : Travail des forces électromagnétiques a) Flux d induction magnétique df = I. dl B (32) Par définition, le flux ϕ du vecteur à travers une surface (S) est défini par : ϕ = (S) B. ds = (S) rot A. ds = (Γ) A. dl (33) Si (Γ) est un circuit (C) parcouru par un courant I, alors on parle de flux de B à travers (S). Si on lui fait subir un déplacement élémentaire dλ, le travail de la force magnétique agissant sur I dl est δ 2 W = df. dλ δ 2 W = I( dl B). dλ δ 2 W = I( dλ dl). B δ 2 W = Id 2 Σ. B(avec)( d 2 Σ = dλ dl) δ 2 W = Id 2 Σ. B δ 2 W = Id 2 ϕ c (34) ϕ c est le flux coupé par l élément de courant I dl au cours de son déplacement sur (C). On déduit : Le travail total mis en jeu est : avec ϕ c est la variation du flux entre deux positions M et M. a) Force et couple subis par les circuits mobiles De δw = F. dm = F x.dx+f y.dy +F z.dz (en repère cartésien) et δw = Idϕ c = I( ϕc ϕc ϕc dx+ dy + dz) x y z on déduit : δw = Idϕ c (35) W = I ϕ c (36) F x = I ϕ c x,f y = I ϕ c y,f z = I ϕ c z (37) 14

15 b) Dipôle magnétique dans un champ extérieur Soit un dipole magnétique (C) d axe parallèle à B. Déplaçons (C) dans la direction de son axe d une distance dλ. On a : dϕ = 0 δw = 0 Par conséquent, la résultante des forces appliquées est nulle. Tout se passe comme si (C) est soumis à un couple de force tendant à le touner de façon à rendre n B Au cours d une rotation dθ le travail des forces magnétiques est : δw = Γdθ (Γ est le moment du Couple) δw = Γdϕ où ϕ = B. S = BScosθ On a : Γdθ = ISBsinθdθ d où Γ = ISBsinθ = I dϕ dθ (38) On peut remarquer que cette écriture est la même chose que : Γ = M B (39) Energie potentielle électromagnétique δw = F. dλ = I.dϕ = de p On en déduit : Ep = I.ϕ (40) Un dipôle magnétique plongé dans un champ magnétique extérieur B est le siège d une énergie potentielle électromagnétique qui s écrit sous la forme : Comme δw = F. dλ alors E p = M. B (41) F = gradep = M. B = M. B (42) 15

16 Chapitre 2 ETUDE DES REGIMES QUASI-STATIONNAIRES 2 Régime quasi-stationnaire 2.1 Introduction Ce sont des régimes lentement (quasiment) variables pour que les lois en régime stationnaire puissent être appliquées instantanément. 2.2 Force électromotrice d induction Hypothèses Soit dans un référentiel galiléen (R) un circuit (C) parcouru par un courant d intensité I, et placé dans un champ induction magnétique B (uniforme et constant). Une charge quelconque q de (C) se déplace à la vitesse v a par rapport à (R). On peut écrire v a = v r + v e où v r et v e sont respectivement, les vitesses relative et d entrainement de q par rapport au référentiel (R). La charge q est soumise à la force de Laplace F = q v a B = q( v r + v e ) B (43) Posons E m = v a B = ( v r + v e ) B On a alors F = q E m (44) E m est par définition, le champ électromoteur Circulation du champ électromoteur Considérons un déplacement élémentaire dl = v r dt de chaque charge dans le circuit (C). On a par définition : dc = E m. dl dc = ( v r + v e ) B. dl dc = ( v r, B, dl)+( v e, B, dl) dc = ( v e, B, dl) 16

17 car le premier terme est nul (dl v e ) dc = ( v e dl). B d où C = (c) E m. dl = ( v e dl). B (45) (c) Remarque : pendant l intervalle de temps dt l élément dl s est déplacé de dλ = v e dt. dλ a balayé une surface élémentaire d 2 Σ = dλ dl = ( v e dl)dt le flux coupé correspondant à d 2 Σ est d 2 ϕ = B. d 2 Σ = B.( v e dl)dt, c est à dire, le flux dϕ c coupé par le circuit (C) au cours de son déplacement élémentaire dλ a pour valeur : dϕ c = (C) B.( v e dl)dt = dt (C) ( v e dl). B Par conséquent,la circulation du champ électromoteur le long du contour (C) a pour valeur : E m. dl = dϕ c = (C) dt }{{} dϕ dt * car le flux coupé est égale à la variation du flux à travers le circuit (C) dans son déplacement. Par définition, on appelle force électromotrice d induction exercée sur le circuit (C) la quantité : e = E m. dl (47) Et donc, on a : (C) (46) e = dϕ c dt = dϕ dt (48) 2.3 Induction électromagnétique - LOI DE FARADAY C est une généralisation du résultat(50) et qui tient compte des résultats expérimentaux suivants: - le résultat (50) est valable pour les circuits non filiformes - le résultat (50) est valable lorsque la variation du flux de B résulte du cas de figure circuit fixe - Induction B variable Loi de Faraday Si on fait varier par un procédé quelconque le flux d induction magnétique ϕ à travers un circuit fermé, ce circuit est le siège d un courant induit. Faraday a expliqué l apparition de ce courant induit par l existence de la force électromotrice d induction. e i = dϕ dt (49) 17

18 2.3.2 Sens du courant induit : Loi de Lenz Le courant engendré par la force électromotrice d induction (courant induit) a un sens tel que le flux d induction produit dans le circuit par ce courant s oppose à la variation du flux qui lui a donné naissance (flux inducteur) d où le signe (-) dans la relation (51). Convention de signe Etant donné un circuit (C), on choisit un sens positif de parcours du courant. Le flux de B à travers (C) est positif s il traverse le circuit de la face Sud à la face Nord. La force électromotrice d induction e est positive si le courant qu elle crée dans le circuit (courant induit) est dirigé dans le sens positif choisi sinon, il joue le role d une force contre-électromotrice. 2.4 Phénomènes d induction dans un circuit fixe placé dans un champ B variable Expression mathématique du champ électromoteur Soit un circuit (C) plongé dans un champ B variable. ϕ c = A. dl = rot A. ds = (C) S S B. ds = ϕ On deduit : On peut donc écrire localement : dϕ dt = d dt (C) A. dl = (C) A dl = E m. dl (50) (C) E m = A (51) Lorsque les deux phénomènes coexistent ( circuit(c) mobile dans une induction B variable), le champ électromoteur s écrit sous la forme : E m = v a B A (52) Le champ électromoteur est parfois appelé champ électrique d induction. Il présente des propriétés différentes de celles du champ électrostatique Extension de la notion de champ électrique Supposons qu en plus des phénomènes d induction, il règne dans la région considérée un champ E s d origine électrostatique : E s = gradv. D une part, une charge q du circuit sera soumise à la force totale : F t = q( E m + E s ) (53) 18

19 F t = q( v a B A gradv) (54) D autre part, la force de Lorentz qui s exerce sur cette charge est égale à : F m = q( E + v a B) (55) Par identification des relations (56) et (57) on en déduit l expression de E = gradv A (56) Par définition, le vecteur E de la relation (58) s appelle vecteur champ électrique généralisé Relation de Maxwell-Faraday De la relation (58) on en déduit : rot E = rot( gradv) rot A rot E = rot A = ( rot A) = B rot E = B Cette équation dite de Maxwell-Faraday constitue une relation générale et fondamentale de l électromagnétisme C est l une des équations de Maxwell dans la théorie de propagation des ondes. Rappel : Nous avons déjà établi : div B = 0 Par ailleurs de la relation (58) on deduit : div E = div( gradv) div A (57) div E = V div A (58) En régine quasi-stationnaire, on peut comme en régime stationnaire choisir A de façon à ce que diva = 0. Cette condition est appelée jauge de Coulomb : Si B = rot A alors B = rot A, toute fois que A = A+ gradf. On a alors, en s appuyant sur le théorème de Gauss, div E = ρ ǫ 0 (59) div E = 0 si la région est dépourvue de charges statiques (dans le vide, par exemple). Remarque : La jauge de Coulomb implique que : diva = diva+div( gradϕ) = 0, c est à dire div( gradϕ) = 0 c est à dire ϕ = 0 (potentiel harmonique). 19

20 2.5 Coefficient d induction mixte Soit une série de N circuits en influence les uns par rapport aux autres et vice versa. Ces circuits sont plongés dans un champ variable. Le flux coupé par le k ième circuit s écrit : n ϕ k = L k I k + M kl I l (60) l=1(l k) L k est le coefficient d auto-induction ou Self ou inductance propre. La force électromotrice d induction magnétique e i créée dans le circuit (c k ) est alors : la quantité e k a = d(l ki k ) dt Remarque e k i = dϕ k dt = d(l ki k ) dt n l=1(l k) d(m kl I l ) dt s appelle force électromotrice d auto-induction. Les L k et M kl ne dépendent que de la forme des circuits. Dans le cas des circuits indéformables (L k et M kl ) on peut alors écrite : e k a = L k di k dt (61) (62) e k i = dϕ k dt = L k di k dt n l=1(l k) di l M kl dt (63) 2.6 Inductance propre et inductance mutuelle Soit une série de n circuits indépendants et traversés par les courants I 1,I 2,...,I n. Ces circuits interagissent entre eux par une variation de flux les uns par rapport aux autres ϕ B et B I donc ϕ I Soit ϕ k le flux traversant le k ième circuit et I k le courant le traversant. On a : n ϕ k = L k I k + M kl I l (64). ϕ 1 ϕ 2 ϕ n l=1(l k) L 1 M 12 M 1n = M 21 L 22 M 2n M n1 M n2 L nn I 1 I 2 I n (65) Les éléments diagonaux sont appelés inductances propres (L k > 0). Les éléments non diagonaux portent le nom d induction mutuelles ou coeficients d induction mutuelle. Le principe de l interaction nous permet de montrer que M kl = M lk. Les unités sont exprimées en Henry. 20

21 2.7 Principe de conservation de la charge Le principe général qui décrit que la charge est conservée en un point M du conducteur est : div j + ρ = 0 (66) En régime quasi-stationnaire, ρ varie lentement avec le temps de telle sorte qu on a, comme en régime stationnaire : div j = 0 (67) Cela veut dire qu en régime quasi-stationnaire, les lois de Kirchoff relatives aux noeuds restent valables. 2.8 Loi d Ohm en régime quasi-stationnaire # En régime stationnaire on a : j = σ E avec σ la conductivité électrique du matériau. # En régime quasi-stationnaire : j = σ( E s + E m ) D après la loi d Ohm le courant induit à l instant t qui apparait dans un circuit de résistance R sera : i = e R = 1 dϕ R dt La quantité de charge induite entre les instants t 1 et t 2 vaut : (68) soit, Q = t2 t2 idt = 1 dϕ (69) t 1 R t 1 Q = ϕ 1 ϕ 2 R # La loi de Pouillet va s écrire alors sous la forme : (70) E = RI (71) E est somme algébrique des f.é.m et f.c.é.m appliquées et induites. R est la résistante totale du circuit, I est l intensité du courant traversant le circuit (C). 2.9 Conclusion On pourra appliquer en régime quasi-stationnaire les mêmes lois qu en régime permanent, à savoir : - les lois d ohm - les lois de Kirchoff relatives aux noeuds et aux mailles à condition d ajouter aux f.e.m appliquées, les forces électromotrices d induction. 21

22 2.10 Energie électromagnétiques Définition Considérons un circuit(c) parcouru par un courant d intensité I. Soit ϕ, son flux d auto-induction. On appelle énergie électromagnétique du circuit (C) le travail minimal que l on doit lui fournir pour faire passer l intensité du courant et son flux propre des valeurs initiales 0, aux valeurs I et ϕ, respectivement Energie électromagnétique dans un circuit unique SoituncircuitR,L,contenantungénérateurdef.é.m.E,sionfermesoninterrupteurKilapparaît un courant dans le circuit. i(t) vérifie l équation : E +e = R.i e = dϕ dt et ϕ = Li, e étant la f.e.m induite de la bobine. On a : E = L dϕ dt +R.i En multipliant les deux membres par idt, on a : Discussion : E.idt = L dϕ dt.idt+r.i2 dt (72) 1. La quantité E.idt représente l énergie ou le travail fourni par le générateur pendant l intervalle de tps dt 2. La quantité R.i 2 dt représente l énergie calorifique dissipée par effet joule dans le circuit pendant l intervalle de temps dt. 3. Le terme L.idi = d( 1 2 L.i2 ) = dw m représente l énergie absorbée pour faire passer le courant malgré la f.é.m d induction. Il correspond à l accroissement du flux d auto-induction à travers le circuit pendant l intervalle de temps dt. C est l augmentation de l énergie électromagnétique du circuit l énergie. Si i(t) passe de 0 (à l instant t=0) à I (à l instant t) alors l énerie électromagnétique emmmagasinée dans le circuit est : Comme ϕ = L.I on a : W m = I Cette énergie sera restituée à la rupture du courant. 0 L.idi = 1 2 LI2 (73) W m = 1 ϕ.i (74) Cas de deux circuits filiformes (c 1 ) et (c 2 ) Deux circuits (c 1 ) et (c 2 ) étant caractérisés par les éléments respectifs ci-après : (c 1 ) = {E 1,R 1,L 1,i 1 } et (c 2 ) = {E 2,R 2,L 2,i 2 }. 22

23 Soit M le coefficient d induction mutuelle entre (c 1 ) et (c 2 ). La loi d Ohm dans les deux circuits s écrit : (c 1 ) E 1 +e 1 = R.i 1 avec e 1 = dϕ 1 dt et ϕ 1 = L 1.i 1 +M.i 2 (c 2 ) E 2 +e 2 = R.i 2 avec e 2 = dϕ 2 dt et ϕ 2 = L 2.i 2 +M.i 1 Ceci aboutit au système d équations ci-dessous : { E 1 = e 1 +Ri 1 E 2 = e 2 +Ri 2 (75) soit, { { E 1 = e 1 +R 1 i 1 E 2 = e 2 +R 2 i 2 (76) di E 1 = L 1 1 +R dt 1i 1 +M di 2 dt di E 2 = L 2 2 +R (77) dt 2i 2 +M di 1 dt Multiplions les deux membres par i k dt, respectivement k = 1,2; on a : { E 1 i 1 dt = R 1 i 2 1 dt+l 1 i 1 di 1 +Mi 1 di 2 (78) E 2 i 2 dt = R 2 i 2 2 dt+l 2 i 2 di 2 +Mi 2 di 1 Le bilan énergétique correspondant au système, s écrit : E 1 i 1 dt+e 2 i 2 dt = R 1 i 1 2 dt+r 2 i 2 2 dt+l 1 i 1 di 1 +L 2 i 2 di 2 +Mi 1 di 2 +Mi 2 di 1 (79) et comme dans le paragraphe précédent, dw m = L 1 i 1 di 1 dt+l 2 i 2 di 2 dt+mi 1 di 2 +Mi 2 di 1 = d( 1 2 L 1i L 2i 2 2 )+d(mi 1 i 2 ) (80) représente l accroissement de l énergie électromagnétique du système formé par les deux circuits. Quand i 1 passe de 0 à I 1 et i 2 passe de 0 à I 2, on trouve par intégration,l énergie électromagnétique ou l accroissement de l énergie électromagnétique sous la forme : soit, puisque : { W m = 1 2 L 1I L 2I 2 2 +MI 1 I 2 (81) on a : ϕ 1 = L 1 I 1 +MI 2 ϕ 2 = L 2 I 2 +MI 1 (82) W m = 1 2 I 1ϕ I 2ϕ 2 (83) Généralisation Soient les circuits (c 1 ), (c 2 )... et (c n ), n circuits caractérisés par leur éléments respectifs (c 1 ) = {E 1,R 1,L 1,i 1 }, (c 2 ) = {E 2,R 2,L 2,i 2 },..., et (c n ) = {E n,r n,l n,i n } Lorsqu on ferme les circuits, l énergie électromagnétique mise en jeu, s écrit : W m = 1 n I k ϕ k (84) 2 23 k=1

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