Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes. 1. Introduction décembre 2003

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes. 1. Introduction décembre 2003"

Transcription

1 Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction décembre 2003 Serge HADDAD LAMSADE - CNRS Université Paris-Dauphine Patrice MOREAUX LAMSADE & LERI-RESYCOM - URCA t 2 p 3 t 4 p 6 t 6 p 8 t 8 p 1 t 1 p 2 K p 5 t 9 t 3 p 4 t 5 p 7 t 7

2 PLAN Rappels sur les processus stochastiques Réseaux de Petri Sémantique(s) stochastique(s) d un RdP RdPS à lois exponentielles (SPN) et GSPN Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 2

3 1. Rappels sur les processus stochastiques Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 3

4 Un processus stochastique à événements discrets # Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 4

5 Comportement d un processus Comportement transitoire Probabilité d être en s à l instant t : π t (s) Nombre moyen de visites à s entre t et t Comportement stationnaire Existence d un comportement stationnaire? π(s) = lim t->inf π t (s) tel que Σπ(s) = 1 Calcul du comportement stationnaire $% Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 5

6 Théorie du renouvellement Existence d indices aléatoires d événements (i 1,,i k, ) tels que le processus après l événement e ik soit une réplique probabiliste du processus après l événement e i1. π& τ ' ()*τ Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 6

7 Chaînes de Markov à temps discret π ( + + Comportement transitoire π n+1 = π n. P (en appliquant les probabilités conditionnelles) π n = π 0. P n - π n+m = π m. P n nb n = π 0.(I+P+ + P n ) Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 7

8 Analyse stationnaire d'une CMTD # $ ** % $ %& ** $ # % $ ' π, π,,, Conclusion : un comportement stationnaire π existe et π est l unique solution de : X.P = X (lim n->inf π n+1 = lim n->inf π n. P) et X t.1 = 1 Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 8

9 Chaînes de Markov à temps continu µ δ π (δ (δµ # - %- µ -. - Un processus équivalent génère des événements à un taux λ > Max( Q s,s ) à l occurrence d un événement, applique une probabilité de passage à l état courant : + λ + P s,s = (µ s,s / λ) et P s,s = 1 - Σ s ¹s P s,s Observation : P = I + λ -1. Q Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 9

10 Analyse d'une CMTC Comportement transitoire Analyse du processus équivalent Probabilité d être en s à l instant t conditionnée par le nombre d événements entre 0 et t : π t = π 0.Σ n=0 à inf (e -λ.t (λ.t) n / n). P n Série «rapidement» convergente d où approximation possible )* +,-.& )/ π # ) π *- * Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 10

11 Processus semi-markovien * & 0 %# + ( 1 + Hypothèses similaires Conclusion : un comportement stationnaire π existe π(s) = [E(T s ). X(s) / å E(T s ). X(s') ] où X est une solution de : X.P = X Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 11

12 Processus de Markov régénératif /,,, %, ) 0 ) ),,0, ) 0, ) ) ), p s*,z* = retour(s*,z*,inf) durée(s*,s) = visite(s*,z*,t).dt durée(s*) = Σ durée(s*,s) π(s) = [Σ X(s*).durée(s*,s) ] / [Σ X(s*).durée(s*) ] où X est une solution de : X.P = X Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 12

13 2. Réseaux de Petri Rappels ultra rapides Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 13

14 Modèle de la concurrence et de la synchronisation des SED p 11 p 21 t 1 2.p p p 21 t 1 p 12 p 22 p 13 t 11 t 21 p 14 p 26 1.p p p p p 21 t 1 t 11 t 21 1.p p p p p p 21 Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 14

15 Où est le temps? Durée ou délai de franchissement? durée nulle - délai non nul (SPN) marquage du RdP = état «visible» durée non nulle - délai nul (TPN) marquage du RdP = état «éphémère» Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 15

16 3. Sémantiques stochastiques des RdP Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 16

17 Sémantique stochastique d un RdP Définition de trois politiques Politique de choix prochaine transition à franchir Politique de service influence du degré de franchissement Politique de mémoire influence du franchissement sur les franchissements suivants Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 17

18 Politique de choix Présélection Tirages multiples Choix probabiliste : 2 & & 3 2π & π & π 3 Réalisation : 2 & & 3 21 &1 & atteint au moins deux fois? Oui Non Choix de Tirage du délai choisi 1 correspondant à 1 Choix probabiliste (postsélection) : 2 & 3 2π & π 3 Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 18

19 Politique de service t3 considérée comme un serveur de franchissements : serveur non réentrant (single-server) réalisation : 21&1&13 serveur réentrant (infinite-server) réalisation : 21&1&1&1 &123 serveur à degré de réentrance borné (multiple-server) (par exemple t3 de degré 2) réalisation : 21& 1& 1& 1 3 Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 19

20 Politique de mémoire (1) &1 3 Quelle est l influence du franchissement de t1 sur le prochain franchissement de t2 et t3? 1. Aucune influence resampling memory - un nouveau choix de franchissement conduit à de nouveaux tirages Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 20

21 Politique de mémoire (2) &1 3 Quelle est l influence du franchissement de t1 sur le prochain franchissement de t2 et t3? 2. Influence sur les transitions encore franchissables enabling memory (e.g. time-out) - nouveau tirage lorsque t2 sera à nouveau franchissable - tirage conservé et décrémenté pour t3 : x3 - x1 Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 21

22 Politique de mémoire (3) &1 3 Quelle est l influence du franchissement de t1 sur le prochain franchissement de t2 et t3? 3. Influence sur toutes les transitions age memory (e.g. suspension d'un travail) - tirage décrémenté et gelé jusqu'à la prochaine franchissabilité pour t2 : x2 - x1 - tirage conservé et décrémenté pour t3 : x3 - x1 Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 22

23 Politique de mémoire (4) Définition de la politique par paire de transitions (t,t') Interaction avec la politique de service Réalisation (éventuellement antérieure): {x 2, x 1, x 1, x 1 } avec x 2 < min{ x 1, x 1, x 1 } Quel délai de t1 supprimer? - le dernier arrivé (dernier tirage) - le premier arrivé - le plus long délai --- Attention à l'impact sur les techniques d'analyse --- Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 23

24 Politique de mémoire (5) Liaison avec les politiques des réseaux de file d attente PRS PRD PRI ST 1 ST 1 ST 1 ST 2 =ST 1 ST 2 t E t D t RE t F t E t D t RE t F t E t D t RE t F - Premptive ReSume = age memory - Premptive Repeat Different = enabling memory - Premptive Repeat Identical = pas de correspondance Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 24

25 4. RdPS à lois exponentiels et GSPN Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 25

26 RdPS à lois exponentielles (1) X ti de densité f ti (t) = e -wi.t, wi est le taux de la loi Comportement du processus en mode single-server. Soit m un marquage et t1,,tk les transitions franchissables: - la durée de séjour en m est une loi exponentielle de taux w i - la probabilité que x i soit la réalisation minimale est w i /w i - la distribution du temps résiduel x i t sachant qu'aucune transition n'est franchie avant t est identique à la distribution initiale (lois sans mémoire) - la distribution du temps résiduel x i x j sachant que tj est franchie est identique à la distribution initiale Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 26

27 RdPS à lois exponentielles (2) ) Le comportement futur du processus ne dépend que du marquage courant La loi exponentielle donne la même sémantique pour les différentes politiques de mémoire et service Une loi à support continu R+ est à postsélection automatique - Donc : tout est «simple» Le processus stochastique est une chaîne de Markov isomorphe au graphe d'accessibilité (t i wi) Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 27

28 RdPS généralisés (1) états tangibles 3 états évanescents 3 t2, t3 transitions à délai nul : transitions immédiates - toujours franchies avant les transitions exponentielles - nécessitent une postsélection Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 28

29 RdPS généralisés (2) états tangibles 3 états évanescents 3 t2, t3 transitions immédiates présélection: - tables de distribution par sous-ensemble T - poids pi normalisés lors du choix Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 29

30 Analyse des RdPSG (1) Le processus de marquage est un processus semimarkovien - dont les états évanescents ont une probabilité stationnaire nulle On s intéresse en général aux états tangibles On peut s intéresser aux fréquences de tir des transitions immédiates Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 30

31 Analyse des RdPSG (2) Principe de l analyse 0. processus -> DTMC 1. DTMC -> DTMC des tangibles (DTMC-T) - résolution de la DTMC-T - pondération par les temps de séjour (équivalent: DTMC -> CTMC des tangibles, résolution de la CTMC) Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 31

32 Analyse des RdPSG (3) processus semi-markovien dont les états évanescents ont une probabilité stationnaire nulle &6 * * &6 (6 * * * * * * &6 * &6 *+ * π ( ' +' + ( ) ( *4 ( * * 5 *4 ( * * 5 '*+'' ' * *4 ( * * 5&6 *4 ( * * 5&6 &6 3 π '( '' Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction -- 32

3- Les Réseaux de Petri

3- Les Réseaux de Petri http://www.tn.refer.org/hebergement/cours/sys_disc/notions_de_base_rdp.html Page 1 sur 7 3- Les Réseaux de Petri Plan Accueil Contact 3-1 Notions de Base 3-2 RdP Particuliers 3-3 Propriétés 3-4 Graphe

Plus en détail

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés

Plus en détail

Validation numérique de l homogénéisation pour un modèle simplifié de stockage avec sources aléatoires

Validation numérique de l homogénéisation pour un modèle simplifié de stockage avec sources aléatoires Validation numérique de l homogénéisation pour un modèle simplifié de stockage avec sources aléatoires Introduction Modélisation de la migration de radionucléide Vers un modèle probabiliste Calcul des

Plus en détail

Automates et réseaux de Petri pour les jeux vidéo. S. Natkin

Automates et réseaux de Petri pour les jeux vidéo. S. Natkin Automates et réseaux de Petri pour les jeux vidéo S. Natkin Objectif Un modèle pour spécifier des relations d évolution dans non déterministe dans un jeu: A un niveau macroscopique (scénario on linéaire)

Plus en détail

Autour de Perron, Frobenius et Markov

Autour de Perron, Frobenius et Markov Université Claude Bernard Lyon 1-2007/2008 Préparation Capes - Algèbre et Géométrie - Devoir à rendre le 12 février 2008 - Autour de Perron Frobenius et Markov Rappels et notations On note M mn (K) le

Plus en détail

Génération automatique de modèle de simulation récursive

Génération automatique de modèle de simulation récursive TP SdF N 32 Génération automatique de modèle de simulation récursive Ce TP a pour objet de présenter un outil de génération automatique de modèles de simulation récursive à travers un exemple succinct

Plus en détail

PREMIERE ANNEE COMMUNE DES ETUDES DE SANTE. Faculté de Médecine Lyon Est Année Universitaire 2010-2011 UE4. Epreuve du jeudi 16 décembre 2010

PREMIERE ANNEE COMMUNE DES ETUDES DE SANTE. Faculté de Médecine Lyon Est Année Universitaire 2010-2011 UE4. Epreuve du jeudi 16 décembre 2010 PREMIERE ANNEE COMMUNE DES ETUDES DE SANTE Faculté de Médecine Lyon Est Année Universitaire 2010-2011 UE4 Epreuve du jeudi 16 décembre 2010 Dr Claire BARDEL, Dr Marie-Aimée DRONNE, Dr Delphine MAUCORT-BOULCH

Plus en détail

encadrés par C. Attiogbé, S. Faucou

encadrés par C. Attiogbé, S. Faucou M4102C - Modélisation et construction des applications réparties MCAR (C. Attiogbé) - 2015/2016 Travaux dirigés/pratiques encadrés par C. Attiogbé, S. Faucou Cahier d exercices 1 - Modélisation avec les

Plus en détail

Gestion de la congestion

Gestion de la congestion Gestion de la congestion réseau de télécommunication ou de transport Madiagne Diallo Laboratoire Université de Versailles, France Projet FT R&D Participants : Barth, Bouhtou, Diallo et Wynter : 000 --

Plus en détail

Dynamique des lasers. Lasers en impulsion

Dynamique des lasers. Lasers en impulsion Dynamique des lasers. Lasers en impulsion A. Evolutions couplées atomesphotons Rappel: gain laser en régime stationnaire Equations couplées atomes-rayonnement Facteur * Elimination adiabatique de l inversion

Plus en détail

Examen RdP. On considère le RdP, donné par les matrices d incidence Pré et Post, suivant :

Examen RdP. On considère le RdP, donné par les matrices d incidence Pré et Post, suivant : Printemps 8 Exercice N : Modélisation (5 points) Examen RdP On considère deux machines M et M qui travaillent en ligne. Un stock tampon S de capacité limitée à 4 sépare les deux machines. Chaque machine

Plus en détail

Chapitre I Théorie de la ruine

Chapitre I Théorie de la ruine Chapitre I Théorie de la ruine Olivier Wintenberger ISUP 2, Université Paris VI (slides Olivier Lopez) Année universitaire 2013-2014 1 Risque collectif 2 Modélisation des coûts de sinistres 3 Probabilité

Plus en détail

Introduction aux automates cellulaires

Introduction aux automates cellulaires Introduction aux automates cellulaires Antoine Delignat-Lavaud 1 Introduction aux automates cellulaires Définition 1 (Automate cellulaire) Un automate cellulaire A = (d, S, V, δ) est la donnée de : 1.

Plus en détail

1/4 2/4 3/4 4/4. 10. Estimation MTH2302D. S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016. (v1) MTH2302D: estimation 1/50

1/4 2/4 3/4 4/4. 10. Estimation MTH2302D. S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016. (v1) MTH2302D: estimation 1/50 10. Estimation MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016 (v1) MTH2302D: estimation 1/50 Plan 1. Introduction 2. Estimation ponctuelle 3. Estimation par intervalles de confiance 4. Autres

Plus en détail

Processus de Poisson. 3-602-84 Modèles probabilistes et stochastiques de la gestion. Geneviève Gauthier. Automne 2007. HEC Montréal.

Processus de Poisson. 3-602-84 Modèles probabilistes et stochastiques de la gestion. Geneviève Gauthier. Automne 2007. HEC Montréal. Processus de Poisson 3-602-84 Modèles probabilistes et stochastiques de la gestion Geneviève Gauthier HEC Montréal Automne 2007 1 Références Ce texte a été librement inspiré de notes prises au cours de

Plus en détail

Les systèmes hybrides stochastiques généraux (GSHS)

Les systèmes hybrides stochastiques généraux (GSHS) Groupe de travail SDH (GdR MACS) Exposé pour la réunion du 20 septembre 2007 Les systèmes hybrides stochastiques généraux (GSHS) et leur équation de Fokker-Planck-Kolmogorov Julien Bect Département Signaux

Plus en détail

Master MIMSE - Année 1. Gestion des stocks Gestion des stocks déterministe Variantes du modèle de Wilson DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT --

Master MIMSE - Année 1. Gestion des stocks Gestion des stocks déterministe Variantes du modèle de Wilson DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- 1 Master MIMSE - Année 1 Gestion des stocks Gestion des stocks déterministe Variantes du modèle de Wilson 2 Hypothèses du modèle de Wilson Un seul produit ex. multiproduit Horizon de temps infini horizon

Plus en détail

Modélisation de processus multi-états, risques concurrents et évènements récurrents

Modélisation de processus multi-états, risques concurrents et évènements récurrents Modélisation de processus multi-états, risques concurrents et évènements récurrents 17 Octobre 2008 M2 Modélisation en Pharmacologie clinique et Epidémiologie Plan 1 Modélisation de processus multi-états

Plus en détail

Les Réseaux de Petri Théorie, propriétés et applications

Les Réseaux de Petri Théorie, propriétés et applications Les Réseaux de Petri Théorie, propriétés et applications 1. Introduction générale Comment réussir à appréhender le comportement des systèmes technologiques de plus en plus complexes, afin de les concevoir,

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Allocation de portefeuille: comparaison de l analyse technique et des méthodes mathématiques

Allocation de portefeuille: comparaison de l analyse technique et des méthodes mathématiques 1/43 : comparaison de l analyse technique et des méthodes mathématiques Université Montesquieu Bordeaux IV GREΘA et IMB CHRISTOPHETTE BLANCHET (Université de Nice) RAJNA GIBSON (Université de Zurich) ETIENNE

Plus en détail

Automates temporisés Partie 1: Définitions

Automates temporisés Partie 1: Définitions p.1 Automates temporisés Partie 1: Définitions p.2 Motivation Les automates temporisés constituent un des modèle de systèmes réactifs à temps continu proposé par Alur et Dill en 1991. Temps continu vs

Plus en détail

Utilisation des Structures Combinatoires pour le Test Statistique. Contexte. Plan. Le test de logiciel. Les structures combinatoires décomposables

Utilisation des Structures Combinatoires pour le Test Statistique. Contexte. Plan. Le test de logiciel. Les structures combinatoires décomposables Utilisation des Structures Combinatoires pour le Test Statistique Sandrine-Dominique GOURAUD Équipe Programmation et Génie Logiciel, L.R.I. Co-encadrants: M.-C. Gaudel et A. Denise Plan Contexte Structures

Plus en détail

Formellement, un processus aléatoire est une succession de variables aléatoires (X n ) n 0

Formellement, un processus aléatoire est une succession de variables aléatoires (X n ) n 0 Chapitre 1 Modélisation markovienne 11 Introduction Un processus aléatoire est un phénomène dont une partie de l évolution temporelle est aléatoire On rencontre ces processus dans divers domaines de la

Plus en détail

Influence des conditions de bord dans les réseaux d automates booléens à seuil et application à la biologie

Influence des conditions de bord dans les réseaux d automates booléens à seuil et application à la biologie Influence des conditions de bord dans les réseaux d automates booléens à seuil et application à la biologie Sylvain Sené Directeurs de thèse Jacques Demongeot et Michel Morvan 15 octobre 2008 S. Sené Réseaux

Plus en détail

Maximisation de la fonction d utilité exponentielleprix d indifférence dans un modèle avec défauts

Maximisation de la fonction d utilité exponentielleprix d indifférence dans un modèle avec défauts Maximisation de la fonction d utilité exponentielleprix d indifférence dans un modèle avec défauts Thomas Lim Université Paris 7-LPMA Travail en collaboration avec Marie-Claire Quenez Séminaire des jeunes

Plus en détail

Modélisation de la demande de transport

Modélisation de la demande de transport Modélisation de la demande de transport Fabien Leurent ENPC / LVMT Introduction Approche empirique Fonctions de répartition Position microéconomique : préférences et rationalité Distribution des décideurs,

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Probabilités et Statistiques Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Année 2005-2006 2 Table des matières 1 Rappels de théorie des ensembles 5 1.1 Opérations sur les ensembles................... 5 1.2 Applications

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

D.E.A. Automatique et Informatique Appliquée. Rapport bibliographique. Sous la direction de : Présenté par :

D.E.A. Automatique et Informatique Appliquée. Rapport bibliographique. Sous la direction de : Présenté par : I.S.T.I.A. Institut des Sciences et Techniques de l'ingénieur d'angers Université d Angers Ecole Centrale de Nantes D.E.A. Automatique et Informatique Appliquée Rapport bibliographique sur l études des

Plus en détail

($% % #*## #% )%' 4$& # $%#% #*## (#% ###$0### %' #% )%' ( ### ' ## %#)% $* %#$' - %#% 2% ##' Ne sais pas/ N'a pas été étudié X Non conforme

($% % #*## #% )%' 4$& # $%#% #*## (#% ###$0### %' #% )%' ( ### ' ## %#)% $* %#$' - %#% 2% ##' Ne sais pas/ N'a pas été étudié X Non conforme ($% % #*## #% )%' 4$& # $%#% #*## &0#$# ',5/ 6# %##' ####$% %##' 6# $%+#$',% 7$%+#$/ ####$%+#$' ($%%#$ ####$', ##-./ (#% ###$0### %' ()% $1$%$% #0#%2% $' ###$% #3&' ###$% & #&' ( #%%#% $ #% )%' ( ### '

Plus en détail

De l'in-vivo à l'in-silico : vers le prototypage rapide de modèles du vivant

De l'in-vivo à l'in-silico : vers le prototypage rapide de modèles du vivant De l'in-vivo à l'in-silico : vers le prototypage rapide de modèles du vivant Guillaume Hutzler IBISC (Informatique Biologie Intégrative et Systèmes Complexes) LIS (Langage Interaction et Simulation) Université

Plus en détail

Calcul Stochastique et Applications Financières

Calcul Stochastique et Applications Financières 0 Calcul Stochastique et Applications Financières Aurélia Istratii Luis Macavilca Taylan Kunal M I.E.F. SOMMAIRE I. MODELE DE COX-ROSS-RUBINSTEIN II. III. INTRODUCTION AUX METHODES DE MONTE CARLO EQUATION

Plus en détail

1 Correction de l examen du vendredi 13 novembre 2015.

1 Correction de l examen du vendredi 13 novembre 2015. Journal de bord du module Chaînes de Markov sur des espaces mesurables Les renvois de la table de matières ainsi que le texte en couleur magenta sont cliquables. Table des matières 1 Correction de l examen

Plus en détail

Econométrie des modèles de durée

Econométrie des modèles de durée Econométrie des modèles de durée Guillaume Horny Banque de France et UCLouvain Master 2 MOSEF Guillaume Horny (Banque de France) Econométrie des durées (chap 2) 2009 1 / 59 Chapitre 2 : Temps discret et

Plus en détail

Bases du traitement des images. Détection de contours

Bases du traitement des images. Détection de contours Détection de contours Dominique.Bereziat@lip6.fr Contributions: N. Thome, D. Béréziat, S. Dubuisson Octobre 2015 1 / 76 Introduction Rôle primordial de la détection de contours en vision 1 Réduction d

Plus en détail

Estimation de la durée de vie résiduelle et optimisation de la maintenance prédictive : application à des véhicules industriels

Estimation de la durée de vie résiduelle et optimisation de la maintenance prédictive : application à des véhicules industriels Estimation de la durée de vie résiduelle et optimisation de la maintenance prédictive : application à des véhicules industriels Elias KHOURY 1 E. DELOUX 1, A. GRALL 1 et C. BERENGUER 2 1 Université de

Plus en détail

Développement polynomiaux et applications en théorie de la ruine

Développement polynomiaux et applications en théorie de la ruine Développement polynomiaux et applications en théorie de la ruine P.O. Goffard 1 - Pierre-Olivier.goffard.me 1 Axa France - Institut de Mathématiques de Marseille I2M Aix-Marseille Université Week-end Team

Plus en détail

Complexité des algorithmes

Complexité des algorithmes Complexité des algorithmes par Robert Rolland R. Rolland, Aix Marseille Université, Institut de Mathématiques de Marseille I2M Luminy Case 930, F13288 Marseille CEDEX 9 e-mail : robert.rolland@acrypta.fr

Plus en détail

Master 2 IMOI - Mathématiques Financières

Master 2 IMOI - Mathématiques Financières Master 2 IMOI - Mathématiques Financières Exercices - Liste 1 1 Comportement d un investisseur face au risque Exercice 1 Soit K la matrice définie par 1 2 [ 3 1 1 3 1.1 Montrer que K est la matrice de

Plus en détail

Stéphane GOBRON HES SO HE Arc

Stéphane GOBRON HES SO HE Arc Stéphane GOBRON HES SO HE Arc 2015 Algorithmes Numériques 7 chapitres Codage des nombres Résolution d équations Systèmes linéaires Dérivation Intégration Equation différentielles Mots clés du cours : introduction

Plus en détail

Chapitre 2 Maîtrise des flux. - Chapitre 2 - Maîtrise des flux

Chapitre 2 Maîtrise des flux. - Chapitre 2 - Maîtrise des flux - - Facteurs agissant sur les flux Les modèles pour les SP Les réseaux de files d attente 1 Facteurs agissant sur les flux Au niveau physique : L implantation Le nombre de machines Automatisation (robots,

Plus en détail

ETUDE DES E VI V B I RATIO I N O S

ETUDE DES E VI V B I RATIO I N O S ETUDE DES VIBRATIONS 1 Chapitre I - Présentation et définitions 2 Les objectifs à atteindre: 1) Savoir décrire le modèle de l'oscillateur harmonique et savoir l'appliquer à l'étude des systèmes physiques

Plus en détail

Automatismes et SED. Simulation - Validation

Automatismes et SED. Simulation - Validation Automatismes et SED Simulation - Validation Validation Pourquoi? Validation, roriétés OK Cahier des charges Modélisation Modèle du système Nécessité de validation our : Détecter les erreurs éventuelles

Plus en détail

Conflits et routages dans les systèmes de production

Conflits et routages dans les systèmes de production Conflits et routages dans les systèmes de production Analyse via le dioïde Z min Olivier Boutin 1,2, Bertrand Cottenceau 2, Anne L Anton 1 1 IRCCyN - UMR CNRS 6597, Nantes Équipe Analyse et Commande des

Plus en détail

Marches aléatoires & Théorie du mouvement Brownien

Marches aléatoires & Théorie du mouvement Brownien . Marches aléatoires & Théorie du mouvement Brownien Pablo Crotti Séminaire Automne 009 Sous la direction du Professeur Christian Mazza Table des matières Introduction 4 1 Marches aléatoires & Mouvement

Plus en détail

Au menu. Cours 7: Classes Probabilistes. Application : Calcul de la médiane. Sous menu. Retours sur quelques algorithmes.

Au menu. Cours 7: Classes Probabilistes. Application : Calcul de la médiane. Sous menu. Retours sur quelques algorithmes. Au menu Cours 7: Classes Probabilistes Olivier Bournez bournez@lix.polytechnique.fr LIX, Ecole Polytechnique Retours sur quelques algorithmes Quelques résultats INF561 Algorithmes et Complexité 1 2 Sous

Plus en détail

Planification des salles opératoires avec durées d interventions aléatoires

Planification des salles opératoires avec durées d interventions aléatoires Planification des salles opératoires avec durées d interventions aléatoires Mehdi LAMIRI, Xiaolan XIE, Alexandre DOLGUI et Frédéric GRIMAUD Centre Ingénierie et santé Centre Génie Industriel et Informatique

Plus en détail

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Arithmétique Algorithmique http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Partie III Algorithmes classiques 1 Coût de la multiplication et de la division 2 Exponentiation rapide 3 Algorithme d Euclide

Plus en détail

Détection statistique d anomalies en présence de paramètres de nuisance

Détection statistique d anomalies en présence de paramètres de nuisance Détection statistique d anomalies en présence de paramètres de nuisance Lionel Fillatre ENST Bretagne, département Signal & Communication Lionel Fillatre (département SC) Détection d anomalies 1 / 29 Structure

Plus en détail

Econométrie des modèles de durée

Econométrie des modèles de durée Econométrie des modèles de durée Guillaume Horny Banque de France et UCLouvain Master 2 MOSEF Guillaume Horny (Banque de France) Econométrie des durées (chap 1) 2009 1 / 70 Introduction Introduction Pourquoi

Plus en détail

TD7. ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016. Exercice 1 Sous-espaces fermés de C ([0,1]) formé de fonctions régulières.

TD7. ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016. Exercice 1 Sous-espaces fermés de C ([0,1]) formé de fonctions régulières. Analyse fonctionnelle A. Leclaire ENS Cachan M Hadamard 25-26 TD7 Exercice Sous-espaces fermés de C ([,] formé de fonctions régulières. Soit F un sous-espace vectoriel fermé de C ([,] muni de la convergence

Plus en détail

Distance et classification. Cours 4: Traitement du signal et reconnaissance de forme

Distance et classification. Cours 4: Traitement du signal et reconnaissance de forme Distance et classification Cours 4: Traitement du signal et reconnaissance de forme Plan Introduction Pré-traitement Segmentation d images Morphologie mathématique Extraction de caractéristiques Classification

Plus en détail

Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles 22 Probabilités conditionnelles Ω, B, P est un espace probabilisé. 22. Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Considérons l expérience aléatoire qui consiste à lancer deux fois un dé

Plus en détail

TD : Microéconomie de l incertain. Emmanuel Duguet

TD : Microéconomie de l incertain. Emmanuel Duguet TD : Microéconomie de l incertain Emmanuel Duguet 2013-2014 Sommaire 1 Les loteries 2 2 Production en univers incertain 4 3 Prime de risque 6 3.1 Prime de risque et utilité CRRA.................. 6 3.2

Plus en détail

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE. Projet de Semestre. Processus de Wiener. Analyse de B(u,T) avec racines de l équation de Lundberg complexes

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE. Projet de Semestre. Processus de Wiener. Analyse de B(u,T) avec racines de l équation de Lundberg complexes ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Projet de Semestre Processus de Wiener Analyse de B(u,T) avec racines de l équation de Lundberg complexes Meichtry Eliane Mathématiques Paroz Sandrine 3ème année

Plus en détail

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un

Plus en détail

CHAPITRE II NOTIONS DE PROBABILITES

CHAPITRE II NOTIONS DE PROBABILITES CHAPITRE II NOTIONS DE PROBABILITES II.1. Un exemple : le poker Distribuer une main de poker (5 cartes sur 52) revient à tirer au hasard 5 cartes parmi 52. On appelle expérience aléatoire une telle expérience

Plus en détail

Bornes du temps de réponse des services Web composites

Bornes du temps de réponse des services Web composites Bornes du temps de réponse des services Web composites Serge Haddad,+, Lynda Mokdad,+, Samir Youcef,+ LSV, CNRS & ENS de Cachan haddad@lsv.ens-cachan.fr LAMSADE, Université Paris-Dauphine {lynda.mokdad,

Plus en détail

Modélisation de l'émergence de mutations successives par les processus de branchement multitypes.

Modélisation de l'émergence de mutations successives par les processus de branchement multitypes. Modélisation de l'émergence de mutations successives par les processus de branchement multitypes. Loïc Chaumont Université d'angers Museum National d'histoire Naturelle, 4 Juin 213 Introduction Emergence

Plus en détail

Contexte général. Gestion du temps dans les applications réparties. Plan. Introduction

Contexte général. Gestion du temps dans les applications réparties. Plan. Introduction Contexte général Gestion du temps dans les applications réparties Communication par messages, pas de mémoire partagée Pas d horloge globale Chaque site a sa propre horloge Les horloges peuvent dériver

Plus en détail

Communications Numériques par Fibre Optique

Communications Numériques par Fibre Optique Université Mohammed Premier École Nationale des Sciences Appliquées d Oujda Cours de la 5 ème Année : Cycle d Ingénieurs Module 5M4 Version 1.0 (Septembre 2009) Communications Numériques par Fibre Optique

Plus en détail

Modélisation de systèmes par automates finis

Modélisation de systèmes par automates finis LIP6 - UPMC Année 2010 2011 Master SAR - MSR Aide mémoire Modélisation de systèmes par automates finis Table des matières 1 Introduction : modélisation par automates finis 1 2 Systèmes de transitions et

Plus en détail

Analyse en composantes principales

Analyse en composantes principales Analyse en composantes principales Alain Rakotomamonjy - Gilles Gasso. INSA Rouen -Département ASI Laboratoire LITIS Analyse en composantes principales p. 1/18 Introduction Objectifs Soit {x i } i=1,,l

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

MODELISATION DE DONNÉES QUALITATIVES PREMIÈRE PARTIE

MODELISATION DE DONNÉES QUALITATIVES PREMIÈRE PARTIE MODELISATION DE DONNÉES QUALITATIVES PREMIÈRE PARTIE Pierre-Louis Gonzalez 1 I INTRODUCTION 1 variable qualitative. Tri à plat. Représentations graphiques. Modélisation : loi binomiale loi multinomiale

Plus en détail

Optimisation numérique. Outline. Introduction et exemples. Daniele Di Pietro A.A. 2012-2013. 1 Dénitions et notations

Optimisation numérique. Outline. Introduction et exemples. Daniele Di Pietro A.A. 2012-2013. 1 Dénitions et notations Optimisation numérique Introduction et exemples Daniele Di Pietro A.A. 2012-2013 Outline 1 Dénitions et notations 2 Applications Exemples en recherche opérationnelle Exemples en algèbre linéaire Exemples

Plus en détail

Simulation & Statistiques

Simulation & Statistiques Simulation & Statistiques Pierre Chauvet Institut de Mathématiques Appliquées Université Catholique de l Ouest pierre.chauvet@uco.fr IMA, j imagine l avenir Qu est-ce que la simulation? La simulation est

Plus en détail

PROBABILITÉ ET CONVEXITÉ : APPLICATIONS À LA GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE (GROUPE DE LECTURE À L ENS LYON 2015) Huayi Chen

PROBABILITÉ ET CONVEXITÉ : APPLICATIONS À LA GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE (GROUPE DE LECTURE À L ENS LYON 2015) Huayi Chen PROBABILITÉ ET CONVEXITÉ : APPLICATIONS À LA GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE (GROUPE DE LECTURE À L ENS LYON 2015) Huayi Chen Le but de ce groupe de lecture est de comprendre les méthodes probabilistes dans l étude

Plus en détail

TD 15-16-17 : Martingales et portefeuilles, modèles de Ho et Lee

TD 15-16-17 : Martingales et portefeuilles, modèles de Ho et Lee Université Paris VI Master 1 : Modèles stochastiques pour la finance (4M065) 2013/2014 TD 15-16-17 : Martingales et portefeuilles, modèles de Ho et Lee Dans toute cette feuille (sauf dans l exercice sur

Plus en détail

Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2007 08

Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2007 08 École Supérieure des Affaires Master 2 Gestion de Portefeuille Université Paris xii Val de Marne Mathématiques appliquées à la finance J Printems Année 2007 08 Correction de l épreuve du 2 février 2008

Plus en détail

Épreuve orale d Informatique Fondamentale

Épreuve orale d Informatique Fondamentale Épreuve orale d Informatique Fondamentale Patrick Baillot, Nicolas Ollinger, Alexis Saurin ULC MPI 2013 Résumé Ce document consiste en une sélection, à titre d exemples, de 3 sujets proposés à l épreuve

Plus en détail

Construction du Mouvement Brownien

Construction du Mouvement Brownien Chapitre 1 Construction du Mouvement Brownien 1 Un peu d histoire (voir [7] et [1]) Le nom de mouvement Brownien vient du botaniste Robert Brown. Brown n a pas découvert le mouvement brownien, car n importe

Plus en détail

Université de Pau et des Pays de l Adour Département de Mathématiques Année 2006-2007. Introduction aux probabilités

Université de Pau et des Pays de l Adour Département de Mathématiques Année 2006-2007. Introduction aux probabilités Université de Pau et des Pays de l Adour Département de Mathématiques Année 2006-2007 Introduction aux probabilités Série n 3 Exercice 1 Une urne contient neuf boules. Quatre de ces boules portent le numéro

Plus en détail

Qualité d une classification

Qualité d une classification Méthodes en classification automatique Qualité d une classification Yves Lechevallier INRIA-Rocquencourt E_mail : Yves.Lechevallier@inria.fr Master ISI Qualité d une partition Validation interne À partir

Plus en détail

Introduction aux Réseaux de Petri

Introduction aux Réseaux de Petri Polycopié 2007 19 avril 2007 Page 1 Introduction aux Réseaux de Petri Robert Valette LAAS-CNRS Toulouse, version d avril 2007 Pré-requis : Ce texte suppose que l on a entendu parler des systèmes linéaires

Plus en détail

Math 04 : Probabilités et Statistiques

Math 04 : Probabilités et Statistiques Centre Universitaire Ain Témouchent Math 04 : Probabilités et Statistiques Dr. AISSA MAMOUNE Sidi Mohammed Département des Sciences et Technologie Institut des Sciences et Technologie E-mail : aissa_mamoune@yahoo.fr

Plus en détail

Tests d homogénéité dans les modèles de mélange

Tests d homogénéité dans les modèles de mélange Tests d homogénéité dans les modèles de mélange A. Autin, C. Pouet Université de Provence Rennes, 29 Août 2008 Plan 1. 2. non-adaptatifs et adaptatifs 3. Idées des preuves 4. Modèle de mélange Modèle Cadre

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

Le Monde Quantique L3 PHYTEM Bases de la Mécanique Quantique Cours d introduction

Le Monde Quantique L3 PHYTEM Bases de la Mécanique Quantique Cours d introduction Le Monde Quantique L3 PHYTEM Bases de la Mécanique Quantique Cours d introduction C. Fabre fabre@spectro.jussieu.fr rdres de grandeur - échelle terrestre : d 7 10 m 25 10 Kg - échelle terrestre : d 7 10

Plus en détail

Contrôle de congestion équitable pour le multicast et interface avec le niveau applicatif

Contrôle de congestion équitable pour le multicast et interface avec le niveau applicatif Thèse présentée pour obtenir le grade de Docteur de l Université de Strasbourg Laboratoire LSIIT Université de Strasbourg / CNRS Discipline : Informatique Vincent Lucas Contrôle de congestion équitable

Plus en détail

UNIVERSITÉ de CAEN/BASSE NORMANDIE U.F.R. : SCIENCES CAEN. Cours EL401T2. Master 1A Mention EEA Parcours AEII

UNIVERSITÉ de CAEN/BASSE NORMANDIE U.F.R. : SCIENCES CAEN. Cours EL401T2. Master 1A Mention EEA Parcours AEII UNIVERSITÉ de CAEN/BASSE NORMANDIE U.F.R. : SCIENCES CAEN Réseaux de Petri Cours EL4 Master A Mention EEA Parcours AEII G. Scorletti et G. Binet Maîtres de conférences à l Université de Caen GREYC AUTO

Plus en détail

SÉCURITÉ ÉPANDAGE DE GNL SUR DE L EAU

SÉCURITÉ ÉPANDAGE DE GNL SUR DE L EAU SÉCURITÉ ÉPANDAGE DE GNL SUR DE L EAU Décembre 2006 DÉBIT DE FUITE Débit de fuite, fonction de : Diamètre de la fuite Hauteur de GNL dans la cuve Au fur et à mesure que la cuve se vide, le débit de fuite

Plus en détail

Apprentissage de structure à partir de données incomplètes et application à la classication

Apprentissage de structure à partir de données incomplètes et application à la classication Apprentissage de structure à partir de données incomplètes et application à la classication Olivier François, Philippe Leray Francois.Olivier.C.H@gmail.com, Philippe.Leray@insa-rouen.fr Laboratoire d'informatique,

Plus en détail

Le fonctionnement de cet ascenseur peut être représenter graphiquement (suite d actions et de tests) pour que tout le monde puisse le comprendre.

Le fonctionnement de cet ascenseur peut être représenter graphiquement (suite d actions et de tests) pour que tout le monde puisse le comprendre. I. Introduction : Tu as vu lors de la précédente séance sur les automatismes que l ascenseur de ton immeuble était un automatisme composé d une partie opérative et d une partie commande. Le fonctionnement

Plus en détail

Espérances et variances

Espérances et variances [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 201 Enoncés 1 Espérances et variances Exercice 1 [ 04018 ] [Correction] Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans [a ; b]. a Montrer que

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Finance / Licence de Gestion MATH201 : Probabilités

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Finance / Licence de Gestion MATH201 : Probabilités 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Finance / Licence de Gestion MATH201 : Probabilités Chapitre II : Espaces probabilisés 1 Notions d événements 1.1 Expérience

Plus en détail

Statistiques appliquées (L3 d'économie) - Cours de Patrick Sevestre - TD 2 - Corrigé

Statistiques appliquées (L3 d'économie) - Cours de Patrick Sevestre - TD 2 - Corrigé Statistiques appliquées (L3 d'économie) - Cours de Patrick Sevestre - TD 2 - Corrigé Marc Sangnier - marc.sangnier@ens-cachan.fr 29 octobre 2007 Exercice 1 - Lien entre salaire et formation Remarques préliminaires

Plus en détail

Primes énergétiques Région Flamande Rénovation

Primes énergétiques Région Flamande Rénovation Primes énergétiques Région Flamande Isolation du toit (dans habitation existante) via le gestionnaire de réseau Avantages Isolation de la toiture 6/m² ou isolation du sol du 7/m² Valeur R D 3,5 m²k/w Valeur

Plus en détail

Feuille d'exercices : Diusion thermique

Feuille d'exercices : Diusion thermique Feuille d'exercices : Diusion thermique P Colin 2014/2015 1 Diusion thermique dans une barre * On considère une barre cylindrique de longueur l et de section S constituée d un matériau de conductivité

Plus en détail

Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires. dans

Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires. dans Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires dans Sommaire Sandrine CHARLES 1 Introduction... 3 2 Rappels sur les formes de Jordan réelles dans... 4 2.1 Deux valeurs propres réelles distinctes

Plus en détail

GreatSPN un ensemble d'outils Réseaux de Petri

GreatSPN un ensemble d'outils Réseaux de Petri GreatSPN un ensemble d'outils Réseaux de Petri Journée Outils AFSEC Lyon, INSA, 22 juin 2007 Patrice Moreaux, Nabila Salmi (prenom.nom@univ-savoie.fr) LISTIC Polytech'Savoie, Annecy (GT RdP, GDR MACS CNRS)

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat ES Asie 19 juin 2014

Corrigé du baccalauréat ES Asie 19 juin 2014 Corrigé du baccalauréat ES Asie 9 juin 4 EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats Proposition : fausse f (4) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point C ; cette droite passe

Plus en détail

Cours de Mathématiques

Cours de Mathématiques Chapitre 4 Cours de Mathématiques Lycee Gustave Eiffel PTSI 02/03 Equations différentielles Ce chapitre est une première étude des équations différentielles, il vous sera d abord utile en physique et en

Plus en détail

Conduite de Projet Planification PERT & GANTT

Conduite de Projet Planification PERT & GANTT Année universitaire 2015/2016 TIM 3 Conduite de Projet Planification PERT & GANTT Fahmi Ben Rejab Fahmi.benrejab@gmail.com 1 Introduction À partir des résultats de la structuration et de l'estimation,

Plus en détail

Modélisation des codes de calcul dans. le cadre des processus gaussiens

Modélisation des codes de calcul dans. le cadre des processus gaussiens Modélisation des codes de calcul dans le cadre des processus gaussiens Amandine Marrel Laboratoire de Modélisation des Transferts dans l Environnement CEA Cadarache Introduction (1) Fiabilité et calcul

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

Reconstruction tridimensionnelle de la surface de fibres et suivi de leurs déformations

Reconstruction tridimensionnelle de la surface de fibres et suivi de leurs déformations Reconstruction tridimensionnelle de la surface de fibres et suivi de leurs déformations Kenza IKOUOUBEL Encadrants: Dr. Raphaël Passas, Dr. Pierre Dumont En collaboration avec Dr. Manuel Mikczinski (OFFIS)

Plus en détail

Un modèle simple de formation d étoiles

Un modèle simple de formation d étoiles Un modèle simple de formation d étoiles [Exercice classique] Un modèle simple d étoile consiste à supposer que celle-ci est constituée d une masse M d atomes d hydrogène, adoptant une configuration sphérique

Plus en détail