La proportionnalité (2 ème partie)

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1 Mathématiques Stage n La proportionnalité (2 ème partie) C.F.A du bâtiment Ermont 1

2 Rappel: la méthode «verticale» Nous avons vu au dossier précédent deux grandeurs proportionnelles avaient un coefficient de proportionnalité qui permet de calculer l une en fonction de l autre. Dans un tableau, cela se traduit par une multiplication pour descendre, et par une division pour remonter. Personnellement, j appelle cela la méthode «verticale». Exemple : Un litre d antirouille est vendu L 1 L 2 L 5 L 10 L : 12 x Cependant, il existe bien d autres règles de calculs auxquelles nous avons le droit, et qui souvent sont très utiles, ou faciles, ou rapides, ou naturelles. Ce sera l objet de ce dossier de les découvrir. 2

3 Activité 1: les méthodes «horizontales» 1) Le prix d un billet de train est de 20. a) Quel est le prix de 4 billets? Quelle opération avez-vous fait? 20 x 4 = 80 euros, j ai multiplié par 4. b) Quel est prix de 5 billets? Quelle opération avez-vous fait cette fois-ci? 20 x 5 = 100 euros, j ai multiplié par 5. Mais j aurais aussi pu faire = 100 euros pour une place de plus qu au a) 2) Le prix de 6 billets de spectacle est de 90. a) Quel est le prix d un seul billet? Quelle opération avez-vous fait? 90 / 6 = 15 euros, j ai divisé par 6. b) Quel est prix de 5 billets? Quelle opération avez-vous fait cette fois-ci? 5 x 15 = 75 euros, j ai multiplié par 5. Mais j aurais aussi pu faire = 75 euros pour une place de moins qu au a) Ces méthodes correspondent souvent à ce que l on fait «dans la vie de tous les jours». Elles permettent d utiliser les quatre opérations (+, -, x et :) de façon naturelle et sont récapitulées dans les tableaux suivants sur des exemples simples x4 : x4 : 5 Personnellement, j appelle ces méthodes les «méthodes horizontales». 3

4 Activité 2: le «produit en croix» Le produit en croix a aussi un autre nom : la règle de trois Cette façon de calculer s avère souvent très pratique et très efficace, surtout quand il s agit de déterminer une seule valeur qui manque. On en trouve diverses présentations, plus ou moins rigoureuses, plus ou moins faciles à comprendre, mais voilà comment nous allons voir les choses de notre côté Situation : dans un tableau de proportionnalité, sur deux colonnes, 3 des 4 nombres sont connus et nous voudrions savoir combien vaut le 4 ème. Principe : «Je multiplie la diagonale pleine puis je divise par celui qui reste» Suivant celui qui manque, cela donne une des possibilités suivantes :? b a? a b a b c d c d? d c?? = b.c d? = a.d c? = a.d b? = b.c a Exemple : Le prix de 3 kg d un légume est de 12,75 euros, et on se demande combien coûteraient 5 kg du même légume. Nous pouvons poser cela comme ça : Masse en kg du légume 3 5 Prix en 12,75? Le produit en croix permet alors de répondre directement :? = 12,75 x 5 = 21,25 3 Réponse : Le prix des 5 kg serait de 21,25. 4

5 Exercice 1 : Complétez les tableaux de proportionnalité suivants : 1,8 A 2 A 18 h 20 h 40 C 60 C 6 V 6,7 V 45 kwh 50 kwh 10 mm 15 mm 12 km 3 km 24 km 8 km 12 V 18 V 20 min 5 min 30 min 10 min 2A 3 A ,5 1 1, ,75 1,5 2,25 22,5 75 Exercice 2 : Un magasin de bricolage décide de vendre des feuilles de papier de verre par lot. S ils font des lots de 10 feuilles, ils comptent les vendre 3,00. 1) Dans les mêmes conditions, quel serait le tarif d un lot de 5 feuilles. 10 feuilles 3,00 5 feuilles? 5 x 3 / 10 = 1,50 2) Dans les mêmes conditions, quel serait le tarif d un lot de 25 feuilles. 10 feuilles 3,00 25 x 3 / 10 = 7,50 25 feuilles? 5

6 Exercice 3 : Sur un chantier, un plan représente une longueur réelle de 25 m par un segment de longueur 10 cm. 1) Quelle serait la taille d un segment qui représente 75 m? 75 x 10 / 25 = 30 cm 75 m? cm 2) Quelle serait la taille d un segment qui représente 32,80 m? 32,80 x 10 / 25 = 13,12 cm 32,80 m? cm 3) Quelle taille réelle est représentée par un segment de 5 cm?? m 5 cm 25 x 5 / 10 = 12,5 m 4) Quelle taille réelle est représentée par un segment de 7,3 cm?? m 7,3 cm 25 x 7,3 / 10 = 18,25 m Exercice 4: Lors d une intervention urgente chez un client, votre patron vous annonce qu il vous versera 20,00 à chaque fois que le chantier apporte 100,00 de bénéfice. 1) Quelle somme votre patron va vous donner si le bénéfice de l entreprise est de 753,20? ,2 x 20 / 100 = 150,64 euros 753,20? 2) Quel aurait été le bénéfice de l entreprise si vous avez reçu 72,50 de votre patron? x 72,50 / 20 = 362,50 euros? 72,50 3) Finalement, le bénéfice de l entreprise est de 1758,80, et vous avez reçu 360,00. Votre patron a-t-il tenu parole? ,80 x 20 / 100 = 351,56 < 360 euros Donc le patron a tenu parole, et même fait 1758,80? un peu mieux. 6

7 Exercice 5: Partant en vacances en voiture, vous vous rendez compte que vous avez parcouru 180km en 2h30min. 1) Quelle distance avez-vous parcouru en 1h? 180 km 2,5 h? km 1 h 180 x 1 / 2,5 = 72 km 2) Quelle distance allez-vous parcourir en 6h? 180 km 2,5 h? km 6 h 180 x 6 / 2,5 = 432 km 3) Quelle durée a-t-il fallu pour parcourir 252km? 180 km 2,5 h 252km? h 252 x 2,5 / 180 = 3,5 h soit 3 h 30 min Exercice 6: (attention, notion hors-programme, exercice réservé à ceux qui ont tout fini) Une grosse entreprise envoie une équipe de 4 personnes pour réaliser un chantier. Le travail a été effectué en 9 jours. 1) Combien de temps aurait pris une équipe de 6 personnes? Il a fallu 9 x 4 = 36 jours de travail pour finir ce chantier. A 6 personnes, cela représente 36/6 = 6 jours. 2) Ce chantier consistait à finaliser la réalisation d une chambre dans un hôtel qui en comprend 28 en tout, et votre entreprise doit donc en finaliser encore 27. Deux équipes de 4 s en chargent, dont la votre. Combien de jours seront nécessaires avant la fin de ce gros chantier? Il faut prévoir 27 x 36 jours, soit 972 jours de chantier. Deux équipes de 4 font 8 personnes. On prévoit donc 972/8 = 121,5 jours. 7