PHENOMENES DE PROPAGATION EN RADIOFREQUENCES ELECTRONIQUE RAPIDE COURS

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1 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle PHENOMENES DE PROPAGATON EN RADOFREQUENCES ELECTRONQUE RAPDE COURS Philippe Ferrari - 0 -

2 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle SOMMARE NTRODUCTON. PRÉAMBULE : MSE EN ÉDENCE DES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATON EN ÉLECTRONQUE. LES FRÉQUENCES MCRO-ONDES 3.3 APPLCATONS DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTQUES 4.3. HSTORQUE 4.3. QUELQUES APPLCATONS TYPQUES 5.4 CRCUTS MCRO-ONDES ET MÉTHODES D ANALYSE 7 LA LGNE DE PROPAGATON ANALYSE PAR LA THÉORE DES CRCUTS 9. MODÈLE CRCUT D UNE LGNE DE PROPAGATON 9. EQUATONS DFFÉRENTELLES COUPLÉES 0.3 RÉGME HARMONQUE.3. EQUATONS DE PROPAGATON.3. ETUDE GÉNÉRALE DES FONCTONS x f ω t ET x f ω t v ϕ vϕ CARACTÉRSTQUES DES ONDES : MPÉDANCE CARACTÉRSTQUE, EXPOSANT DE PROPAGATON, COEFFCENT DE RÉFLEXON COEFFCENTS DE RÉFLEXON ET DE TRANSMSSON RAPPORT D ONDES STATONNARE (ROS) 7.4 ADAPTATON D MPÉDANCE.4. ADAPTATON PARTE RÉELLE : TRANSFORMATEUR ¼ D ONDE.4. ADAPTATON PARTE MAGNARE : «STUB».5 OUTLS D ANALYSE : ABAQUE DE SMTH PARAMÈTRES S GRAPHES DE FLUENCE.5. ABAQUE DE SMTH.5. PARAMÈTRES S - MATRCES GRAPHES DE FLUENCE 37.6 NTRODUCTON AU RÉGME TEMPOREL : RÉFLECTOMÉTRE TEMPORELLE PRNCPE 39 3 PRNCPES DE LA CAO RF-µONDES MODÉLSATON SMULATON 45 4 PRNCPES DES APPARELS DE MESURE RF-µONDES 45 Philippe Ferrari - -

3 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle Philippe Ferrari - -

4 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle ntrodution. Préambule : mise en évidene des phénomènes de propagation en életronique l s agit ii de montrer que lorsque la fréquene des signaux se propageant sur une ligne augmente, il devient néessaire de prendre en ompte les phénomènes de propagation. Nous prenons une expériene très simple qui onsiste à relier un générateur de tension sinusoïdale ( v g, Rg ) à une harge R par l intermédiaire de deux fils parallèles A-B et C-D (Figure ). La harge est reliée à un voltmètre par un âble oaxial de un mètre de longueur environ (longueur l). A B l m B g R g R lue C D Figure. Mise en oeuvre des phénomènes de propagation. Compte tenu de la longueur des fils de onnexion, si la fréquene du générateur est inférieure à MHz environ, la tension lue au voltmètre est évidemment : R lue = g. R Rg Lorsque l on augmente la fréquene tout en onservant la tension effiae g onstante, on onstate que la tension lue varie. Si l on divise la longueur l par dix, soit un âble oaxial de longueur 0 m, on onstate que e phénomène se produit pour une fréquene dix fois supérieure. La tension lue au voltmètre dépend don de la longueur du âble oaxial et de la fréquene de fontionnement. Pour omprendre e phénomène, il faut faire appel à la théorie de la propagation des ondes életromagnétiques que nous allons développer. On peut déjà affirmer que pour éviter les phénomènes de propagation dans les iruits életroniques, il faut que la dimension de es iruits soit plus petite que la longueur λ assoiée à la longueur d onde des signaux mis en jeu : v λ =, f ave v la vitesse des signaux et f leur fréquene. Plus la fréquene roît, plus la longueur d onde diminue, plus les phénomènes de propagation sont suseptibles d intervenir. Dès l apparition de la miniaturisation apportée par la miroéletronique vers les années 960, les életroniiens ont ru longtemps qu ils allaient pouvoir éviter les méthodes lourdes d analyse életromagnétique qui permettent de prendre en ompte les phénomènes de propagation. Mais les ambitions des életroniiens ne se sont pas limitées qu à la miniaturisation des iruits. Du fait du besoin aru de plages de fréquenes libres pour les appliations de téléommuniation, les fréquenes de fontionnement ont augmenté. De plus, la omplexité de l arhiteture des iruits entraîne des ouplages entre iruits qui ne peuvent se traiter que grâe à la théorie de l életromagnétisme. Auun életroniien ne peut ignorer aujourd hui les onepts de base de l életromagnétisme qui interviennent dans l analyse des iruits d életronique rapide. Philippe Ferrari - -

5 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle Dans le domaine de l életronique rapide, nous onsidérons des fréquenes supérieures à la entaine de MHz. Nous entrons alors dans le domaine des miro-ondes ou des hyperfréquenes, allant de quelques entaines de MHz à quelques entaines de GHz (0 9 Hz). Au-delà des GHz, on trouve les THz (0 Hz).. Les fréquenes miro-ondes Le terme «miro-ondes» est utilisé pour dérire les ondes életromagnétiques allant de m à m dans l air, orrespondant à des fréquenes situées entre 300 MHz et 300 GHz. Dans un milieu différent de l air, don de permittivité relative supérieure à, e spetre est déplaé vers le bas ar la vitesse de l onde est alors inférieure à la vitesse de la lumière : C v =, ε ave C la vitesse de la lumière dans le vide, ε r la permittivité relative du milieu. Les ondes életromagnétiques possédant des longueurs d onde situées entre et 0 mm sont appelées ondes millimétriques. Le spetre infrarouge orrespond à des longueurs d ondes situées entre µm et mm. Ensuite, nous avons le spetre optique visible, le spetre ultraviolet, et finalement les rayons X. Divers modes de lassifiation sont utilisés pour désigner les bandes de fréquene du spetre életromagnétique. Ces lassifiations sont résumées dans les tableaux et. La lassifiation en bandes RADAR (Tableau ) date de la seonde guerre mondiale et demeure toujours d usage aujourd hui même s il est reommandé d utiliser la nouvelle lassifiation militaire. r Bande de Désignation fréquenes 3 3 KHz ery Low Frequeny (LF) KHz Low Frequeny (LF) KHz Medium Frequeny (MF) 3 30 MHz High Frequeny (HF) MHz ery High Frequeny (HF) MHz Ultra High Frequeny (UHF) 3 30 GHz Super High Frequeny (SHF) GHz Extreme High Frequeny (EHF) Appliations typiques Navigation, sonar Balises radio, aide à la navigation Radiodiffusion AM, radio maritime Téléphone, télégraphe et fax, Radiodiffusions internationales ondes ourtes, radio amateur, Télévision, Radiodiffusion FM, ontrôle du trafique aérien, aide à la navigation Télévision, ommuniations satellites, sondes radio, surveillane radar, aide à la navigation Radar satellite, liaisons miro-ondes, ommuniations mobiles, ommuniations satellites Radar, expérienes Tableau. Désignation des bandes de fréquene. Philippe Ferrari - 3 -

6 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle Fréquene Désignation des bandes miro-ondes Anienne Nouvelle MHz HF C GHz L D 3 GHz S E 3 4 GHz S F 4 6 GHz C G 6 8 GHz C H 8 0 GHz X 0,4 GHz X J,4 8 GHz Ku J 8 0 GHz K J 0 6,5 GHz K K 6,5 40 GHz Ka K Tableau. Désignation militaire des bandes de fréquene miro-ondes. La Figure donne une représentation de la orrespondane entre fréquene et longueur dans le vide ( ε = ). r 3 MHz f λ 00 m 30 MHz 300 MHz 3 GHz 30 GHz HF 0 m HF m UHF 0 m SHF m EHF Figure. Correspondane fréquene longueur d onde dans le vide. 300 GHz mm Atuellement, ave le développement de la téléphonie mobile autour de 900 MHz et MHz, la dénomination «Radiofréquenes» redevient utilisée. Cette dénomination ouvre approximativement la bande 300 MHz 3 GHz. Compte tenu de la dimension des omposants et iruits intégrés, dans la bande UHF et jusqu à environ GHz, la majorité des iruits de ommuniation sont réalisés à l aide d éléments loalisés, résistane, indutanes, apaités, tels qu on les onnaît en életronique (tehnologie CMS). Entre et 00 GHz, es éléments loalisés sont remplaés, grâe à des équivalenes, par des iruits réalisés à l aide de lignes de propagation. L étude de es iruits spéifiques sera effetuée dans le ours d életronique du seond semestre..3 Appliations des ondes életromagnétiques.3. Historique L intérêt pour les fréquenes miro-ondes est apparu pour un grand nombre de raisons. La plus basique est le besoin toujours roissant de bandes spetrales pour les appliations radiofréquenes et toutes les appliations pour lesquelles seules les fréquenes miro-ondes peuvent être utilisées. La bande de fréquene GHz (0 9 Hz) à THz (0 Hz) ontient 000 fois la bande de fréquene DC GHz, on omprend ainsi pourquoi les fréquenes miro-ondes sont si largement utilisées dans un ontexte de besoin roissant de nouvelles plages de fréquene. Au départ, durant la seonde guerre mondiale et les années qui suivirent, l ingénierie miro-onde était synonyme d ingénierie RADAR (Radio Detetion And Ranging) du fait du fort développement de système miro-ondes impulsé par le besoin de radars à très haute résolution Philippe Ferrari - 4 -

7 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle apables de déteter et de loaliser les avions et troupes ennemies. Les radars atuels, sous leurs diverses formes, anti-missiles, anti-feu, météo, guidage de missiles, ontrôle du trafique des aéroport,, représente enore une utilisation majeure des miro-ondes. Cette utilisation est liée à la néessité d avoir des antennes possédant un diagramme de rayonnement le plus fin possible, 'est-àdire dont le faiseau est le plus étroit possible, omme e qui peut être réalisé par voie optique à l aide de LASERs. La apaité pour une antenne à foaliser le rayonnement sur un faiseau étroit est limitée par les phénomènes de diffration, qui sont aratérisés par la taille relative de l antenne (ouverture rayonnante) par rapport à la longueur d onde. Par exemple, une antenne de type parabole produit un ône de rayonnement possédant un angle d ouverture A donné par l expression simple suivante : 40 A =, D / λ où D est le diamètre de la parabole, λ 0 est la longueur d onde dans le vide. Ainsi une antenne de diamètre 90 m peut produire un faiseau possédant un angle d ouverture de 4,7 à 0 GHz. Un faiseau de e type peut déjà donner une information tout à fait orrete sur une ible visée par un radar. Pour atteindre la même finesse de faiseau à 00 MHz, l antenne doit posséder un diamètre 00 fois plus important, à savoir 90 m. l est ainsi lair que l on doit travailler à des fréquenes suffisamment élevées afin de minimiser la taille des antennes. Les fréquenes miro-ondes permettent d obtenir des antennes de l ordre de quelques mm à quelques dizaines de m, orrespondant à la taille des iruits ou systèmes utilisés, et pouvant être embarqués (avions, bateaux, satellites). Cette simple expliation explique également pourquoi les signaux radio ne peuvent être transmis en bande de base (fréquenes audibles de 50 Hz à 5 KHz environ) ar ela néessitera des antennes de plusieurs entaines de km de long. Nous reviendrons sur es aspets importants à la fin de e ours lorsque nous disuterons des antennes. Plus réemment, les fréquenes miro-ondes ont ommené à être largement utilisées dans les systèmes de ommuniation. Du fait que les ommuniations miro-ondes s effetuent «à vue» en espae libre, nous avons alors vu apparaître des antennes plaées au sommet de tours ou de pis montagneux. Très rapidement, les satellites géostationnaires ont été utilisés pour les ommuniations miro-ondes omme stations relais. Le premier plaé en orbite fut Telstar, lané en 96 et fournissant la première transmission télévision en diret des Etats-Unis vers l Europe. Depuis, les satellites sont très largement utilisés pour des objetifs de ommuniation, de surveillane, ou pour olleter des données atmosphériques ou météorologiques. Pour la télévision, la bande C est la plus utilisée aux Etats-Unis. La transmission ou anal de montée (terre! satellite) utilise la bande 5,9 6,4 GHz, et la réeption ou anal de desente utilise la bande 3,7 4, GHz. Pour la réeption, des antennes paraboliques de,4 m de diamètre sont généralement utilisées, puis la télévision est diffusée par âble au sol vers les partiuliers. Une seonde bande a également été attribuée pour la diffusion direte vers le partiulier, prinipalement utilisée en Europe et au Japon : 4 4,5 GHz pour la transmission et 0,95, GHz ou,45,7 GHz pour la réeption. Dans ette bande, l antenne doit posséder un diamètre de 90 m pour une réeption orrete. Ce sont les antennes visibles sur nombre de toits ou balons..3. Quelques appliations typiques Le développement suessif du téléphone, de la radiodiffusion, de la télévision, des ordinateurs, ont abouti à un volume de données éhangées onsidérable et dont le transfert entre différents lieux s effetue par l intermédiaire d ondes életromagnétiques guidées dans des âbles ou des fibres, ou rayonnées dans l air par l intermédiaire d antennes. Pour tenter de satisfaire tous les utilisateurs, le spetre hertzien a été divisé en différentes plages ou bandes de fréquenes attribuées essentiellement pour les appliations militaires, les téléommuniations iviles et la radionavigation. La répartition des fréquenes est effetuée par l Union nternationale des 0 Philippe Ferrari - 5 -

8 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle Téléommuniations (UT), organisme international dont le siège est à Genève et qui dépend de l ONU. Si l életroniien peut se permettre l utilisation de n importe quelle fréquene lorsqu il travaille ave des iruits blindés, il devient répréhensible lorsqu un élément de son iruit rayonne et s avère suseptible de gêner l environnement (problème de ompatibilité életromagnétique CEM). Le spetre hertzien, omme on l a vu, est ainsi divisé par plages de largeur variable attribuées à des utilisations bien spéifiques, auune plage jusqu aux miro-ondes n étant laissée libre. L UT remet périodiquement à jour un reueil d utilisation du spetre hertzien dont le volume est semblable à elui d un ditionnaire lassique. Le Tableau donne les appliations prinipales par bandes de fréquenes. Nous donnons i-dessous quelques appliations et leur bande de fréquene préise MHz : plage utilisée en radioéletriité pour les émissions en Modulation de Fréquene (FM) MHz : transmission des anaux télévision dits «HF» par voie terrestre MHz : transmission des anaux télévision dits «UHF» par voie terrestre MHz : Tehnologie GSM pour la téléphonie mobile MHz : Tehnologie DCS 800 pour la téléphonie mobile MHz : fours miro-ondes et appliations iviles (radar, ). 60 GHz : réseaux de transmission à ourte portée intra-muros. 77 GHz : radars antiollision automobile. La Figure 3 donne le prinipe et les fréquenes de fontionnement des tehnologies GSM et DCS 800, qui onstituent les standards Européens en téléphonie mobile. GSM Tx Rx f(mhz) Downlink ( Rx ) BS=base station 300 Watts Uplink ( Tx ) DCS 800 MS=mobile station - Watts Tx Rx f(mhz) Figure 3. Prinipe et fréquenes de fontionnement des tehnologies GSM et DCS 800. La Figure 4 donne une idée de la très forte roissane du marhé de la téléphonie mobile, passant de moins de 00 millions d abonnés en 997 à plus de un milliard en 004. La taille de e marhé implique la formation de tehniiens et ingénieurs ompétents dans le domaine des miro-ondes. Philippe Ferrari - 6 -

9 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle Subsribers (Millions) Figure 4. Evolution du marhé de la téléphonie mobile en nombre d utilisateurs de téléphones portables (nombre d abonnés). Si l on onsidère l életroniien omme le spéialiste des iruits mettant en jeu des iruits à transistors, on peut onsidérer que elui-i peut s attendre au ours de sa arrière à être onfronté au spetre sur lequel les transistors fontionnent. Or atuellement les transistors les plus performants possèdent des fréquenes de transition supérieures à 500 GHz. l est don néessaire de s intéresser au domaine des miro-ondes, et don d étudier la propagation des ondes életromagnétiques le long de lignes, puis ensuite les omposants et iruits miro-ondes. Le formalisme mathématique omplet pour l étude de la propagation des ondes est omplexe et fait appel aux équations de Maxwell. En pratique, on se réfère ependant rarement aux équations de Maxwell pour traiter les problèmes de propagation. On utilise une approhe «iruit» en utilisant des équivalenes entre le ourant et la tension, et les hamps magnétique et életrique. Dans e ours, nous développons ette approhe «iruit». Le ours d életronique du seond semestre sera destiné à l étude des phénomènes de propagation à l aide des équations de Maxwell..4 Ciruits miro-ondes et méthodes d analyse Comme on l a souligné, les phénomènes de propagation mis en évidene au paragraphe. imposent le reours à des iruits et méthodes d analyse spéifiques dès lors que la longueur d onde orrespondant à la fréquene ne pleut plus être onsidérée omme très élevée vis-à-vis des dimensions du iruit (rapport 0 à 0 minimum). L une des exigenes essentielle pour un iruit miro-onde est alors de pouvoir transmettre orretement (sans distorsion et pertes) un signal d un point à un autre. Cela néessite le transport de l énergie sous la forme d une onde életromagnétique se propageant. L utilisation de deux fils parallèles est impossible pour des fréquenes supérieures à quelques dizaines de MHz. Les paires torsadées peuvent être utilisées jusqu à environ la entaine de MHz sur des distanes de quelques mètres. Ensuite les utilisateurs ont reours à des supports de transmission spéifiques, appelées «lignes de propagation» ou «lignes de transmission». La Figure 5 dérit quelques topologies lassiques de lignes de transmission. Le âble oaxial est utilisés pour relier des systèmes entre eux et peut supporter des puissanes élevées de plusieurs entaines de Philippe Ferrari - 7 -

10 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle Watts. l est limité à des fréquenes de 0 GHz atuellement du fait des dimensions qui deviennent alors mironiques et néessitent des préisions d usinage extrêmes. La ligne miro-ruban est utilisée à l intérieure des systèmes. Sa struture planaire permet le montage de transistors ou de pues en surfae. Le guide d onde oplanaire est également une struture planaire, il possède l avantage par rapport à la ligne miro-ruban d être moins dispersif (la permittivité effetive reste onstante sur une plus large bande de fréquene), mais demeure plus gourmand en dimensions transversales. Câble oaxial Ligne miro-ruban Guide d onde oplanaire Figure 5. Quelques lignes de propagation lassiques. Pour des fréquenes supérieures à la entaine de GHz, pour lesquelles on trouve essentiellement des appliations radar ou spatiales, on utilise prinipalement les guides d onde, retangulaires ou ylindriques, du fait de leurs meilleures propriétés életriques ou méaniques. Guide ylindrique Guide retangulaire Figure 6. Guides d onde Espae libre Atténuation db / km Câble oaxial 60 db/km Guide irulaire db/km Fibre optique 0,5 db/km Distane en km Figure 7. Atténuation typique pour les quatre supports de transmission les plus utilisés pour relier des systèmes entre eux (> quelques 0 m). Philippe Ferrari - 8 -

11 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle La ligne de propagation Analyse par la théorie des iruits Les phénomènes de propagation sur les lignes à plusieurs onduteurs s étudient à l aide des équations de Kirhoff : loi des mailles et loi des nœuds. La démarhe est la suivante :. Constrution d un modèle de la ligne de propagation.. Etablissement des équations différentielles ouplées régissant la propagation d une onde de tension ou de ourant sur la ligne. 3. Résolution de des équations différentielles ouplées en régime harmonique : ondes progressives et régressives, vitesse de phase, longueur d onde. 4. Caratéristiques des ondes : mise en évidene des onepts d impédane aratéristique, d exposant de propagation, et de oeffiient de réflexion. 5. ntrodution d outils d analyse : abaque de Smith, paramètres S. 6. Analyse temporelle des phénomènes de propagation : résolution des équations différentielles dans le domaine temporel. L étape 6. est de loin la plus ompliquée. L analyse temporelle néessite la résolution «direte» de l équation différentielle, et don des outils mathématiques d analyse, alors que l analyse harmonique, qui fait appel à la notation omplexe, se résume à l étude de problèmes algébriques. On peut omparer ave le domaine de l automatique (systèmes asservis). l est largement plus aisé de dériver la fontion de transfert d un système, qui orrespond au régime harmonique, plutôt que sa réponse indiielle (analyse temporelle ou «dynamique»).. Modèle iruit d une ligne de propagation Pour ommener, on onsidère une ligne bifilaire omme dérit sur la Figure 8. En életronique, es lignes sont utilisées lassiquement pour relier des systèmes entre eux, leur longueur, en fontion des appliations, peut varier de quelques mm à quelques mètres. Figure 8. Ligne bifilaire. Nous allons étudier le omportement de ette ligne lorsque la fréquene augmente, en partant des basses fréquenes. En basse fréquene, 'est-à-dire en dessous de quelques MHz, la ligne peut être modélisée par une simple résistane. Lorsque l on augmente la fréquene, on voit apparaître un phénomène de filtrage passe-bas. Ce phénomène a lieu entre quelques dizaines de MHz et quelques entaines de MHz, dépendant omme on le verra par la suite de la longueur de la ligne. On onstate évidemment e phénomène sur les lignes téléphoniques, e qui pose des problèmes pour transmettre des informations haut débit. Ce phénomène peut être modélisé par une apaité en parallèle sur la ligne. Cette apaité traduit physiquement le fait que l on dispose de deux onduteurs en vis à vis. Enfin si l on augmente enore la fréquene, on se retrouve dans le as de l expériene de la Figure : la tension mesurée au bout de la ligne n est pas du tout égale à la tension appliquée en entrée. l se produit un phénomène de propagation. Ce phénomène est du au omportement indutif de la Philippe Ferrari - 9 -

12 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle ligne, on doit ainsi faire apparaître une indutane dans notre modèle. Cette indutane traduit physiquement le phénomène d auto-indutane abordé dans le ours de magnétostatique de première année. Enfin, si le diéletrique séparant les deux onduteurs n est pas parfait, un ourant de fuite pourra iruler entre eux-i. Ce ourant engendrera des pertes, il est don néessaire d ajouter au modèle une résistane parallèle. Du fait que ette résistane soit en parallèle, on utilise plutôt le terme de ondutane. Nous avons ainsi un modèle omportant quatre paramètres : R : résistane série en Ohms (Ω). L : indutane série en Henrys (H). C : apaité parallèle en Farads (F). G : ondutane parallèle en Siemens (S). A e stade, ayant ompris la ause de la présene de haun de es quatre éléments, on pourrait penser modéliser simplement la ligne par un arrangement de es éléments. On aurait alors un modèle «loalisé» ou «disret». Quel que soit l arrangement, on n aurait alors pas la possibilité de faire apparaître des effets de propagation et la struture serait un simple filtre loalisé de type passe-bas du seond ordre. Afin de tenir ompte de l effet prépondérant de propagation, la tehnique onsiste à établir un modèle d une setion de longueur infinitésimale de ligne, puis ensuite d intégrer les équations différentielles dérivant le modèle ainsi onstitué. Pour la suite, on onsidère don un élément de ligne de longueur infinitésimale dx (Figure 9). D un point de vue voabulaire, nous utiliserons le terme «setion élémentaire» pour dérire une setion de longueur infinitésimale. Les quatre éléments R, L, C et G sont définis de manière linéique et ont pour dimension : R : résistane linéique série en Ohms (Ω/m). L : indutane linéique série en Henrys (H/m). C : apaité linéique parallèle en Farads (F/m). G : ondutane linéique parallèle en Siemens (S/m). Ces quatre éléments R, L, C et G ainsi définis sont appelés paramètres primaires de la ligne de propagation. Ldx Rdx i(x) i(xdx) v(x) Cdx Gdx v(xdx) dx Figure 9. Setion élémentaire de ligne de propagation.. Equations différentielles ouplées L ériture des équations de Kirhoff donne, en onsidérant que les variations en fontion du temps x v x dx sont les mêmes du fait que dx est une longueur infinitésimale : de v ( ) et de ( ) Philippe Ferrari - 0 -

13 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle v ( x dx t) v( x, t) = Rdx. i( x, t) ( x, t) i, Ldx. () t ( x, t) v i( x dx, t) i( x, t) = Gdx. v( x, t) Cdx. t () Du fait que dx est une longueur infinitésimale, on peut érire : v( x dx, t) v( x, t) v( x, t) i( x dx, t) i( x, t) i( x, t) = et = dx x dx x (3) D où les deux équations différentielles : ( x, t) ( x t) v i = R. i( x, t) L, x t (4) ( x, t) ( x t) i v = G. v( x, t) C, x t (5).3 Régime harmonique.3. Equations de propagation Dans ette partie, nous résolvons les équations (4) et (5) en régime harmonique, don en onsidérant omme exitation une onde sinusoïdale de fréquene f. Nous utilisons don le formalisme mathématique des notations omplexes qui simplifient grandement la résolution. x t i x, t s érivent don : Les grandeurs omplexes assoiées à v (, ) et ( ) v( x ω, t) jωt ( x, ω). e ave : ω = πf. i, =, (6) jωt ( x ω, t) ( x, ω). e, =, (7) ( x,ω) et ( x,ω) sont les amplitudes omplexes assoiées à la tension v ( x, t) et au ourant ( x t) i,, respetivement. Ces amplitudes omplexes ne dépendent évidemment pas du temps du fait que l on effetue une analyse harmonique. Rappelons que l on revient aux grandeurs réelles, dépendant du temps, en prenons mathématiquement la partie réelle des grandeurs omplexes assoiées : v( x t) Re v( x, ω, t) En remplaçant v ( x, t) et ( x t) obtient : jωt [ ] = Re[ ( x, ω). e ]. Cos( ωt), = =. (8) i, par leur grandeur omplexe assoiée dans les équations (4) et (5), on ( x, ω) x ( x, ω) x = R. = G. ( x, ω) jlω( x, ω) = ( R jlω) ( x, ω) ( x, ω) jcω ( x, ω) = ( G jcω) ( x, ω), (9). (0) j t Le fateur e ω s élimine. On est alors ramené à la résolution d équations différentielles ouplées à oeffiients onstants. Eliminons ( x,ω) entre les deux équations ; pour ela, dérivons l équation (0) par rapport à x : Philippe Ferrari - -

14 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle Remplaçons le terme ( x, ω) x ( x ) ( x ω),ω, = ( G jcω) x x par son expression (équation (9)) :. () Soit enore : x ( x, ω) = x ( G jcω)( R jlω) ( x, ω) ( x ω), γ ( x, ω) = 0. (). (3) où γ ( G jcω)( R jlω) = α jβ = a la dimension de m -. Nous verrons plus loin la signifiation physique de γ. De la même manière, on obtient : x ( x ω), γ ( x, ω) = 0. (4) ntégrons l équation (3). L équation aratéristique s érit : r = γ, soit deux solutions : La solution générale est don : r r = ±γ. (5) où A ( ω) et ( ω) γ ( ) ( ) x γ x ω = A ω e B( ω) e x,, (6) B sont des amplitudes omplexes s exprimant en Ampères et dépendant uniquement de la pulsation ω. De la même manière, on pourrait intégrer l équation (4), e qui introduirait deux nouvelles onstantes d intégration : C ( ω) et D ( ω), qui ne peuvent pas être indépendantes de A ( ω) et B ( ω). l vaut don mieux reporter (6) dans (3). On obtient : ( x ω) ( R jlω) γx γx ( A( ω) e B( ω) e ) ( G jcω), =. (7) En posant : ( ω) ( R jlω) ( G jcω) =, (8) nous obtenons en définitive le jeu d équations suivantes : γ ( ) ( ) x γ x ω = A ω e B( ω) e x Philippe Ferrari - -,. (9) γx ( e ) γx ( x ω) = ( ω) A( ω) e B( ω) Ces relations représentent la solution générale réelle suivante : i,. (0) αx αx ( x t) = Ae Cos( ωt βx) Be Cos( ωt βx),, ()

15 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle v ( ) αx αx ( x t) = Ae Cos( ωt βx) Be Cos( ωt βx),, () où, dans le as général, A, B et représentent le module de A, B et Nous voyons apparaître deux fontions :, respetivement. βx βx f ω t et f ω t. (3) ω ω Nous allons montrer que es fontions aratérisent deux phénomènes de propagation dans deux diretions opposées..3. Etude générale des fontions x f ω t et vϕ x f ω t vϕ Le terme ω β a la dimension de l inverse d une vitesse en m/s, nous le nommerons : v = ω ϕ β. (4) Considérons la fontion x f ω t : vϕ En x et au temps t, la phase s érit : x ω t. vϕ En x et au temps t > t la phase s érit : x ω t. vϕ Cherhons, au temps t, en quel point x > x la phase est la même qu en x au temps t. Nous érivons : x = x ω t ω t, soit : x x = vϕ ( t t) = vϕ t. vϕ vϕ La phase s est don déplaée selon les x roissants à la vitesse v ϕ (Figure 0). La phase s est propagée ave la vitesse v ϕ qui est ainsi définie omme la vitesse de phase : v = ω ϕ. (5) β Φ ( t ) Φ ( t ) x x v t ϕ Φ x Figure 0. llustration de la notion de vitesse de phase. Ainsi, toute fontion mathématique x f ω t représente une onde qui se propage selon les x vϕ roissants ave la vitesse v ϕ. On appelle es ondes des ondes progressives. Philippe Ferrari - 3 -

16 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle De la même manière, on montrerait que toute fontion mathématique x f ω t représente vϕ une onde qui se propage selon les x déroissants ave la vitesse v ϕ. On appelle es ondes des ondes régressives. Par la suite, haque fois que l on parlera d ondes progressives, on utilisera l indie. L indie «-» sera utilisé pour les ondes régressives..3..a Longueur d onde Représentons, à un instant donné t, l expression : x Cos ω t (Figure ). vϕ i ou v λ x x x ( ϕ ) ( ϕ ) Figure. llustration de la notion de longueur d onde. La longueur d onde est, par définition, la distane qui sépare, à un instant donné, deux points d absisse x et x où la phase est la même, à π près : ω x ω x t = t π, (6) vϕ vϕ e qui donne : ω x x πv = π, d où : λ = x ϕ x =, vϕ ω en définitive, nous retiendrons : ω π β = =, (7) v λ omme définition de la longueur d onde λ..3..b Formulation en ondes progressives et régressives Nous avons établi au paragraphe.3. les équations i-dessous : γ ( ) ( ) x γ x ω = A ω e B( ω) e x ϕ,. (8) γx ( e ) γx ( x ω) = A( ω) e B( ω),. (9) Philippe Ferrari - 4 -

17 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle Ces deux équations dépendent de deux oeffiients omplexes A ( ω) et B ( ω). Nous pouvons réérire es équations en remarquant que le oeffiient A ( ω) orrespond aux ondes progressives et que B ( ω) orrespond aux ondes régressives. En posant : on obtient alors le jeu d équations suivantes : ( ω) A( ω) ( ω) B( ω) 0 = et 0 =, (30) ( ω) A( ω) ( ω) = B( ω) 0 = et 0, (3) γ ( ) ( ) ( ) ( ) x γ x ω x, ω x, ω = ω e ( ω) e x = 0 0,, (3) γ ( ) ( ) ( ) ( ) x γ x ω x, ω x, ω = ω e ( ω) e x == 0 0,, (33) où 0 ( ω), 0 ( ω), 0 ( ω) et 0 ( ω) tensions en x = 0. On aurait pu érire ( 0,ω), ( 0,ω), ( 0,ω) et ( 0,ω ) représentent les amplitudes omplexes des ourants et Ce sont les équations (3) et (33) que nous utiliserons pour toute la suite du ours. Les relations ω ω ω ω se déduisent des équations (30) et (3) : liant ( ), ( ), ( ) et ( ) ( ω) ( ω) = ( ω) et 0 0 ( ω) ( ω) = ( ω). (34) Pour la suite, afin d alléger les notations, nous omettrons les parenthèses ( ω ) et (,ω) équations manipulées..3.3 Caratéristiques des ondes : impédane aratéristique, exposant de propagation, oeffiient de réflexion.3.3.a mpédane aratéristique On érit le rapport tension sur ourant en tout point de la ligne : ( x) x dans les γx γx 0 e 0 e = = ( x). (35) γx γx e e 0 a la dimension d une impédane. Si l on oupe la ligne à l absisse arbitraire x = x et que l on remplae la partie orrespondant à x > x par une impédane de valeur ( x ), rien n est hangé pour la setion préédent la oupure. Situation pour une onde progressive seule Si seule une onde progressive existe (termes en 0 γx e = γx e 0 0 ( x) = = = 0 0 e γx ), nous obtenons :. (36) ne dépend pas de x mais de la pulsation ω. Cei montre que les ondes de ourant et tension progressives sont en tout point de la ligne dans un rapport. Philippe Ferrari - 5 -

18 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle Situation pour une onde régressive seule Si seule une onde régressive existe (termes en e e γx 0 0 ( x) = = = = γx 0 e γx ), nous obtenons : 0. (37) Le rapport onde de tension/onde de ourant a le même module que pour les ondes progressives, mais sa phase est opposée. Ces deux situations orrespondent onrètement au as d une ligne semi infinie (terminée seulement à une extrémité). Dans e as en effet il ne peut y avoir qu une seule onde (progressive ou régressive) sous peine de voir tension et ourant tendre vers l infini, e qui est physiquement inaeptable. On en onlut que l impédane orrespond à la valeur de l impédane qu il faut onneter au bout d une ligne afin qu elle se omporte omme une ligne semi infinie, 'est-à-dire pour que seule une onde (progressive ou régressive) se propage. On nomme ette impédane l impédane aratéristique de la ligne. Une ligne terminée par son impédane aratéristique est dite adaptée. Nous avons établi l expression de propagation R, L, C et G : en fontion des paramètres linéiques de la ligne de ( ω) ( R jlω) ( G jcω) =. (38) Dans le as général, l impédane aratéristique d une ligne est don omplexe. En pratique ependant, la qualité des onduteurs utilisés (Cuivre, Or ou Argent) ainsi que des substrats diéletriques nous situent le plus souvent, dans le domaine de la RF, dans un ontexte «faibles pertes» qui implique : R << jlω et G << jcω. (39) On a alors à gérer une impédane aratéristique réelle, qui s érit : L adaptation de la ligne s en trouve évidemment grandement simplifiée. L =. (40) C.3.3.b Exposant de propagation Les équations de propagation (3) et (33) que nous avons établies font apparaître le fateur γ : γ = ( G jcω)( R jlω) = α jβ. (4) On nomme e fateur «exposant de propagation». l se déompose en fontion de α et β, que l on nomme respetivement «exposant d atténuation» et «exposant de phase». α fournit l atténuation linéique de la ligne nepers/m (np/m). e αx Philippe Ferrari en fontion de la distane x. α s exprime en α On alule souvent l atténuation d une onde en db/m : α = 0. Log( e ) = 8,68. α( np m) db /.

19 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle β est relié à la vitesse de phase par la relation (7) que nous rappelons : ω π β = =. (4) v λ On peut également érire β en fontion du temps aratéristique de la ligne T : ϕ β = ωt, (43) où T s exprime en s/m et traduit le temps mis par l onde pour parourir une distane x. C est l inverse de la vitesse de phase. Dans l hypothèse «faibles pertes» traduite par les relations (39), on obtient pour les expressions de α et de β : β = ω LC. (44) Les termes R et G R α = G. (45) représentent les pertes ondutries dues à la résistane série R et les pertes diéletriques dues à la ondutane G, respetivement. Dans la pratique, la qualité des diéletriques utilisés onduit souvent à négliger les pertes diéletriques qui s avèrent largement inférieures aux pertes ondutries..3.4 Coeffiients de réflexion et de transmission Rapport d Ondes Stationnaire (ROS) La propagation des ondes dans une ligne de propagation est régie par les aratéristiques de la ligne, qui imposent en partiulier la vitesse et l atténuation des ondes, mais également par les onditions aux extrémités, 'est-à-dire les omposants ou iruits onnetés aux deux extrémités de la ligne. On nomme es onditions «onditions aux limites»..3.4.a Coeffiient de réflexion On définit un oeffiient de réflexion Γ par le rapport d une onde se propageant dans un sens sur l onde se propageant en sens inverse, après réflexion sur un obstale ou une disontinuité. Cette définition impose que l on détermine le sens à partir duquel le oeffiient de réflexion est onsidéré. Cela peut onerner les ondes de tension ou de ourant, mais en pratique on onsidère essentiellement les ondes de tension. Pour une onde progressive de tension, on définit dans le as général le oeffiient de réflexion Γ en un point x de la ligne par : 0 e 0 γx Γ ( x) = e. (46) γx = γx 0 e Γ peut s exprimer en fontion de la terminaison au point x = l puisque est ette terminaison qui onditionne le phénomène de réflexion. En x = l, on onsidère la ligne hargée par une impédane () l l, soit : l =. () l On peut exprimer en utilisant les équations de propagation (3) et (33), soit : l 0 Philippe Ferrari - 7 -

20 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle soit : soit enore : l = l 0 0 γl γl ( ω) e 0 ( ω) e γ ( ) e l γ ω ( ω) e l = () l Γ Γ 0 () l () l Pour une onde régressive en tension, on obtient de la même façon :, (47), (48) l Γ =. (49) l () l = 0 Γ 0, (50) où 0 est l impédane en x = 0. On en déduit la définition générale et unique du oeffiient de réflexion en tension : Γ = h h, (5) où h représente l impédane de harge de la ligne de propagation, quel que soit le sens de propagation onsidéré. On peut dire que «le oeffiient de réflexion à l extrémité d une ligne de propagation s exprime omme la différene entre l impédane de harge vue et l impédane aratéristique de la ligne, divisée par la somme». On pourrait montrer que le oeffiient de réflexion en ourant est égal à l opposé du oeffiient de réflexion en tension..3.4.b Coeffiient de transmission Le oeffiient de transmission est par définition le rapport entre l onde de tension transmise à une harge, ou à une liaison entre deux lignes, et l onde de tension inidente (se propageant vers la harge). Pour une onde progressive de tension, on a don : γx γx ( ) ( x) 0 e 0 e T x = = = ( x) Γ x x. (5) γ γ 0 e 0 e Pour une onde régressive de tension, on a : ( x) γx γx 0 e 0 e T ( x) = = = Γ ( x) x x. (53) γ γ 0 e 0 e On en déduit la définition générale et unique du oeffiient de transmission en tension : Philippe Ferrari T = Γ. (54) On note que la tension transmise est égale à la tension inidente plus la tension réfléhie, et non moins, e qui peut paraître ontraire à l intuition.

21 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle On peut vérifier que e résultat n est pas ontraditoire ave la réalité physique qui implique que la puissane transmise doit être égale à la puissane inidente moins la puissane réfléhie. Le oeffiient de transmission en ourant s érivant T i = Γ T T T = Γ Γ = Γ inférieur à l unité. p = v i * * transmission en puissane : ( )( ), on obtient bien un oeffiient de.3.4. Rapport d onde stationnaire On utilise l abréviation ROS, ou en Anglais le terme «oltage Standing Wave Ratio», soit SWR Expression du ROS On s intéresse à l amplitude des ondes de tension et de ourant le long de la ligne lorsqu elle est terminée par une harge quelonque réelle l. On se plae dans l hypothèse d une ligne de propagation sans pertes. Cette hypothèse ne modifie en rien la onlusion de l étude mais permet de la simplifier. Le résultat obtenu pourra être généralisé au as des lignes à pertes. En l absene de π pertes, on a : γ = j β = j. D autre part, l impédane aratéristique de la ligne étant réelle, le λ oeffiient de réflexion au niveau de la harge l sera lui-même réel. Nous avons montré préédemment que la tension ( x,ω) la relation : en un point x de la ligne s exprimait par jβx jβx jβx jβx jβx ( x, ω) ( ω) e ( ω) e = ( ω) e ( Γe ) = ( ω)( Γe ) = Γ étant le oeffiient de réflexion en x = 0. Soit le rapport entre l onde de tension totale et l onde progressive : ( x, ) ( ω) ω jβx = Γe, (55). (56) La Figure représente sur un diagramme de Fresnel (ou plan omplexe) l expression lorsque x varie. 0 ( x ω) ( ω), Γ Γ x ( x ω) ( ω), Figure. llustration de la notion de Rapport d Onde Stationnaire (ROS) : diagramme de Fresnel. L amplitude ou module normalisé de l onde de tension totale en tout point x de la ligne sur l onde de tension progressive s érit alors : La relation (57) impose : v ( x) = ( x, ω) ( ω) = ( x, ω) ( ω) 0 = Γe jβx. (57) Philippe Ferrari - 9 -

22 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle Ainsi ette amplitude normalisée passe par des maxima et minima : π kπ λ λ v min = Γ si βx = π kπ! x = = k. β 4 Γ < v < Γ. (58) v = Γ si βx = kπ! max kπ λ x = = k. β Les minima et maxima se retrouvent tous les λ. ls sont espaés entre eux de 4 λ. La Figure 3 représente l amplitude normalisée de l onde de tension le long de la ligne, en fontion de x. A une distane x, on a : ( ) jβx v x Γe = [ ΓCos( βx) ] [ ΓSin( βx) ] ( x) v Γ =. Γ λ/4 0 λ/ x Figure 3. llustration de la notion de Rapport d Onde Stationnaire (ROS) : amplitude de l onde de tension. Traé effetué pour Γ = 0, 5. Le ROS ou SWR se définit omme suit : v Γ max max ρ = SWR = = =. (59) v Γ min En inversant l équation (59), on obtient également : ρ Γ =. (60) ρ Dans le as où la ligne est terminée par un ourt-iruit ou ouverte : Γ =! ρ =. (6) Si la ligne est hargée par une impédane de même valeur que son impédane aratéristique : min En pratique, on exprime Γ et ρ en db : Γ = 0! ρ =. (6) Γ = 0 Log Γ et ρ Log( ρ) db db = Mesure du ROS Philippe Ferrari - 0 -

23 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle Avant le développement des analyseurs de réseau durant les années 70, la mesure du ROS onstituait l une des mesures les plus importantes en hyperfréquenes. Aujourd hui, ave l avènement simultané des analyseurs de réseau et de tehniques de alibrage pouvant s adapter aux tehnologies atuelles, planaires ou autres, la mesure du ROS est inluse dans un ensemble de mesures plus omplet. Un TP est enore onsaré à la mesure du ROS, dans un but exlusivement pédagogique..4 Adaptation d impédane La question de l adaptation d impédane se pose à haque fois que l on souhaite onneter deux systèmes ou iruits entre eux et transférer un maximum de puissane. En életronique «lassique», nous avons vu en première année que pour adapter un générateur d impédane interne omplexe g, il fallait lui présenter une harge omplexe onjuguée : =. Ce résultat est général et reste valable dans un ontexte de propagation d ondes. Cependant les méthodes d adaptation sont très différentes. Pour introduire quelques solutions possibles très utilisées, nous onsidérons un générateur attaquant la base d un transistor bipolaire que l on souhaite faire fontionner en amplifiateur. Nous supposons un générateur d impédane interne de Thévenin 0 réelle, et une harge omplexe : re im h = harge jharge (63) représentant l impédane d entrée du transistor. On peut également dérire le transistor à l aide de son admittane d entrée : re im Yharge = = Yharge jyharge. (64) harge Nous dérivons i-dessous une solution afin d adapter les parties réelle et imaginaire, en utilisant la tehnique du transformateur d impédane ¼ d onde d une part, et des «stubs» en iruit ouvert ou ourt-iruit d autre part. Nous onsidérons des lignes de propagation sans pertes..4. Adaptation partie réelle : transformateur ¼ d onde La méthode pour mettre en œuvre la tehnique d adaptation par transformateur ¼ d onde est la suivante : Caluler l impédane d une harge réelle «vue» à travers une ligne de propagation de longueur l. Cette impédane orrespond à l impédane d entrée du iruit ainsi onstitué d une ligne hargée. λ Montrer que pour l =, la ligne est équivalente à un transformateur d impédane Adaptation partie imaginaire : «stub» Nous allons montrer que l impédane ramenée à travers une ligne de propagation par un iruit ouvert (CO) ou un ourt-iruit (CC) est purement imaginaire et peut être omplètement ajustée. Nous onsidérons don le iruit de la Figure 4. x harge * g CO ou CC Plan d entrée Figure 4. llustration du prinipe du stub. Philippe Ferrari - -

24 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle La méthode onsiste à établir l expression de l impédane d entrée du iruit (vue du plan d entrée), puis à montrer que ette impédane est purement imaginaire. On peut également montrer que l impédane ramenée représente alternativement un ondensateur puis une self, puis un ondensateur,, et dire pour quelle appliation fondamentale en életronique e genre de iruits seront intéressants..5 Outils d analyse : abaque de Smith paramètres S graphes de fluene.5. Abaque de Smith.5..a ntérêt L abaque de Smith onstitue un outil enore largement utilisé dans le domaine des hyperfréquenes, malgré l avènement d outils CAO de plus en plus performants et aessibles. l permet d effetuer graphiquement le passage (dans les deux sens) entre le oeffiient de réflexion à l extrémité d une ligne et l impédane de harge. Ces deux paramètres étant omplexes, ils peuvent être représentés dans un plan omplexe. L abaque de Smith onsiste à superposer deux plans omplexes : un plan artésien représentant le oeffiient de réflexion et un faiseau de ourbes représentant l impédane de harge..5..b Constrution Afin d avoir un abaque indépendant de la valeur de l impédane aratéristique de la ligne, l abaque doit être normalisé par rapport à elle-i. En général l abaque est normalisé par rapport à 50 Ω qui onstitue le standard d impédane en hyperfréquenes. La relation liant le oeffiient de réflexion à l impédane aratéristique et l impédane de harge d une ligne a été établie au paragraphe.3.4.a : Γ = h h. (65) Dans la pratique, l impédane aratéristique d une ligne de propagation peut, en première approximation, être onsidérée omme réelle. C est dans ette hypothèse qu est traé l abaque de Smith, soit : Γ = Si l on normalise les impédanes par rapport à Γ = h h, on obtient : ( h )/ zh = ( )/ z h. (66) h. (67) C est à partir de la relation (67) que l on fabrique l abaque de Smith. Sur un plan omplexe, on représente le oeffiient de réflexion Γ = Γre jγim. l s agit ensuite de représenter sur e plan le lieu de l impédane de harge omplexe zh. Pour ela, on érit zh en fontion de Γ : z h Γ re im = = zh jzh, (68) Γ Philippe Ferrari - -

25 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle re im où zh et zh représentent les parties réelle et imaginaire de zh. Des aluls simples montrent que : le lieu de z re h onstante est représenté par un erle de rayon R = entré en re z Γ ; Γ im = 0 ). re h ( re = re zh z h Le lieu de z im h onstante est représenté par un erle de rayon R = entré en im Γ re ; Γ im = ). im ( = zh z h La Figure 5 montre la représentation des erles représentant les parties réelle et imaginaire de zh dans un plan omplexe de oordonnées Γ re et Γ im. Γ j im 0,5j re z h = 7 re = z h im z h = Γ im j 0,5j im z h = - -0,5 0 0,5 Γ re - -0,5 0 0,5 Γ re -0,5j re zh = -0,5j Axe des mpédanes réelles -j re z h = 0 im z h = -j im z h = re zh Cerle des impédanes imaginaires pures im zh Lieu des entres des erles z im Figure 5. Constrution de l abaque de Smith. Le lieu des impédanes réelles est l axe Γ im = 0. Le lieu des impédanes imaginaires est le erle extérieur de l abaque. La moitié inférieure de l abaque représente des harges apaitives, la moitié supérieure représente des harges indutives. En effet : z Γ = z Don : harge harge z = z re harge re harge jz jz im harge im harge = re im ( z ) ( z ) harge harge re im im ( zharge ) ( zharge ) zharge j re im re im ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) harge harge harge im zharge im Γ =, soit Γ im > 0 si z 0, et vie-versa. im h > harge. La Figure 6 représente un abaque de Smith lassique. Philippe Ferrari - 3 -

26 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle Figure 6. Abaque de Smith. Philippe Ferrari - 4 -

27 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle.5.. Utilisation L abaque de Smith sert a priori à passer de oeffiient de réflexion à impédane de harge (et vie-versa). Son adre d utilisation est ependant bien plus large. l est utilisé pour de nombreuses opérations qui mettent en jeu des déalages de longueur ar, pour une ligne sans pertes, dans le plan des oeffiients de réflexion, un déalage de longueur x se traduit par un simple déphasage : 4π Φ = βx = x, (69) λ orrespondant à un aller-retour de l onde, omme l indique la relation établie au paragraphe.3.4.a: La Figure 7 illustre e déalage. 0 γx 0 jβx = e = e = 0 0 π 4 j x λ 0 Γ ( x) e. (70) x 0 h Plan d entrée Figure 7. llustration d un déalage de longueur. L équation (70) montre qu un tour omplet de l abaque orrespond à λ x = ( Φ = π ). Si l on souhaite onnaître l impédane de harge «vue» au niveau du plan d entrée représenté sur la Figure 7, il suffit de plaer zh sur l abaque de Smith, puis d effetuer une rotation orrespondant à Φ, omme le montre la Figure 8. La question est de savoir «dans quel sens tourner» sur l abaque. Nous pouvons montrer, en nous appuyant sur la mise en équation des stubs au paragraphe.4., que l on doit tourner dans le sens trigonométrique lorsque l on déale le plan d entrée vers la harge, et dans le sens inverse lorsque l on s éloigne de la harge, en allant don vers le générateur. Philippe Ferrari - 5 -

28 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle Φ Γ h Figure 8. llustration d un déalage de longueur sur l abaque de Smith. Philippe Ferrari - 6 -

29 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle.5... Exemple Nous onsidérons une ligne de propagation d impédane aratéristique = 00Ω, de longueur életrique ou phase β l = 30 terminée par une impédane T = R jx = 400 j300ω (Figure 9). Quelle est l impédane d entrée e vue du plan P? βl = 30 = 00Ω T = 400 j300 Figure 9. Utilisation de l abaque de Smith. Exemple : iruit. Solution : l l La longueur életrique est égale à βl = π, soit = 0, 36. λ λ Les impédanes reportées sur l abaque de Smith sont normalisées, don nous reporterons : T R jx zt = = = r jx = j, 5Ω. 00 Portons ette valeur sur l abaque de Smith à l intersetion des erles r = et x =, 5, soit P 0 (Figure 0). En l absene de pertes, si l on s éloigne de la harge, le point P 0 se déplae sur le erle de rayon OP 0, dans le sens des aiguilles d une montre. Le rayon de e erle nous permet, à l aide de la réglette disposée près de l abaque, de déduire que le ROS de la ligne sera : ρ = 3,33. A partir du point P 0 représentant la ligne à la terminaison, on se déplae sur le erle défini préédemment d un angle de 60 ( βl ), e qui donne le point P. P est à l intersetion des erles : r = 0, 77 et x =, 09, d où l impédane d entrée herhée : e ( r jx ) = ( 0,77 j,09 )00. e e e e P =, soit : e = 54 j8ω. On peut retrouver e résultat par alul. On peut également partir d une ligne définie par ses paramètres physiques, par exemple une ligne miroruban, et donner la fréquene du générateur, afin de aluler la longueur életrique de la ligne. Par exemple, si l on hoisit une ligne sur substrat RO4003 (Rodgers) très utilisé en hyperfréquenes, d épaisseur 635 µm et de permittivité relative ε r = 3, 36, pour 00Ω et 30 à GHz, on obtient une ligne de largeur 3 µm et de longueur 35,6 mm. Philippe Ferrari - 7 -

30 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle Figure 0. Utilisation de l abaque de Smith. Exemple : abaque. Philippe Ferrari - 8 -

31 UT Grenoble Dt Génie Eletrique et nformatique ndustrielle.5... Exemple : admittane Déterminer l admittane d entrée Y e d une ligne de propagation d impédane aratéristique = 00Ω, de longueur életrique 60, terminée sur une impédane normalisée z T = j0, 7. Solution : Montrons d abord omment l on passe d une impédane à une admittane sur l abaque. Nous avons montré qu une ligne ¼ d onde transformait une impédane de harge T en telle que : =, soit en impédane normalisée : z =, don e T e z T z e T e =. Une z longueur 4 λ (ligne ¼ d onde) fait tourner de π sur l abaque. On en déduit don que sur l abaque, pour passer de l impédane à l admittane, il suffit de prendre le symétrique par rapport au entre de l abaque. La suite du raisonnement est alquée sur l exemple. On obtient : Y e = 0,00575 j0,003ω Adaptation d impédane On réalise l adaptation d une harge T = 0 j6ω à l aide d un tronçon de ligne ourtiruité de longueur l, plaé à une distane d de la harge (Figure ). La fréquene de travail est égale à GHz. La permittivité relative effetive du milieu est ε =. M d reff = 00Ω T = 0 j6ω l CC Figure. Utilisation de l abaque de Smith. Exemple 3 : adaptation d impédane. Solution : En M, nous devons ombiner deux impédanes : L impédane ramenée par le tronçon de longueur d terminé par T, L impédane ramenée par le tronçon de longueur l en ourt-iruit. l est de e fait plus simple de raisonner en admittane ar deux admittanes en parallèle s ajoutent. On souhaite que l ensemble des tronçons présente un impédane égale à afin qu il y ait adaptation, 'est-à-dire une admittane normalisée y M =. Or la ligne ourt-iruitée ramène en M une admittane y M = jb. l faut don qu en M, le tronçon de longueur d ramène une admittane y TM = jb. Don le point représentatif de y TM doit se trouver sur le erle dont la partie réelle est égale à, soit le erle passant par le entre de l abaque. Sur l abaque de Smith, pointons le point P 0 T orrespondant à T : zt = = 0, j0, 06 (Figure ). Nous raisonnons en admittane, don y T s obtient en prenant le symétrique de P 0, soit Q 0, par rapport au entre de l abaque. Lorsque l on Philippe Ferrari - 9 -