L OUTIL BOND GRAPH POUR LA MODELISATION DES SYSTEMES MECATRONIQUES

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1 L OUTIL BOND GRAPH POUR LA MODELISATION DES SYSTEMES MECATRONIQUES A. NAAMANE

2 La Mécatroniqu

3 Ls bond graphs Pourquoi? Outil d modélisation prformant ; Prmt d bin comprndr ls transfrts d puissanc ; Put s tracr sans écrir t résoudr ds équations ; Déduction possibl ds schéma-blocs, ds équations d état, ds fonctions d transfrt pour ls cas linéairs, Graphism idntiqu qulqu soit l domain ; Prmt ls analogis ntr ls domains ; Nombrux xmpls traités n mécatroniqu ; Simulations dirctmnt possibls

4 l énrgi st un (pour n pas dir «l») concpt ssntil dans la dscription d l évolution ds systèms tchnologiqus. On l rtrouv dans tous ls domains : il constitu l lin ntr cux-ci. Fort d ctt constatation, Hnry M. Payntr (923-22), a introduit l concpt d «bond graph» (BG) (graph d liaisons) n 96.

5 Pèr ds bond graphs: Hnry Payntr(MIT Boston) r ouvrag : 96 arrivé n Europ : fin ds 7s Pays-Bas (TwntUniv.) Franc (Alsthom)

6 la méthod BG concrn tous ls systèms dans tous ls domains (linéairs, non linéairs, continus, échantillonnés, numériqus, élctroniqus, hydrauliqus, mécaniqus, thrmiqus,...). La méthod BG prmt d traitr ls chaîns d énrgi t d information. Qu st-c qu un bond graph? C st un graph orinté, faisant apparaîtr ds variabls dynamiqus, qui traduisnt ls transfrts d énrgi ntr systèms. Ils sont basés sur ls lins d puissanc.

7

8

9 Objctifs

10 Introduction Exmpls pluridisciplinairs Causalité Equations d'état Schémas blocs Applications C:A C:A 2 Sf:q i h q h 2 q 2 R:R R:R 2

11 Qu sont ls bond graphs? Ls bond graphs sont : invntés par Payntr n 959 t dévloppés par Rosnbrg t Karnopp ; ds graphs d rprésntation du comportmnt dynamiqu ds systèms indépndammnt du domain considéré ; ds graphs fondés sur ls flux d'énrgi ; un modélisation orinté objt ds systèms ; un outil d modélisation puissant pour ls ingéniurs.

12 Prmir xmpl : un systèm élctriqu R L Variabls d puissanc U C Tnsion élctriqu U Intnsité élctriqu I Lois ds constituants ur RI uc i d t C di ul L d t Puissanc élctriqu P = U I

13 Prmir xmpl : un systèm élctriqu R L Bond graph du circuit I : L U C Variabl «ffort» u L i Variabl «flux» S : U U i u R i R : R u C i C : C Ls tnsions sont différnts L courant st idntiqu Jonction

14 Duxièm xmpl : un systèm mécaniqu k v Variabls d puissanc m F Forc F Vitss linéair v c Lois ds constituants F k vdt Fa r cv dv Fm m d t Puissanc mécaniqu P = F v

15 Duxièm xmpl : un systèm mécaniqu Bond graph du systèm I : m k v m F Variabl «ffort» F m v Variabl «flux» c S : F F v F a v R : c F r v C : /k Ls fforts sont différnts La vitss st idntiqu Jonction

16 Variabls énrgi & puissanc Effort t P f Flux f t f Lin bond graph Intégration ds Variabls puissancs Momnt généralisé Déplacmnt généralisé p t p t d t t q t q f d t

17 Domains physiqus & variabls Domain Effort Flux f Momnt généralisé p Déplacmnt généralisé q Elctrotchniqu Tnsion u Courant i Flux magnétiqu Charg q Mécaniqu d translation Mécaniqu d rotation Hydrauliqu & pnumatiqu Forc F Vitss v Quantité d mouvmnt p Déplacmnt x Coupl C Taux d rotation Momnt cinétiqu Angl Prssion P Débit volumiqu q v Impulsion p Volum V Thrmiqu Tmpératur T Flux d ntropi q S Entropi S Chimi Potntil chimiqu Flux molair q m Nombr d mols N

18 Nuf élémnts d bas du langag R : élémnt d modélisation d un phénomèn physiqu liant la variabl ffort à la variabl flux I : élémnt d modélisation d un phénomèn physiqu liant la variabl flux à la variabl momnt généralisé C : élémnt d modélisation d un phénomèn physiqu liant la variabl ffort à la variabl déplacmnt généralisé S, Sf : sourc d ffort t sourc d flux indépndant rspctivmnt d lur variabl complémntair, : la jonction srt à couplr ds élémnts soumis au mêm ffort, la jonction srt à couplr ds élémnts parcourus par l mêm flux TF : transformatur (xmpls : transformatur élctriqu, train d ngrnags,...) GY : gyratur ((xmpls : motur élctriqu, pomp cntrifug,...)

19 Elémnts passifs -port Élémnt R symbols Élémnt BG Loi Schéma-bloc Résistanc f R f R /R f Frottmnt fluid Amortissur f R Rf R f Frottmnt fluid Amortissur R : élémnt dissipatur d énrgi

20 Elémnts passifs -port Élémnt I symbols Élémnt BG Loi Schéma-bloc Inductanc f p I Mass f I p t p d t t p /I f Inrti I : élémnt d stockag pour l ffort généralisé

21 Elémnts passifs -port symbols Élémnt BG Loi Élémnt C Schéma-bloc Capacité q C /C Rssort linéair f C q f q t q f d t t Rssort d torsion C : élémnt d stockag pour l déplacmnt généralisé

22 Elémnts actifs -port symbols Élémnt BG Loi Élémnts S & Sf Schéma-bloc Forc Sourc d tnsion Momnt S f f Sourc d courant Sf f f f f f Vitss Vitss angulair

23 Elémnts d jonction symbols Élémnt BG Loi Élémnt TF Schéma-bloc Transformatur f TF 2 f 2 f m 2 mf 2 f m 2 m f 2 Lvir f TF 2 f 2 f 2 m f m f /m 2 /m f 2 Engrnag

24 Elémnts d jonction symbols Élémnt BG Loi Élémnt GY Schéma-bloc ui, C, Motur génératur f GY 2 f 2 rf 2 rf 2 f r r 2 f 2 C, pq, v Pomp Turbin f GY 2 f 2 f f 2 r r 2 f /r /r 2 f 2

25 Elémnts d jonction Jonction symbols Élémnt BG Lois 2 i i 2 i 3 f ifi... nfn Consrvation d la puissanc 3 n i... n f i f n P2, q2 f i f fi... fn Pq, P3, q3 L sns ds flèchs donn l sign du flux

26 Elémnts d jonction Jonction symbols Élémnt BG Lois 2 i i 2 i 2 i 3 f ifi... nfn Consrvation d la puissanc 3 i i 3 n f fi... f n v F F 2 f i f i f n i... n F 3 L sns ds flèchs donn l sign d l ffort

27 Mécaniqu d translation variabl notation translation Effort t forc F Flux f t vitss v Momnt p t t dt impulsion p Déplacmnt q t f t dt distanc x Puissanc P t t f t F t v t Enrgi E p fd p ; E q d q E vdp E Fdx c p

28 Mécaniqu d translation k v 2 k m m 2 c v F I : m C : /k I : m 2 C : /k S : F R : c

29 Mécaniqu d translation I : m m v S : m g C : /k k c m 2 v 2 R : c k 2 c 2 v S : m 2 g I : m 2 C : /k 2 Sf : v R : c 2

30 Mécaniqu d translation variabl notation rotation Effort Flux Momnt Déplacmnt t f t p t t dt q t f t dt coupl vitss angulair momnt cinétiqu angl Puissanc P t t f t t t Enrgi E p fd p ; E q d q Ec d E p d

31 Mécaniqu d rotation I 2 I 2 c k c 2 k 2 C : /k I : I C : /k 2 I : I 2 Sf : S : R : c R : c 2

32 Mécaniqu d rotation I c I : I I : I c 2 I 2 Sf : TF R : c R : c 2

33 Elctricité variabl notation élctricité Effort t tnsion U Flux f t intnsité i Momnt p t t dt flux magnétiqu Déplacmnt q t f t dt charg q Puissanc P t t f t U t i t Enrgi E p fd p ; E q d q E id E Udq m l

34 Elctricité R R 2 u R : R R : R 2 Sf R 4 R 3 S : R : R 4 R : R 3

35 Elctricité R 2 V i R U - V s Lin d information Sourc modulé A MS : -A S : V : i : U : i : V s R : R R : R 2

36 Hydrauliqu variabl notation élctricité Effort t prssion P Flux f t débit volumiqu q v Momnt p t t dt impulsion p Déplacmnt q t f t dt volum V Puissanc Enrgi P t t f t E p fd p ; E q d q P t qv t E qdp E PdV c v p

37 Hydrauliqu Dissipation d l énrgi dans un rstriction Pour un écoulmnt laminair, R<2 Élémnt R P q v P2 P P 2 q k P P v 2 q v : q v q v P -P 2 q v Pour un écoulmnt turbulnt, R>3 R : /k q f P P v 2 La fonction f étant à détrminr pour chaqu cas

38 Hydrauliqu Élémnt I Rlation ntr prssion t dérivé du débit P q v P2 dqv dv qv Av A L dt dt F P P A AL 2 d t P P 2 I L A L A d q v dt dv P q v P -P 2 : q v I : q v L A P 2 q v

39 Hydrauliqu Élémnt C Rlation ntr prssion t volum résrvoir P gh A C g gv A q v h C : A g fluid comprssibl B dv V d P V P C SLB SLB Modul d comprssibilité

40 Hydrauliqu Jonction TF transformatur pomp C, pq, v TF V P q v Cylindré V vérin pq, v amplificatur d prssion F, v 2 2 Fv, Fv, F F v TF A P q v Sction A TF v v m A m A 2 v 2 F 2 v 2

41 Hydrauliqu Distributur hydrauliqu P vrs bâch P b A A 3 A4 A2 P P2 Circuit hydrauliqu x R : R (x) R : R 4 (x) P S : P P 2 S : P b R : R 3 (x) Circuit hydrauliqu R : R 2 (x)

42 Causalité i F v u R Dans ls dux cas, il y a un caus t un fft L ffort appliqué sur l piston d la sringu génèr un vitss d sorti du liquid d la sringu t non l invrs. La sourc d tnsion impos l courant dans l circuit élctriqu t non l invrs.

43 Causalité Soint dux systèms A & B couplés t échangant un puissanc P(t) A B P t t f t f Dux cas possibls A appliqu un ffort (t) à B qui réagit n rtournant à A un flux f t B t A f B A f B A appliqu un flux f(t) à B qui réagit n rtournant à A un ffort A B A B f f t B f t Convntion : l trait causal st placé du coté d l élémnt sur lqul l ffort st imposé.

44 Causalité Affctation d la causalité Causalité nécssair S Sf TF GY ou ou TF GY Causalité rstrictiv ou ou ou ou

45 Causalité Affctation d la causalité Causalité intégral I C Causalité dérivé I C Causalité arbitrair (cas linéair) R ou R Procédur d affctation d la causalité Affctr ls causalités nécssairs aux sourcs t réprcutr ; 2 Mttr ls I t ls C n causalité intégral préférntill t réprcutr ; 3 Affctr la causalité aux élémnts R n rspctant ls rstrictions aux jonctions ; 4 En cas d conflit à un jonction rchrchr l élémnt I ou C qui n st la caus t l mttr n causalité dérivé ; rprndr n 3.

46 Causalité Exmpl Sf 3 5 I Sf 3 5 I C R C R 2 Sf 3 5 I Sf 3 5 I C R C 3 4 R

47 Causalité mixt F m m 2 S : F v TF 4 5 C : /k b/a 6 v a b k I : m I : m 2 S : F 3 TF 4 5 C : /k b/a affctations possibls Pour supprimr la causalité dérivé, on pourrait introduir la flxibilité du bras d lvir. I : m I : m 2 Causalités dérivés

48 Équations d état A partir d un modèl BG, il st possibl d déduir ls équations d état du systèm Ls variabls d état sont ls variabls d énrgi associés aux élémnts I t C Vctur d état X p q I C X f I C Si tous ls élémnts sont n causalité intégral, la dimnsion du vctur d état vaut l nombr d élémnts I t C. Si parmi ls n élémnts I t C, il xist n d n causalité dérivé, alors la dimnsion du vctur d état st n-n d

49 Équations d état X AX BU Y CX DU Cas où tous ls élémnts I t C sont n causalité intégral U vctur d ntré t Y vctur d sorti Procédur Écrir ls lois d structur aux jonctions n tnant compt d la causalité ; Écrir ls lois associés aux élémnts n prnant n compt lur causalité ; Explicitr ls dérivés ds variabls d état n fonction ds variabls d état t ds ntrés. k 2 x 2 m 2 k x m

50 Équations d état k 2 C : /k 2 x 2 m 2 S : m 2 g I : m 2 x m k 5 4 C : /k 3 S : m g 2 I : m

51 Lois aux jonctions 3 2 f f f f f2 f f f f f Lois aux élémnts q4 f4 q8 f8 p2 2 f m p 2 2 Élémnts I p7 7 f m p Vctur d état X p p q q kq 4 Équations d état p k x m g 2 4 Élémnts C p k x k x m g q p p q m m2 p 8 7 m2 8 k2q8

52 Équations d état Cas d la causalité mixt i S : u 3 5 C : C 2 R 2 4 u C C 2 v R : R C : C Jonction q5 f3 f4 Jonction q f R q 5 q C C q U C R C q 4 5 C Systèm d équations algébro-différntil Utilisation d un logicil adapté

53 Schémas-blocs L passag du BG au schéma-bloc st dirct n écrivant ls lois aux jonctions Démarch sur un xmpl I : L C : C R L C u L 2 S : u R : R I : L 2

54 Applications R L u u2 u 3 u K J r J 2 u R:R I:J I:J 2 I :I I :I 2 S:u GY K TF r C 2 I:L C : k R :

55 Applications Nouvl élémnt BG : intrruptur idéal T Lorsqu T st frmé, il st équivalnt à un sourc d ffort nul ; Lorsqu T st ouvrt, il st équivalnt à un sourc d flux nul. T T 3 T 5 E L I : L S : V T : T 5 T : T L 2 R V V 2 V 3 L 3 L S : V 2 I : L 2 T : T 6 T : T 3 S : E T 4 T 6 T 2 R : R S : V 3 T : T 2 T : T 5 I : L 3 I : L 4 D après Jan Buisson & Hrvé Cormrais : Systèms élctroniqus télctrotchniqus in Ls bonds graphs, hrmès Rdrssur triphasé doubl altrnanc

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