MATHEMATIQUES. Semestre 2. Dénombrements et probabilités COURS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "MATHEMATIQUES. Semestre 2. Dénombrements et probabilités COURS"

Transcription

1 Département TECHNIQUES DE COMMERCILISTION MTHEMTIQUES Semestre Dénombrements et probabilités COURS Cours en ligne : sur l ENT, section «outils pédagogiques», plateforme Claroline, TC, Cours «MTHS». IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page sur 7

2 SOMMIRE INTRODUCTION ET HISTORIQUE COURS Dénombrements. Rappels sur les ensembles. Dénombrements 9 Probabilités. Expérience aléatoire et événements. Probabilité sur un ensemble fini. Loi de probabilité discrète 6 IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page sur 7

3 INTRODUCTION ET HISTORIQUE Les probabilités représentent aujourd'hui une des branches les plus pointues et prolifiques des mathématiques. Elles présentent de nombreuses applications et contributions, entre autres dans : La physique nucléaire et la mécanique quantique La théorie du chaos, la météorologie, l'étude des accidents, incidents, catastrophes naturelles La théorie des jeux (stratégies du joueur, du combattant, ) Les calculs des chances et des gains espérés dans les jeux de hasard L'interprétation des sondages (échantillonnage, estimation, tests statistiques) Les origines du calcul des probabilités On sait que depuis l'antiquité les jeux de hasard tiennent une place importante. alea (latin) : le dé ; az-zahr (arabe) : le dé ; chance, anc.fr. chéance (de choir : la chute du dé) Pourtant ce n'est que peu avant la renaissance que l'on trouve trace d'écrits au sujet de calcul des chances ou de répartition équitable (suivant ce qui pourrait se produire). Le premier mathématicien dont on a sans doute un écrit sur ce sujet est l'italien Luca Pacioli, qui, dans son ouvrage Summa de arithmetica, geometrica, proportio et proportionalita publié en 9, évoque le fameux problème de la répartition équitable des enjeux d'une partie inachevée. L'exemple traité est le suivant : Deux équipes misent chacune ducats dans une partie allant en 60 points. Mais la partie est interrompue alors qu'une équipe a 0 points et l'autre 0 points. Comment répartir entre les deux équipes les ducats misés, de façon "équitable"? Pacioli propose de les répartir proportionnellement au nombre de points obtenus. Cette solution n'a aucune valeur mathématique, et sera critiquée 60 ans plus tard par un autre mathématicien italien : Niccolo Tartaglia. Celui-ci objecte que si une équipe avait 0 points et l'autre 0, la première serait supposée repartir avec les ducats, alors que la seconde aurait eu ses chances de gagner en continuant la partie Girolamo Cardano proposera ensuite de répartir les mise de façon proportionnelle inverse par rapport au nombre de points qu'il restait à acquérir à chaque équipe pour obtenir la victoire. Mais cette solution, même si elle semble plus juste, n'est étayée par aucun raisonnement logique. C'est laise Pascal qui parviendra à résoudre cette énigme, à l'issue d'une correspondance entre lui-même et le non moins célèbre Pierre de Fermat. Il reprend le principe de Cardano, mais simule un tour supplémentaire de la partie : Si le joueur en retard gagne ce tour, alors chacun empochera ducats ; Si le joueur en avance gagne ce tour, alors il gagne la partie et empochera ducats. Comme ces deux événements ont les mêmes chances (une sur deux) de se produire, alors on prend la décision suivante : le joueur en avance repart avec ducats plus la moitié de, soit 6, et le joueur en retard repart avec, ducats. IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page sur 7

4 Mesurer le hasard Pierre Simon de Laplace écrira en 79 une définition de la probabilité d'un événement, en l'attribuant à Pascal : c'est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles. Cette définition historique n'est en fait valable que dans les cas d'équiprobabilité des éventualités. Le premier traité de probabilités est dû au physicien et mathématicien hollandais Christiaan Huygens : Tractatus de ratiociniis in aleae ludo (traité sur les raisonnements dans le jeu de dés) publié en 67. Il propose aux lecteurs cinq problèmes ayant trait aux lancers de dés, aux tirages dans des urnes et aux tirages de cartes. Ce traité rassemble des réflexions sur cette fameuse correspondance entre Pascal et Fermat, et contient les prémisses d'une nouvelle branche des mathématiques : la théorie des probabilités. Il introduit notamment la notion d'espérance mathématique. La loi des grands nombres : le hasard n'a pas de mémoire Un traité plus complet et nouveau est publié en 7 par Jakob (Jacques) ernoulli. Il aborde et démontre ce qui s'appellera la loi faible des grands nombres, sur un jeu de pile ou face, et qui porte d'abord le nom de "théorème de ernoulli" : Considérons sur une expérience un succès et un échec. Les chances de succès sont p (ex : 0%). Considérons que cette expérience soit tentée n fois de suite, à l'identique, et qu'on ait récolté k succès. lors le rapport k/n tend vers p lorsque n tend vers l'infini. Par exemple, en lançant un dé vous avez chance sur 6 (environ 6,7%) d obtenir le résultat. Cette loi affirme que si vous lancez le dé un grand nombre de fois, alors il est très probable que la fréquence d'obtention du soit proche de 6,7% ; en outre, plus vous ferez d'essais et plus forte sera la probabilité que cette fréquence se trouve, mettons, entre 6,6% et 6,8%. ernoulli est ici le premier à comparer et voir un lien direct entre les fréquences (k/n) concrètes et une probabilité (p) théorique. Il ne fait rien de moins que de réunir probabilités et statistiques! Il ne tarde pas à envisager que les probabilités seront un outil extrêmement puissant pour l'analyse statistique de données, et compile dans son traité les résultats précédemment acquis par les Chinois et les Indiens, ainsi que ceux de Leibniz, sur les problèmes de dénombrements. Il énonce ainsi et met en place les calculs de dénombrements tels qu'on les connaît aujourd'hui, et invente en guise de conséquence la loi binomiale. Cette loi traite des expériences répétées à l'identique, comme un jeu de pile ou face tenté 00 fois de suite. Si sur les 0 premiers lancers votre pièce a donné pile (ce qui est improbable mais pas impossible), alors vos chances d'obtenir pile au ème lancer sont toujours sur ; la pièce de monnaie n'a pas de mémoire et le lancer suivant est parfaitement indépendant des résultats précédents. Les lois discrètes confrontées aux grands nombres : la loi normale Laplace, à la suite des travaux de ernoulli et Euler, va fonder l'outil le plus puissant du traitement statistique par les probabilités : la loi normale à suivre au prochain chapitre. IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page sur 7

5 COURS Dénombrements. Rappels sur les ensembles.. Notion d ensemble Ensemble : collection d'objets réunis le plus souvent suivant un critère ; on désigne cette collection en citant ses objets entre accolades. Ex : ensemble des entiers naturels pairs inférieurs à 0 : { ; ; 6 ; 8 ; 0} ensemble des voyelles de notre alphabet : {a ; e ; i ; o ; u ; y} ensemble des nombres rationnels : {a/b où a et b sont deux entiers quelconques avec b différent de zéro} ensemble des couleurs d'un jeu de cartes traditionnel : {pique ; trèfle ; cœur ; carreau} Un objet x qui fait partie d'un ensemble E est un élément de E. On note : x E. Dire que l'ensemble est un sous-ensemble de E, c'est dire que a a E. On dit aussi que est une partie de E, ou que est inclus dans E, et on note : E. Dans l'autre sens, on dit que E contient, et on note : E. L'ensemble vide est celui qui ne contient aucun élément. On le note. L'ensemble des parties d'un ensemble E est celui dont les éléments sont tous les ensembles inclus dans E (y compris et E lui-même). Il se note P(E). Ex : E = {a ; b ; c} P(E) contient tous les sous-ensembles possibles de E : P(E) = { ; {a} ; {b} ; {c} ; {a ; b} ; {a ; c} ; {b ; c} ; {a ; b ; c}}. On montre que si E contient n éléments, alors P(E) en contient n. Une représentation : le diagramme de Venn E IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page sur 7

6 .. Opérations sur les ensembles a. Complémentaire d un sous-ensemble définition : Soit un ensemble E et un sous-ensemble de E. Le complémentaire de dans E est le sous-ensemble formé exclusivement de tous les éléments de E autres que ceux de. On l'écrit. Ex : E = {a, b, c, d, e, f, g} et = {a, d, e} ; donc = {b, c, f, g} Le complémentaire peut aussi être vu comme le contraire. propriétés : dans E, = ; E = ; = E Une autre représentation : l arbre de choix diagramme de Venn : arbre de choix correspondant : 6 E : nombres pairs entre et ; : multiples de, entre et ; E : entiers de à ; E et E. ;;6;8;0; ;;;7;9; on choisit, par exemple, un premier découpage de E en et, créant un premier niveau dans l arbre, puis au sein de ces deux catégories un second découpage, formant un second niveau de l arbre. Ce second niveau montre un découpage de E en quatre sous-ensembles distincts : ceux des éléments qui sont ou ne sont pas dans et qui sont ou ne sont pas dans. 6; ;;8;0 ;9 ;;7; b. Intersection et réunion de deux ensembles définition : L'intersection de et est l'ensemble contenant leurs éléments communs. x x ET x vec l exemple ci-dessus : = {6 ; }. déf : et sont dits disjoints lorsque =. définition : La réunion de et est l'ensemble contenant tous leurs éléments réunis. x x OU x vec l exemple ci-dessus : = { ; ; ; 6 ; 8 ; 9 ; 0 ; }. IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page 6 sur 7

7 définition : Soit un ensemble E, et n sous-ensembles de E :,,, n. Ces sous-ensembles constituent une partition de E lorsque : * ils sont deux à deux disjoints (leurs intersections sont vides) * leur réunion est E Ex : - l ensemble des entiers naturels pairs et celui des entiers naturels impairs forment une partition de l ensemble des entiers naturels non nuls ; - un jeu de cartes se partitionne en {carreaux}, {piques}, {coeurs} et {trèfles} ; - dans l arbre de choix (page précédente), les quatre ensembles définis aux extrémités du second niveau forment une partition de E. c. Propriétés de l intersection, de la réunion et des complémentaires * L intersection et la réunion sont commutatives et associatives : = ; C = C ( ) ( ) ( ) ( ) = ; C = C * Elles sont distributives l une par rapport à l autre («factorisations» et «développements») : C = C ; C = C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * Cas particuliers ( est ici un sous-ensemble de E) : = ; = * = ; = E E = ; E = E = ; = et forment une partition de Reprenons l exemple de l arbre de choix au-dessus : éléments de : «pairs ET multiples de» : 6 et. = {6 ; }, éléments de : «pairs ET pas multiples de» :,, 8 et 0. = { ; ; 8 ; 0}, et sont en effet disjoints ; de plus, leur réunion est tout entier. = = E =. Démonstration générale de la réunion : ( ) ( ) ( ) * Lois de Morgan : = et = ex avec la seconde loi : «ne pas être dans le regroupement de avec», c est «ne pas être dans ET ne pas être non plus dans» IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page 7 sur 7

8 .. Cardinal d un ensemble définition : Soit un ensemble E fini et dénombrable. On appelle cardinal de E, Card(E), le nombre de ses éléments. Ex : - Card({a, b, c, d,, x, y, z}) = 6 - Card({ ; ; 6 ; 8 ; 0}) = - Card( ) = 0 - dans l exemple de notre arbre de choix, Card() = 6, Card() =, Card( ) =, etc. propriétés : Soit un ensemble E de cardinal n, et deux sous-ensembles et de E. Card ( ) Card( ) + = ( ) + ( ) = ( ) Card Card Card n ( ) = ( ) + ( ) ( ) Card Card Card Card Reprenons l exemple de l arbre de choix : re formule : Card() = 6, Card( ) = 6 et Card(E) = e formule : = {6 ; }, de cardinal et = { ; ; 8 ; 0}, de cardinal ; d autre part, = { ; ; 6 ; 8 ; 0 ; }, de cardinal 6. e formule : = { ; ; ; 6 ; 8 ; 9 ; 0 ; }, de cardinal 8 ; d autre part, Card() + Card() Card( ) = 6 + = 8. Explication de la e formule : en calculant Card() + Card(), on comptabilise deux fois les éléments communs à et à, donc il faut retrancher Card( ). Une troisième représentation : le tableau de contingence - Reprenons l exemple de l arbre de choix : diagramme de Venn : arbre de choix correspondant : 6 E : nombres pairs entre et ; : multiples de, entre et ; E : entiers de à ; E et E. ;;6;8;0; ;;;7;9; 6; ;;8;0 ;9 ;;7; On peut créer un tableau croisé des éléments situés dans ou non et dans ou non : On inscrit à l intérieur les = Card() cardinaux des intersections 8 = Card( ) correspondantes, les sous-totaux et 6 = Card() 6 = Card( ) = Card(E) le total général IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page 8 sur 7

9 . Dénombrements.. p-listes Un sac contient pièces numérotées de à. Ensemble d'origine : E = {,,,, }. On doit construire un nombre de deux chiffres en tirant au hasard deux pièces. Règles : * les pièces sont prises l'une après l'autre ; * la première choisie est remise dans le sac (et peut donc être choisie à nouveau) Question : Combien de nombres peuvent être créés? Remarque : Le cas est plutôt simple, nous pouvons écrire la totalité des issues possibles : (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) Chaque issue est une liste ordonnée de deux chiffres, autorisant la répétition. Ordonnée : n'est pas les issues sont des p-listes Répétition autorisée : est une issue possible Remarque : On peut construire un arbre de choix à deux niveaux : er nombre e nombre Le nombre total d issues est le nombre de terminaisons de l arbre : = ² = Définition : Soit un ensemble E de n éléments. Card(E) = n. Une p-liste d' éléments de E est une liste ordonnée de p éléments de E, dans laquelle un même élément peut être répété (répétition autorisée). Résultat : Le nombre total de possibles p-listes issues d'un ensemble de n éléments est n p IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page 9 sur 7

10 .. rrangements : p-listes sans répétition a. Factorielle d'un entier naturel Définition : La factorielle d'un entier naturel n est le nombre n! = n. entrer n entrer n touche : OPTN touche : MTH menu écran : PRO menu écran : PR menu écran : x! menu écran :! touche : EXE touche : ENTER exemples :! = 6,! = 0, 0! = , 00! convention : 0! = b. rrangements Un sac contient pièces numérotées de à. Ensemble d'origine : E = {,,,, }. On doit construire un nombre de deux chiffres en tirant au hasard deux pièces. Règles : * les pièces sont prises l'une après l'autre ; * la première choisie n'est pas remise (et ne peut donc pas être choisie à nouveau) Question : Combien de nombres peuvent être créés? Remarque : Le cas est plutôt simple, nous pouvons écrire la totalité des issues possibles : (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) Chaque issue est une liste ordonnée de deux chiffres, n autorisant pas la répétition. Ordonnée : n'est pas les issues sont des arrangements Pas de répétition : n est pas une issue possible Remarque : On peut construire un arbre de choix à deux niveaux : Le nombre total d'issues est le nombre total de terminaisons de l'arbre : = 0 IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page 0 sur 7

11 Définition : Soit un ensemble E de n éléments. Card(E) = n. Un arrangement de p éléments de E est une liste ordonnée de p éléments différents de E (on dit que la répétition est interdite). Résultat : Le nombre total de possibles arrangements de p éléments issus d'un ensemble de n éléments est : p n = n! ( n p)! entrer n touche : OPTN menu écran : PRO menu écran : npr entrer p touche : EXE entrer n touche : MTH menu écran : PR ou PRO menu écran : npr ou rrangement entrer p touche : ENTER c. Permutations d un ensemble de taille p Combien d arrangements de p éléments peut-on former à partir d un ensemble de p éléments? Soit E = {a, b, c}. Quels sont les arrangements des trois éléments de E? (a, b, c) (a, c, b) (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b) (c, b, a) Il y en a 6. Ce sont les permutations de l'ensemble E. Construisons un arbre de choix : lettre lettre lettre a b c b a c c a b c b c a b a Nombre de terminaisons : =! = 6 Le nombre de permutations d'un ensemble de p éléments est p!.. Combinaisons Un sac contient pièces numérotées de à. Ensemble d'origine : E = {,,,, }. Deux doivent être piochées en même temps, "simultanément". Question : Combien de tirages différents peut-il y avoir? Remarque : Le cas est plutôt simple, nous pouvons écrire la totalité des issues possibles : {, } ; {, } ; {, } ; {, } ; {, } ; {, } ;{, } ; {, } ; {, } ;{, } Une combinaison de p éléments est un ensemble. Remarque : un arbre de choix serait trompeur ici, car il induirait la notion d'ordre. IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page sur 7

12 Remarque : lien entre combinaisons et arrangements Voici les 0 combinaisons :, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } En-dessous de chacune, on peut écrire ses deux permutations : (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) On obtient la liste des 0 arrangements établie au point...b. Le nombre de combinaisons de éléments à prendre parmi est le rapport du nombre d'arrangements ( ) par le nombre de permutations de éléments entre eux (!). Définition : Soit un ensemble E de n éléments. Card(E) = n. Une combinaison de p éléments de E est un ensemble (pas d'ordre) de p éléments différents de E (on dit que la répétition est interdite). Résultat : Le nombre total de possibles combinaisons de p éléments issus d'un ensemble de n éléments est : C p n p n n! = = p! p! n p! ( ) Calculatrice : idem que pour les arrangements, mais choisir «ncr» ou «Combinaison»... Combinaisons dans une partition Soit un ensemble E contenant n éléments. Card(E) = n. Considérons une partition de E en k ensembles :,,, k. Exemple : un jeu de cartes peut être partitionné en sous-ensembles : = {coeurs}, = {carreaux}, = {piques}, = {trèfles} Exemple : un groupe de personnes peut être partitionné en : = {hommes} et = {femmes}. i Nommons n i le cardinal de l'ensemble i. n = n. On a à calculer le nombre de combinaisons de p éléments pris dans E, combinaisons qui doivent contenir p éléments de, p éléments de,, p k éléments de k. p p i =. p p pk Ce nombre de combinaisons est : C C... C n n n k IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page sur 7

13 .. ppréhender un exercice sur les dénombrements (dans le cas où E n est pas partitionné ; sinon, se référer au paragraphe..) * Connaître l'ensemble de départ E, noter son cardinal n. * Connaître l'expérience : combien d'éléments de E seront choisis, ou obtenus : p. * Pendant l'expérience, la répétition d'un élément de E est-elle permise? * Une fois une issue obtenue, serait-ce la même si ses éléments étaient placés dans un ordre différent? ordre pas d ordre répétition p-listes : p n pas de répétition arrangements : p n = n! combinaisons : C p n n!!! ( n p)! p ( n p) = Parfois, l'énoncé n'est pas très clair au sujet des deux derniers points. Néanmoins, dans ce cas, certains termes sont employés : "tirages simultanés", "tirages successifs avec (ou sans) remise", "lancers" (d'un dé, d'une pièce) Le tableau ci-dessous (à connaître) donne les indications nécessaires : simultanés successifs Tirages (des éléments sont piochés dans E) ex : objets dans un sac combinaisons avec remise p-listes sans remise arrangements Lancers (un objet contient tous les éléments de E ; il est lancé plusieurs fois) ex : lancer dés p-listes p-listes IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page sur 7

14 Probabilités. Expérience aléatoire et événements.. Expérience aléatoire * Une expérience aléatoire est une expérience dans laquelle toutes les issues possibles sont connues, mais imprévisibles pour une future tentative. ex : lancer d'un dé, futur podium avant la course, * Une issue est l'un des résultats possibles d'une expérience aléatoire. Les issues, ou éventualités, sont notées e i, «éventualité n i». expérience : lancer un dé ; issues :,,,,, et 6 * L'univers des possibles est l'ensemble Ω des issues d'une expérience. On note souvent n le nombre total d'issues. Card(Ω) = n et Ω = {e ; e ; ; e i ; ; e n }. expérience : lancer un dé ; univers : Ω = { ; ; ; ; ; 6} * La réalité est l'issue réalisée une fois l'expérience effectuée... Evénements * On appelle événement tout sous-ensemble de Ω. Il peut être défini suivant un ou plusieurs critères. ex du lancer d'un dé : : "obtenir un nombre pair" ; = { ; ; 6} : "obtenir au moins " ; = { ; ; ; 6} C : "obtenir au plus " ; C = { ; } * Dire qu'un événement est réalisé, c'est dire que la réalité appartient à cet événement. ex du lancer d'un dé : soit la réalité. est-il réalisé? oui est-il réalisé? oui C est-il réalisé? non * un événement est dit élémentaire lorsqu'il ne contient qu'une seule éventualité. * l'événement Ω est dit certain, car il sera toujours réalisé. * l'événement est dit impossible car il ne sera jamais réalisé... Opérations sur les événements Tout événement que l'on peut définir est un ensemble, inclus dans Ω. On peut ainsi appliquer aux événements les propriétés sur les ensembles, sur leurs complémentaires, sur leur intersection ou réunion, rencontrées dans la partie.. En particulier : * le contraire de l'événement est l'événement, complémentaire de dans Ω. ex du lancer d'un dé : contraire de : = { ; ; } contraire de : = { ; } * l'événement est l'événement " et ". = ; 6 ex du lancer d'un dé : { } * l'événement est l'événement " ou ". = ; ; ; ; 6 ex du lancer d'un dé : { } * deux événements sont dits incompatibles lorsqu'ils ne peuvent être réalisés en même temps. utrement dit : ils n'ont pas d'éventualité commune : =. Si deux événements sont contraires, alors ils sont incompatibles. Si deux événements sont incompatibles, ils ne sont pas forcément contraires. ex du lancer d'un dé : et C sont-ils incompatibles? non, issue en commun Trouver un nouvel événement, incompatible avec C. D = { ; 6} * Quelques formules vue au paragraphe. et utiles pour la suite : ( ) + ( ) = ( Ω) ( ) + ( ) = ( ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) Card Card Card Card Card Card Card Card Card Card IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page sur 7

15 . Probabilité sur un ensemble fini.. Probabilité simple définition : Une probabilité se définit mathématiquement comme une fonction p qui, à tout événement associe un nombre p(), en respectant deux conditions : * p(ω) = * p( ) = p() + p() pour tous événements et incompatibles. Cette définition est suffisante pour qu'en découlent toutes les propriétés sur un événement. conséquences directes : ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) p = 0 0 p sans oublier p Ω = p p p p p p p p p à rapprocher des formules rappelées en fin de page précédente compréhension : La probabilité d'un événement est la mesure de la chance qu'il a de se réaliser lorsqu'une expérience est menée. Notée p(), c'est un nombre réel compris entre 0 et inclus, représentant la potentialité de l'événement suivant les critères ci-dessous : p() > p() signifie que est plus probable que. p() = p() signifie que et sont équiprobables. p() = 0 signifie que est impossible. p() = signifie que est certain. Equiprobabilité des issues : La définition ci-dessus implique : { } n i= ( i ) ( ) mêmes chances d apparaître, on a alors immédiatement : { } p e = p Ω =. Dans le cas où toutes les issues de Ω ont les ( ) p e i = pour tout i. n lancer d un dé : p() = 6, p() = 6, p() = 6, etc. insi, on peut en déduire le résultat suivant : p( ) lancer d'un dé (,, C définis en page ) : p( ) = 6 ; p( ) = 6 ; p ( C ) = 6 ( ) ( Ω) Card Card = = Card n ( ) p( ) + p( ) = + = ; p( ) + p( ) = + = p p p p C p C p p( ) = et p( ) + p( ) p( ) = + = ( ) + ( ) = + = = ( ) ; ( ) + ( ) = + = = ( ) IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page sur 7

16 .. Probabilités conditionnelles Définition : Soit, dans un univers Ω, un événement de probabilité non nulle. La probabilité que l'événement se réalise, sachant que s'est réalisé, est : remarque : ( ) p ( ) p ( ) p = implique p( ) = p( ) p ( ) p( ) p( ) = implique p( ) = p( ) p ( ) p ( ) ainsi p( ) peut se calculer de deux manières, et p p = p p. Evénements indépendants Définition : deux événements et sont dits indépendants lorsque utrement dit, d'après la définition d'une probabilité conditionnelle : p = p = p La probabilité que se réalise est la même, sachant que est réalisé ou non, ou sans même savoir si est réalisé ou va se réaliser. ( ) p ( ) ( ) ( ) ( ) p = p( ) = p( ) p( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p( ). Loi de probabilité discrète On traite ici du cas général. Des cas particuliers seront explorés au prochain chapitre.. Variable aléatoire discrete Comme précédemment, une expérience aléatoire mène à un univers Ω = {e, e,, e i,, e n }. Ici, Ω est partitionné en un nombre m d'événements i, de probabilités p i. Définition : Une variable aléatoire discrète X est une fonction qui, à chaque événement i, associe un nombre réel x i (appelé communément "gain"). Ω étant l'univers des issues possibles, l'ensemble des gains x i possibles est noté X(Ω). X(Ω) = {x, x,, x i,, x m }.. Loi de probabilité associée (partition en m événements) Définition : La loi de probabilité de X désigne la liste "probabilités, gains" de ces différents événements, ou bien, a minima, la formule qui permet de calculer chacune d'elles... Paramètres de tendance centrale et de dispersion Insistons ici sur la signification d'une probabilité : Dire qu'un événement a une probabilité de 0, c'est dire qu'il a 0 % de chances de se produire lorsqu'une expérience va être conduite une fois. "Idéalement", lorsque l'expérience est conduite plusieurs fois de suite, l'événement sera réalisé dans 0 % des cas. On constate et on démontre que plus le nombre de répétitions de l'expérience est important, plus la fréquence réelle de réalisation de tend vers sa probabilité théorique. Ceci porte le nom de "loi faible des grands nombres". chaque tentative, la réalité est purement aléatoire, mais à long terme, sur un grand nombre d'essais, ce pseudo-hasard est guidé par les probabilités. Dans le cadre de ce chapitre et du suivant, les probabilités serviront de "prévisions les plus fiables possible" et seront traitées comme des fréquences réelles d'apparition des événements. IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page 6 sur 7

17 Définition : l'espérance mathématique de X est le nombre Il s'agit de la moyenne des valeurs de X, prévisible, que l'on peut espérer à long terme. Cette formule est à rapprocher de celle de la moyenne en statistiques : L'espérance mathématique est un opérateur linéaire : E(a.X) = a.e(x) et E(X + Y) = E(X) + E(Y). En particulier, si tous les gains sont augmentés d'une valeur g, alors l'espérance aussi : E(X + g) = E(X) + g ( ) E X m = i= p x i i On retrouve aussi d autres formules venant des statistiques : m ( ) ( ) ( ) ( ) i i ( ) σ ( X ) = V ( X ) variance de X : V X = p x E X = E X E X écart type : i=.. Loi conjointe, lois marginales Définition : Soit Ω l univers associé à une expérience aléatoire. Soient X et Y deux variables définies sur Ω telles que X(Ω ) = {x, x,, x n } et Y(Ω ) = {y, y,, y p }. On appelle loi conjointe de X et Y la donnée de p((x = x i ) (Y = y j )) pour i de à n et j de à p. On appelle loi marginale de X la donnée de p(x = x i ) pour i de à n. On appelle loi marginale de Y la donnée de p(y = y j ) pour j de à p. Définition : Les variables X et Y sont dites indépendantes lorsque pour tous i de à n et j de à p, p(x = x i ) p(y = y j ) = p((x = x i ) p(y = y j )). On établira souvent un tableau de contingence, contenant des probabilités et non des effectifs, afin d avoir une vue d ensemble des variables et de leurs croisements. u centre, les probabilités d intersections forment ce qu on appelle la loi conjointe de X et Y ; la dernière ligne contient la loi marginale d une des deux variables et la dernière colonne contient la loi marginale de l autre. IUT de Saint-Etienne Département TC J.F.Ferraris Math S DénProb CoursEx Rev0 page 7 sur 7