1 Cinématique du solide

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "1 Cinématique du solide"

Transcription

1 TBLE DES MTIÈRES 1 Cinématique du solide Coordonnées d un point dans l espace Repère et référentiel Sens trigonométrique Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques Relations Position et orientation d un solide Solides et repères associés Solides Repères associés Trajectoire et vitesse d un point matériel Point mobile par rapport à un référentiel Trajectoire Vitesse et accélération d un point Vecteur vitesse de rotation Exemple : vitesse et accélération de la valve d une roue Compléments mathématiques Exemple : vitesse et accélération de la valve d une roue Cinématique du solide Solide indéformable Champ des vecteurs vitesse d un solide Composition des vecteurs vitesses Composition des vecteurs vitesses de rotation Cinématique du contact ponctuel entre deux solides

2 1.5.6 Exemple guide : Moteur 2 temps Modélisation cinématique d un solide : le torseur Exemple guide : Moteur 2 temps - suite Liaisons cinématiques et mécanismes Mécanismes Liaison élémentaire Corrigés

3 CHPITRE 1 CINÉMTIQUE DU SOLIDE La cinématique du solide est l étude des mouvements des corps solides indépendamment des causes de ces mouvements. Objectif : Déterminer la position d un point dans l espace, sa vitesse et son accélération Déterminer la position d un solide dans l espace, sa vitesse et son accélération Déterminer la position et la vitesse d un solide par rapport à un autre 1.1 Coordonnées d un point dans l espace Repère et référentiel On montre qu il est possible décrire de manière unique la position d un point dans l espace à partir de sa projection dans un repère constitué d un point origine et d une base de trois vecteurs orthonormés (orthogonaux et de norme unitaire). Lorsque c est trois vecteurs sont orientés dans le sens direct, on dit que l on a un repère orthonormé direct. La figure 1.1 présente deux repères orthonormés directs et la méthode de la main droite pour tracer un repère direct. Remarque : L usage en Sciences Industrielles est de noter la base de travail avec le nom des axes soit ( x, y, z ) Sens trigonométrique Il est important pour l étude et la description des mouvements de faire attention au sens direct.

4 y (D 3 ) (O, y) (O, x) z x k y 1 x 1 (D 1 ) i O j (D 2 ) z 1 (O, z) FIGURE 1.1 Repères orthonormés Le sens direct dans le plan ( O, x, y ) se confond avec le sens trigonométrique (figure 1.2(a)). La figure 1.2 précise l orientation directe dans les autres plans. y z x z s x y z O P z x y x s y s (a) Sens direct dans le plan ( O, x, y ) (b) Sens direct dans le plan ( O, y, z ) (c) Sens direct dans le plan (O, z, x ) (d) trièdre dans le sens direct FIGURE 1.2 Sens direct Coordonnées cartésiennes La manière la plus naturelle pour décrire la position d un point est d utiliser les coordonnées cartésiennes (figure 1.3), pour cela, on définit un repère orthonormée direct dit repère cartésien constitué de 3 vecteurs unitaires orthogonaux deux à deux et d un point pour origine. Il est nécessaire de préciser 3 dimensions pour décrire de manière unique la position d un point. Sur l exemple de la figure 1.3 le vecteur OH s écrit : OH X i + Y j + Z k On note (X,Y,Z) les coordonnées cartésiennes du vecteur OH dans la base ( x, y, z ). X, Y et Z sont les trois projections de suivant les axes (O, x ), (O, y ) et (O, z ) de OH.

5 z Z H z x O y Y y X x FIGURE 1.3 Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Le système de coordonnées cylindrique (figure 1.4) est une extension du système de coordonnées polaires utilisé dans le plan, en ajoutant à l angle polaire orienté et au rayon polaire un troisième dimension perpendiculaire au plan. Sur la figure 1.4, le vecteur OH est défini par : OH R n + Z z Le vecteur n est précisé par l angle θ tel que θ ( x, n ) et la figure de calcul (figure 1.5). Le vecteur OH est décrit de manière unique par les trois dimensions : R, θ et Z Coordonnées sphériques Un point en coordonnées sphériques est défini par une distance et deux angles. Le vecteur OH s écrit OH ρ u. avec ρ la distance entre l origine du repère et le point H et u le vecteur unitaire porté par la droite (OH). le vecteur OH est défini par : OH ρ u Le vecteur n est porté par la projection de la droite (OH) dans le plan ( O, x, y ). Le vecteur OH est décrit de manière unique par les trois dimensions ρ, ϕ et θ. Le vecteur u est défini par les deux figures de calculs de la figure 1.6.

6 z Z R H z x O y n R Y y X x θ FIGURE 1.4 Coordonnées cylindriques y n θ x FIGURE 1.5 Figure de calcul y n n u θ x ϕ z FIGURE 1.6 figures de calculs coordonnées sphériques Relations Coordonnées Cartésiennes : Cylindriques : Sphériques : OH X x + Y y + Z z OH R n + Z z OH ρ u

7 z H ϕ ρ z u x O y n R Y y X x θ FIGURE 1.7 Coordonnées sphériques Relations Cartésiennes Cylindriques : X R cosθ Y R sinθ Z Z Cartésiennes Sphériques : X ρ sinϕ cosθ Y ρ sinϕ sinθ Z ρ cosϕ Cylindriques Sphériques : { R ρ sinϕ Z ρ cosϕ R X 2 + Y 2 θ arctan Y X Z Z ρ X 2 + Y 2 + Z 2 θ arctan Y X X 2 + Y 2 ϕ arctan Z ρ R 2 + Z 2 ϕ arctan R Z 1.2 Position et orientation d un solide Si pour décrire la position d un point, trois dimensions sont nécessaires et suffisante, ce n est plus suffisant pour décrire la position d un solide et son orientation :

8 En ne précisant qu un point, le solide peut pivoter librement autour de ce point. En précisant deux points, le solide a une direction imposée, mais il peut tourner librement autour de l axe formé par les deux points. En précisant, trois points non colinéaires, la position du solide est complètement définie. Soit trois points, B et C non colinéaires d un solide, on peut écrire les relations suivantes pour préciser la position du solide : O B X B x + YB y + Z B z O X x + Y y + Z z O C X C x + YC y + Z C z À ces trois relations vectorielles se rajoutent la distance entre chaque point : q d B (X B X )2 + (YB Y )2 + (Z B Z )2 q d C (X C X )2 + (YC Y )2 + (Z C Z )2 q d BC (X C X B )2 + (YC YB )2 + (Z C Z B )2 On montre donc, à partir de ces 6 équations, qu il est nécessaire de préciser 6 dimensions pour positionner complètement le solide (système de 6 équations avec 9 inconnues de rang 6). Plutôt que de positionner le solide avec 3 points on préfère lui associer un repère et positionner ce repère dans l espace avec 3 distances et trois angles(figure 1.8). z 1 x 1 B z O C y 1 y x F IGURE 1.8 Position d un solide dans l espace et repère associé La figure 1.9 montre l orientation d un solide dans l espace à l aide de 3 angles. Exercice 1- ngles d Euler Corrigé page?? Q1. À partir d une recherche sur Internet, définir les angle d Euler.

9 FIGURE 1.9 Orientation d un solide dans l espace Soit une repère R ( ) O, x, y, z et R1 ( ) O, x 1, y 1, z 1. Q2. Définir les trois rotations qui permettent de passer du repère R au repère R Solides et repères associés Solides En mécanique classique, nous supposerons que les solides sont indéformables.,b S B d avec S un solide, et B deux points du solide S et d une constante. Ce modèle sera précisé plus loin dans ce cours Repères associés chaque solide, on convient d associer un repère représentant le solide. Sur la figure 1.1, pour quelques solides de la bicyclette sont précisés les repères associés : L origine de chaque repère est placé sur un point caractéristique du solide (l axe de la roue arrière, l axe du pédalier,...).

10 Les axes du repère sont orientés en fonctions des caractéristiques du solide (pour le pédalier, un des axes est porté par l axe de rotation, l autre par le bras du pédalier). z c y c z r y r x c z p z s O P x p y s x r y p O P x s FIGURE 1.1 Solides et repères Le passage d un repère à un autre est représenté graphiquement par des figures nommées figure plane de changement de base ou figure de calcul. Sur cette figure, on représente la rotation plane qui permet de passer d une base à une autre, ainsi sur la figure 1.11(a) on précise le passage de la base liée au cadre à celle liée au pédalier par une rotation d angle α autour de l axe x p x c. z p z c z r z c y p y r α y c β y c x p x c (a) passage du repère du cadre au repère du pédalier x p x c (b) passage du repère du cadre au repère de la roue arrière FIGURE 1.11 figures planes de changement de base de la bicyclette Remarque : les figures planes sont très utiles pour déterminer les projections d un vecteur d une base dans une autre mais pour éviter les erreurs de signe, il est important de toujours représenter des angles compris entre et π 2 et de toujours utiliser des bases orthonormées directes.

11 Exercice 2- Repères et figures plane Corrigé page?? On considère, la salle, la porte de la salle et sa poignée. Q1. ssocier à chacun des solides un repère, précisez les axes et points caractéristiques de chaque solide. Q2. Tracer les figures planes qui permettent de décrire la position et l orientation de chaque solide. Exercice 3- Repères et figures planes de la bicyclette Corrigé page?? On reprend l exemple de la bicyclette à partir de la figure FIGURE 1.12 Bicyclette et repères Q1. Préciser pour chaque repère, dans chaque vue, les axes, le point origine. Q2. Préciser les rotations et translations à réaliser pour passer du repère lié au cadre, à celui lié à la roue avant. Q3. Tracer les figures planes correspondantes

12 1.4 Trajectoire et vitesse d un point matériel Point mobile par rapport à un référentiel On appelle point matériel ou corps ponctuel tout corps ou toute partie de corps très petit à l échelle d observation. Par extension, c est également un corps dont on ne peut définir le mouvement de rotation sur lui-même Trajectoire On appelle trajectoire de M par rapport R l ensemble des positions successives de M par rapport à R quand la date t varie. La trajectoire est une courbe liée à R. Pour déterminer l équation paramétrique de la trajectoire d un point, on écrira les projections dans le référentiel d étude de OM. La trajectoire dépend du repère R dans lequel elle est décrite. On utilise généralement une représentation paramétrique en fonction temps t pour décrire la trajectoire. La courbe C M/R qui décrit la trajectoire dans un repère cartésien est donc de la forme : x f 1 (t) C M/R y f 2 (t) z f 3 (t) avec f 1 (t), f 2 (t) et f 3 (t) trois fonction de la variable t. Pour la suite ces trois fonction seront nommées x(t), y(t) et z(t). a ) Exemple : trajectoire de la valve d une roue de vélo Le repère R ( ) O, x, y, z est lié au sol. Le repère R 1 ( ) O 1, x 1, y 1, z 1 est lié à la roue avec O1 confondu avec l axe de rotation de la roue par rapport au cadre. On suppose que la roue reste dans le plan vertical donc z z 1. On note θ ( ) x, x 1 l angle orienté de x vers x 1. Cet angle est proportionnel à la vitesse angulaire de la roue θ ω t. Le point V associé à la valve est défini par : O 1 V R v x 1. Le vélo se déplace à la vitesse v(t) suivant x, la roue ne patine pas, elle roule sans glisser, on a donc v R ω. Pour la suite nous supposerons que la vitesse est constante : v(t) v. La position du centre de la roue (O 1 ) par rapport au sol est donc définie par : O O 1 v t x + R y. La position de la valve (V) par rapport au sol est définie par : O V v t x + R y + R v x 1.

13 La trajectoire de la valve par rapport au sol est l ensemble des positions successives du point V dans le repère R. soit : O V v t x + R y + R v (cosθ ) x + sinθ y O V (v t + R v cosθ) x + (R + R v sinθ) y O V ( R ω t + R v cos(ω t)) x + (R + R v sin(ω t)) y finalement on obtient l équation paramétrique de la trajectoire dans le repère R : { x(t) R ω t + Rv cos(ω t) y(t) R + R v sin(ω t) Dans le repère R 1 la trajectoire de la valve est un cercle. y y 1 y x 1 O x θ x FIGURE 1.13 Trajectoire de la valve Vitesse et accélération d un point a ) Vitesse d un point On note V M/R le vecteur vitesse de M par rapport à R. Par définition : [ ] d V M/R O M (1.1) B vec O origine du repère R et B base de R Le vecteur vitesse d un point M dans une base donnée correspond à la dérivée de ce vecteur dans cette base. On appelle B la base de dérivation, il ne faut pas confondre cette base avec la base de projection. Le vecteur vitesse est tangent en M à la trajectoire.

14 b ) ccélération d un point on note Γ M/R le vecteur accélération de M par rapport à R Par définition : [ d Γ M/R V M/R ]B [ d 2 ] 2 O M Le vecteur accélération du point M dans son mouvement par rapport au repère R, correspond à la dérivée du vecteur vitesse de ce point dans cette base. Remarque importante : ces grandeurs dépendent du repère (de la base) par rapport auquel on étudie le mouvement. Il est possible de décrire le mouvement par rapport à n importe quel repère. Nous verrons dans le chapitre suivant comment calculer ces dérivées vectorielles. B Vecteur vitesse de rotation De la même manière que l on définit le vecteur vitesse d un point, on définit le vecteur vitesse de rotation d un repère par rapport à un autre. On note Ω R1 /R le vecteur vitesse de rotation du repère R 1 par rapport au repère R. a ) Cas d une rotation plane Soit le repère R 1 en mouvement de rotation autour de l axe ( O, z ) par rapport au repère R, avec θ ( ) x, x 1 ( ) y, y 1. Le vecteur rotation est porté par le vecteur perpendiculaire au plan de la rotation (ici z z 1 ) et sa mesure algébrique est la dérivée du paramètre angulaire de mouvement entre les deux repères. y 1 y θ x 1 x Ω R1 /R dθ z θ. z b ) Cas général le mouvement de rotation du repère R 1 par rapport au repère R est constitué de plusieurs rotations élémentaires d angle θ i autour de l axe ( ) O i, e i. lors : Ω R1 /R n dθ i e i n. θ i Le vecteur vitesse de rotation se construit comme la somme des vecteurs vitesses de rotations élémentaires. e i

15 1.4.5 Exemple : vitesse et accélération de la valve d une roue - 1 avec : Par définition [ ] d V V/R O V B O V v t x + R y + R v x 1 [ ] d V V/R v t x + R y + R v x 1 Pour aller plus loin, il faut définir la dérivation vectorielle! B Compléments mathématiques Ce petit chapitre apporte quelques notions qui ne sont pas encore (ou ne sont plus) abordées dans le cours de mathématiques. Ces notions à peine détaillées ici (non démontrées) sont très importantes et doivent être sues. Elles seront complétées au fur et à mesure des besoins. C M 1: Produit scalaire Soit u et v deux vecteurs alors avec ( u, v ) : l angle orienté de u vers v Si u et v sont définis dans la base B : alors u v u v cos ( u, v ) u x u x + y u y + z u z v x v x + y v y + z v z C M 2: Produit vectoriel Soit u et v deux vecteurs alors u v x u x v + y u y v + z u z v u v u v sin ( u, v ) w avec ( u, v ) : l angle orienté de u vers v w : le vecteur unitaire perpendiculaire aux deux vecteurs u et v tel que ( u, v, w ) forme un trièdre direct (figure 1.2(d)).

16 Soit B ( x, y, z ) une base orthonormée directe alors : x y z y z x z x y Distributivité : y x z z y x x z y u ( v + w ) u v + u w (1.2) Linéarité λ u µ v λ µ ( u v ) anti-symétrie : u v v w ttention : Le produit vectoriel est anti-symétrique. Si u et v sont définis dans la même base B : u x u x + y u y + z u z v x v x + y v y + z v z u v x u y u x v y v z u z v + ( ) y u z v y v z u x + (z u x v z v x u ) y + ( ) x u y v x v y u z On utilisera la petite figure mnémotechnique ci-dessous pour mémoriser le produit vectoriel. sens + sens - x u x v y u z v y v z y u y u v z u x v z v x u z u z v x u y v x v y u x u C M 3: Produit mixte Le produit mixte est la quantité notée ( u, v, w ) et définie par ( u, v, w ) u ( v w ) Le produit mixte se conserve par permutation circulaire ( u, v, w ) ( v, w, u ) ( w, u, v ) u ( v w ) v ( w v ) w ( u v ) x v

17 C M 4: Double produit vectoriel u ( v w ) ( u w ) v ( u v ) w C M 5: Dérivation vectorielle d une somme de vecteurs Si a et b sont deux scalaires et u et v deux vecteurs alors : [ ] d a u + b v d a [ ] d B u + a u + db [ ] d B v + b v B C M 6: dérivation d un vecteur de la base de dérivation Si u a x +b y +c z est un vecteur dont les coordonnées (a,b,c ) dans de la base B ( ) x, y, z sont constantes alors : [ ] d v B C M 7: Dérivation d un vecteur quelconque Il est toujours possible de projeter le vecteur quelconque dans la base de dérivation et utiliser les propriétés ci-dessus pour n avoir à dériver que les coordonnées, mais souvent cela n est pas recommandé. Dans le cas général : Soit u 1 un vecteur défini dans la base B 1, et B la base de dérivation alors [ [ ] d d u 1 u 1 Ω R1 /R ]B u 1 B 1 + avec Ω R1 /R le vecteur rotation du repère R 1 par rapport au repère R La quantité Ω R1 /R u 1 est le produit vectoriel du vecteur Ω R1 /R et du vecteur u Exemple : vitesse et accélération de la valve d une roue - 2 près cet intermède mathématique, reprenons la détermination de la vitesse du point V de la valve par rapport au sol (R ). [ d V V/R V V/R ] v t x + R y + R v x 1 [ d v t x ]B + V V/R d v t x + v t v et R et R v sont constants : [ d V V/R v x + v t B [ [ ] d d R y + ]B R v x 1 [ ] d x y + R B + dr x + R ]B B [ ] d y + dr v B [ [ ] d d y + R v x 1 ]B [ d x 1 + R v B ] x 1 B

18 [ [ ] d d x et y car x ]B et y sont deux vecteurs constants de la base B. B [ d V V/R v x + R v pour continuer, on peut soit, projeter x 1 dans B, soit utiliser les propriétés de la dérivation d un vecteur quelconque. Projection de x 1 : [ d V V/R v x + R v V V/R v x + R v Dérivation d un vecteur quelconque : ] x 1 ] cosθ x + sinθ y B [ ] d cos(ω t) x + sin(ω t) y B V V/R v x ω R v sin(ω t) x + ω R v cos(ω t) y V V/R (v ω R v sin(ω t)) x + ω R v cos(ω t) y [ d V V/R v x + R v ] x 1 V V/R v x + + R v.θ z x 1 V V/R v x + R v.θ y 1 V V/R v x + R v ω y 1 B + R v Ω R1 /R x 1 B 1 Remarque Importante : : La seconde méthode est toujours préférable à la première. La seconde méthode permet de remarquer que la vitesse comporte, une composante portée par x et par une composante portée par y 1, ces informations disparaissent lorsque l on projette dans une base. On utilisera la première uniquement si on demande de présenter les résultats dans une base donnée. Détermination de l accélération de V par rapport à R. [ d Γ V/R ] V V/R B Γ V/R R v ω 2 x 1 (avec v et ω constants)

19 Exercice 4- Éolienne Corrigé page?? Soit l éolienne de la figure La nacelle (1) pivote autour du mas () suivant l axe ( ) ( ) O, z. On note θ x, x 1 le paramètre de rotation. L hélice (2) pivote autour de l axe ( ), x 1. On note β ( ) z, z 1 le paramètre de rotation. O a x 1 B le point à l extrémité de la pale B b z 2 avec b 2,3m. Q1. Tracer les deux figures de changement de base Q2. Déterminer la vitesse du point et du point B par rapport au repère R ( ) O, x, y, z Q3. Déterminer l accélération de ces deux points. Q4. la vitesse maximale admissible au bout de la pale est V max 7m s 1, en déduire ω 21 dβ(t) pour θ constant. z 2 B z x Nacelle 1 Mas O Hélice 2 x 1 y FIGURE 1.14 Éolienne

20 1.5 Cinématique du solide Comme pour la position d un solide, il ne suffit pas de déterminer la vitesse d un point d un solide pour avoir le mouvement de celui-ci. Le mouvement d un solide peut se décomposer en 6 mouvements élémentaires : 3 translations le long des axes du repère d étude. 3 rotations autours de ces mêmes axes. Nous allons établir l outil mathématique qui permet de décrire ce mouvement en commençant par définir le modèle du solide Solide indéformable a ) Solide réel choix d un modèle La notion usuelle de solide est en fait le plus souvent déterminée par opposition aux états liquides et gazeux. Si l on essaie de préciser quelques caractéristiques d un solide on s aperçoit qu il est difficile de déterminer un modèle simple représentant les solides. Dimensions : les dimensions d un solide peuvent être considérées comme constantes sauf si les efforts appliqués sont trop importants (déformation voire destruction). Masse : constante à l usure et à la corrosion près. L évolution dans le temps n est en général pas connue, déformation sous des efforts maintenus ou répétitif (fluage, fatigue du matériau,...)... La notion de solide regroupe en fait un ensemble de caractéristiques qui sont difficilement représentables par un unique modèle. Dans le cadre de la mécanique générale nous utiliserons le modèle du solide indéformable. b ) Modèle du solide indéformable Un solide indéformable est un solide dont la masse est constante et indépendante du temps et dont les dimensions sont invariantes quelles que soient les actions extérieures. Un solide indéformable est constitué d un ensemble de points matériels pour lesquels les distances mutuelles sont constantes et indépendantes du temps. Si et B sont deux points d un solide S alors,b S B d Ce modèle permet d étudier les mouvements du solide sous des efforts extérieurs, il ne permet pas d étudier la déformation du solide, il ne permet pas de modéliser les solides «élastiques». Remarque : le choix d un modèle est une étape importante dans la représentation de la réalité. Nous ne pouvons étudier et anticiper le comportement d un système réel qu à partir d une modélisation de la réalité. Nous avons défini ici un modèle très limité d un solide, nous

21 définirons ultérieurement un modèle pour représenter les efforts. Tous ces modèles sont plus ou moins parfaits et il est nécessaire d en connaître les limites pour valider les résultats de nos calculs. c ) Équivalence repère solide chaque solide on associe un repère lié. Les notations relatives aux solides seront équivalentes aux notations par rapport aux repères. insi nous noterons aussi bien V M S2 /R pour parler de la vitesse du point M appartenant au solide 2 par rapport au repère R que V M R2 /R, voire pour simplifier la notation V M 2/ Champ des vecteurs vitesse d un solide Soit un solide S 1, le repèrer 1 est associé au solide S 1. Ce solide est en mouvement par rapport au repère R. un point du solide S 1. On note V S1 /R la vitesse du point appartenant au solide S 1 dans son mouvement par rapport au repère R, de même V B S1 /R la vitesse du point B. L ensemble des vecteurs vitesse des points du solide S 1 par est appelé champ des vecteurs vitesse (figure 1.15). V S1 /R y 1 z y z 1 O 1 S 1 B C V B S1 /R O S x x 1 FIGURE 1.15 Champ des vecteurs vitesse On se propose de déterminer une relation entre V S1 /R et V B S1 /R la vitesse des deux points et B du solide S 1 par rapport au repère R. On peut écrire une première égalité : [ ] d B [ ] d B B B [ ] d OB B [ ] d O V B S1 /R V S1 /R B

22 puis une deuxième en déterminant cette dérivée à partir de la définition de la dérivée vectorielle d un vecteur quelconque : [ ] [ ] d d B B + Ω R1 /R B B B 1 [ ] d avec B car B est un vecteur constant dans R 1 B 1 [ ] d B Ω R1 /R B en égalant : B V B S1 /R V S1 /R Ω R1 /R B La relation entre les vitesses de deux points d un solide s écrit finalement : V B S1 /R V S1 /R + Ω R1 /R B On nomme cette relation : relation de changement de point, relation de transport, relation de Varignon. Cette relation est importante et doit être sue. Elle est caractéristique du champ de vecteurs équiprojectifs. Elle va nous permettre, connaissant le vecteur vitesse de rotation et la vitesse d un des points du solide par rapport à une repère, de déterminer la vitesse de tous les points du solide par rapport à ce repère. a ) Équiprojectivité du champ des vecteurs vitesses Soit et B deux points d un solide S 1, on a alors : en dérivant cette relation B d ou B 2 d 2 d B 2 d B B (car constant) [ ] ([ ] 2 d B B 2 d B OB B ( ) 2 B V B S1 /R V S1 /R B [ ] d O B )

23 d où la relation : V B S1 /R B V B S1 /R B V S1 /R La vitesse d un point d un solide S 1 projetée sur le droite qui relie la droite (,B) est égale à la la vitesse du point B projetée sur cette même droite. Cette relation est caractéristique de l équiprojectivité du champ des vecteurs vitesses. V S1 /R B b ) Mouvement de translation FIGURE 1.16 Équiprojectivité Dans un mouvement de translation du solide S 1 par rapport au solide R : Ω R1 /R,B S 1, V B S1 /R V S1 /R c ) Mouvement de rotation autour d un axe fixe Soit I un point de S 1 tel que V I S1 /R et Ω 1/. alors V S1 /R I et V S1 /R Ω 1/. Si on pose : V I S1 /R V S1 /R + Ω 1/ I V S1 /R + Ω 1/ I V S1 /R Ω 1/ I V S1 /R I Ω 1/ Ω 1/ ω w I R u + λ w avec w u alors V S1 /R I Ω 1/ V S1 /R ( R v + λ w ) ω w V S1 /R R ω w La vitesse du point est proportionnelle à la distance entre et l axe instantané de rotation et elle est portée par la perpendiculaire à I et Ω 1/ (figure 1.17(a)). Si le point I n est pas unique, alors, l ensemble des points I tels que V I S1 /R forme l axe instantanée de rotation. Le mouvement est un mouvement de rotation autour d un axe fixe dans le repère d étude. Si le point I est unique alors le mouvement est un mouvement de rotation autour d un point (mouvement sphérique).

24 w Ω 1/ B I u v S 1 z V B S1 /R V S1 /R y V 1/ I R u x O y S x xe instantané de rotation (a) Mouvement de rotation (b) xe instantané de rotation FIGURE 1.17 Mouvement de rotation d ) Mouvement plan : CIR On dit qu un mouvement est plan lorsque : S 1, V S1 /R Ω 1/ L instersection de l axe instantané de rotation avec le plan contenant les vitesses est appelé centre instantané de rotation (CIR). ssocié avec l equiprojectivité, ces deux propriétés, permettent de déterminer graphiquement toutes les vitesse d un solide dans un mouvement plan sur plan. y I 1 x O V S1 /R V B S1 /R B e ) Mouvement hélicoïdal FIGURE 1.18 CIR On dit qu un mouvement hélicoïdal lorsque la vitesse d un point I est colinéaire à la vitesse de rotation : I tel que V I 1/ λ Ω 1/ Composition des vecteurs vitesses On se propose de déterminer la relation entre la vitesse du point P du solide S 2 en mouvement par rapport au solide S 1 lui-même en mouvement par rapport au solide S. chacun de ces solides on associe un repère (figure 1.19).

25 P S 2 V P 2/ z 1 y 1 z O 1 S 1 O x 1 x S y FIGURE 1.19 Composition des vitesses Déterminons : V P 2/. Par définition : [ ] d V P 2/ O P [ ] d O O 1 [ d + ] O 1 P Premier terme : on reconnaît la vitesse du point O 1 de S 1 par rapport à R. [ ] d O O 1 V O1 1/ (1.3) [ ] d Second terme : on ne peut pas calculer directement la dérivée O 1 P, car ni le point O 1 et P ne sont des points fixes de R, il faut donc utiliser la relation de dérivation vectorielle d un vecteur quelconque en passant par le repère R 1 : [ ] [ ] d d O 1 P O 1 P Ω 1/ O 1 P on a donc : + 1 avec Ω 1/ le vecteur [ vitesse ] de rotation de S 1 par rapport à S (R 1 par rapport à R ). d On reconnaît : O 1 P V P 2/1, la vitesse du point P de S 2 dans son mouvement par 1 rapport au référentiel R 1 ( ) O 1, x x1, y x1, z x1 y1 z 1. [ ] d O 1 P V P 2/1 + Ω 1/ O 1 P V P 2/ V O1 1/ + V P 2/1 + Ω 1/ O 1 P V P 2/ V P 2/1 + V O1 1/ + Ω 1/ O 1 P

26 Si on considère le point P du solide S 1 qui coïncide avec le point P de S 2, on reconnaît alors dans cette relation la vitesse de P de S 1 dans son mouvement par rapport à S V O1 1/ + Ω 1/ O 1 P V P 1/ On obtient finalement la relation de composition des vitesses : V P 2/ V P 2/1 + V P 1/ La vitesse d un point P d un solide S 2 par rapport à un repère R est égale à la somme de la vitesse du point P appartenant à S 2 par rapport au solide S 1 ( repère R 1 ) et de la vitesse du point P fixe dans le solide S 1 par rapport au repère R. On appelle : V P 2/ : vitesse absolue, la vitesse du point P d un solide S 2 par rapport à un référentiel R. V P 2/1 : Vitesse relative, la vitesse du point P d un solide S 2 par rapport au un référentiel R 1 mobile par rapport au référentiel R. V P 1/ : Vitesse d entraînement, la vitesse du point P fixe dans le référentiel R 1 par rapport au référentiel R.. Généralisation : Soit P un point du solide S i+1 mobile par rapport au solide S i lui même mobile par rapport au solide S i 1,...,lui même mobile par rapport au solide S 1, lui même mobile par rapport à S. lors V P (i+1)/ V P (i+1)/i + V P i /(i 1) + + V P 2/1 + V P 1/ Composition des vecteurs vitesses de rotation Soit deux référentiels R 1 et R 2 en mouvement par rapport à un référentiel R. soit Ω R2 /R 1 et Ω R1 /R les vecteurs rotation de R 2 par rapport à R 1 et der 2 par rapport à R On peut alors écrire la loi de composition des vecteurs rotation : Ω R2 /R Ω R2 /R 1 + Ω R1 /R Cinématique du contact ponctuel entre deux solides Soit deux solides S 1 et S en contact ponctuel au point I (figure 1.2). On note n, la normale au plan tangent passant par I. t et u deux vecteurs unitaires du plan tangent en I tel que t u n. Les mouvements possibles entre les deux solides sont : une translation dans le plan tangent, décomposable en deux translations élémentaires suivant t et u ; une rotation autour de l axe ( I, n ), (on nomme cette rotation, le pivotement) ;

27 une rotation dans le plan tangent (le roulement) décomposable en deux rotations élémentaires suivant les axes ( I, t ) et ( I, u ). Le mouvement entre les deux solides peut donc être décrit par { Ω1/ Ωp 1/ + Ωr 1/ V I 1/ Vt 1/ + Vu 1/ { Ω1/ ω p n + ω t t + ω u u V I 1/ V t t + V u u n R n R t I R u t T t T u u FIGURE 1.2 Conctact ponctuel On appelle V I 1/ la vitesse de glissement de S 1 par rapport à S Si V I 1/ et Ωr 1/, on dit que le mouvement est un roulement sans glissement.

28 1.5.6 Exemple guide : Moteur 2 temps Les deux animation ci-dessous permettent de visualiser la cinématique d un moteur 2 temps d un petit avion de modélisme. nimation 3D :http://sciences-indus-cpge.papanicola.info/img/mp4/moteur2temps.mp4 nimation 2D : On se propose de déterminer les vitesses des différents points caractéristiques des solides constituants le mécanisme. y 2 y S 3 B S 2 x 1 S 1 O x S FIGURE 1.21 Moteur de modélisme On considère les solides suivants : S : constitué du carter et de la chemise, repère R ( ) O, x, y, z est associé à ce solide, le point O est sur l axe de rotation entre le vilebrequin et le carter ; S 1 : le vilebrequin et l hélice, repère R 1 ( ) O, x 1, y 1, z 1 avec z z 1, θ ( ) x, x 1, O a x 1 ; S 2 : la bielle repère R 2 ( ), x 2, y 2, z 2 avec z z 2, le point est sur l axe de rotation entre la bielle et le vilebrequin, β ( ) ( ) y, y 2 x, x 2, B L y 2 ;

29 S 3 : le piston. repère R ( ) B, x, y, z O B λ y Q1. Identifier les mouvements entre chaque solide ( S 1 /S, S 2 /S 1, S 3 /S 2, S 3 /S ), préciser les axes et points caractéristiques. Q2. Tracer les différentes figures de calculs. Précisez les vecteurs rotations. Q3. Déterminer la loi d entrée sortie du mécanisme, c est à dire relation entre θ et λ. Q4. En déduire V B 3/ la vitesse de B de S 3 par rapport à R. 1.6 Modélisation cinématique d un solide : le torseur Nous avons vu que la relation entre les vitesses de deux points d un solide S 1, par rapport à un repère R, s écrit : V B S1 /R V S1 /R + Ω R1 /R B Il suffit donc de connaître la vitesse d un point et le vecteur vitesse de rotation entre les deux solides pour définir le comportement cinématique du solide. Le torseur est l entité mathématique permettant de synthétiser la vitesse d un solide. On note : { V1/ { Ω1/ V 1/ Le torseur cinématique du mouvement du solide S 1 par rapport au solide S 1. Ω 1/ et sont les éléments de réductions du torseur { V 1/ en. V 1/ Un torseur est constitué de deux vecteurs, un vecteur résultante, ici Ω 1/, indépendant du point d écriture du torseur et un vecteur moment, ici V 1/, dépendant du point d écriture. Ce même torseur s écrit en B : { V1/ { Ω1/ V B 1/ B { Ω 1/ V B 1/ V S1 /R + Ω R1 /R B On utilise la relation de changement de point pour déterminer V B 1/. On peut aussi écrire ce torseur en précisant les composantes des vecteurs dans une base B ( ) x, y, z. { V1/ { Ω1/ V 1/ ω 1x ω 1y ω 1y V x V y V z x, y, Pour aller plus loin, nous allons étudier les propriétés mathématiques des torseurs. ( z ) B

30 C M 8: Torseurs Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide indéformable permettant de synthétiser sous une forme vectorielle, aussi bien les actions mécaniques que les mouvement d un solide. On note : { R { T un torseur défini au point, il est constitué : d une résultante : R. d un moment : M défini au point.. R et M sont les éléments de réductions du torseur en La résultante est un invariant du torseur, elle ne dépend pas du point d écriture du torseur. Remarques : : ne jamais omettre le point de réduction du torseur ; le torseur est constitué de deux vecteurs, il est possible de le représenter en détaillant les composantes de ces deux torseurs dans une base, il est alors nécessaire de préciser la base et le point : { R { T M M Rx R y R z M x M y M y ( x, y, z ) Le champ des moments d un torseur est équiprojectif et réciproquement tout champ équiprojectif est le champ de moment d un torseur. La formule de Varignon permet de déterminer le moment en un autre point : M B M + B R Changement de point de réduction Le torseur { T en B s écrit donc : Égalité de deux torseurs : { R { T M B B deux torseurs { { R 1 T 1 { R M + B R M 1 B et { { R 2 T 2 M 2 sont égaux s ils ont même éléments de réduction en un point, réciproquement s ils ont mêmes éléments de réduction en un même point, ils sont égaux. { R1 M 1 { R2 M 2 R 1 R 2 M 1 M 2 L égalité des composantes des vecteurs ne peut s écrire que dans une même base.

31 Torseur nul : Un torseur est nul, si ses éléments de réductions en un point sont nuls. Ces éléments de réduction sont alors nuls en tout point. ddition de deux torseurs : Soit { { R 1 T 1 et { { R 2 T 2 deux torseurs écrits au même M 1 point alors la somme des torseurs s écrit : { T { T1 + { T2 { R1 { { R1 + R 2 T M 1 + M 2 M 1 M 2 + { R2 M 2 Les composantes ne peuvent s additionner que si les torseurs sont écrits au même point dans la même base : { 1x M 1x R 2x M 2x T R R 1y M 1y + R 2y M 2y R 1z M 1z Multiplication par un scalaire : Soit { { R 1 T 1 R 2z M 2z ( x, y, z ) ( x, y, z ) { 1x + R 2x M 1x + M 2x T R R 1y + R 2y M 1y + M 2y R 1z + R 2z M 1z + M 2z ( x, y, z ) M 1 λ {T { R 1 1 λ M 1 un torseur et λ un réel, alors. { λ R 1 λ M 1 Comoment ou produit de deux torseurs : On appelle comoment le scalaire : { T1 { T2 { R1 M 1 { R2 M 2 { { T1 T2 R 1 M 2 + R 2 M 1 Pour calculer ce produit, il est nécessaire d écrire les torseurs en un même point. Le comoment est un invariant, il ne dépend pas du point de réduction des torseurs. On appelle automoment, le comoment d un torseur avec lui même : { T1 { T1 { R1 M 1 { { T1 T1 2 R 1 M 1 { R1 M 1

32 Formes particulières : Torseur couple : un torseur couple est un torseur particulier pour lequel la résultante est nulle : { { T M Le moment d un torseur couple est le même en tout point de l espace. L automoment du torseur couple est nul : P { T1 { T1 { Torseur glisseur : un torseur est dit torseur glisseur s il existe un point tel que le moment en ce point est nul. { { R T Exemple guide : Moteur 2 temps - suite On reprend le moteur de mendélisme de la figure 1.21 Q5. Écrire les torseurs cinématiques entre les solides S 1 et S, S 2 et S 1, S 3 et S 2, S 3 et S. Q6. En déduire le torseur cinématique de S 2 par rapport à S, proposez deux formes différentes pour ce torseur.

{T}= R M(o) o. Le Torseur. Le torseur : un outil mathématique. Il représente un champ de vecteur équiprojectif. S2I Lycée Corneille T.

{T}= R M(o) o. Le Torseur. Le torseur : un outil mathématique. Il représente un champ de vecteur équiprojectif. S2I Lycée Corneille T. Le torseur : un outil mathématique {T} R M(o) o Il représente un champ de vecteur équiprojectif. Champ des vitesses d'un solide en rotation Le torseur : adapté à la mécanique des solides. Le torseur est

Plus en détail

Mécanique P06-1MECA0

Mécanique P06-1MECA0 PRIS Formation d Ingénieurs en Partenariat Section GE Polycopié de cours V Mécanique P06-1MEC0 Cours Magistraux TD ED 1ère nnée Enseignant : Mr DETREZ 2011-2012 i Table des matières II Cinématique 1 I.1

Plus en détail

CINEMATIQUE GRAPHIQUE 2D Polycopié sans trous

CINEMATIQUE GRAPHIQUE 2D Polycopié sans trous Cours ENSIS MEC101 Mécanique des systèmes et des milieux déformables CINEMTIQUE GRPHIQUE 2D Polycopié sans trous 1/20 I) MOUVEMENT D'UN SOLIDE 1.1. Solide du point de vue cinématique Un mécanisme est composé

Plus en détail

CHAPITRE 1 CINÉTIQUE. 1.1 Masse et inertie. 1.1.1 Notions d inertie

CHAPITRE 1 CINÉTIQUE. 1.1 Masse et inertie. 1.1.1 Notions d inertie TABLE DE MATIÈRE 1 Cinétique 1 1.1 Masse et inertie................................ 1 1.1.1 Notions d inertie........................... 1 1.1.2 Masse.................................. 2 1.1.3 Centre d

Plus en détail

Modéliser les actions mécaniques Prévoir et vérifier les performances de systèmes soumis à des actions mécaniques statiques.

Modéliser les actions mécaniques Prévoir et vérifier les performances de systèmes soumis à des actions mécaniques statiques. Modéliser les actions mécaniques Prévoir et vérifier les performances de systèmes soumis à des actions mécaniques statiques. CI-6 LYCÉE CARNOT (DIJON), 2014-2015 Germain Gondor Sciences de l Ingénieur

Plus en détail

1 Présentation du moulin. 2 Modélisation mathématique. 2.1 Modélisation statique. Don Quichotte de l Atlantique

1 Présentation du moulin. 2 Modélisation mathématique. 2.1 Modélisation statique. Don Quichotte de l Atlantique 1 Présentation du moulin Il s agit d une roue tournant autour d un axe. Sur l extérieur de la roue sont fixées des tiges et sur les tiges sont accrochés des récipients. Ces récipients sont ouverts en haut

Plus en détail

TD 5 Cinématique. 1 Étude du déploiement d une échelle de pompiers 1

TD 5 Cinématique. 1 Étude du déploiement d une échelle de pompiers 1 Compétences travaillées : Réaliser un graphe de structure du mécanisme, Réaliser un schéma cinématique lorsque la modélisation des liaisons est connue, Écrire la fermeture géométrique pour obtenir la loi

Plus en détail

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP)

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) SESSION DE 2005 concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) section : mathématiques deuxième composition de mathématiques (épreuve de remplacement)

Plus en détail

SOMMAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3. 2.1 Définition 3 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 4 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 4

SOMMAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3. 2.1 Définition 3 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 4 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 4 SOAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3 2.1 Définition 3 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 4 2.1.2 Prouit ou comoment e eux torseurs 4 2.2 Torseurs élémentaires 4 2.2.1 Torseur couple 4 2.2.2 Torseur

Plus en détail

Etudes des moteurs 2 et 4 temps et du système bielle-manivelle

Etudes des moteurs 2 et 4 temps et du système bielle-manivelle Etudes des moteurs et 4 temps et du système bielle-manivelle Présentation du moteur à explosion. La photographie ci-contre représente un moteur à explosion temps de modélisme. Ce moteur comme les moteurs

Plus en détail

CHAPITRE 1 MÉCANISMES. 1.1 Modélisation cinématique. 1.1.1 Problématique. 1.1.2 Modèle cinématique

CHAPITRE 1 MÉCANISMES. 1.1 Modélisation cinématique. 1.1.1 Problématique. 1.1.2 Modèle cinématique TABLE DES MATIÈRES 1 Mécanismes 1 1.1 Modélisation cinématique.......................... 1 1.1.1 Problématique............................ 1 1.1.2 Modèle cinématique......................... 1 1.2 Liaisons

Plus en détail

Pierre BOURDET sept. 96 - fev. 2005. Tolérancement géométrique

Pierre BOURDET sept. 96 - fev. 2005. Tolérancement géométrique Tolérancement géométrique Modèle nominal - Réel - Écarts Géométrie nominale Représentation du réel Écarts Écarts Nuage de points Éléments de substitution Tolérancement : spécifier les limites de variation

Plus en détail

Vecteurs.nb 1. Collège du Sud 1-ère année. Mathématiques. Vecteurs. Edition 2003/2004 - DELM

Vecteurs.nb 1. Collège du Sud 1-ère année. Mathématiques. Vecteurs. Edition 2003/2004 - DELM Vecteurs.nb 1 Collège du Sud 1-ère année Mathématiques Vecteurs Edition 00/004 - DELM Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hypertexte vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec/index.html

Plus en détail

Chapitre 5 Les lois de la mécanique et ses outils

Chapitre 5 Les lois de la mécanique et ses outils DERNIÈRE IMPRESSION LE 1 er août 2013 à 12:49 Chapitre 5 Les lois de la écanique et ses outils Table des atières 1 Les référentiels et repères 2 2 Les grandeurs de l évolution 2 2.1 Le vecteur de position..........................

Plus en détail

A. CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE

A. CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE A. CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE 1. Grandeurs cinématiques a. Rappels et définitions La cinématique étudie les mouvements sans se préoccuper de leurs causes (c est-à-dire des forces) Le mouvement est le changement

Plus en détail

Statique des solides

Statique des solides Cours 08 - Statique des solides Page 1/10 Statique des solides 1) OBJECIFS....3 2) SCHEM D RCHIECURE E GRPHE DE SRUCURE.... 3 21) DIFFERENCE ENRE SCHEM CINEMIQUE E SCHEM D RCHIECURE....3 22) EXEMPLE DE

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

CHAPITRE 2. MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES :

CHAPITRE 2. MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES : CHPITRE 2. ODELISTION DES CTIONS ECNIQUES : I- SOIRE DU CHPITRE 2: II- NOTIONS GENERLES : III- NOTION DE FORCE : IV- NOTION DE OENT : V- ODELISER UNE CTION ECNIQUE PR UN TORSEUR : VI- FIGURES DECOUPER

Plus en détail

Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur. Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147

Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur. Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147 Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147 14 Janvier 2015 2 Il est impossible d envisager l étude des méthodes

Plus en détail

et pour une hélice à gauche Représentation plane et spatiale de la liaison hélicoïdale

et pour une hélice à gauche Représentation plane et spatiale de la liaison hélicoïdale olutions technologiques associées à la liaison hélicoïdale 2 Année PT.I.I. CI 2 : Analyse et conception des mécanismes Page 1 sur 1 I. Introduction Un système vis-écrou correspond à la solution technologique

Plus en détail

APPLICATION DU THEOREME DES TRAVAUX VIRTUELS AU CALCUL DES STRUCTURES ISOSTATIQUES

APPLICATION DU THEOREME DES TRAVAUX VIRTUELS AU CALCUL DES STRUCTURES ISOSTATIQUES Cours de Mécanique APPLICATION DU THEOREME DES TRAVAUX VIRTUELS AU CALCUL DES STRUCTURES ISOSTATIQUES Philippe Lawrence Octobre 2012 Table des matières 1 Rappels 2 1.1 Structure isostatique.........................

Plus en détail

2 Le champ électrostatique E

2 Le champ électrostatique E Licence 3 Sciences de la Terre, de l Univers et de l Environnement Université Joseph-Fourier : Outil Physique et Géophysique 2 Le champ électrostatique E k Daniel.Brito@ujf-grenoble.fr E MAISON DES GÉOSCIENCES

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0)

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) NOMBRES COMPLEXES 1 Corps C des nombres complexes 1.1 Construction de C Construction de C On munit R de deux lois internes + et de la manière suivante. Pour (a, b, c, d) R 4, on pose (a, b) + (c, d) =

Plus en détail

Systèmes dynamiques. Chapitre 1

Systèmes dynamiques. Chapitre 1 Chapitre 1 Systèmes dynamiques 1) Placement financier On dépose une quantité d argent u 0 à la banque à l instant t 0 = 0 et on place cet argent à un taux r > 0. On sait qu en vertu de la loi des intérêts

Plus en détail

Corrigé des exercices «Principe fondamental de la dynamique»

Corrigé des exercices «Principe fondamental de la dynamique» «Principe fondamental de la dynamique» Exercice 1 a. Un véhicule parcourt 72 km en 50 minutes. Calculer sa vitesse moyenne et donner le résultat en km/h puis en m/s. La vitesse v est donnée en fonction

Plus en détail

CH2 : Les mécanismes de transmission du mouvement

CH2 : Les mécanismes de transmission du mouvement BTS électrotechnique 2 ème année - Sciences physiques appliquées CH2 : Les mécanismes de transmission du mouvement Motorisation des systèmes. Problématique : En tant que technicien supérieur il vous revient

Plus en détail

CH12 : Solide en mouvement de translation

CH12 : Solide en mouvement de translation BTS électrotechnique 1 ère année - Sciences physiques appliquées CH12 : Solide en mouvement de translation Motorisation des systèmes Enjeu : Problématique : En tant que technicien supérieur, il vous revient

Plus en détail

Théorème d Ampère et applications

Théorème d Ampère et applications 6 Théorème d Ampère et applications 1 Théorème d Ampère Equivalent du théorème de Gauss pour l électrostatique. Permet de calculer des champs simplement en utilisant la symétrie des courants. Mais il faut

Plus en détail

Chapitre 2. CINÉMATIQUE DU PÉDALAGE

Chapitre 2. CINÉMATIQUE DU PÉDALAGE Chapitre 2. CINÉMATIQUE DU PÉDALAGE «Cinématique : Emprunt scientifique au grec kinêmatikos, dérivé de kinêma = mouvement. C est la partie de la mécanique qui étudie le mouvement indépendamment des forces

Plus en détail

Applications mathématiques à la physique

Applications mathématiques à la physique Applications mathématiques à la physique Serge Robert cégep Saint-Jean-sur-Richelieu RÉSUMÉ Je vais présenter quelques problèmes qui sont traités dans le cours Intégration des apprentissages en Sciences

Plus en détail

Introduction au cours de physique (1)

Introduction au cours de physique (1) Introduction au cours de physique () Exercices : Petites variations, valeurs moyennes Calculs de petites variations Méthode De manière générale : il est souvent plus simple de faire une différentiation

Plus en détail

Expérimentation 2007

Expérimentation 2007 Mathématiques série S Épreuve pratique au baccalauréat Expérimentation 2007 - Banque de sujets - Ce document peut être utilisé librement dans le cadre des activités de l'enseignement scolaire, de la formation

Plus en détail

MECA0003-2 - MÉCANIQUE RATIONNELLE

MECA0003-2 - MÉCANIQUE RATIONNELLE L G L G Octobre 015 MEA0003- - MÉANIQUE RATIONNELLE Prof. Éric J.M.DELHEZ Un constructeur de jouets souhaitant mettre au point un nouveau système de propulsion de petites voitures pour son circuit miniature

Plus en détail

Epreuve de Sciences Industrielles C

Epreuve de Sciences Industrielles C 065 Epreuve de Sciences Industrielles C Durée 6 h Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, d une part il le signale au chef de salle, d autre part il le

Plus en détail

Etude n 1 : Moteur simplifé (1 cylindre)

Etude n 1 : Moteur simplifé (1 cylindre) Etude n 1 : Moteur simplifé (1 cylindre) Mise en situation Le mécanisme étudié est un moteur à essence de moto. Pour simplifier l étude, seulement un piston et une bielle ont été représentés. Le mécanisme

Plus en détail

Cours de mécanique M14-travail-énergies

Cours de mécanique M14-travail-énergies Cours de mécanique M14-travail-énergies 1 Introduction L objectif de ce chapitre est de présenter les outils énergétiques utilisés en mécanique pour résoudre des problèmes. En effet, parfois le principe

Plus en détail

Bissectrices. Daniel Perrin

Bissectrices. Daniel Perrin Bissectrices Daniel Perrin Introduction Le but de ce texte est d essayer de donner une référence fiable sur la question des bissectrices, pour traiter notamment l exposé de CAPES intitulé Droites remarquables

Plus en détail

Une axiomatisation du plan euclidien

Une axiomatisation du plan euclidien Nicole opp Strasbourg, avril 2007 Une axiomatisation du plan euclidien Le but de ce texte est de montrer comment on peut axiomatiser le plan euclidien d une manière qui se rapproche, autant que faire se

Plus en détail

Etude de la transformation de mouvement «Bielle-Manivelle» 1) FONCTIONS RÉALISÉES PAR LE LOGICIEL...2 2) CRÉATION DU MÉCANISME...2 3) ANALYSE...

Etude de la transformation de mouvement «Bielle-Manivelle» 1) FONCTIONS RÉALISÉES PAR LE LOGICIEL...2 2) CRÉATION DU MÉCANISME...2 3) ANALYSE... Découverte du logiciel Mecaplan pour SolidWorks Page 1/9 Mecaplan pour SolidWorks Bielle Manivelle Piston Bâti Etude de la transformation de mouvement «Bielle-Manivelle» 1) FONCTIONS RÉALISÉES PAR LE LOGICIEL....2

Plus en détail

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme...

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme... Maths PCSI Cours Espaces affines Table des matières 1 Espaces et sous-espaces affines 2 1.1 Espaces affines et translations.................................... 2 1.2 Exemples d espaces affines......................................

Plus en détail

INTERROS. de Prépas & Deug. Mécanique des Systèmes Mécanique des Fluides. Olivier Chenevez. Ancien élève de l École Normale Supérieure

INTERROS. de Prépas & Deug. Mécanique des Systèmes Mécanique des Fluides. Olivier Chenevez. Ancien élève de l École Normale Supérieure INTERROS de Prépas Deug MP-PC-PSI Mécanique des Systèmes Mécanique des Fluides Olivier Chenevez Ancien élève de l École Normale Supérieure Collection dirigée par Éric MAURETTE Du même auteur, aux Éditions

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

Principe de fonctionnement d un véhicule à roues

Principe de fonctionnement d un véhicule à roues Mécanique «Chapitre» 4 Principe de fonctionnement d un véhicule à roues Parties du programme de PCSI à revoir Notions et contenus Lois de Coulomb du frottement de glissement dans le seul cas d un solide

Plus en détail

Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE. Exercice 2 : TABLE ÉLÉVATRICE. Présentation. Voir vidéos sur site du professeur. Piston (6) Corps (7)

Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE. Exercice 2 : TABLE ÉLÉVATRICE. Présentation. Voir vidéos sur site du professeur. Piston (6) Corps (7) TD 26 - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 1/6 Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE. Reprendre l exercice du TD25, et déterminer p f ( F) le plus rapidement possible. Exercice 2 : TABLE

Plus en détail

Volume et température d un gaz

Volume et température d un gaz Volume et température d un gaz Par Pascal Rebetez Janvier 7 Introduction Après avoir étudié expérimentalement la relation entre le volume et la température d un gaz (de l air), nous comparons les données

Plus en détail

La dynamique du système est donnée par (1)

La dynamique du système est donnée par (1) Master d Ingénierie Mathématique Contrôle des systèmes non-linéaires Examen, durée 3h Sujet donné par Pierre Rouchon, tous les documents sont autorisés. Comme le montre la figure ci-contre, ce robot marcheur

Plus en détail

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire Université de Paris X Nanterre UFR Segmi Année 7-8 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II Chapitre Algèbre linéaire Table des matières Espaces vectoriels Espaces et sous-espaces

Plus en détail

PHYSIQUE - MATHÉMATIQUES

PHYSIQUE - MATHÉMATIQUES SESSION 2013 SECOND CONCOURS ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE PHYSIQUE - MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche à alimentation autonome, sans imprimante et sans document d accompagnement

Plus en détail

D U G A Z P A R F A I T M O N O A T O M I Q U E A U X F L U I D E S R E E L S E T A U X P H A S E S C O N D E N S E E S

D U G A Z P A R F A I T M O N O A T O M I Q U E A U X F L U I D E S R E E L S E T A U X P H A S E S C O N D E N S E E S THERMODYNAMIQUE Lycée F.BUISSON PTSI D U G A Z P A R F A I T M O N O A T O M I Q U E A U X F L U I D E S R E E L S E T A U X P H A S E S C O N D E N S E E S Ce chapitre pourrait s appeler du monde moléculaire

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

15 Notions sur les turbomachines

15 Notions sur les turbomachines 16 avril 2004 429 15 Au cours des chapitres précédents, on a maintes fois considéré des machines au sein desquelles s opérait un échange de travail avec le milieu extérieur (compresseurs, turbines). Parmi

Plus en détail

Corrigés de la séance 5 Chap 5 et 7: Gravitation et frottements

Corrigés de la séance 5 Chap 5 et 7: Gravitation et frottements Corrigés de la séance 5 Chap 5 et 7: Gravitation et frottements Questions pour réfléchir Q4. p.262. Jupiter a une masse 318 fois plus grande que celle de la Terre. Pourtant, l accélération de la pesanteur

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, texte d exercice diffusé en 2012 Épreuve de modélisation, option informatique

Agrégation externe de mathématiques, texte d exercice diffusé en 2012 Épreuve de modélisation, option informatique Agrégation externe de mathématiques, texte d exercice diffusé en 2012 Épreuve de modélisation, option informatique Résumé : A partir du problème de la représentation des droites sur un écran d ordinateur,

Plus en détail

Chapitre n 1 : CINEMATIQUE DE NEWTON

Chapitre n 1 : CINEMATIQUE DE NEWTON Physique - 6 ème année - Ecole Européenne Chapitre n 1 : CINEMATIQUE DE NEWTON La cinématique étudie la description du mouvement des mobiles sans en chercher les causes. Le but de la leçon est d'introduire

Plus en détail

Les calculatrices sont autoris ees I.1 Traitement classique de la rotation d une mol ecule d eau Figure I.1 1/10

Les calculatrices sont autoris ees I.1 Traitement classique de la rotation d une mol ecule d eau Figure I.1 1/10 Les calculatrices sont autorisées Les deux problèmes sont indépendants. On fera l application numérique chaque fois que cela est possible, en veillant à préciser l unité et à ne donner que les chiffres

Plus en détail

MOTEURS DE JEU RAPPELS MATHÉMATIQUES. Rémi Ronfard, Septembre 2014

MOTEURS DE JEU RAPPELS MATHÉMATIQUES. Rémi Ronfard, Septembre 2014 MOTEURS DE JEU RAPPELS MATHÉMATIQUES Rémi Ronfard, Septembre 2014 1 Cette présentation récapitule les concepts mathématiques nécessaires à la mise en place d un pipeline d affichage 3D. Son but n est pas

Plus en détail

4. Géométrie analytique du plan

4. Géométrie analytique du plan GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DU PLAN 35 4. Géométrie analytique du plan 4.1. Un peu d'histoire René Descartes (La Haye en Touraine, 31/3/1596 - Stockholm, 11/2/1650) La géométrie analytique est une approche de

Plus en détail

Travaux Pratiques. :Direction assistée électrique Proposition d un modèle mécanique Temps alloué 2 heures

Travaux Pratiques. :Direction assistée électrique Proposition d un modèle mécanique Temps alloué 2 heures PSI* 28/11/12 Lycée P.Corneille tp_modele_mecanique_dae.doc Page 1/1 Travaux Pratiques. :Direction assistée électrique Proposition d un modèle mécanique Temps alloué 2 heures Vous disposez : De la direction

Plus en détail

Moteur thermique 50 cm 3, 2 temps à injection. Aucun document autorisé, calculatrice autorisée.

Moteur thermique 50 cm 3, 2 temps à injection. Aucun document autorisé, calculatrice autorisée. Moteur thermique 50 cm 3, 2 temps à injection. Aucun document autorisé, calculatrice autorisée. Mise en situation. Nous proposons l étude des performances d un moteur thermique de scooter et de sa chaîne

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Devoir Surveillé n 2

Devoir Surveillé n 2 Devoir Surveillé n 2 Les candidat(e)s veilleront à exposer leurs réponses avec clarté et rigueur, rédiger avec soin dans un français correct et reporter dans la marge les numéros des questions traitées.

Plus en détail

BTSA Aménagement Paysager

BTSA Aménagement Paysager BTSA Aménagement Paysager MODULE M41 COURS ET EXERCICES DE GÉOMÉTRIE Version 1.0 Septembre 2009 Géométrie vectorielle 1 1.1 Vecteurs Nous partirons de la notion de vecteur lié. s On appelle vecteur (ou

Plus en détail

Corps remorqué dans l eau

Corps remorqué dans l eau ACCUEIL Corps remorqué dans l eau Frédéric Elie, août 2007 La reproduction des articles, images ou graphiques de ce site, pour usage collectif, y compris dans le cadre des études scolaires et supérieures,

Plus en détail

FRAISEUSE A COMMANDE NUMERIQUE

FRAISEUSE A COMMANDE NUMERIQUE FRAISEUSE A COMMANDE NUMERIQUE Mise en situation : L usinage est une étape de fabrication d une pièce par enlèvement de matière. C est une opération de base dans la fabrication de produits pour l industrie

Plus en détail

TD de Physique n o 10 : Interférences et cohérences

TD de Physique n o 10 : Interférences et cohérences E.N.S. de Cachan Département E.E.A. M2 FE 3 e année Physique appliquée 2011-2012 TD de Physique n o 10 : Interférences et cohérences Exercice n o 1 : Interférences à deux ondes, conditions de cohérence

Plus en détail

Exercice 2 : CONSOLE DE DÉCORATION.

Exercice 2 : CONSOLE DE DÉCORATION. TD 29 - Arc-boutement Page 1/7 Exercice 1 : EXTRACTEUR DE ROULEMENTS. On considère un extracteur de roulements dont le but est d extraire les roulements détériorés qui sont montés serrés sur les arbres.

Plus en détail

Métrologie tridimensionnelle : Technologie des Machines à Mesurer

Métrologie tridimensionnelle : Technologie des Machines à Mesurer Métrologie tridimensionnelle : Technologie des Machines à Mesurer SPRUYT G. 1 / 14 I.S.I.P.S Table des matières 1. Construction des machines à mesurer... 3 1.1. Architecture... 3 1.1.1. Machine à portique...

Plus en détail

Rapport de stage Mise à plat d'un polygone

Rapport de stage Mise à plat d'un polygone Rapport de stage Mise à plat d'un polygone Stagiaire : Sejjil Olfa Tuteurs de stage: Luc BIARD et Bernard LACOLLE Laboratoire: Jean Kuntzmann (LJK) Equipe: Modélisation Géométrique & Multirésolution pour

Plus en détail

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle Chapitre 01 : Intégrales généralisées Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné de Dans ce chapitre, on va étudier le cas d

Plus en détail

Travail d une force Correction

Travail d une force Correction Travail d une force Exercice 1 : Deux jumeaux de même masse m=75,0 kg montent au 5ème étage d'un immeuble en partant du rez-de-chaussée. Le jumeau A emprunte l'ascenseur et le jumeau B l'escalier. La distance

Plus en détail

BACCALAURÉATS PROFESSIONNELS EN 3 ANS

BACCALAURÉATS PROFESSIONNELS EN 3 ANS BACCALAURÉATS PROFESSIONNELS EN ANS Électrotechnique énergie équipements communicants Exemple de progression pédagogique Programmes : BOEN n 11 du 1/06/199 / A 8/07/99 modifié A 19/07/0 Mathématiques :

Plus en détail

Équations différentielles en physique

Équations différentielles en physique Fiche Mathématiques pour la Physique - Équations différentielles en physique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012 Équations différentielles en physique On ne considère en physique en prépa (quasiment) que des

Plus en détail

3D Compléments de cours. Guy GREISEN

3D Compléments de cours. Guy GREISEN 3D Compléments de cours Guy GREISEN 14 septembre 2009 3D 3 Table des matières 1 SECOND DEGRÉ 6 1.1 Introduction................................................ 6 1.2 Formule générale.............................................

Plus en détail

Notion de champ. PARtiE 3. Le programme. Évaluation diagnostique p. 216. CoMPrEndrE Champs et forces

Notion de champ. PARtiE 3. Le programme. Évaluation diagnostique p. 216. CoMPrEndrE Champs et forces PARtiE 3 Manuel unique, p. 216 ( Manuel de physique, p. 102) Notion de champ séquence 1 Le programme notions et contenus Exemples de champs scalaires et vectoriels : pression, température, vitesse dans

Plus en détail

Superposition de signaux sinusoïdaux

Superposition de signaux sinusoïdaux Superposition de signaux sinusoïdaux I TP interférences obtenues par la superposition de deux ondes ultrasonores...3 1 Modélisation d une courbe sous Regressi...3 2 Mesure de l amplitude de l onde résultant

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SÉRIE SCIENTIFIQUE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SÉRIE SCIENTIFIQUE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SÉRIE SCIENTIFIQUE ÉPREUVE DE SCIENCES DE L INGÉNIEUR Session 2014 Page 1 sur 14 Nacelle gyrostabilisée pour prise de vue aérienne par multicoptère CORRECTION Page 2 sur 14 1. Analyse

Plus en détail

3 Droite. Vecteur directeur, vecteur normal. Positions relatives de deux droites. GA2D-Cours.nb 2. Vecteur directeur

3 Droite. Vecteur directeur, vecteur normal. Positions relatives de deux droites. GA2D-Cours.nb 2. Vecteur directeur GAD-Cours.nb 1 Géométrie métrique -ème année niveau avancé Edition 007-008 3-ème année niveau standard DELM 3 et 4 Géométrie analytique D Liens hypertextes Exercices de géométrie analytique D: http://www.deleze.name/marcel/sec/cours/geomanalytiqued/gad-exercices.pdf

Plus en détail

Algèbre linéaire. 1 Espaces vectoriels R n. Jean-Paul Davalan. 1.1 Les ensembles R n. 1.2 Addition dans R n. (R n, +) désigne R n muni de l addition.

Algèbre linéaire. 1 Espaces vectoriels R n. Jean-Paul Davalan. 1.1 Les ensembles R n. 1.2 Addition dans R n. (R n, +) désigne R n muni de l addition. Algèbre linéaire. Jean-Paul Davalan 2001 1 Espaces vectoriels R n. 1.1 Les ensembles R n. Définition 1.1 R 2 est l ensemble des couples (x, y) de deux nombres réels x et y. D une manière générale, un entier

Plus en détail

Corrigé du Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2016

Corrigé du Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2016 Corrigé du Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 0 A. P. M. E. P. EXERCICE Commun à tous les candidats points Partie A Une boite contient 00 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées.

Plus en détail

Etude des fonctions trigonométriques

Etude des fonctions trigonométriques Chapitre Dans ce chapitre, nous continuons le travail sur les fonctions usuelles en introduisant les fonctions trigonométriques. Si celles sont définies à partir de la géométrie euclidienne, elles permettent

Plus en détail

Etude des performances du système d'ouverture de porte automatique de TGV

Etude des performances du système d'ouverture de porte automatique de TGV Etude des perforances du systèe d'ouverture de porte autoatique de TGV (D après Centrale-Supelec MP 28) On s intéresse aux perforances du systèe d ouverture de porte du TGV dont on donne une description

Plus en détail

Conductivité conductimétrie

Conductivité conductimétrie Conductivité conductimétrie I. Généralités sur les milieux conducteurs Le courant électrique est dû à un mouvement d'ensemble des porteurs de charges sous l'action d'un champ électrique. Ils sont de trois

Plus en détail

Mécanique des solides déformables

Mécanique des solides déformables Mécanique des solides déformables Auteur Michel MAYA 1 Descriptions 2 Représentations graphiques Ce cours est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Paternité + Pas d utilisation

Plus en détail

Contrôle du couple électromagnétique d'une machine asynchrone par la méthode du flux orienté.

Contrôle du couple électromagnétique d'une machine asynchrone par la méthode du flux orienté. Contrôle du couple électromagnétique d'une machine asynchrone par la méthode du flux orienté. Le principe du contrôle du couple électromagnétique par la méthode du flux orienté est basé sur la connaissance

Plus en détail

Thème : Lois et modèles Partie : Temps, mouvement et évolution. Cours 24 : Travail d une force-energies

Thème : Lois et modèles Partie : Temps, mouvement et évolution. Cours 24 : Travail d une force-energies 1 Thème : Lois et modèles Partie : Temps, mouvement et évolution. Cours 24 : Travail d une force-energies I. Les forces travaillent. 1. Effets d une force. Les forces appliquées à un système peut : - Déformer

Plus en détail

Mathématiques Complément et synthèse I

Mathématiques Complément et synthèse I Définition du domaine d'examen MAT-4- Mathématiques Complément et synthèse I Mise à jour novembre 004 Définition du domaine d'examen MAT-4- Mathématiques Complément et synthèse I Mise à jour novembre 004

Plus en détail

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes

Plus en détail

DS3. 1- EQUILIBREUSE DE ROUE Le schéma cinématique d'une équilibreuse de roue de véhicule est donné ci-dessous. x, y z

DS3. 1- EQUILIBREUSE DE ROUE Le schéma cinématique d'une équilibreuse de roue de véhicule est donné ci-dessous. x, y z Le sujet comprend : un exercice de cinématique (analytique) Un exercice de cinétique Un problème sur les inerties,et les asservissements Un exercice sur les asservissements. Bon courage EQUILIBREUSE DE

Plus en détail

Campus Saint-Jean (consolidé avec la Faculty of Engineering) PHYSQ 131 Examen Final Samedi, 21 avril, 2012; 14h 16h30 MCM 3-18

Campus Saint-Jean (consolidé avec la Faculty of Engineering) PHYSQ 131 Examen Final Samedi, 21 avril, 2012; 14h 16h30 MCM 3-18 Campus Saint-Jean (consolidé avec la Faculty of Engineering) PHYSQ 131 Examen Final Samedi, 21 avril, 2012; 14h 16h30 MCM 3-18 1. Vous n avez droit ni aux notes, ni au manuel. 2. Des feuilles de formules

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

a) modéliser la liaison entre un galet (Gi) et le rail (0),

a) modéliser la liaison entre un galet (Gi) et le rail (0), CORRIGE : MACHINE DE DÉCHARGEMENT ET DE DÉCHARGEMENT DE COMBUSTIBLE NUCLÉAIRE Q Réaliser le schéma cinématique en perspective, en respectant l orientation de la figure 6, de la machine de déchargement

Plus en détail

CHAPITRE 3 Repères, points et droites

CHAPITRE 3 Repères, points et droites CHAPITRE 3 Repères, points et droites A) Repères et coordonnées des points 1) Repères Pour représenter le plan en géométrie analytique, on a besoin de définir deux axes, qu'on appelle axe des abscisses

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014 Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont

Plus en détail

Intégrales curvilignes.

Intégrales curvilignes. Chapitre 1 Intégrales curvilignes. 1.1 Généralités 1.1.1 Courbes paramétrées dans le plan. Motivations, exemples. L exemple basique de courbe est la trajectoire décrite par un objet assimilée à un point

Plus en détail

MAP-SIM2 : Planification de trajectoire

MAP-SIM2 : Planification de trajectoire MP-SIM : Planification de trajectoire sujet proposé par Nicolas Kielbasiewicz : nicolas.kielbasiewicz@ensta-paristech.fr 0 janvier 06 La planification de trajectoire consiste à déterminer une trajectoire,

Plus en détail

Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires. dans

Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires. dans Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires dans Sommaire Sandrine CHARLES 1 Introduction... 3 2 Rappels sur les formes de Jordan réelles dans... 4 2.1 Deux valeurs propres réelles distinctes

Plus en détail

Les matrices. 1 Définitions. 1.1 Matrice

Les matrices. 1 Définitions. 1.1 Matrice Les matrices 2012-2013 1 Définitions 11 Matrice Définition 1 Une matrice m n est un tableau de nombres à m lignes et n colonnes Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice

Plus en détail

Sujet Centrale 2012 Physique Option MP

Sujet Centrale 2012 Physique Option MP I Le Satellite Jason 2 IA1) IA - Etude l orbite Sujet Centrale 2012 Physique Option MP Cf cours : IA2) a) Le référentiel géocentrique est le référentiel de centre Terre en translation par rapport au référentiel

Plus en détail

Intégrales curvilignes et de surfaces

Intégrales curvilignes et de surfaces Intégrales curvilignes et de surfaces Fabrice Dodu FORMATION CONTINUE : DUT+3 DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES : INSA TOULOUSE 2-21 Version 1. Sommaire I Le cours 6 1 Intégrales curvilignes 8 1.1 Notions sur

Plus en détail

Projet de Physique P6-3 STPI/P6-3/2008 008

Projet de Physique P6-3 STPI/P6-3/2008 008 Projet de Physique P6-3 STPI/P6-3/28 8 Nom des étudiants : Matthieu AUDRAS Huan GENG Nicolas TRISCOS André FABBRI Jérémie LEHOUX Matthieu VAUTROT Enseignant responsable du projet : Jérôme YON Les Théorèmes

Plus en détail